廣東工業(yè)大學(xué) 余 章

基于微分平滑的欠驅(qū)動(dòng)無人地面車輛的軌跡跟蹤控制

廣東工業(yè)大學(xué) 余 章

本文針對(duì)具有非完整約束的欠驅(qū)動(dòng)無人地面車輛（Unmanned Ground Vehicle，UGV）的軌跡跟蹤控制問題進(jìn)行了探討。通過分析系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)模型證明了欠驅(qū)動(dòng)UGV是微分平滑的。采用微分平滑理論設(shè)計(jì)了欠驅(qū)動(dòng)UGV的一個(gè)參考軌跡。然后推導(dǎo)了使該參考軌跡的跟蹤誤差漸近收斂的控制律。最后通過仿真試驗(yàn)驗(yàn)證了文中方法的有效性。

欠驅(qū)動(dòng)UGV；微分平滑；軌跡跟蹤

引言

無人地面車輛（Unmanned Ground Vehicle，UGV）是一種可以自動(dòng)行駛并且攜帶工作載荷的地面移動(dòng)平臺(tái)，能夠按照預(yù)先選擇的參考軌跡行駛到復(fù)雜或危險(xiǎn)的地方，從而可以執(zhí)行特定的任務(wù)。其特點(diǎn)是集環(huán)境感知、動(dòng)態(tài)決策和規(guī)劃、行為控制與執(zhí)行等多種功能于一體。目前，無人地面車輛（UGV）已經(jīng)廣泛應(yīng)用于生產(chǎn)生活的諸多領(lǐng)域，以幫助人們處理一些繁重的或危險(xiǎn)的工作，如核電站災(zāi)難發(fā)生后的搜索無人地面車輛[1]。

由于UGV只有2個(gè)控制輸入，但是它的平面運(yùn)動(dòng)具有3個(gè)自由度，因此UGV的軌跡跟蹤控制具有欠驅(qū)動(dòng)特性。欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的控制特點(diǎn)是可用較少的輸入來控制其在相對(duì)維數(shù)較高的廣義坐標(biāo)空間內(nèi)的運(yùn)動(dòng)。欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)在減輕重量、降低造價(jià)、節(jié)約能量以及增強(qiáng)系統(tǒng)靈活性等方面有其獨(dú)特的地方。

不同于全驅(qū)動(dòng)控制，在欠驅(qū)動(dòng)控制下不是所有運(yùn)動(dòng)軌跡都是可行的。Fliess和Levine等在文獻(xiàn)[2]中提出了微分平滑的概念。微分平滑系統(tǒng)對(duì)于規(guī)劃可行的參考軌跡很有作用，因?yàn)槿绻钠交敵鲆阎?，則可以先在輸出空間中進(jìn)行軌跡規(guī)劃，然后將可行軌跡通過代數(shù)運(yùn)算映射到適當(dāng)?shù)妮斎肟臻g，再設(shè)計(jì)合理的軌跡跟蹤控制律來達(dá)到這個(gè)軌跡的跟蹤。后面將探討欠驅(qū)動(dòng)UGV系統(tǒng)的平滑性及其平滑輸出，并利用微分平滑理論來得到欠驅(qū)動(dòng)UGV的一個(gè)位姿參考軌跡。

滑?？刂凭哂挟?dāng)系統(tǒng)進(jìn)入滑動(dòng)模態(tài)后對(duì)系統(tǒng)參數(shù)變化和外界干擾不敏感的優(yōu)良特性，且控制器的設(shè)計(jì)過程簡(jiǎn)潔，算法的運(yùn)算量小，因此將被應(yīng)用于后文的軌跡跟蹤控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)中。

