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一類三自由度碰振系統(tǒng)的Hopf分岔分析

2017-12-12 23:02吳鴻濤官浩
科學(xué)與財富 2017年31期

吳鴻濤+官浩

摘要:建立了一類三自由度碰撞振動系統(tǒng)的非線性動力學(xué)模型,利用變步長龍格庫塔法對系統(tǒng)在某一組確定參數(shù)下的運動微分方程進行了數(shù)值求解,通過分析系統(tǒng)在確定參數(shù)下的分岔圖、相圖及Poincaré映射圖,分析了系統(tǒng)在的動力學(xué)特性,在此基礎(chǔ)上研究了參數(shù)對系統(tǒng)的動力學(xué)影響,發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)在該參數(shù)下的周期運動和Hopf分岔現(xiàn)象,以及在Hopf分岔過程中出現(xiàn)的混沌激變。

關(guān)鍵詞:非線性動力學(xué);碰撞振動; Hopf分岔;

0 引言

碰撞振動系統(tǒng)的動力學(xué)分析在非線性系統(tǒng)分析中非常常見,今年來,學(xué)科內(nèi)很多學(xué)者都對碰撞-振動系統(tǒng)和Hopf分岔現(xiàn)象進行了深入的研究。羅冠煒[1]通過解析的方法分析了兩自由度系統(tǒng)的穩(wěn)定性和周期運動,并通過數(shù)值計算方法,對該解析解進行了驗證;李朝峰[2]應(yīng)用有限元法建立了碰撞-摩擦系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,并分析了碰摩轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的碰摩間隙和摩擦系數(shù)對周期運動穩(wěn)定性的影響;何瑋[3]對高維多參數(shù)復(fù)雜約束系統(tǒng)的Hopf分岔做了研究。

在涉及到3自由度碰振系統(tǒng)的建模時,除了考慮碰撞的單邊情況,還應(yīng)對雙邊碰撞的情況有所涉及。本文以考慮雙邊碰撞的3自由度系統(tǒng)模型為對象,通過數(shù)值分析的方法對系統(tǒng)在兩組確定參數(shù)下的Hopf分岔現(xiàn)象的分析,揭示了3自由度系統(tǒng)在激振頻率變化過程中,系統(tǒng)的響應(yīng)變化,Hopf分岔通往混沌狀態(tài)過程中的激變,以及系統(tǒng)的混沌運動現(xiàn)象。

1 三自由度碰撞振動系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

圖1為一類三自由度雙側(cè)剛性約束的碰撞振動系統(tǒng)的動力學(xué)模型。 、 、 為質(zhì)量塊的質(zhì)量, 、 、 為線性彈簧的剛度, 、 、 為線性阻尼器連接的阻尼系數(shù)。假設(shè)水平面為絕對光滑,即水平面與質(zhì)量塊間無摩擦力,質(zhì)量塊只在水平面做往復(fù)運動,并分別受到簡諧激振力 (i=1,2,3)的作用。當(dāng)質(zhì)量塊 的位移 等于間隙值B時,質(zhì)量塊 將與剛性約束A發(fā)生碰撞,在碰撞瞬時改變速度后又以新的速度運動,當(dāng)質(zhì)量塊 的位移 等于間隙值D時,質(zhì)量塊 又與剛性約束B發(fā)生碰撞,在碰撞瞬時改變速度后又以新的速度運動,循環(huán)往復(fù)。假定系統(tǒng)中的阻尼為Rayleigh型比例阻尼,碰撞過程由恢復(fù)系數(shù)R確定。

圖1:三自由度碰撞振動系統(tǒng)的動力學(xué)模型

根據(jù)牛頓第二定律,得到系統(tǒng)在任意兩次碰撞之間的運動方程的無量綱形式為:

方程1.1中,"·"表示時間t的導(dǎo)數(shù),假設(shè) 、 均不為零,上述方程中的無量綱量為:

其中

質(zhì)量塊M1的碰撞方程為:

其中 分別為振子m1 與平面A和B碰撞前后的瞬時速度。

該系統(tǒng)的運動情況為:質(zhì)量塊m1、m2 、m3 分別在簡諧激振力的作用下,做往復(fù)運動,質(zhì)量塊m1 在于A面接觸后,發(fā)生彈性碰撞,速度瞬間改變,隨后以新的速度繼續(xù)運動,回彈至B面時,依然發(fā)生彈性碰撞,碰撞后又以新的速度繼續(xù)運動。

