沈忠偉

(國(guó)家電網(wǎng)湖南省電力公司檢修公司，長(zhǎng)沙 410014)

索-梁組合結(jié)構(gòu)的面內(nèi)外模態(tài)分析

沈忠偉

(國(guó)家電網(wǎng)湖南省電力公司檢修公司，長(zhǎng)沙 410014)

利用哈密頓變分原理以及結(jié)構(gòu)動(dòng)靜態(tài)構(gòu)型的影響，建立了索-梁組合結(jié)構(gòu)的約化運(yùn)動(dòng)學(xué)控制方程．根據(jù)求解得到的面內(nèi)面外特征值方程，并通過(guò)分段函數(shù)的引入，研究了結(jié)構(gòu)的模態(tài)函數(shù)的幾種形式．隨后，根據(jù)索-梁組合結(jié)構(gòu)中索的模態(tài)函數(shù)，分析了面內(nèi)外運(yùn)動(dòng)“局部模態(tài)”和“模態(tài)局部化”現(xiàn)象的產(chǎn)生．研究表明，在面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，在不考慮內(nèi)共振情況下，面內(nèi)運(yùn)動(dòng)索的大幅振動(dòng)是由于“模態(tài)局部化”現(xiàn)象的產(chǎn)生，而根據(jù)特征值方程，“局部模態(tài)”只能出現(xiàn)在索-梁組合結(jié)構(gòu)索的面外運(yùn)動(dòng)．

哈密頓變分原理；索-梁組合結(jié)構(gòu)；局部模態(tài)

拉索在工程中應(yīng)用廣泛，是一種主要只能承受拉力不能承受壓力的構(gòu)件，拉索具有強(qiáng)度較高、松弛較低、質(zhì)量較輕等特點(diǎn)，使得其能而較好地應(yīng)用于各種建筑工程結(jié)構(gòu)中，對(duì)于向大跨度方向發(fā)展的橋梁結(jié)構(gòu)如斜拉橋，拉索是結(jié)構(gòu)必用的構(gòu)件．眾所周知，拉索的自然特性突出，如具有小質(zhì)量、大柔度及較低的阻尼特性，在風(fēng)、雨、地震及車輛等荷載作用下，使得斜拉索產(chǎn)生的大幅振動(dòng)，可能會(huì)使得橋梁發(fā)生破壞，對(duì)橋梁結(jié)構(gòu)的安全性和行車安全產(chǎn)生嚴(yán)重威脅．因此，斜拉索的非線性動(dòng)力學(xué)問(wèn)題一直以來(lái)都受到科研工作者的重視，是力學(xué)領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)[1]．

近年來(lái)，F(xiàn)ujino[2]等、Gattulli[3]和趙躍宇等[4]建立了索-梁模型(主梁一端固定一端與斜拉索連接)，分別應(yīng)用多尺度法研究了拉索的面外模態(tài)與梁的2個(gè)方向的彎曲模態(tài)之間的滿足1:1和2:1內(nèi)共振模式．以往的文獻(xiàn)局限在將索的模態(tài)函數(shù)僅僅簡(jiǎn)化為單索情況下的模態(tài)函數(shù)形式，使得對(duì)拉索在橋面和橋塔的運(yùn)動(dòng)研究較為簡(jiǎn)單，從而根據(jù)可能的“局部模態(tài)”去分析斜拉索可能會(huì)產(chǎn)生的大幅振動(dòng)．“局部模態(tài)”是指在結(jié)構(gòu)振動(dòng)中，只有索的振動(dòng)．但是結(jié)構(gòu)不同使得單索的模態(tài)函數(shù)與索-梁結(jié)構(gòu)的模態(tài)函數(shù)也會(huì)有較大的差異[3-4]．這極有可能在理論上使得研究失去合理性，因此很難對(duì)拉索大幅振動(dòng)及橋梁的破壞機(jī)理進(jìn)行合理解釋，很難滿足未來(lái)超大跨度橋梁建設(shè)的工程需要[5-6]．目前較少有文獻(xiàn)根據(jù)索-梁組合結(jié)構(gòu)的特性去分析可能的面內(nèi)面外運(yùn)動(dòng)索的大幅振動(dòng)，即從索的模態(tài)函數(shù)去分析可能出現(xiàn)的“局部模態(tài)”及“模態(tài)局部化”現(xiàn)象，而“模態(tài)局部化”是指在結(jié)構(gòu)振動(dòng)中，索的振動(dòng)起主導(dǎo)作用，從而進(jìn)一步揭示大幅振動(dòng)產(chǎn)生的機(jī)理[7-8]．

基于上述原因，嚴(yán)格根據(jù)特征值方程，確定索的模態(tài)函數(shù)可以更好地理解局部模態(tài)，模態(tài)局部化現(xiàn)象，進(jìn)一步揭示索的大幅振動(dòng)產(chǎn)生原因[9]．

1 索-梁運(yùn)動(dòng)方程

索-梁模型如圖1所示.

