屠傳運(yùn)，陳韜偉，余益民，趙昆

(云南財(cái)經(jīng)大學(xué) 信息學(xué)院， 云南 昆明 650221)

膜系統(tǒng)下的一種多目標(biāo)優(yōu)化算法

屠傳運(yùn)，陳韜偉，余益民，趙昆

(云南財(cái)經(jīng)大學(xué) 信息學(xué)院， 云南 昆明 650221)

提出一種基于膜優(yōu)化理論的多目標(biāo)優(yōu)化算法，該算法受膜計(jì)算的啟發(fā)，結(jié)合膜結(jié)構(gòu)、多重集和反應(yīng)規(guī)則來求解多目標(biāo)優(yōu)化問題。為了增強(qiáng)算法的適應(yīng)能力，采用了遺傳算法中的交叉與變異機(jī)制，同時(shí)在膜中引入外部檔案集，并采用非支配排序和擁擠距離方法對外部檔案集進(jìn)行更新操作來提高搜索解的多樣性。仿真實(shí)驗(yàn)采用標(biāo)準(zhǔn)的KUR和ZDT系列多目標(biāo)問題對所提出的算法進(jìn)行測試，通過該算法得出的非支配解集能夠較好地逼近真實(shí)的Pareto前沿，說明所提算法在求解多目標(biāo)優(yōu)化問題上具有可行性和有效性。

膜計(jì)算;多目標(biāo)優(yōu)化;遺傳算法;外部檔案集;非支配排序;擁擠距離;非支配解集;Pareto前沿

在實(shí)際生活以及各種工業(yè)領(lǐng)域中都會(huì)遇到各種多個(gè)目標(biāo)彼此沖突，且在一定條件約束下，但又要求得優(yōu)化結(jié)果的問題，這一類問題被稱為多目標(biāo)優(yōu)化問題。為了解決這個(gè)問題，近年來一些國內(nèi)外學(xué)者提出了許多基于智能進(jìn)化計(jì)算的求解算法，取得了顯著的成果，并將其應(yīng)用在了科學(xué)研究和工程方面。第1代的多目標(biāo)優(yōu)化算法是以Fonseca等[1]于1993年提出的多目標(biāo)遺傳算法MOGA(multi-objective genetic algorithm )、Srinivas 等[2]提出的非支配排序遺傳算法NSGA(non-dominated sorting genetic algorithm)、Horn等[3]提出的小生境Pareto多目標(biāo)標(biāo)優(yōu)化遺傳算法NPGA (niched pareto genetic algorithm)為主。第2代多目標(biāo)優(yōu)化算法主要以精英保留機(jī)制為特征，在20世紀(jì)末和21世紀(jì)初相繼被提出：Zitzler等[4]于1999年提出加強(qiáng)Pareto進(jìn)化算法(strength pareto evolutionary algorithm，SPEA )，3 年之后,他們提出了SPEA改進(jìn)版本SPEA2；Erichson等[5]于2001年提出了NPGA 的改進(jìn)版本NPGA2； 經(jīng)典且效率極高的NSGA-II算法于2002 年由Deb 等[6]通過對NSGA 進(jìn)行改進(jìn)而提出。

膜計(jì)算(membrane computing)是自然計(jì)算的新分支，旨在從生命細(xì)胞的結(jié)構(gòu)與功能以及組織和器官等細(xì)胞群的協(xié)作中抽象出計(jì)算模型[7]。膜計(jì)算又被稱為膜系統(tǒng)或P系統(tǒng)，膜計(jì)算由歐洲科學(xué)院院士Paun于1998年提出，由于其具有分布式和并行計(jì)算的能力，目前在將膜計(jì)算理論應(yīng)用于多目標(biāo)優(yōu)化問題上獲得了一些研究成果。Zaharie等[8]于2009年通過對比分布式演化算法和膜算法的異同，受膜算法的啟發(fā)提出了運(yùn)用于求解連續(xù)優(yōu)化問題的分布式演化算法；Liu等[9]提出將遺傳算法引入到膜算法，利用遺傳算法的交叉與變異機(jī)制，該算法求解ZDT系列優(yōu)化問題表現(xiàn)出了較好的求解能力；Zhang等[10]提出了將差分演化與P系統(tǒng)相結(jié)合的算法，并將其運(yùn)用于多目標(biāo)優(yōu)化問題上。

