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理解數(shù)學(xué)準(zhǔn)確定位

2017-11-23 17:10:10何宏杰劉博涵
祖國 2017年19期
關(guān)鍵詞:建議定位教材

何宏杰+劉博涵

摘要:2016年11月,在浙江四明中學(xué)舉行了同課異構(gòu)活動(dòng),課題是人教A版高中數(shù)學(xué)必修一的《方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)》,針對(duì)課堂教學(xué)中出現(xiàn)的“不準(zhǔn)”“不精”“不簡”問題,現(xiàn)從“理解數(shù)學(xué)”入手對(duì)這部分?jǐn)?shù)學(xué)知識(shí)作教材分析及教學(xué)建議,力求對(duì)本節(jié)的核心概念、思想方法的結(jié)構(gòu)體系及其教學(xué)設(shè)計(jì)有一個(gè)準(zhǔn)確定位。

關(guān)鍵詞:教材 定位 建議

一、教材分析

(一)概念的背景及外部聯(lián)系

理解數(shù)學(xué)就是了解數(shù)學(xué)概念的背景,把握概念的多元聯(lián)系。人們?cè)谘芯亢瘮?shù)的零點(diǎn)時(shí),會(huì)發(fā)現(xiàn)一個(gè)問題,在一段連續(xù)的曲線上,曲線上的每個(gè)點(diǎn)都有相對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo),而當(dāng)曲線的兩個(gè)端點(diǎn)處于X軸的上下區(qū)間時(shí),曲線上的點(diǎn)必定會(huì)落在X軸上。

初中在研究一次函數(shù)和二次函數(shù)時(shí),教材上對(duì)一次函數(shù)y=kx+b和一元一次方程kx+b=0的關(guān)系,二次函數(shù)和一元二次方程的根的關(guān)系進(jìn)行了較為系統(tǒng)的研究,這些為學(xué)習(xí)這節(jié)課奠定了基礎(chǔ)。

《方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)》是新課標(biāo)教材必修一新增內(nèi)容第三章《函數(shù)與應(yīng)用》中第一節(jié)《函數(shù)與方程》的第一部分,出現(xiàn)在連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)——零點(diǎn)存在性命題之中,是為后續(xù)內(nèi)容“用二分法求方程的近似解”服務(wù)的,通過用二分法求方程近似根將函數(shù)思想以及方程的根與函數(shù)零點(diǎn)之間的聯(lián)系具體化.旨在加強(qiáng)對(duì)函數(shù)概念、函數(shù)思想的認(rèn)識(shí)與了解,同時(shí)也可使學(xué)生了解函數(shù)的算法,可以為學(xué)生今后的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ),有利于學(xué)生理解和吸收。在函數(shù)零點(diǎn)教學(xué)中,需要通過函數(shù)圖像來表現(xiàn),主要是因?yàn)楫?dāng)時(shí)還沒有連續(xù)函數(shù)的概念。所以只能依靠直觀圖像來“講道理”,在大學(xué)《數(shù)學(xué)分析》中函數(shù)零點(diǎn)存在性定理有嚴(yán)格的證明,它是證明介值定理的依據(jù),也可以說是介值定理的特殊情形.因此這部分內(nèi)容是聯(lián)結(jié)初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)的橋梁。

幾何直觀是理性認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ),可以通過函數(shù)圖像直觀表示函數(shù)零點(diǎn)的內(nèi)容,相比于函數(shù)零點(diǎn)求根公式來說要更重要,因此,在進(jìn)行函數(shù)零點(diǎn)教學(xué)時(shí),需要將函數(shù)圖象、性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)、不等式等內(nèi)容有機(jī)結(jié)合,來考查學(xué)生分析問題解決問題的能力及學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)。

(二)內(nèi)容的地位與作用

理解數(shù)學(xué)就是掌握概念的邏輯意義,從而展現(xiàn)思想的準(zhǔn)確性。本章節(jié)內(nèi)容的教學(xué),主要包括函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理、函數(shù)零點(diǎn)與方程根的關(guān)系以及函數(shù)零點(diǎn)的概念這三方面的內(nèi)容。

