何明英

( 山東理工大學(xué) 理學(xué)院，山東 淄博 255049)

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環(huán)Fq+vFq+v2Fq+v3Fq上的交錯循環(huán)碼

何明英

( 山東理工大學(xué) 理學(xué)院，山東 淄博 255049)

線性碼；Gray映射；交錯循環(huán)碼；生成多項(xiàng)式

1 預(yù)備知識

ⅰ)εi是R中的非零冪等元, 若i≠k,有εiεk=0,i=1,2,3,4.

ⅱ)在環(huán)R中有ε1+ε2+ε3+ε4=1.

ⅲ)R=Rε1⊕Rε2⊕Rε3⊕Rε4=Fqε1⊕Fqε2⊕Fqε3⊕Fqε4.

根據(jù)(ⅲ)可知對任意的r∈R, 存在s,t,u,w∈Fq使得r=sε1+tε2+uε3+wε4.

定義一個(gè)從R到Fq4的Gray映射φ為

φ(r)=(s+t+u+w,s+t-u-w,s-t+

u-w,s-t-u+w)

其中r=sε1+tε2+uε3+wε4∈R.

定義1 令r=sε1+tε2+uε3+wε4,r∈R.則r的Lee重量定義如下wL(r)=wH(s+t+u+w,s+t-u-w,s-t+u-w,s-t-u+w), 其中wH(v)表示在Fq上的向量v的Hamming重量.

對任意c1,c2∈Rn, c1與c2的Lee距離定義為dL(c1,c2)=wL(c1-c2).

環(huán)R上碼長為n的碼C為Rn的非空子集,C是線性碼當(dāng)且僅當(dāng)C是Rn的R-子模. C的最小Lee距離等于任意兩個(gè)不同碼字之間Lee距離的最小值. C中所有非零碼字的Lee重量的最小值等于任意兩個(gè)不同碼字之間Lee重量的最小值.若C是線性碼, 則最小Lee距離等于最小Lee重量. 在本文中，假定C是環(huán)R上的線性碼.

其中ci=siε1+tiε2+uiε3+wiε4,i=0,1,…,n-1.

證明 取z1,z2∈Fq,根據(jù)Gray映射φ的定義,對任意的c1,c2∈Rn,有φ(z1c1+z2c2)=z1φ(c1)+z2φ(c2), 可知φ是Fq-線性的.

取cj=(cj0,cj1,…cj,n-1)∈Rn,j=1,2, 其中c1,i=s1,iε1+t1,iε2+u1,iε3+w1,iε4,c2,i=s2,iε1+t2,iε2+u2,iε3+w2,iε4,i=0,1…,n-1.

則c1-c2=(c10-c20,c11-c21,…c1,n-1c2,n-1),φ(c1-c2)=φ(c1)-φ(c2).

因此dL(c1,c2)=wL(c1-c2)=wH(φ(c1-c2))=wH(φ(c1)-φ(c2))=dH(φ(c1),φ(c2)).

引理2 令C為環(huán)R上的(n,A,d)線性碼, 其中n,A,d分別為碼長, 碼字個(gè)數(shù)和C的最小Lee距離. 那么φ(C)是域Fq上[4n,logqA,d]線性碼.

證明 由引理1可知φ(C)是Fq-線性的. 即φ(C)是Fq-線性碼. 由Gray映射φ的定義,φ(C)的碼長為4n, 從Rn(Lee距離)到Fq4n(Hamming距離)的映射φ是雙射. 則可知φ(C)的維數(shù)為logqA. 由于φ為保距映射,φ(C)的最小Hamming距離為d.

令c=(c0,c1,…cn-1),d=(d0,d1,…dn-1)為Rn的兩個(gè)不同元素, 則c與d內(nèi)積定義如下所示

碼C的對偶碼定義為

若C?C⊥, 則稱C為自正交碼. 若C=C⊥, 則稱C為自對偶碼.

與定理1[2]類似, 有以下結(jié)論.

定理1 令C是環(huán)R上的線性碼, 則φ(C)⊥=φ(C⊥). 特別地, 當(dāng)C為自對偶碼時(shí),φ(C)是域Fq上的自對偶碼.

證明 取c1=(c10,c11,…c1,n-1)∈Rn,c2=(c20,c21,…c2,n-1)∈Rn,

其中cj,i=sj,iε1+tj,iε2+uj,iε3+wj,iε4,sj,i,tj,i,uj,i,wj,i∈Fq,j=1,2,i=0,1…,n-1.

令G為環(huán)R上碼C的生成矩陣, 由上式知碼C是Rn的Fq-子模. 則C的生成矩陣可表示為

其中Gi分別為Ci是在環(huán)R上的生成矩陣,i=1,2,3,4.

2 主要結(jié)果及其證明

σ(c)=(θk(cn-1),θk(c0),…,θk(cn-2))∈C,

因此, (θk(cn-1),θk(c0),…,θk(cn-2))∈C, 可推出Ci是Fq上符合自同構(gòu)θk的交錯循環(huán)碼, 其中i=1,2,3,4.

其中

故C為環(huán)R上符合自同構(gòu)θk的交錯循環(huán)碼.

推論1 若C為環(huán)R上符合自同構(gòu)θk的交錯循環(huán)碼, 則其對偶碼C⊥也是環(huán)R上符合自同構(gòu)θk的交錯循環(huán)碼.

因此

由定理4可直接得出以下推論.

由引理6和7可直接得出以下推論.

則在環(huán)R上的交錯循環(huán)碼C的冪等生成元為

[1]GAO J, SHEN L, FU FW. A Chinese remainder theorem approach to skew generalized quasi-cyclic codes over finite fields[J].Cryptography and Communications. 2015, DOI 10.1007/s12095-015-0140.

[2]GAO J. Some results on linear codes overFp+uFp+u2Fp[J]. Journal of Applied Mathematics and Informatics, 2015, 47(1): 473-485.

[3]GURSOY F, SIAP I, YILDIZ B. Construction of skew cyclic codes overFp+vFp[J]. Advances in Mathematics of Communications, 2014, 8(3): 313-322.

[4] GAO J. Skew cyclic codes overFp+vFp[J]. Journal of Applied Mathematics and Informatics, 2013, 31(3-4): 337-342.

[5] ZHU S, WANG L. A class of constacyclic codes overFp+vFpand its gray image[J]. Discrete Mathematics.2011, 311(23-24): 2 677-2 682.

[6]BOUCHER D, GEISELMANN W, ULMER F. Skew-cyclic codes[J]. Applicable Algebra in Engineering Communication and Computing, 2007, 18(4): 379-389.

[7]BOUCHER D, ULMER F. Coding with skew polynomial rings[J].Journal Symbolic Computation, 2009, 44(12): 1 644-1 656.

(編輯:劉寶江)

Skew cyclic codes overFq+vFq+v2Fq+v3Fq

HE Ming-ying

(School of Science, Shandong University of Technology, Zibo 255049, China)

linear codes;Gray map;skew cyclic codes;generator polynomials

2016-03-02

山東理工大學(xué)有限域雙語教學(xué)4052/115017；山東理工大學(xué)博士基金項(xiàng)目4041/415059

何明英, 女,851906139@qq.coml

1672-6197(2017)01-0034-05

TN911.22

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