受到膜計(jì)算理論啟發(fā)，本文提出了一種結(jié)合膜系統(tǒng)理論的多目標(biāo)優(yōu)化算法，即基于P系統(tǒng)的遺傳算法(P-genetic algorithm，P-GA)。本文采用的膜系統(tǒng)只具有表層膜和基本膜，將一定數(shù)量的種群放入表層膜中，然后經(jīng)過非支配排序后分配到基本膜中。并在基本膜中運(yùn)用遺傳機(jī)制來求解多目標(biāo)優(yōu)化問題的非支配解集，在表層膜中引入NSGA-Ⅱ算法，以此來維持非支配解集的多樣性，采用KUR和ZDT系列多目標(biāo)測試函數(shù)來進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，得出的非支配解集能夠較好地逼近真實(shí)的Pareto前沿。本文參考了文獻(xiàn)[11]的設(shè)計(jì)思路，不同點(diǎn)在于，基本膜中利用通信規(guī)則并將交叉與變異的操作進(jìn)行了改變。

1 多目標(biāo)優(yōu)化問題和膜計(jì)算理論

1.1 多目標(biāo)優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)描述

多目標(biāo)優(yōu)化問題有很多種表示方式，用數(shù)學(xué)方式描述比較直觀，便于理解。不失一般性的描述為

式(1)中有n個(gè)決策變量，x={x1,x2,…xn}∈Rn，Rn為n維決策空間；F(x)∈Rm，Rm為m維的目標(biāo)空間；目標(biāo)函數(shù)F(x)定義了m個(gè)由決策空間向目標(biāo)空間映射的關(guān)系；gi(x)=0,i=(1,2,…,q)描述了q個(gè)等式約束條件；hj(x)≥0,j=(1,2,…,p)定義了p個(gè)不等式約束條件。在以上的描述基礎(chǔ)上，給出以下幾個(gè)定義。

定義1 (可行解)對于任意一個(gè)x∈Rm，且滿足式(1)中所給出的約束條件，則稱x為可行解。

定義2 (Pareto占優(yōu))對所有滿足定義1的可行解組成的集合稱為可行解集合，用X表示，則X?Rn；假設(shè)有兩個(gè)可行解xa,xb∈X，若xa與xb相比較，xa是Pareto占優(yōu)的，則條件當(dāng)且僅當(dāng)滿足：

記作xalt;xb，也稱為xa支配xb。若xa和xb之間不存在相互支配關(guān)系，則稱它們之間非支配。

定義3 (Pareto最優(yōu)解X*)如果存在一個(gè)X*滿足?x∈Rn,xlt;x*，則X*為Pareto最優(yōu)解，也叫作非支配解；Pareto最優(yōu)解集定義為所有Pareto最優(yōu)解組成的集合，記作P。

定義4 (Pareto前沿)最優(yōu)解集P在目標(biāo)函數(shù)空間上的映射，記作PF，表示為

1.2 膜計(jì)算理論

目前，對膜的研究主要包括細(xì)胞型、組織型和神經(jīng)型3種模型[12]。本文所提出的算法是建立在細(xì)胞型膜系統(tǒng)上，下面介紹細(xì)胞型膜系統(tǒng)理論的主要內(nèi)容：

根據(jù)式(4)的多元組，其中：V是字母表，V中的元素稱為字符對象；T?V，T為輸出的字母表；μ是包含m個(gè)膜的膜結(jié)構(gòu)，其中m表示∏的度；wi∈V*，且i=1,2,…,m，表示膜結(jié)構(gòu)μ中第i個(gè)膜所包含的字符多重集，V*表示由V中的字符對象組成的任意多重集；R是進(jìn)化規(guī)則的有限集合，進(jìn)化規(guī)則是二元組；Ri(i=1,2,…,m)對應(yīng)的是膜結(jié)構(gòu)μ中的區(qū)域i的進(jìn)化規(guī)則集合。