在本章節(jié)教學(xué)中,函數(shù)零點(diǎn)的概念并不是主要的教學(xué)內(nèi)容,只是為了學(xué)生能更加深刻的了解函數(shù)與方程之間的關(guān)系。從而進(jìn)一步理解函數(shù)的圖像和性質(zhì)。

教材通過兩個(gè)問題將三個(gè)內(nèi)容進(jìn)行呈現(xiàn)。首先,教材以“思考”的欄目上提出第一個(gè)問題:“一元二次方程ax?+bx+c=0(a≠0)的根與二次函數(shù)y=ax?+bx+c的圖象有什么關(guān)系?”,這個(gè)問題教材利用三個(gè)不同的一元二次方程,對(duì)其進(jìn)行求根,并制成函數(shù)圖像,表明與X軸之間的關(guān)系,歸納到一般情形。然后,給出函數(shù)零點(diǎn)概念,并將上述結(jié)論推廣到一般情形,符合從特殊到一般的認(rèn)識(shí)規(guī)律。

這個(gè)問題對(duì)學(xué)生來說,并不陌生,以北師大版九年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)教材為例,在《二次函數(shù)和一元二次方程》這節(jié)中,已經(jīng)通過三個(gè)具體的二次函數(shù)及相對(duì)應(yīng)的一元二次方程得出結(jié)論:“二次函數(shù)y=ax?+bx+c的圖象與x軸的交點(diǎn)有三種情況:有兩個(gè)交點(diǎn)、有一個(gè)交點(diǎn)、沒有交點(diǎn).與此相對(duì)應(yīng),一元二次方程ax?+bx+c=0的根也有三種情況:兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根、有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根、沒有實(shí)數(shù)根.二次函數(shù)y=ax?+bx+c的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是一元二次方程ax?+bx+c=0的根”。因此,這段內(nèi)容的學(xué)習(xí),學(xué)生學(xué)習(xí)并不困難.但是要注意的是給出函數(shù)零點(diǎn)之后,學(xué)生往往將“函數(shù)零點(diǎn)”和“方程的根”混為一談,認(rèn)為方程的根就是函數(shù)的零點(diǎn),在此要讓學(xué)生分清二者的區(qū)別和聯(lián)系。

教材用“探究”欄目提出第二個(gè)問題:“計(jì)算f(-2)和f(1)的乘積,你能發(fā)現(xiàn)這個(gè)乘積有什么特點(diǎn)?在區(qū)間[2,4]上是否也具有這種特點(diǎn)呢?”,得到結(jié)果為負(fù)值,并再次對(duì)學(xué)生進(jìn)行提問“同學(xué)們?nèi)我猱嫀讉€(gè)圖象,觀察圖象,看看是否能得出同樣的結(jié)果”;從而得出討論結(jié)果。

這種教學(xué)方法就是利用二次函數(shù)圖像,使學(xué)生了解函數(shù)零點(diǎn)與函數(shù)圖像之間的關(guān)系,并通過學(xué)生進(jìn)行自主舉例、自主研究,從而得出函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理。

在問題的設(shè)置上要緊緊圍繞課標(biāo)要求,從學(xué)生熟悉的二次函數(shù)來進(jìn)行研究,把方程根與函數(shù)圖像聯(lián)系起來,在教學(xué)中,將原有知識(shí)與新知識(shí)形成聯(lián)系,研究的步驟是:具體函數(shù)——畫圖象——概括結(jié)論,研究的方法是“數(shù)形結(jié)合思想”及“轉(zhuǎn)化與劃歸思想”,這種研究的步驟和方法具有一般性,是我們研究數(shù)學(xué)問題中比較常見的方法之一,其教學(xué)效率也比較高。

