[摘 要] 本文通過對平面幾何中“輔助線的添加”進行探討，提出“從定義模型中發(fā)現(xiàn)輔助線身影，在操作實驗中確定輔助線思路，從美學(xué)角度尋找輔助線蹤影，從平衡理論中尋找輔助線印跡，從大小格局中探尋輔助線蹤跡”五種策略.

[關(guān)鍵詞] 輔助線；策略；實驗；格局

在平面幾何教學(xué)中，輔助線的添加往往是學(xué)生幾何學(xué)習(xí)的“攔路虎”，對優(yōu)等生來說，也常心有余悸，對中等生來說，更是噩夢一場. 許多學(xué)生都有這樣的體會：如果題目有輔助線做法的提示，那么問題就會較快得到解決，但如果沒有提示，往往會陷入束手無策之中. 一日，徒弟鄭巧斌老師（以下簡稱鄭）問我：“陳老師，學(xué)生在學(xué)習(xí)幾何時總是很怕做需要添加輔助線的題目，你有什么好的教學(xué)策略嗎？”這個問題在平面幾何教學(xué)中確實經(jīng)常遇到，是一類最常見且迫切需要解決的問題. 雖然輔助線千變?nèi)f化，但也并非無跡可尋，于是我們有了如下討論.

從定義模型中發(fā)現(xiàn)輔助線身影

陳海烽（以下簡稱陳）：輔助線的添加確實是一個值得我們深入研究的問題，我們一起來梳理一下. 初中階段是從什么時候開始涉及需要添加輔助線的幾何題目的？

鄭：應(yīng)該是從第五章“相交線與平行線”（人教版）就開始的吧！

陳：很好，其實在這個章節(jié)中，一般老師會遇到如下這道題. 如圖1，已知AB∥DE，求證：∠ABC+∠BCD+∠CDE=360°.

鄭：對，這道題很典型，但是學(xué)生的掌握情況好像不好，如果知道要過點C添加一條輔助線，那么這道題就很簡單了.

陳：你認為學(xué)生為什么想不到添加輔助線呢？

鄭：對結(jié)論的把握不清晰. 如果知道兩個180°，那么就應(yīng)該知道要添加輔助線了.

陳：你只講對了一部分. 其實在教學(xué)時需要我們有所“作為”的. 如何刻畫兩條直線平行，除了我們的外在感官外，還需要有一條直線輔助，才能將位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系，這就需要一條截線. 我們現(xiàn)在看到AB∥DE，還看到了一條折線BCD，但這并不是截線，那么我們需要幫助，這個幫助就是我們做輔助線的“念頭”.

鄭：如果從這個思路或想法入手，就會有很多辦法.

陳：是的，至少有如下策略（如圖2～4）. 當(dāng)然，如果學(xué)生認為BC是一條截線，回到平行線的基本模型，這時就需要過點C作CF∥AB（或CF∥DE），圖5也就是你所說的方法，那么自然就水到渠成了.

鄭：是不是可以這樣理解，我們在講解定義或模型時要理清模型中的結(jié)構(gòu)，這樣可以幫助學(xué)生理清模型特征，還原出模型. 《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》修訂組組長史寧中說過：“模型的最初建立是基于觀察和想象的，而不是基于推理的；判斷模型正確與否的標(biāo)準(zhǔn)是基于經(jīng)驗的，而不是基于理性的. ”比如平面直角坐標(biāo)系中，我們經(jīng)常添加垂直于兩軸的垂線段，這也是基于對坐標(biāo)本質(zhì)的理解吧.

陳：總結(jié)得很好. 比如我們看到有公共頂點的兩條相等線段，其實具備了旋轉(zhuǎn)的部分特征——頂點可以看作旋轉(zhuǎn)中心，兩條相等的線段可以看成是由其中一條線段經(jīng)過旋轉(zhuǎn)而形成的. 這時我們可以考慮將圖形進行旋轉(zhuǎn). 所以，希望我們老師在講解的時候可以幫助學(xué)生理清這個結(jié)構(gòu)模型. 不少老師善于總結(jié)解幾何題的一些基本圖形，這些基本圖形就是題目的一個“器官”，教學(xué)時我們要多創(chuàng)設(shè)情境加以指認和識別，提高學(xué)生的審圖能力，進而提升他們的核心素養(yǎng).