細(xì)胞型膜結(jié)構(gòu)如圖1所示，最外層把細(xì)胞膜結(jié)構(gòu)與外界環(huán)境隔開的膜稱為表層膜；每一個(gè)膜都確定一個(gè)區(qū)域，區(qū)域中包含了反應(yīng)規(guī)則和多重集；對任意一個(gè)膜，若該膜區(qū)域內(nèi)不包含其他的膜，即膜中無膜，則稱為基本膜。

圖1 膜系統(tǒng)與其簡化結(jié)構(gòu)Fig.1 Membrane system with its simplified structure

2 P-GA算法

P系統(tǒng)由字符對象多重集、反應(yīng)規(guī)則和膜結(jié)構(gòu)三部分組成[13]。在P系統(tǒng)中，字符對象與多重集分別對應(yīng)所求多目標(biāo)優(yōu)化問題的解和解集，且每一個(gè)字符對象都會(huì)通過適應(yīng)度函數(shù)得到一個(gè)適應(yīng)度值；反應(yīng)規(guī)則既是算法具體的執(zhí)行，也有對細(xì)胞膜的操作，比如分裂、溶解等；膜結(jié)構(gòu)的運(yùn)用使算法具有了分布式和并行計(jì)算的能力[14]。在每一次的迭代，將隨機(jī)產(chǎn)生的字符對象放入表層膜區(qū)域中，利用表層膜區(qū)域中的反應(yīng)規(guī)則和通信規(guī)則進(jìn)行操作；最后通過膜的溶解將多重集釋放到表層膜區(qū)域中交流信息。為了降低仿真實(shí)驗(yàn)難度，所提算法采用的細(xì)胞型膜結(jié)構(gòu)只有表層膜與基本膜，這種二層結(jié)構(gòu)相較于原結(jié)構(gòu)復(fù)雜度較低。

為了使算法得出的多重集有較好的多樣性，故引入NSGA-Ⅱ算法，利用其非支配排序和擁擠距離兩種機(jī)制來獲得。

遺傳算法(genetic algorithm，GA)是模擬達(dá)爾文進(jìn)化論(適者生存、優(yōu)勝劣汰遺傳機(jī)制)，借鑒生物界的進(jìn)化規(guī)律演化而來的隨機(jī)化搜索方法。該方法具有并行性和更好的全局尋優(yōu)能力[15-16]。

P-GA算法基于膜計(jì)算理論，包含了遺傳機(jī)制，利用NSGA-Ⅱ算法的非支配排序和擁擠距離兩種機(jī)制來設(shè)計(jì)算法，詳細(xì)步驟如下。

1)根據(jù)優(yōu)化問題的約束條件，在表層膜的區(qū)域內(nèi)隨機(jī)生成N個(gè)字符對象(N≥i≥1)，所有字符對象均為十進(jìn)制編碼，具體形式為

式中：si,j表示第i個(gè)字符對象的第j維；j的范圍為D≥j≥1，D表示維數(shù)；smin,j表示第j維的最小值，smax,j表示第j維的最大值；rand()為隨機(jī)數(shù)函數(shù)，產(chǎn)生從0～1的隨機(jī)數(shù)。

2)根據(jù)所要優(yōu)化問題的目標(biāo)函數(shù)計(jì)算出每個(gè)字符對象的適應(yīng)度值，從而完成對所有字符對象的評價(jià)。

3)在初始化完成以后，利用表層膜的分裂規(guī)則，在表層膜內(nèi)部區(qū)域分裂出m+1個(gè)基本膜，且分裂出的基本膜具有求解多目標(biāo)優(yōu)化問題的能力。首先，將初始化完成的m個(gè)多重集復(fù)制一份發(fā)送到第m+1個(gè)基本膜的區(qū)域中；然后，將m個(gè)多重集發(fā)送到前m個(gè)基本膜的區(qū)域中，逐一對應(yīng)。具體表層膜分裂規(guī)則如式(6)：

