在處理平面向量問題時(shí)，若幾何圖形特殊（如正方形，等邊三角形等），易于建系并寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，則考慮將向量坐標(biāo)化，一旦所求向量用坐標(biāo)表示，則問題往往迎刃而解.

常見的可考慮建系的圖形：關(guān)于向量問題，一旦建立坐標(biāo)系并成功寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，則問題常常迎刃而解.但難點(diǎn)是如何甄別一道題適合使用建系的方法求解.如果你遇到以下圖形，則可嘗試建系的方法，看能否把問題解決.

1.具備對(duì)稱性質(zhì)的圖形：長(zhǎng)方形，正方形，等邊三角形，圓形.

2.帶有直角的圖形：直角梯形，直角三角形.

3.具備特殊角度的圖形（30°，45°，60°，120°等）.

例1（2017年高考課標(biāo)II，理12）已知△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，P為平面ABC內(nèi)一點(diǎn)，則PA·（PB+PC）的最小值是.

解析：以BC為x軸，BC的垂直平分線AD為y軸，D為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則A（0，3），B（-1，0），C（1，0），

設(shè)P（x，y），所以PA=（-x，3-y），PB=（-1-x，-y），PC=（1-x，-y），

所以PB+PC=（-2x，-2y），

PA·（PB+PC）=2x2-2y（3-y）

=2x2+2（y-32）2-32≥-32，

當(dāng)P（0，32）時(shí)，所求的最小值為-32.

點(diǎn)評(píng)：平面向量中有關(guān)最值問題的求解通常有兩種思路：一是“形化”，即利用平面向量的幾何意義將問題轉(zhuǎn)化為平面幾何中的最值或范圍問題，然后根據(jù)平面圖形的特征直接進(jìn)行判斷；二是“數(shù)化”，即利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，把問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)中的函數(shù)最值與值域、不等式的解集、方程有解等問題，然后利用函數(shù)、不等式、方程的有關(guān)知識(shí)來解決.

例2（2016年高考四川理數(shù)）在平面內(nèi)，定點(diǎn)A，B，C，D滿足|DA|=|DB|=|DC|，DA·DB=DB·DC=DC·DA=-2，動(dòng)點(diǎn)P，M滿足|AP|=1，PM=MC，則|BM|2的最大值是.

解析：由已知易得∠ADC=∠ADB=∠BDC=120°，|DA|=|DB|=|DC|=2.則A、B、C在以D為原點(diǎn)，直線DA為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，則A（2，0），B（-1，-3），C（-1，3）.

設(shè)P（x，y），由已知|AP|=1，得（x-2）2+y2=1，又PM=MC，

∴M（x-12，y+32），∴BM=（x+12，y+332），

∴|BM|2=（x+1）2+（y+33）24，它表示圓（x-2）2+y2=1上點(diǎn)（x，y）與點(diǎn)（-1，-33）距離平方的14（如圖），

∴（|BM|2）max=14（32+（-33）2+1）2=494.

點(diǎn)評(píng)：本題考查平面向量的數(shù)量積與向量的模，合理地應(yīng)用圓的定義是解題關(guān)鍵.由于結(jié)論是要求向量模的平方的最大值，因此我們要把它用一個(gè)參數(shù)表示出來，解題時(shí)首先對(duì)條件進(jìn)行化簡(jiǎn)變形，本題中得出∠ADC=∠ADB=∠BDC=120°，且|DA|=|DB|=|DC|=2，因此我們采用解析法，即建立直角坐標(biāo)系，寫出A，B，C，D坐標(biāo)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是圓，|BM|2=（x+1）2+（y+33）24，因此可用圓的性質(zhì)得出最值.

例3已知AC、CE為正六邊形ABCDEF的兩條對(duì)角線，點(diǎn)M，N分別在線段AC、CE上，且使得AM=rAC，CN=rCE，如果B，M，N三點(diǎn)共線，則r的值為.

解析：由題意得，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，設(shè)正六邊形的邊長(zhǎng)為2，則A（0，0），B（2，0），C（3，3），E（0，23），則AB=（2，0），BC=（1，3），AC=（3，3），CE=（-3，3），因?yàn)锳M=rAC，CN=rCE，則AM=（3r，3r），CN=（-3r，3r），

所以BN=BC+CN=（1，3）+（-3r，3r）=（1-3r，3+3r），

BM=BA+AM=（-2，0）+（3r，3r）=（3r-2，3r），

因?yàn)锽，M，N三點(diǎn)共線，所以BN=λBM，即（1-3r，3+3r）=λ（3r-2，3r），

所以1-3r=λ（3r-2）3+3r=λ3r，解得r=33.

點(diǎn)評(píng)：A，B，C三點(diǎn)共線問題是常用兩種處理：（1）轉(zhuǎn)化兩個(gè)向量的線性關(guān)系，利用共線定理建立方程（組）來處理相關(guān)問題；（2）在平面另取一點(diǎn)O，處理為OA=xOB+yOC（x+y=1）.