圖1 索-梁組合結(jié)構(gòu)的動(dòng)靜態(tài)構(gòu)型

索和梁的軸向位移可以忽略．因此，索-梁組合結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)方程可以由哈密頓變分原理得出[10]：

為了更好理解索-梁組合結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)行為，對(duì)上述方程進(jìn)行無(wú)量綱化，無(wú)量綱化參數(shù)如下：

將式(4)代入索-梁運(yùn)動(dòng)方程以及邊界和連接條件，可以得到：

利用分離變量法可以得到整體系統(tǒng)的固有頻率以及索和梁的模態(tài)函數(shù)．對(duì)索和梁的位移函數(shù)進(jìn)行分離變量

將式(8)代入索，梁運(yùn)動(dòng)方程以及邊界和連接條件中．

為了求解式(9)，引入索的輔助條件，假設(shè)

同樣地，考慮到l=0，在結(jié)構(gòu)的連接點(diǎn)處力平衡條件可以表示成

這意味著該情況下的剪力為零．類似地索的模態(tài)函數(shù)可以表示成

梁的邊界和連接條件為：

在l=0這種情況下，索-梁結(jié)構(gòu)特征值方程可以通過(guò)式(14) 單獨(dú)的求得．同樣地，將式(13)代入式(10)，可以得到整體結(jié)構(gòu)特征值方程：

借助于軟件Mathematica，式(13)和式(15)可以分別得到求解，但是通過(guò)計(jì)算，2個(gè)方程得到的解答并不是相等的(見圖2)．因此，l=0這種情況是不存在的[3-6]．

圖2 索-梁組合結(jié)構(gòu)的特征值方程

2 局部模態(tài)與模態(tài)局部化

所以，根據(jù)特征值分析，我們可以得出結(jié)論，對(duì)于索梁組合結(jié)構(gòu)面內(nèi)振動(dòng)，“局部模態(tài)”是不可能發(fā)生的，在不考慮內(nèi)共振情形下，橋梁結(jié)構(gòu)中索的大幅振動(dòng)是由于發(fā)生了“模態(tài)局部化”現(xiàn)象．因此，對(duì)應(yīng)著的索的模態(tài)函數(shù)應(yīng)表示為

3 結(jié)論

本文根據(jù)變分原理，得到了索-梁組合結(jié)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)方程，根據(jù)分離變量法得到了結(jié)構(gòu)的特征值方程，研究了索-梁組合結(jié)構(gòu)面內(nèi)面外振動(dòng)特性．研究表明，“局部模態(tài)”只可能發(fā)生在面外運(yùn)動(dòng)，即所謂的大幅振動(dòng)，為索的振動(dòng)，因此梁的面外受力分力為零，即梁沒有任何位移，而完全表現(xiàn)為索的振動(dòng)位移，即“局部模態(tài)”發(fā)生了，所以“局部模態(tài)”只可能發(fā)生在面外運(yùn)動(dòng)，“局部振動(dòng)”不可能發(fā)生在面內(nèi)．面內(nèi)運(yùn)動(dòng)所謂的“局部模態(tài)”實(shí)際上應(yīng)為 “模態(tài)局部化”現(xiàn)象，其對(duì)應(yīng)著的模態(tài)函數(shù)應(yīng)有所不同．

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(責(zé)任編校：徐贊)

In-out-plane Modal Analysis of the Cable-stayed Beam

SHEN Zhong-wei
(State Grid Hunan Maintenance Company, Changsha, Hunan 410014, China)

Using the Hamilton principle and the effects of the dynamic and static configuration of the cable and beam, the equations of motion of the cable-stayed beam can be obtained. Considering the boundary and continuity conditions, the in-plane eigenvalue problem is investigated. By introducing the piecewise function, the mode shapes can be obtained. It is shown that the curve veering phenomenon can be observed in the natural frequency spectrum of the system. The frequency crossover phenomenon is obvious. Considering the local mode and global mode, the mode shapes of the cable-stayed beam are discussed.

Hamilton’s principle; cable-stayed beam; local modal

O313.3

A

10.3969/j.issn.1672-7304.2017.02.0006

1672–7304(2017)02–0025–03

2016-12-09

湖南省教育廳科研項(xiàng)目(15C1411)

沈忠偉(1968-)，男，湖南長(zhǎng)沙人，工程師，主要從事電力非線性及分岔控制研究，E-mail: wangzq@hnu.edu.cn.