都俊杰 長江大學(xué)工程技術(shù)學(xué)院

關(guān)于計算二重積分的幾種方法

都俊杰 長江大學(xué)工程技術(shù)學(xué)院

二重積分是高等數(shù)學(xué)的重點，也是難點，計算較為繁瑣，基本的有直角坐標和極坐標計算，但有的二重積分需要一定的技巧才能求出．可利用積分區(qū)域和被積函數(shù)的對稱性巧妙解決，討論了幾類解決二重積分方法。

二重積分 二次積分 直角坐標系 極坐標系

二重積分的計算是高等數(shù)學(xué)中多元函數(shù)積分學(xué)重要的一部分，熟練的掌握二重積分的計算技巧很重要。計算二重積分的一般原則是將重積分化為兩次定積分來計算，但是由于被積函數(shù)的復(fù)雜性及積分區(qū)域的多樣性，計算二重積分就要采取多種方法。有直角坐標系計算二重積分，極坐標系下計算二重積分，利用對稱性計算二重積分等等。下面分別就這三個方面介紹計算二重積分的方法，對每種方法給出相應(yīng)的求解思路，并舉出典型的實例，便于讀者更好地理解和掌握這些方法，達到事半功倍、舉一反三的學(xué)習(xí)效果。

1 直角坐標系下計算二重積分，將積分區(qū)域D分為兩種基本情況。

2 極坐標系下計算二重積分

當被積函數(shù)和積分區(qū)域D的邊界曲線為較簡單函數(shù)時，?？紤]用極坐標來計算二重積分。這樣就會遇到兩個問題：一個問題是如何把被積函數(shù)化為極坐標形式；另一個問題是如何把面積元素化為極坐標形式。這兩個問題都是容易解決的，當被積函數(shù)或者積分區(qū)域D中含有時可以用極坐標來計算二重積分。直角坐標與極坐標的轉(zhuǎn)換公式：

3 特殊方法計算二重積分

①利用對稱性計算二重積分，和定積分的計算一樣，對積分區(qū)域具有一定的對稱性且被積函數(shù)為奇函數(shù)或偶函數(shù)的二重積分，利用對稱性可以大大簡化二重積分的計算過程．下面給出對稱性定理。

解：利用函數(shù)的奇偶性及積分區(qū)域的對稱性可以簡化計算，有

解：利用輪換對稱性，有

②交換積分次序計算二重積分，對于有些特殊類的函數(shù)，計算二重積分可以采取交換積分次序簡化計算

解：此函數(shù)的積分區(qū)域很簡單，當直接計算是算不出結(jié)果的，可以交換一下次序，有

③分段函數(shù)計算二重積分，關(guān)于分段函數(shù)二重積分的計算問題是學(xué)生學(xué)習(xí)的一個難點，為廣大師生所關(guān)注，但在大部分教材中，并沒有明確指出分段函數(shù)二重積分的計算方法．此類問題的一般做法是：(1)畫出積分區(qū)域的草圖；(2)由被積函數(shù)的分段點把積分區(qū)域分成如干部分區(qū)域，使得在每個部分區(qū)域中的被積函數(shù)表達式明確；(3)利用二重積分的區(qū)域可加性，進行計算。

④利用幾何意義計算二重積分也是我們常用的方法，二重積分的幾何意義就是曲頂柱體（以積分區(qū)域D為底，以被積函數(shù)為曲頂?shù)闹w）體積的代數(shù)和。

[1]同濟大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系；高等數(shù)學(xué)【M】；北京，高等教育出版社。

[2]楊波，王安平；高等數(shù)學(xué)；武漢，華中科技大學(xué)出版社，2017。

[3]張景中．數(shù)學(xué)與哲學(xué)【M】；北京，中國少年出版社，2006，8：25 ～ 37。

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長江大學(xué)工程技術(shù)學(xué)院基金2017ky10。

都俊杰（1981—），女，吉林長春人，副教授，研究方向：應(yīng)用數(shù)學(xué)。

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