教材僅有一道例題,本道例題要通過函數(shù)的性質(zhì)——單調(diào)性及函數(shù)的零點(diǎn)存在性定理來解決問題。

在本節(jié)習(xí)題A、B組8道題中僅有一道習(xí)題涉及到函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理,其余7道題涉及到二分法求方程的近似解.這種習(xí)題的配制體現(xiàn)了人教A版《函數(shù)與方程》內(nèi)容的編寫意圖:將重點(diǎn)放在“通過“二分法”求方程的近似解”上,零點(diǎn)存在性定理這個(gè)性質(zhì)是為“用二分法求方程近似解”服務(wù)的.這是人教A版教材和其它版本在處理《函數(shù)與方程》內(nèi)容上最本質(zhì)的區(qū)別,如人教B版將本節(jié)重點(diǎn)放在“理解函數(shù)零點(diǎn)的概念,判定二次函數(shù)的零點(diǎn),會(huì)求函數(shù)的零點(diǎn)?!?,因此在習(xí)題配制上,9道題中有8道是關(guān)于函數(shù)零點(diǎn)問題,僅有一道涉及到二分法求方程的近似解。從以上可以看出,人教A版教材更注重培養(yǎng)學(xué)生用函數(shù)的觀點(diǎn)處理問題的意識(shí)及用聯(lián)系的觀點(diǎn)理解有關(guān)學(xué)習(xí)內(nèi)容。

(三)課標(biāo)要求及解讀

理解數(shù)學(xué)就是理解課標(biāo)所要求核心概念、思想方法結(jié)構(gòu)體系的構(gòu)建,及核心概念、思想方法的教學(xué)設(shè)計(jì)。

高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)這部分的要求是:在教學(xué)中要利用二次函數(shù)圖像,根據(jù)圖像來了解一元二次方程根的特點(diǎn),并對(duì)函數(shù)零點(diǎn)與方程根之間的聯(lián)系進(jìn)行了解。

課標(biāo)要求要由淺入深、循序漸進(jìn)的建立函數(shù)與方程的關(guān)系,遵循這個(gè)原則,需要通過以下幾點(diǎn)來展開教學(xué):一是,從學(xué)生認(rèn)為較為簡單的一元二次方程與相應(yīng)的二次函數(shù)入手,由具體到一般,建立二者的聯(lián)系,然后將其推廣到一般的、抽象的函數(shù)與其相應(yīng)方程的情形。二是,在用二分法求方程近似解的過程中,通過函數(shù)圖像和性質(zhì)研究方程的解,體現(xiàn)函數(shù)與方程的關(guān)系。三是,在函數(shù)模型的應(yīng)用過程中,通過建立函數(shù)模型以及模型的求解,更全面地體現(xiàn)函數(shù)與方程的關(guān)系,建立起函數(shù)與方程的聯(lián)系。endprint

同時(shí),課標(biāo)強(qiáng)調(diào)了通過函數(shù)圖象的直觀展示,讓學(xué)生了解有關(guān)原理和方法.因此,課標(biāo)引入本節(jié)課的內(nèi)容,旨在讓學(xué)生學(xué)習(xí)用函數(shù)的性質(zhì)解決問題,體會(huì)函數(shù)與方程之間的聯(lián)系性,而在數(shù)學(xué)原理上沒有過高要求.

(四)教學(xué)目標(biāo)及重難點(diǎn)

理解數(shù)學(xué)就是合理挖掘,適當(dāng)拓展數(shù)學(xué)知識(shí)所蘊(yùn)含的科學(xué)方法,理性精神等價(jià)值觀資源,以此制定教學(xué)目標(biāo)。

1.通過本課教學(xué),要求學(xué)生理解并掌握方程的根與相應(yīng)的函數(shù)零點(diǎn)的關(guān)系;在此基礎(chǔ)上,學(xué)會(huì)將求方程根的問題轉(zhuǎn)化為求相應(yīng)的函數(shù)零點(diǎn)問題;理解零點(diǎn)存在性定理,初步確定具體函數(shù)存在零點(diǎn)的區(qū)間。