式中：[ ]0表示表層膜，[ ]i表示第i個(gè)基本膜。

為了使每個(gè)基本膜的內(nèi)部區(qū)域都有對應(yīng)的多重集，利用NSGA-Ⅱ的非支配排序機(jī)制對表層膜區(qū)域中的所有字符對象進(jìn)行排序，排序標(biāo)準(zhǔn)參照2)完成適應(yīng)值大小，排序結(jié)束以后再將其按照等數(shù)量劃分為多個(gè)子字符多重集。具體劃分的形式化表述如式(7)所示：

式中：w表示字符多重集；sort(w)表示對表層膜區(qū)域中的多重集進(jìn)行非支配排序；wi表示第i個(gè)子字符多重集；sizeof(w)表示多重集中字符對象個(gè)數(shù)；m表示基本膜的個(gè)數(shù)；n表示每個(gè)基本膜取得字符對象個(gè)數(shù)，具體放入規(guī)則對n進(jìn)行取模。

4)對前m個(gè)基本膜用GA算法中的交叉規(guī)則進(jìn)行多線程并行計(jì)算，以獲得新的字符對象，而并行計(jì)算可以極大地加快求解速度，具體交叉操作為

5)利用通信規(guī)則將前m個(gè)基本膜中產(chǎn)生的交叉結(jié)果復(fù)制一份發(fā)送到第m+1個(gè)基本膜中，對第m+1個(gè)基本膜中的多重集進(jìn)行變異操作。由于自然進(jìn)化中種群變異率往往比較低，因此在一次迭代中，只有利用足夠多的字符對象進(jìn)行變異操作才能產(chǎn)生更多的新個(gè)體，具體變異操作如式(9)所示：

式中：S(t,j)表示字符對象S的第t代j維的值；S(min,j)表示第j維的最小值；S(max,j)表示第j維的最大值；rand( )為隨機(jī)數(shù)函數(shù)，產(chǎn)生從0～1的隨機(jī)數(shù)。

6)當(dāng)每個(gè)基本膜中的規(guī)則和操作都結(jié)束以后，調(diào)用基本膜區(qū)域內(nèi)的溶解規(guī)則，當(dāng)m+1個(gè)基本膜全部溶解后，表層膜區(qū)域中就會(huì)有來自于不同基本膜中的字符對象；本文引入外部檔案集，將從基本膜中溶解出的字符對象插入到外部檔案集中，而后將表層膜區(qū)域中的字符對象與歸入外部檔案的字符對象進(jìn)行非支配排序操作。外部檔案的執(zhí)行流程為：①對所有字符對象執(zhí)行NSGA-Ⅱ算法中的兩種機(jī)制；②根據(jù)執(zhí)行結(jié)果選取支配等級較低的字符對象，若兩者支配等級相等，則比較擁擠距離大小，選取擁擠距離較大的字符對象；③通過②的選取后，將獲得的所有字符對象歸入外部檔案集，然后刪除檔案中受支配的字符對象，剩余存在于外部檔案集中的字符對象將作為下一代的非支配多重集。

這個(gè)操作發(fā)揮了膜計(jì)算的優(yōu)勢，即在基本膜之間共享和交換信息，從而提高算法對全局未知解的探索，當(dāng)然也提高了解的多樣性[11,17]。

7)如果算法不滿足條件，則重復(fù)2)～6)的步驟；若算法滿足條件，則終止迭代，此時(shí)將表層膜區(qū)域中的多重集輸出即可。

具體流程如圖2所示。

圖2 P-GA算法流程圖Fig.2 P-GA algorithm implementation flow chart

3 仿真實(shí)驗(yàn)

3.1 測試函數(shù)

為了檢驗(yàn)所提出的算法是否能夠較好地逼近真實(shí)的Pareto前沿，采用了KUR、ZDT1、ZDT2、和ZDT3多目標(biāo)問題測試函數(shù)。這些測試函數(shù)可以較好地測試算法在多目標(biāo)優(yōu)化問題的表現(xiàn)。