2 三自由度振動系統(tǒng)的響應(yīng)分析

選取無量綱參數(shù)的值為:激振頻率的振幅 ;質(zhì)量塊 ;阻尼比 , , ;彈簧的勁度系數(shù) , , ;取激振頻率 進行數(shù)值計算。得到在系統(tǒng)中,質(zhì)量塊的速度隨激振頻率變化的分岔圖如圖2所示。圖3為局部放大的分岔圖。圖中橫坐標(biāo)為激振頻率,縱坐標(biāo)為質(zhì)量塊 的位移。從圖中可以看出,隨著激振頻率的減小,系統(tǒng)分別出現(xiàn)周期1運動-Hopf分岔-周期1運動-倍化分岔-混沌-周期窗口等動力學(xué)行為。

圖2 系統(tǒng)隨激振頻率變化的分岔圖

為更清晰的展示系統(tǒng)在Hopf分岔時的動力學(xué)特性,圖4給出了在不同激振頻率取值下統(tǒng)的Poincaré映射圖。圖橫坐標(biāo)為質(zhì)塊 的速度,縱坐標(biāo)為質(zhì)塊 的速度。

由圖4可以觀察出,當(dāng) 時,系統(tǒng)響應(yīng)為穩(wěn)定的周期1運動,當(dāng) 減小3.22時,周期1運動變得不穩(wěn)定,形成吸引子,隨著 的繼續(xù)減小,明顯觀察出系統(tǒng)的周期1吸引子發(fā)生擴散,至 時,周期1運動沿清晰的吸引軌道吸引至光滑的Hopf環(huán),Hopf環(huán)隨著 的減小,形狀逐漸變大,最終表面產(chǎn)生不光滑的褶皺,Poincaré映射圖的拓撲結(jié)構(gòu)發(fā)生改變進而通向混沌。在 左右時,系統(tǒng)瞬間激變轉(zhuǎn)至周期1運動,并出現(xiàn)了周期倍化分岔。

圖3系統(tǒng)Poincare映射圖

在 系統(tǒng)的混沌運動區(qū)間內(nèi),出現(xiàn)了一段短暫的周期為三的周期窗口,截面圖和相圖如圖4所示。圖橫坐標(biāo)為質(zhì)塊 的速度,縱坐標(biāo)為質(zhì)塊 的速度。

4 結(jié)論

本文建立了三自由度雙邊剛性約束系統(tǒng)的非線性動力學(xué)模型,分析了此類模型在兩組參數(shù)下系統(tǒng)動力學(xué)行為的影響。分析結(jié)果表明:

1.該系統(tǒng)在激振力變化時,出現(xiàn)Hopf分岔是比較常見的一種情況;

2.概周期運動狀態(tài)的Hopf環(huán)是不穩(wěn)定的,可能會出現(xiàn)Hopf環(huán)的褶皺、畸變,并最終通往混沌;

3.經(jīng)由Hopf分岔所達到的混沌狀態(tài)可能會出現(xiàn)周期窗口,本文出現(xiàn)了周期窗口的周期為3。

Hopf分岔一直以來是一個比較經(jīng)典的研究方向,Hopf分岔通往混沌的道路多種多樣,Hopf分岔過程中除了上述兩種情況,還有不穩(wěn)定Hopf環(huán)等常見的動力學(xué)特性,本文的后續(xù)研究工作,會圍繞不穩(wěn)定Hopf分岔繼續(xù)進行。

參考文獻

[1] 羅冠煒. 兩自由度塑性碰撞振動系統(tǒng)的周期運動與穩(wěn)定性 [J]. 蘭 州 大 學(xué) 學(xué) 報 ( 自 然 科 學(xué) 版 ), 2000, 36(3): 61-66.

[2] 李朝峰,孫偉,聞邦椿.兩處碰摩高維轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的周期運動穩(wěn)定性分析[J].振動與沖擊, 2010, s, 143-145.

[3] 何瑋.高維多參數(shù)復(fù)雜約束系統(tǒng)的Hopf分岔與混沌[J].甘肅科技縱橫,2005(3):103-108.

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