2.正確理解函數(shù)零點(diǎn)存在性定理,了解函數(shù)圖像連續(xù)不斷的意義;知道定理是函數(shù)存在零點(diǎn)的充分條件,了解函數(shù)零點(diǎn)可能不止一個(gè)。

3.能利用函數(shù)圖像與性質(zhì)判斷某些函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)。

4.能順利將一個(gè)方程求解問題轉(zhuǎn)化為求相應(yīng)的函數(shù)零點(diǎn)問題,并會(huì)判斷存在零點(diǎn)的區(qū)間(可使用計(jì)算器)。

本節(jié)的教學(xué)重難點(diǎn)是:方程的根與函數(shù)零點(diǎn)的關(guān)系、函數(shù)零點(diǎn)存在性定理。

二、準(zhǔn)確定位教學(xué)內(nèi)容

教師“理解數(shù)學(xué)”的目的是讓學(xué)生“理解數(shù)學(xué)”,促使學(xué)生“理解數(shù)學(xué)”主要通過課堂教學(xué)來完成,而有效的課堂教學(xué)的前提是準(zhǔn)確定位教學(xué)內(nèi)容,從教學(xué)核心和重點(diǎn)上構(gòu)建教學(xué)過程、設(shè)計(jì)問題來引導(dǎo)學(xué)生的學(xué)習(xí),是提高課堂教學(xué)質(zhì)量的關(guān)鍵。

(一)整體把握學(xué)習(xí)內(nèi)容

準(zhǔn)確定位教學(xué)內(nèi)容首先要對(duì)所學(xué)知識(shí)進(jìn)行整體把握,從不同角度認(rèn)識(shí)高中數(shù)學(xué)知識(shí),用全面的眼光去看待教學(xué)中的每一個(gè)知識(shí)點(diǎn),了解其存在的意義和價(jià)值,只有這樣才有助于削枝強(qiáng)干,掌握通性通法,抓住本質(zhì),明確本節(jié)的重心.很多老師在授課時(shí),常常將重點(diǎn)過多放在大量習(xí)題或課件及視頻的制作上,進(jìn)而產(chǎn)生了很多問題,這就是對(duì)內(nèi)容把握不到位造成的。

同時(shí),本節(jié)課作為章節(jié)起始課,要在引入上下功夫,讓學(xué)生整體了解所要學(xué)習(xí)的內(nèi)容,明確學(xué)習(xí)要達(dá)成的目標(biāo)、認(rèn)識(shí)所學(xué)內(nèi)容的價(jià)值和作用,對(duì)全章內(nèi)容有一個(gè)整體的認(rèn)識(shí),有助于建構(gòu)學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)。

(二)重點(diǎn)突出,忌舍本求末

在進(jìn)行函數(shù)應(yīng)用教學(xué)時(shí),要著重對(duì)函數(shù)零點(diǎn)與方程根之間的聯(lián)系和函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理這部分內(nèi)容的講解。函數(shù)思想是本章的一個(gè)主線,而函數(shù)零點(diǎn)的概念的作用是服務(wù)于進(jìn)一步認(rèn)識(shí)二者之間關(guān)系的.有些老師在設(shè)計(jì)問題時(shí),往往設(shè)置一系列求函數(shù)零點(diǎn)的問題,把函數(shù)的零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化成方程求解,以鞏固函數(shù)零點(diǎn)的概念.這種設(shè)計(jì)偏離了教材的意圖和本節(jié)課的目的.另外,還有些老師常把教材上有關(guān)函數(shù)零點(diǎn)和方程根的關(guān)系改成“方程有幾個(gè)根,函數(shù)就有幾個(gè)零點(diǎn)。”一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,相應(yīng)的二次函數(shù)是一個(gè)還是兩個(gè)零點(diǎn),說法不一,人教B版指出“有一個(gè)二重的零點(diǎn)或說有二階零點(diǎn)”。因此不要隨意改變教材的結(jié)論,也不要在此過分糾纏。