1 無人地面車輛（UGV）的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型

圖1 UGV的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型

本文將以圖所示中的具有非完整約束的UGV為研究對(duì)象，該UGV有左右兩個(gè)驅(qū)動(dòng)輪，以及一個(gè)起支撐作用的萬向隨動(dòng)輪。兩個(gè)驅(qū)動(dòng)輪各由一個(gè)電機(jī)來驅(qū)動(dòng)，如果兩個(gè)電機(jī)的轉(zhuǎn)速不同，則兩個(gè)輪子會(huì)產(chǎn)生“差動(dòng)”，從而可實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)彎。由于萬向隨動(dòng)輪只起支撐作用，既不掌舵也不產(chǎn)生推進(jìn)力，因此在計(jì)算UGV運(yùn)動(dòng)學(xué)方程時(shí)萬向隨動(dòng)輪可以被忽略，不會(huì)影響運(yùn)動(dòng)學(xué)方程。

該UGV的控制輸入為線速度υ和角速度ω，其狀態(tài)由左右兩個(gè)驅(qū)動(dòng)輪的軸中點(diǎn)M（假設(shè)此點(diǎn)是UGV的中心）在慣性坐標(biāo)系中的坐標(biāo)位置(x, y)及姿態(tài)角θ來表示，其中姿態(tài)角為UGV的前進(jìn)方向與X軸的夾角。

下面給出欠驅(qū)動(dòng)UGV的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程如下[3]：

由該運(yùn)動(dòng)學(xué)方程可見，具有非完整約束的UGV的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型共有2個(gè)控制輸入（υ和ω），3個(gè)狀態(tài)輸出（x、y和θ），故該模型為欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，可實(shí)現(xiàn)2個(gè)狀態(tài)的主動(dòng)跟蹤，剩下的1個(gè)狀態(tài)則隨動(dòng)或鎮(zhèn)定。后文將基于微分平滑理論來研究UGV的軌跡跟蹤問題，即通過設(shè)計(jì)軌跡跟蹤控制律(υ, ω)來實(shí)現(xiàn)UGV的參考位置(xr, yr)的跟蹤，并實(shí)現(xiàn)參考姿態(tài)角θr的鎮(zhèn)定。

2 無人地面車輛（UGV）的軌跡跟蹤控制的微分平滑特性及利用

前已述及，UGV是一個(gè)欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，即系統(tǒng)控制輸入向量空間的維數(shù)小于系統(tǒng)廣義坐標(biāo)向量空間的維數(shù)。為了后文的方便，先給出微分平滑的定義如下。

定義 針對(duì)非線性系統(tǒng)：

其中，x為狀態(tài)變量，u為控制變量。如果能夠找到一個(gè)輸出集合：

而且由輸出y及其導(dǎo)數(shù)可以得到：

則該系統(tǒng)稱為微分平滑系統(tǒng)，并稱y為系統(tǒng)的平滑輸出。

有了上面的定義鋪墊，現(xiàn)在我們來探討UGV的微分平滑特性，其主要結(jié)論以下面的定理形式給出。

定理 UGV運(yùn)動(dòng)學(xué)模型式是微分平滑的，且平滑輸出可以表示為。

證明 由前述可知UGV系統(tǒng)的狀態(tài)變量為(x, y, θ)，控制變量為(υ, ω)。由式，有：

從以上各式可以得知，系統(tǒng)所有狀態(tài)(x, y, θ)及控制輸入(υ, ω)均可由平滑輸出x、y及其導(dǎo)數(shù)的函數(shù)來表示，因此根據(jù)微分平滑系統(tǒng)的定義，定理成立。

上述定理表明UGV的運(yùn)動(dòng)控制系統(tǒng)在實(shí)施軌跡跟蹤控制時(shí)具有微分平滑特性，這可使其運(yùn)動(dòng)參考軌跡的選擇及相應(yīng)軌跡的跟蹤控制律設(shè)計(jì)得以簡(jiǎn)化，下面給出一種參考做法如下：選擇兩個(gè)充分光滑的函數(shù)和，其中考慮到UGV受到非完整性約束以及為了避免奇異值的出現(xiàn)，要求；再令這兩函數(shù)

3 軌跡跟蹤控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)

