■河南師范大學(xué)附屬中學(xué) 劉長杰

編者的話:“經(jīng)典題突破方法”欄目里例、習(xí)題選名校模擬題或三年高考真題,推出本欄目的主要目的是讓同學(xué)們更好地領(lǐng)悟數(shù)學(xué)解題思想方法,通過多解多變培養(yǎng)同學(xué)們多思多想的好習(xí)慣。學(xué)會解題反思,無疑是同學(xué)們學(xué)習(xí)的一條捷徑,愿同學(xué)們不斷在反思中進(jìn)步,在反思中收獲!

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)離不開解題,解題時要善于從多角度審視和分析問題,不斷開發(fā)解題潛能,進(jìn)而提高解決綜合問題的能力。下面是一道平面向量的數(shù)量積的綜合問題,筆者變換角度給出三種解法,供同學(xué)們學(xué)習(xí)時參考。

【考點定位】本題是平面向量問題,考查學(xué)生對于平面向量數(shù)量積知識的理解。其中包含動點問題,考查同學(xué)們對最值求法的掌握情況。

【考查意圖】本題考查平面向量的線性運(yùn)算、數(shù)量積運(yùn)算等基礎(chǔ)知識,考查數(shù)形結(jié)合思想,考查運(yùn)算求解能力。

分析1:利用一組基底表示所有向量,利用向量數(shù)量積的定義來計算。

分析2:建立平面直角坐標(biāo)系,利用坐標(biāo)研究向量的數(shù)量積。

解法2:如圖2所示,以點D為坐標(biāo)原點,直線DC,DA分別為x軸,y軸,建立平

【名師點睛】對向量的數(shù)量積問題,我們常采用三種處理方法:

(1)向量運(yùn)算。選擇一組基底,用向量的線性運(yùn)算表示所有向量;再利用向量數(shù)量積的定義來計算。這種方法技巧性較強(qiáng),并且有時運(yùn)算量較大。

(2)坐標(biāo)運(yùn)算。把向量的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運(yùn)算,即向量問題代數(shù)化。這需要建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,并且要有一定的代數(shù)變形能力。

(3)幾何運(yùn)算。根據(jù)向量的幾何意義,把向量的運(yùn)算結(jié)果轉(zhuǎn)化為幾何圖形的特征,即向量問題圖形化。這種方法綜合性較強(qiáng)。

【復(fù)習(xí)建議】一道向量問題,通過多角度的認(rèn)識,使思維的方法與知識的應(yīng)用各不相同。一題多思,有益于知識的對比,更有利于思維批判性的養(yǎng)成。在平時的復(fù)習(xí)備考中,同學(xué)們要加強(qiáng)這方面的訓(xùn)練。

跟蹤練習(xí):如圖4所示,圓O的半徑為3,單位向量e所在的直線與圓相切于點A,B是圓上的動點,則e·的最大值為____。

【審題方法】此問題是向量數(shù)量積的綜合應(yīng)用,可以采用例題的解法來嘗試解決。

【解題思路】利用向量數(shù)量積的定義結(jié)合三角變換來計算,也可把向量的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運(yùn)算,還可以利用投影來計算。

圖4

圖5

解法2:如圖6所示,以O(shè)為坐標(biāo)原點,直線OA為x軸,過點O且與直線OA垂直的直線為y軸,建立平面直角坐標(biāo)系,則A(3,0)。設(shè)B(x,y)(-3≤x≤3,-3≤y≤3),則=(x-3,y)。設(shè)e,由e =1,知 D(3,1),則=(0,1)。所以=0×(x-3)+1×y=y≤3,即的最大值為3。

圖6

圖7

高考數(shù)學(xué)試題愈來愈注重對學(xué)生綜合能力的考查。在學(xué)習(xí)中有意識地進(jìn)行一題多解的訓(xùn)練,會不斷優(yōu)化同學(xué)們的思維品質(zhì),培養(yǎng)同學(xué)們的發(fā)散思維,提高同學(xué)們的創(chuàng)新能力,促進(jìn)知識的融會貫通。在平時的學(xué)習(xí)過程中,大家一定要加強(qiáng)這方面的訓(xùn)練,從而提升自身的數(shù)學(xué)素養(yǎng)與解題水平。