(三)關(guān)注問題的探究過程

數(shù)學(xué)思想方法蘊(yùn)含于數(shù)學(xué)知識(shí)之中,數(shù)學(xué)知識(shí)的形成過程是進(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的重要載體.教材中的兩個(gè)問題,在教學(xué)中要讓學(xué)生進(jìn)行交流和探究,尤其是作為難點(diǎn)的函數(shù)的零點(diǎn)存在性定理問題的探究,如何引導(dǎo)學(xué)生把“函數(shù)f(x)的圖象在區(qū)間(a,b)內(nèi)經(jīng)過x軸”轉(zhuǎn)化為f(a)f(b)<0,并得到函數(shù)存在性定理,明確定理是函數(shù)零點(diǎn)存在的充分不必要條件,這需要教師精心設(shè)計(jì)一系列問題,引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思考和探索,并在這個(gè)過程中還要讓學(xué)生自己動(dòng)手操作,畫一些函數(shù)的圖象,通過對(duì)函數(shù)圖象的觀察、猜測(cè)、推理及學(xué)生之間交流和反思來得到結(jié)論。讓學(xué)生經(jīng)歷定理的形成過程,學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地思考問題的方式,來提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

(四)發(fā)揮課本例題和習(xí)題的功能

課本的習(xí)題和練習(xí)題的設(shè)計(jì)都有深刻的用意,在進(jìn)行教學(xué)時(shí)要引起重視。

教材中的例1,求函數(shù)f(x)=lnx+2x-6的零點(diǎn)個(gè)數(shù).是要讓學(xué)生利用函數(shù)圖象和性質(zhì)判斷某些函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù),這是本節(jié)課的課時(shí)目標(biāo)之一。

教材配制的練習(xí)題第一題要求利用函數(shù)圖象判斷方程根的情況,四個(gè)小題都是一元二次方程,但作用各不相同,第(1)小題是直接轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)零點(diǎn)問題,(2)(3)(4)要讓學(xué)生會(huì)將一個(gè)方程求解問題通過等價(jià)變形轉(zhuǎn)化為一個(gè)函數(shù)零點(diǎn)問題,這應(yīng)作為本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)。這個(gè)過程中學(xué)生可能轉(zhuǎn)化的函數(shù)會(huì)不相同,同時(shí)這三個(gè)小題分別對(duì)應(yīng)方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根、兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根和無實(shí)數(shù)根的情形.涵蓋了二次函數(shù)圖象的每一種情況。

練習(xí)第二題需借助信息技術(shù)作圖象,并指出函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間,目的旨在利用函數(shù)零點(diǎn)存在定理解決問題,也為下一節(jié)“二分法求方程的近似解”進(jìn)行鋪墊,起到了承上啟下的作用。這兩個(gè)練習(xí)都要求利用圖象來解決問題,讓學(xué)生感受圖形在解決問題中的作用。

(五)重視信息技術(shù)的作用

利用信息技術(shù)畫出函數(shù)圖象,使復(fù)雜和抽象的函數(shù)解析式得到直觀體現(xiàn),有助于幫助學(xué)生把握數(shù)學(xué)的本質(zhì)。本節(jié)課例1和練習(xí)2的設(shè)置,都需要使用計(jì)算器和計(jì)算機(jī)來解決問題。在教學(xué)中,要讓學(xué)生動(dòng)手操作,使用計(jì)算器獲取數(shù)據(jù),有條件還可以讓學(xué)生使用圖形計(jì)算器來畫出函數(shù)圖象,來提高學(xué)生收集數(shù)據(jù)、提出信息、進(jìn)行分析得出結(jié)論的能力及利用圖象直觀,分析數(shù)學(xué)問題,解決數(shù)學(xué)問題的能力。

參考文獻(xiàn):

[1]中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn))[M].北京:人民教育出版社,2003.

[2]人民教育出版社課程教材研究所,中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開發(fā)中心.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)1(A版)[M].北京:人民教育出版社,2014.

[3]人民教育出版社課程教材研究所,中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開發(fā)中心.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)1(B版)[M].北京:人民教育出版社,2014.endprint

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