在操作實驗中確定輔助線思路

陳：我們再來看一道單元測試中的試題. 如圖6，在等腰三角形ABC中，AB=AC，∠A=20°，在邊AB上取一點D，使AD=BC，求∠BDC的度數(shù).

鄭：這是競賽題呢，這是壓軸題！這道題我做過，學(xué)生肯定很少做出來，貌似要構(gòu)造等邊三角形，但是如何想到要構(gòu)造等邊三角形的呢？

陳：是的，這也是很多優(yōu)等生也存在的疑問. 講解這道題時，我讓學(xué)生進行了數(shù)學(xué)實驗.

鄭：頭一回聽說數(shù)學(xué)實驗，說具體點.

陳：我讓學(xué)生量出∠BDC=30°，然后追問學(xué)生，如果∠BDC=30°，那么∠ACD應(yīng)該為多少度？學(xué)生都回答10°，接著我再追問學(xué)生，在本圖中，如何才能得到有個10°的角？學(xué)生馬上想到作∠A的平分線. 我又繼續(xù)追問，這樣一來，我們能否找到一個和△ADC全等的圖形？需要多少度的角？學(xué)生回答需要有20°的角，這時讓學(xué)生自己探索，就有不少同學(xué)發(fā)現(xiàn)以BC為邊作等邊三角形后，就會出現(xiàn)一個含20°角的三角形，從而問題就容易解決了. 如圖7，以BC為邊作等邊三角形OBC，易證△ABO≌△ACO，接著證明△ACD≌△CAO，就可以得出答案了.

鄭：您這樣讓學(xué)生實驗操作，學(xué)生就很容易從這些條件中找到答案，而且學(xué)生經(jīng)歷了操作確認的過程，能完成邏輯證明. 記得《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》就指出：“學(xué)生應(yīng)當(dāng)有足夠的時間和空間經(jīng)歷觀察、實驗、猜測、計算、推理驗證的過程. ”數(shù)學(xué)實驗正好契合新課程理念，有利于提升學(xué)生的核心素養(yǎng).

陳：沒錯，我們在教學(xué)時要讓學(xué)生學(xué)會數(shù)學(xué)實驗，當(dāng)然也包括思維實驗，我們現(xiàn)在最流行的數(shù)學(xué)軟件——幾何畫板也可以用來探尋作輔助線的思路. 在精確作圖的基礎(chǔ)上，借助最常用的三角板、量角器等數(shù)學(xué)學(xué)具，可以幫助我們發(fā)現(xiàn)一些靠譜的結(jié)論，這就等于把握了解題的方向，使我們的解題不至于像無頭蒼蠅. 這里要特別說明的是，對于一些較難的壓軸題，雖然題目中已經(jīng)配上了圖形，但是學(xué)生看到的只是成品，并沒有看到這個圖形的生長過程，所以建議在教學(xué)時務(wù)必讓學(xué)生感受這個過程，讓學(xué)生知道這個圖形是如何生長出來的，同時通過這個過程，感悟圖形要素（或元素）之間的從屬關(guān)系，進而在確定圖形的過程中生長出作輔助線的念頭.

從美學(xué)角度尋找輔助線蹤影

陳：我們還可以從美學(xué)特征中尋找輔助線蹤影.

鄭：美指的是那些簡潔美、對稱美、和諧美、奇異美嗎？endprint

陳：是的，其中對稱美對我們添加輔助線幫助最大. 拿我們最常見的角平分線來說，通過它，我們能將這個角進行翻折，或者說角是一個軸對稱圖形，角平分線所在的直線就是它的對稱軸. 如果能從這個角度就可以找到解題思路.

鄭：比如下面這道題. 如圖8，AD平分∠BAC，∠B+∠C=180°，求證：DB=DC.

陳：這個題目很典型，如果學(xué)生知道角平分線是一條美學(xué)中心線，利用美學(xué)思想，可以有如下幾種作法（如圖9～11）.