例4（2013年重慶高考）在平面上，AB1⊥AB2，|OB1|=|OB2|=1，AP=AB1+AB2，若|OP|<12，則|OA|的取值范圍是.

分析：以AB1⊥AB2為入手點(diǎn)，考慮利用坐標(biāo)系求解，題目中|AB1|，|AB2|和O點(diǎn)坐標(biāo)均未知，為了能夠進(jìn)行坐標(biāo)運(yùn)算，將其用字母表示：設(shè)|AB1|=a，|AB2|=b，O（x，y），則B1（a，0），B2（0，b），P（a，b），所求|OA|范圍即為求x2+y2的范圍.下一步將題目的模長(zhǎng)翻譯成a，b，x，y關(guān)系，再尋找關(guān)于x2+y2的不等關(guān)系即可.

解：如圖以AB1，AB2為軸建立坐標(biāo)系：設(shè)|AB1|=a，|AB2|=b，O（x，y），

則B1（a，0），B2（0，b），P（a，b），

∴|OB1|=|OB2|=1|OB1|2=|OB2|2=1（a-x）2+y2=1x2+（y-b）2=1①

|OP|<12|OP|2<14（x-a）2+（y-b）2<14②

與①聯(lián)系可得：

（a-x）2+y2=1x2+（y-b）2=1（a-x）2=1-y2（y-b）2=1-x2，

所以②轉(zhuǎn)變?yōu)椋?/p>

1-y2+1-x2<14，即x2+y2>74，endprint

另一方面：（a-x）2+y2=1x2+y2-2ax+a2=1，

∴x2+y2+a2=1+2ax，∵2ax≤a2+x2，

∴x2+y2+a2≤1+a2+x2y2≤1，

同理，由x2+（y-b）2=1可得：x2≤1，

∴x2+y2≤2.

綜上所述：74

則72

點(diǎn)評(píng)：（1）本題涉及到的點(diǎn)與線段較多，所以難點(diǎn)一方面在于是否能夠想到建系去處理，還有一方面在于選擇哪兩條線作為坐標(biāo)軸.也許有同學(xué)會(huì)從|OB1|=|OB2|=1入手，選擇O為坐標(biāo)原點(diǎn)，這樣B1，B2在以原點(diǎn)為圓心的單位圓上，且所求|OA|只需計(jì)算出A的坐標(biāo)即可.但這種選法繼續(xù)做下去會(huì)發(fā)現(xiàn)，首先B1，B2在圓上的位置不確定，坐標(biāo)不易寫出，其次無法定位A，P，從而使得條件|OP|<12不便于使用.所以這種建系的方法在解題過程中障礙重重，不利于求解.而利用現(xiàn)有的垂直建系，會(huì)使得A，B1，B2的坐標(biāo)易于表示，進(jìn)而求出P坐標(biāo)，只剩一個(gè)不好表示的O點(diǎn)，難度明顯低于前一種建系方法.

（2）在坐標(biāo)系建好之后，說明此題主流的解法是用變量，表達(dá)式去解決，所以下一步就要將題目中的條件翻譯成代數(shù)的關(guān)系.正所謂“數(shù)形結(jié)合”時(shí)，如果用到的是形，那么就將代數(shù)條件翻譯成幾何特點(diǎn)，如果用到的是數(shù)，那就要將幾何條件翻譯成代數(shù)的特點(diǎn).所以在“數(shù)形結(jié)合”方法中“翻譯”的步驟是必不可少的.

例5已知單位向量a，b，若a⊥b，且|c-a|+|c-2b|=5，則|c+2a|的取值范圍是.

解析：由題設(shè)單位向量a=（1，0），b=（0，1），c=（x，y），∴c-a=（x-1，y），c-2b=（x，y-2），

∴（x-1）2+y2+x2+（y-2）2=5，即（x，y）到A（1，0）和B（0，2）的距離和為5，即表示點(diǎn)（1，0）和（0，2）之間的線段，|c+2a|=（x+2）2+y2，表示（-2，0）到線段AB上點(diǎn)的距離，最小值是點(diǎn)（-2，0）到直線2x+y-2=0的距離|c+2a|min=65=655，最大值為（-2，0）到（1，0）的距離是3，所以|c+2a|的取值范圍是[655，3].

點(diǎn)評(píng)：此類題型通常是給出向量的非坐標(biāo)形式，根據(jù)條件中的向量垂直關(guān)系求其他向量的模，通常有兩種解法：（1）根據(jù)向量的垂直條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于所求向量的模的等式，然后通過解方程求得結(jié)果；（2）如果條件中給出的向量比較特殊，可以考慮構(gòu)造特殊的向量，特別設(shè)為具有坐標(biāo)的向量，轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算來求解.

（作者：石寰宇，江蘇省如皋中學(xué)）