鄧華清

(廣東省河源市龍川縣第一中學(xué)，廣東 河源 517300)

例析處理橢圓中的最值問(wèn)題的方法與策略

鄧華清

(廣東省河源市龍川縣第一中學(xué)，廣東 河源 517300)

在關(guān)于橢圓的問(wèn)題中，最值問(wèn)題相對(duì)較難.因?yàn)榇祟悊?wèn)題中存在的變量較多，所涉及的知識(shí)面也比較廣泛.在幾何問(wèn)題的研究中，橢圓的最值問(wèn)題是最具有代表性的.其實(shí)，這類問(wèn)題都可以通過(guò)基本的概念來(lái)解決，只要掌握了其中的含義，結(jié)合幾何問(wèn)題及函數(shù)問(wèn)題的知識(shí)點(diǎn)，解決這類問(wèn)題便不再困難.

橢圓；最值問(wèn)題；方法策略

一、幾種常見(jiàn)的最值結(jié)論

例如，在一個(gè)橢圓中，方程式為x2/a2+y2/b2=1(agt;bgt;0)，假設(shè)F1為橢圓的左焦點(diǎn)，F(xiàn)2為橢圓的右焦點(diǎn)，橢圓上的任意一點(diǎn)Q，以及短軸的頂點(diǎn)為M.根據(jù)相關(guān)橢圓的知識(shí)點(diǎn)，可得出的結(jié)論主要有四點(diǎn)：

1.在這個(gè)橢圓中，焦半徑最長(zhǎng)為a+c，最短為a-c；

2.在這個(gè)橢圓中，經(jīng)過(guò)中心的弦中，最長(zhǎng)的弦等于長(zhǎng)軸的長(zhǎng)度，即為2a，最短的弦等于短軸的長(zhǎng)度，即為2b；

3.在這個(gè)橢圓中，最長(zhǎng)的焦點(diǎn)弦也等于長(zhǎng)軸的長(zhǎng)度，即為2a，但最短的焦點(diǎn)弦等于通徑的長(zhǎng)度，即為2b2/a；

4.在這個(gè)橢圓中，焦點(diǎn)三角形中的頂角∠F1QF2最大等于∠F1MF2，并且這個(gè)三角形的面積的最大值等于bc.

二、幾何法

在計(jì)算過(guò)程中，如果給出的題目能夠與幾何問(wèn)題中的知識(shí)點(diǎn)相聯(lián)系，就可以采用幾何法來(lái)解決問(wèn)題.

解題時(shí)，先根據(jù)給出的條件畫出橢圓的圖形，如圖1.

所以這道例題的答案為7.

例題1和例題2的問(wèn)題適用于解決在橢圓問(wèn)題中的最值問(wèn)題.其實(shí)，在橢圓問(wèn)題中，只要例題中給了焦點(diǎn)、準(zhǔn)線或者離心率等已知條件，便可以通過(guò)橢圓的幾大定義，結(jié)合幾何圖形中的性質(zhì)，成功地解出相關(guān)問(wèn)題的答案.

三、代數(shù)法

如果在解答橢圓問(wèn)題的過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)已知條件與書本上的最值結(jié)論并不能直接相結(jié)合來(lái)解題時(shí)，便可以通過(guò)使用代數(shù)法進(jìn)行最值問(wèn)題的解答.

在解答這道例題時(shí)，可以使用三角換元法來(lái)解答.從題目中給出的已知條件，聯(lián)系在三角中學(xué)到的關(guān)系式sin2α+cos2α=1來(lái)解題.

另外，也可以使用判別式法對(duì)這道例題進(jìn)行解答.可以利用當(dāng)橢圓與某條直線相切時(shí)，截距則為最值來(lái)解題.

在一般情況下，對(duì)于求解橢圓問(wèn)題中某一動(dòng)點(diǎn)到某條定線或者某個(gè)定點(diǎn)的距離的最值問(wèn)題，采用三角換元法和判別式法都是比較有效的解題方法.同樣的，若將上述例題中所求問(wèn)題改為求“y-4/x-3”的最值問(wèn)題，也可以將它看成是橢圓上的某個(gè)點(diǎn)，坐標(biāo)為(x，y)，與某一定點(diǎn)，坐標(biāo)為(3，4)連成直線后的求解斜率的問(wèn)題，進(jìn)而再轉(zhuǎn)化成某條直線與橢圓相切或者三角函數(shù)的最值來(lái)解答問(wèn)題.

橢圓中的最值問(wèn)題并不難解，只要學(xué)會(huì)通過(guò)將橢圓的定義與幾何法或者代數(shù)法聯(lián)系起來(lái)，根據(jù)題意列出所需的方程式，那么問(wèn)題便迎刃而解了.

[1] 程宏勇.剖析橢圓中最值問(wèn)題的幾個(gè)視角[J].新高考，2014(01)：55-56.

[2] 鄭日峰.多遠(yuǎn)條件最值問(wèn)題的常見(jiàn)策略[J].新高考，2015(05)：32-33.

[責(zé)任編輯：楊惠民]

G632

A

1008-0333(2017)25-0004-02

2017-06-01

鄧華清(1979.11-)，女，廣東省河源市龍川縣車田鎮(zhèn)，中學(xué)一級(jí)教師，本科，從事高中數(shù)學(xué)解題研究．