三角、向量是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，也是歷年高考考查的熱點(diǎn)之一.由于三角函數(shù)和平面向量的知識(shí)具有公式繁多、性質(zhì)獨(dú)特、變化靈活、滲透性強(qiáng)等特點(diǎn)，使解決三角函數(shù)和平面向量問(wèn)題較其他的代數(shù)問(wèn)題更趨于隱蔽，解題的過(guò)程有更多陷阱，解題的思維更需慎密.因此，解題時(shí)稍有不慎，往往會(huì)出現(xiàn)增解、漏解，甚至錯(cuò)解的現(xiàn)象.本文結(jié)合具體實(shí)例剖析解決三角函數(shù)和平面向量問(wèn)題時(shí)常見(jiàn)的錯(cuò)誤情況，供同學(xué)們參考.

一、三角函數(shù)易錯(cuò)點(diǎn)

1.忽視三角函數(shù)的定義域而致錯(cuò)

例1求函數(shù)f（x）=sinxcosx1+sinx+cosx的遞增區(qū)間.

錯(cuò)解：設(shè)t=sinx+cosx，則sinxcosx=t2-12，于是

f（x）=t2-12（1+t）=t-12=sinx+cosx-12

=22sin（x+π4）-12.

由2kπ-π2≤x+π4≤2kπ+π2，

解得函數(shù)f（x）遞增區(qū)間為

[2kπ-3π4，2kπ+π4]（k∈Z）.

錯(cuò)因剖析：上述解法忽略了函數(shù)的定義域.因?yàn)轭}目中分母不能為零，即1+sinx+cosx≠02sin（x+π4）≠-1x≠2kπ-π2且x≠2kπ-π.

所以函數(shù)f（x）遞增區(qū)間為[2kπ-3π4，2kπ-π2）及（2kπ-π2，2kπ+π4]（k∈Z）.

從以上例題可以看出在解分母中含三角函數(shù)問(wèn)題，特別是變形時(shí)分母發(fā)生變化后一定要注意函數(shù)的定義域，所求解是不是符合原函數(shù)的定義域.

2.忽視三角函數(shù)的有界性而致錯(cuò)

例2已知sin2α+sin2β+cos（α-β）=2，求sinα+sinβ的取值范圍.

錯(cuò)解：令t=sinα+sinβ，則t2=sin2α+sin2β+2sinαsinβ①

又sin2α+sin2β+cos（α-β）=2②，

由①②得：t2=2sinαsinβ-cos（α-β）+2

=-cos（α+β）+2，

∴1≤t2≤3，∴-3≤t≤-1或1≤t≤3.

錯(cuò)因剖析：由已知

cos（α-β）=2-sin2α-sin2β

=2-1-cos2α2-1-cos2β2

=1+12（cos2α+cos2β）

=1+12{cos[（α+β）+（α-β）]+cos[（α+β）-（α-β）]}

=1+12[cos（α+β）cos（α-β）-sin（α+β）sin（α-β）+cos（α+β）cos（α-β）+sin（α+β）sin（α-β）]

=1+cos（α+β）cos（α-β），

∴cos（α-β）[1-cos（α+β）]=1，

∵1-cos（α+β）≥0，∴0

∴1-cos（α+β）≥1，-1≤cos（α+β）≤0，

∴t2=2-cos（α+β）∈[2，3]，

∴-3≤t≤-2或2≤t≤3.

本題在條件中隱含了-1≤cos（α+β）≤0，故在三角變形中不挖掘出這個(gè)條件就會(huì)造成錯(cuò)誤.

3.忽視三角函數(shù)的單調(diào)性而致錯(cuò)

例3已知α，β∈（0，π2），且cosα=55，cosβ=1010，求α+β的值.

錯(cuò)解：∵α，β∈（0，π2），且cosα=55，cosβ=1010，故sinα=255，sinβ=31010，

又∵sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ=255×1010+55×31010=22.

由α，β∈（0，π2）知α+β∈（0，π），所以α+β=π4或α+β=3π4.

錯(cuò)因剖析：由于正弦值為22的角在（0，π）上不唯一，才造成兩解.正確的解法是取余弦，因?yàn)橛嘞液瘮?shù)在（0，π）上是單調(diào)遞減的，這樣才不會(huì)擴(kuò)大解集.