3.2 實(shí)驗(yàn)環(huán)境

仿真實(shí)驗(yàn)硬件環(huán)境：CPU Intel 酷睿i5-4200H，主頻為3.4 GHz，輔以8 GB內(nèi)存，操作系統(tǒng)為Windows 10，使用MATLAB R2015B進(jìn)行編程仿真。本文選用了PESA2算法和SPEA2算法與所提出的P-GA算法進(jìn)行比較，這兩個(gè)算法的具體參數(shù)如表1所示。

表1 算法參數(shù)設(shè)置

表1中，D表示決策變量的維度，本文所提出的P-GA算法群體大小設(shè)置為200，表層膜中分裂出11個(gè)基本膜，交叉與變異概率均與PESA2算法和SPEA2算法相同。

3.3 仿真結(jié)果

KUR測試維度為3，ZDT系列的維度均為30，迭代次數(shù)均為100次，測得結(jié)果如圖3～6所示。

圖3 基于KUR測試函數(shù)分布圖Fig.3 KUR test function distribution

圖4 基于ZDT1測試函數(shù)分布圖Fig.4 ZDT1 test function distribution

圖5 基于ZDT2測試函數(shù)分布Fig.5 ZDT2 test function distribution

圖6 基于ZDT3測試函數(shù)分布Fig.6 ZDT3 test function distribution

從圖3可以看出，PESA2算法與P-GA算法都取得了較好的結(jié)果，但P-GA算法較其他兩種算法分散程度較低，而SPEA2效果顯得比較差；通過圖4和圖5可以很直觀地看出P-GA算法能夠較好地逼近真實(shí)的Pareto前沿，逼近程度相較于另外兩種算法更高，說明G-PA算法能夠較快地收斂，且分布程度也與另外兩種算法相當(dāng)，整體上取得的非支配解好于PESA2算法和SPEA2算法；在圖6中可以看出，整體3種算法都取得了較好的效果，都能夠逼近真實(shí)的Pareto前沿，且分布離散程度也比較接近。

本文采用反轉(zhuǎn)時(shí)代距離(inverted generational distant,IGD)作為評價(jià)指標(biāo)[18-19]。IGD是度量算法得到的Pareto前沿到真實(shí)的Pareto前沿的距離指標(biāo)，該指標(biāo)值的大小與算法Pareto前沿收斂性及多樣性呈負(fù)相關(guān)[20]。通過仿真，得到這3個(gè)多目標(biāo)優(yōu)化算法在4個(gè)測試函數(shù)上的數(shù)據(jù)，其中Mean表示均值，Std.表示標(biāo)準(zhǔn)差，每個(gè)算法均在所有測試函數(shù)上獨(dú)立測試100并進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，表2列出了詳細(xì)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)。

表23個(gè)算法在4個(gè)測試函數(shù)上的IGD性能統(tǒng)計(jì)

Table2ComparisonofIGDperformanceofthreealgorithmsonfourtestfunctions

測試函數(shù)P?GAPESA2SPEA2KURMean2．42×10-42．31×10-47．31×10-3Std．1．58×10-61．50×10-61．01×10-3ZDT1Mean1．45×10-45．03×10-38．91×10-3Std．5．92×10-77．10×10-41．12×10-3ZDT2Mean3．20×10-44．34×10-38．72×10-3Std．2．88×10-66．84×10-41．01×10-3ZDT3Mean2．58×10-52．55×10-53．02×10-5Std．1．83×10-81．82×10-82．12×10-8

從表2中可以看出，在KUR測試函數(shù)上，PESA2算法取得了最好的效果，但P-GA算法獲得統(tǒng)計(jì)結(jié)果與其相差無幾，SPEA2算法表現(xiàn)最差；P-GA在ZDT1和ZDT2測試函數(shù)上獲得的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)明顯好于其他兩個(gè)算法；3種算法在ZDT3測試函數(shù)上IGD均值和標(biāo)準(zhǔn)差結(jié)果相近。最后需要強(qiáng)調(diào)的是，仿真實(shí)驗(yàn)表明在算法流程迭代次數(shù)超過2 000次以后，3種算法在測試函數(shù)上取得的IGD指標(biāo)基本一致，在此就不去列舉了。