為了方便后文的公式推導(dǎo)，將UGV運(yùn)動(dòng)學(xué)模型式進(jìn)行轉(zhuǎn)換，有：

本文的軌跡跟蹤控制方案由內(nèi)外嵌套的兩個(gè)控制子系統(tǒng)構(gòu)成，位置跟蹤子系統(tǒng)為外環(huán)， 姿態(tài)鎮(zhèn)定子系統(tǒng)為內(nèi)環(huán)；外環(huán)根據(jù)參考位置信號(hào)(xr, yr)生成一個(gè)中間指令信號(hào)作為參考角度信號(hào)θr，并傳遞給內(nèi)環(huán)系統(tǒng)，內(nèi)環(huán)則通過準(zhǔn)滑模控制律實(shí)現(xiàn)對(duì)這個(gè)參考角度信號(hào)θr的跟蹤?？刂葡到y(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖2所示。

圖2 UGV的嵌套雙閉環(huán)的軌跡跟蹤控制器結(jié)構(gòu)

3.1 位置控制律設(shè)計(jì)

下面設(shè)計(jì)外環(huán)的位置控制律υ，以實(shí)現(xiàn)輸出位置(x, y)跟蹤參考位置(xr, yr)。

令跟蹤誤差為：

則有：

取滑模函數(shù)為：

則有：

設(shè)計(jì)位置控制律為：其中，k1＞0，k2＞0，η1＞0，η2＞0，sat(●)是飽和函數(shù)。

采用文獻(xiàn)[4]的結(jié)論，上述不等式方程的解分別為：

從而Vx、Vy分別指數(shù)收斂于零，從而s1、s2分別指數(shù)收斂于零，從而xe、ye分別指數(shù)收斂于零，這樣我們通過設(shè)計(jì)的位置控制律υx和υy實(shí)現(xiàn)了x跟蹤xr，以及y跟蹤yr。

最后，把位置控制律υx和υy代入式，我們得到實(shí)際的位置控制律為：

3.2 姿態(tài)控制律設(shè)計(jì)

下面來設(shè)計(jì)內(nèi)環(huán)的姿態(tài)控制律ω，以實(shí)現(xiàn)控制角度θ跟蹤位置子系統(tǒng)控制器生成的參考角度θr。

令θe=θ — θr，取滑模函數(shù)為s3=θe，則：

設(shè)計(jì)姿態(tài)控制律為：

4 仿真實(shí)例

圖3 參考軌跡的跟蹤

圖4 參考位置及位置子系統(tǒng)控制器生成的參考角度的跟蹤

由上面的系列仿真圖可見，在設(shè)計(jì)的控制律作用下，UGV的實(shí)際軌跡漸進(jìn)收斂于參考軌跡，UGV的實(shí)際位姿狀態(tài)亦快速收斂于參考位姿狀態(tài)。

結(jié)論

本文分析了欠驅(qū)動(dòng)無人地面車輛的運(yùn)動(dòng)模型，證明了它是微分平滑系統(tǒng)并得到平滑輸出?；谖⒎制交碚撨x取了欠驅(qū)動(dòng)UGV的一個(gè)可行參考軌跡，然后推導(dǎo)了使該參考軌跡的跟蹤誤差漸近收斂的控制律。最后通過計(jì)算機(jī)仿真驗(yàn)證了文中方法的有效性。

[1]施皖,毛麗民,俞雷,魯波．基于熱釋紅外的螞蟻搜索機(jī)器人群智系統(tǒng)設(shè)計(jì)[J]．電子世界,2014(05)：154-156．

[2]M．Fliess,J．Levine et al．Flatness and defect of non-linear systems：introductory theory and examples[J]．International Journal of Control,2003,61(6)：13-27．

[3]Kanayama Y et al．A stable tracking control method for an autonomous mobile robot[C]．IEEE International Conference on Robotics and Automation,1990：384-389

[4]P．A．Ioannou,Jing Sun．Robust Adaptive Control[M]．Prentice Hall PTR,1996．