因?yàn)閏os（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ=55×1010-255×31010=-22.由α+β∈（0，π），且余弦函數(shù)在（0，π）上是單調(diào)遞減，所以α+β=3π4.

4.忽視條件等式對(duì)三角函數(shù)的角或值的制約而致錯(cuò)

例4設(shè)θ是第二象限角，且cosθ2-sinθ2=13，求cosθ2+sinθ2的值.

錯(cuò)解：∵θ是第二象限角，∴2kπ+π2<θ<2kπ+π（k∈Z），∴kπ+π4<θ2

錯(cuò)因剖析1：有些同學(xué)認(rèn)為θ是第二象限角，則θ2必為第一象限角，從而未討論θ2在第三象限時(shí)的情況.又∵cosθ2-sinθ2=13>0，∴cosθ2>sinθ2，∴2kπ+54π<θ2<2kπ+32π（k∈Z），

∴cosθ2<0，sinθ2<0，將cosθ2-sinθ2=13平方得：1-2sinθ2cosθ2=19，∴2sinθ2cosθ2=89，∴（cosθ2+sinθ2）2=1+2sinθ2cosθ2=179，∴cosθ2+sinθ2=-173.

錯(cuò)因剖析2：如果在前面誤認(rèn)為θ2只能為第一象限角，則就會(huì)得出cosθ2+sinθ2=173的錯(cuò)誤，如果得2kπ+π4<θ2<2kπ+π2或2kπ+54π<θ2<2kπ+32π（k∈Z），而不從三角函數(shù)等式中推出隱含條件cosθ2<0，sinθ2<0，則會(huì)導(dǎo)致產(chǎn)生cosθ2+sinθ2=±173的錯(cuò)誤.

5.忽視三角形中邊角的關(guān)系而致錯(cuò)

例5在△ABC中，已知cosA=513，sinB=35，求cosC的值.

錯(cuò)解：因?yàn)锳，B，C是三角形的內(nèi)角，由cosA=513，可得sinA=1213；由sinB=35，可得cosB=±45，∴cosC=-cos（A+B）=-cosAcosB+sinAsinB=1665或5665.

錯(cuò)因剖析：因?yàn)锳，B，C是三角形的內(nèi)角，所以0

本題也可以由cosA=513，A∈（0，π）得到sinA=1213，∵sinA>sinB，由正弦定理得asinA=bsinB得到a>b再由三角形中大邊對(duì)大角得A>B，∴B必為銳角，cosB=45得cosC=1665.

6.忽視換元前后變量范圍的區(qū)別而致錯(cuò)

例6求函數(shù)y=sinxcosx+sinx-cosx（x∈R）的值域.

錯(cuò)解：令sinx-cosx=t，則由（sinx-cosx）2=1-2sinxcosx=t2，得：sinxcosx=1-t22，所以y=1-t22+t=-12（t-1）2+1，因?yàn)閠∈R，所以y∈（-∞，1].

錯(cuò)因剖析：上述錯(cuò)解在于忽略了t的正確范圍.因sinx-cosx=t=2sin（x-π4）∈[-2，2]，

所以當(dāng)t=-2時(shí)，ymin=-2-12；當(dāng)t=1時(shí)，ymax=1.

故函數(shù)y=sinxcosx+sinx-cosx的值域?yàn)閇-2-12，1].

7.忽視由給定三角函數(shù)值縮小相關(guān)角的范圍而致錯(cuò)

例7已知tan（α-β）=12，tanβ=-17，且α，β∈（0，π），求2α-β的值.

錯(cuò)解：tan2（α-β）=2tan（α-β）1-tan2（α-β）=11-14=43，又2α-β=2（α-β）+β，所以

tan（2α-β）=tan2（α-β）+tanβ1-tan2（α-β）tanβ=43-171+43×17=1.由α，β∈（0，π），得2α-β∈（-π，2π），

所以2α-β=-34π或π4或5π4.