4 結(jié)束語

本文提出了一種基于膜系統(tǒng)下的一種多目標(biāo)優(yōu)化算法——P-GA算法，該算法將膜計(jì)算相關(guān)理論引入，并采用了遺傳算法中的交叉與變異機(jī)制來增加算法適應(yīng)能力。仿真實(shí)驗(yàn)表明，該算法有精度高、收斂速度快、分布較為均勻等優(yōu)點(diǎn)。此外，膜優(yōu)化算法的本質(zhì)具有分布式和并行計(jì)算的執(zhí)行邏輯，但目前的研究仍局限于串行的工作方式，這也是不足之處。因此，如何實(shí)現(xiàn)算法的并行優(yōu)化計(jì)算，也是下一步研究的重點(diǎn)內(nèi)容和方向。

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屠傳運(yùn)，男，1992年生，碩士研究生，主要研究方向?yàn)槎嗄繕?biāo)優(yōu)化、膜計(jì)算。

陳韜偉，男，1972年生，副教授，博士，主要研究方向?yàn)橹悄苄畔⑻幚?、雷達(dá)信號處理及電子商務(wù)。主持并參與多項(xiàng)國家級課題，發(fā)表學(xué)術(shù)論文多篇，其中被SCI、EI檢索10余篇。

余益民，男，1968年生，副教授，博士，主要研究方向?yàn)榭缇畴娮由虅?wù)、能源互聯(lián)網(wǎng)及數(shù)據(jù)挖掘技術(shù)。主持參與多項(xiàng)國家級課題，發(fā)表學(xué)術(shù)論文30余篇，被SCI、EI檢索10余篇。

Multi-objectiveoptimizationalgorithmbasedonmembranesystem

TU Chuanyun， CHEN Taowei， YU Yimin， ZHAO Kun

(College of Information, Yunnan University of Finance and Economics, Kunming 650221, China )

In this paper, we propose a multi-objective optimization algorithm based on the theory of membrane optimization. Inspired by membrane computing, this algorithm combines membrane structure, multiple sets, and reaction rules to solve multi-objective optimization problems. We employ the crossover and mutation mechanism in this genetic algorithm to enhance its adaptability. We also introduce an external archive set into the membrane and design a non-dominated sorting and crowding distance method to improve the diversity of the global search solution and thereby update the introduced archive. We used multi-objective problems including KUR and ZDT to evaluate the performance of our proposed algorithm. Our results show that the non-dominated solution set derived from the proposed algorithm can better approach the real Pareto front, which confirms that the proposed algorithm is feasible and effective in solving multi-objective optimization problems.

membrane computing; multi-objective optimization; genetic algorithm; external archive set; non-dominated sorting; crowding distance; non-dominated solution set; Pareto front

10.11992/tis.201706013

http://kns.cnki.net/kcms/detail/23.1538.TP.20171021.1351.016.html

TP301

A

1673-4785(2017)05-0678-06

中文引用格式：屠傳運(yùn)，陳韜偉，余益民，等.膜系統(tǒng)下的一種多目標(biāo)優(yōu)化算法J.智能系統(tǒng)學(xué)報(bào)， 2017, 12(5): 678-683.

英文引用格式：TUChuanyun，CHENTaowei，YUYimin，etal.Multi-objectiveoptimizationalgorithmbasedonmembranesystemJ.CAAItransactionsonintelligentsystems, 2017, 12(5): 678-683.

2017-06-06. < class="emphasis_bold">網(wǎng)絡(luò)出版日期

日期：2017-10-21.

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(61461051，71462036)；云南省教育廳一般項(xiàng)目(2015Y278).

陳韜偉.E-mail：cctw33@126.com.