錯(cuò)因剖析：這是同學(xué)們解答時(shí)常見(jiàn)的典型錯(cuò)誤，實(shí)際上，由tanβ=-17>-33，可得β∈（56π，π），又由tanα=tan[（α-β）+β]=13<33，可得α∈（0，π6），忽視了這個(gè)隱含條件，才會(huì)出現(xiàn)上面解答中2α-β的過(guò)大范圍.只有通過(guò)題給條件，把角的范圍縮小到盡可能小的范圍，才能使角的功能突出，從而避免錯(cuò)誤.由α∈（0，π6）且β∈（56π，π），得2α-β∈（-π，-π2），故2α-β=-34π.

8.忽視變形式子對(duì)變量范圍的制約而致錯(cuò)

例8已知sin2x和sinx分別是sinθ和cosθ的等差中項(xiàng)與等比中項(xiàng)，求cos2x的值.

錯(cuò)解：由題設(shè)得sin2x=sinθ+cosθ2（1）sin2x=sinθcosθ（2），

將（1）平方，得：sin22x=1+2sinθcosθ4

=1+2sin2x4，∴4sin22x=1+2sin2x4（1-cos22x）=1+（1-cos2x），

即4cos22x-cos2x-2=0，解得cos2x=1+338或cos2x=1-338.

錯(cuò)因剖析：從計(jì)算過(guò)程來(lái)看感覺(jué)推理合理，條理清晰，結(jié)論也正確，因?yàn)?1<1±338<1，容易讓人誤認(rèn)為兩個(gè)結(jié)論都正確.實(shí)際上在題設(shè)（1）和（2）中，都隱含了角θ和x的范圍.

∵（1），（2）可寫(xiě)為sin2x=22sin（π4+θ）sin2x=12sin2θ，

∴sin2θ=2sin2x≥0，

∴2kπ≤2θ≤2kπ+π（k∈Z），即kπ≤θ≤kπ+π2（k∈Z），故kπ+π4≤θ+π4≤kπ+34π（k∈Z），由正弦函數(shù)的圖象可得22≤|sin（θ+π4）|≤1，即12≤|sin2x|≤22，∴22≤|cos2x|≤32，故cos2x=1-338不符合條件，即cos2x=1+338.

9.忽視題設(shè)條件而致錯(cuò)

例9已知銳角△ABC中，sin（A+B）=35，sin（A-B）=15.

（1）求證：tanA=2tanB；

（2）設(shè)AB=3，求AB邊上的高.

錯(cuò)解：（1）略，（2）由（1）易得：cosAsinB=15，作AB邊上的高CD，設(shè)CD=h，則有

tanA=hAD，tanB=hBD，所以AC=1+h2，BC=4+h2，即cosA=11+h2，sinB=h4+h2，代入cosAsinB=15，得h4-20h2+4=0，解得：h2=10±46，即h=6±2.

錯(cuò)因剖析：錯(cuò)解中未注意到題設(shè)條件中的銳角△ABC，實(shí)際上，當(dāng)h=6-2時(shí)，tanA=h=6-2<1，則A<π4，又Bπ2，這與題設(shè)條件中的銳角△ABC矛盾，故舍去，即h=6+2.

二、平面向量易錯(cuò)點(diǎn)

1.忽略共線(xiàn)向量致誤

例10已知同一平面上的向量a、b、c兩兩所成的角相等，并且|a|=1，|b|=2，|c|=3，求向量a+b+c的長(zhǎng)度.

錯(cuò)解：易知a、b、c皆為非零向量，設(shè)a、b、c所成的角均為θ，則3θ=360°，即θ=120°，所以，a·b=|a|·|b|cos120°=-1，同理b·c=-3，c·a=-32，由|a+b+c|2=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2c·a=3，故|a+b+c|=3.

剖析：本例誤以為a、b、c皆為非共線(xiàn)向量，而當(dāng)向量a、b、c共線(xiàn)且同向時(shí)，所成的角也相等均為0°，符合題意.

正解：（1）當(dāng)向量a、b、c共線(xiàn)且同向時(shí)，所成的角均為0°，所以|a+b+c|=|a|+|b|+|c|=6；

（2）當(dāng)向量a、b、c不共線(xiàn)時(shí)，同錯(cuò)解.

綜上所述，向量a+b+c的長(zhǎng)度為6或3.

2.忽視兩向量夾角的意義致誤

例11正△ABC的邊長(zhǎng)為1，且BC=a，CA=b，AB=c，求|a+b+c|的值.

錯(cuò)解：由于正△ABC的邊長(zhǎng)為1，所以，∠A=∠B=∠C=60°且|a|=|b|=|c|=1，

所以，a·b=|a|·|b|cos∠C=12，同理可得b·c=12，c·a=12，

由|a+b+c|2=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2c·a=6，故|a+b+c|=6.

剖析：本題誤以為a與b的夾角為∠BCA.事實(shí)上，兩向量的夾角應(yīng)為平面上同一起點(diǎn)表示向量的兩條有向線(xiàn)段之間的夾角，范圍是[0°，180°]，因此，a與b的夾角應(yīng)為180°-∠BCA.

正解：作CD=BC，a與b的夾角即BC與CA的夾角為180°-∠BCA=120°，所以，a·b=|a|·|b|cos120°=-12，同理可得b·c=-12，c·a=-12，

由|a+b+c|2=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2c·a=0，故|a+b+c|=0.

3.忽視等價(jià)條件致誤

例12已知a=（1，3），b=（2，λ），設(shè)a與b的夾角為θ，要使θ為銳角，求λ的取值范圍.

錯(cuò)解：因?yàn)棣葹殇J角，所以cosθ>0，由a·b=|a|·|b|cosθ知，只須a·b>0，即1·2+3·λ>0，即λ>-23.

剖析：本題誤以為兩非零向量a與b的夾角為銳角的等價(jià)條件是a·b>0，事實(shí)上，兩向量的夾角θ∈[0，π]，當(dāng)θ=0時(shí)，有cosθ=1>0，對(duì)于非零向量a與b仍有a·b>0，因此，a·b>0與兩非零向量a與b的夾角為銳角不等價(jià).即有如下結(jié)論：兩非零向量a與b的夾角為銳角的充要條件是a·b>0且a不平行于b.

正解：由θ為銳角，得cosθ>0且θ≠0，由a·b=|a|·|b|cosθ，而|a|、|b|恒大于0，所以a·b>0，1·2+3·λ>0，即λ>-23；若a平行b則1·λ-2·3=0即λ=6，但若a平行b則θ=0或θ=π，與θ為銳角相矛盾，所以λ≠6；

綜上，λ>-23且λ≠6.

4.忽視向量的特性致誤

例13已知a、b都是非零向量，且向量a+3b與7a-5b垂直，向量a-4b與7a-2b垂直，求向量a與b的夾角.

錯(cuò)解：由題意得（a+3b）·（7a-5b）=0（a-4b）（7a-2b）=0，

即7a2+16a·b-15b2=07a2-30a·b+8b2=0，兩式相減得46a·b-23b2=0，即b·（2a-b）=0，所以，b=0（不合題意舍去）或2a-b=0，由2a-b=0知a與b同向，故向量a與b的夾角為0°.

剖析：本題誤用實(shí)數(shù)的性質(zhì)，即實(shí)數(shù)a、b若滿(mǎn)足ab=0則必有a=0或b=0，但對(duì)于向量a、b若滿(mǎn)足a·b=0則不一定有a=0或b=0，因?yàn)橛蒩·b=|a|·|b|cosθ知與θ有關(guān)，當(dāng)θ=90°時(shí)，a·b=0恒成立，此時(shí)a、b均可以不為0.

正解：由前知b2=2a·b代入7a2+16a·b-15b2=0得a2=2a·b，所以，a2=b2=2a·b，故cosθ=a·b|a|·|b|=12|a2||a|2=12.

上面我們揭示了三角函數(shù)和平面向量中常見(jiàn)可能出錯(cuò)的情況，在實(shí)際解題時(shí)，這些方法既可以單獨(dú)運(yùn)用，也可以結(jié)合在一起綜合運(yùn)用，只有這樣，才能收到良好的效果.培養(yǎng)同學(xué)們挖掘隱含條件的能力，對(duì)加深理解知識(shí)，提高解題能力，培養(yǎng)思維有積極意義.

（作者：殷高榮，如皋市教育局教研室）endprint