鄭：從美學(xué)角度，相信學(xué)生能更好地理解輔助線作法的由來，也可以知道這三種輔助線作法本質(zhì)上是一致的，對一題多解就更加容易接受了. 我覺得很多翻折、平移、旋轉(zhuǎn)其實也是一種廣義的對稱，也都具有美學(xué)的特征.

陳：沒錯. 教學(xué)時我們應(yīng)該多從美學(xué)的角度闡釋數(shù)學(xué)知識，比如教學(xué)垂徑定理時，可以讓學(xué)生通過折疊圓的方法，充分利用其對稱美來研究問題，這樣，學(xué)生對定理的認識就會有新的高度. 再如，直線與圓的位置關(guān)系，也可以通過對稱美折疊圓的方法發(fā)現(xiàn)很多性質(zhì). 經(jīng)過這樣的引導(dǎo)教學(xué)，學(xué)生更容易明白為什么要作弦心距這條輔助線，為什么見到切線要連半徑得到垂直.

從平衡理論中尋找輔助線印跡

陳：此外，我們還可以從平衡理論中找尋輔助線印跡. 比如我們常見的截長補短就是一種很好的平衡理論的應(yīng)用. 如要證明“a=b+c”，常用的策略就是從a中分成兩段相加，即a=b1+c1，即先讓b=b1，然后證明c=c1，這樣，式子的兩邊就都是兩兩相加的結(jié)構(gòu)，兩邊都平衡了，達到了證明的目的. 當(dāng)然，我們也可以將“b+c”通過輔助線將其延長，補成一條線段a，從而完成證明，這是很明顯的應(yīng)用之一. 學(xué)生明白了這些，就會更容易理解截長補短的本質(zhì). 當(dāng)然，類似的還有如下試題. 如圖12，已知點E，F(xiàn)分別在正方形ABCD的邊BC，CD上，分別連接AE，AF和EF，若∠EAF=45°，試說明EF=BE+DF.

鄭：你的意思是∠EAF=45°占了∠DAB的一半，另外兩個角，即∠EAB和∠DAF的和也是45°，我們要將兩者拼在一起才能平衡，所以想到作輔助線，將圖形△ADF進行旋轉(zhuǎn)，是嗎？

陳：沒錯，這樣的話，學(xué)生的理解會更順一些.

鄭：是的，實際上，總有很多學(xué)生想將EF截成兩段，或者過點A作EF的垂線段. 如果能從平衡中入手，就不會再糾結(jié)了.

陳：對. 因此，在教學(xué)中，遇到線段或角的和、差、倍、分問題，要引導(dǎo)學(xué)生從結(jié)論出發(fā)，利用平衡理論原理，讓學(xué)生體會將結(jié)論逐步轉(zhuǎn)化的過程，即從不平衡的狀態(tài)通過恰當(dāng)?shù)妮o助線達到平衡的狀態(tài).

從大小格局中探尋輔助線蹤跡

陳：另外，我們還可以從大小格局中尋找輔助線蹤跡. 比如，我們看到一個有關(guān)中點的題目，我們會提醒學(xué)生展開聯(lián)想.

鄭：就是聯(lián)想倍長中線，三線合一，直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半，中位線定理等.

陳：說得好，譬如倍長中線，還有不少老師總結(jié)“倍長中線找倒8”，也就是找個“8”字形的結(jié)構(gòu)，然后讓學(xué)生證明全等.

鄭：對呀，這有什么問題嗎？

陳：當(dāng)然沒什么問題，但是我們可以引導(dǎo)學(xué)生從更大的格局來看待問題. 倍長中線后，除了兩個全等的三角形外，我們其實還可以看到一個平行四邊形，讓學(xué)生連接成平行四邊形后，需要通過全等獲得的條件可以直接從平行四邊形中獲取，解題的書寫長度更短.

鄭：學(xué)生老是用全等，看來可以再稍做改進. 我們在平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)常讓學(xué)生補成矩形或梯形，將三角形的問題看作是它們的一部分，是不是可以看作是這種策略的運用？

陳：是的. 當(dāng)然，我們在教學(xué)時要注意對課本知識進行再探究. 比如下面這道題. 如圖13，四邊形ABCD是正方形，E為BC上一個動點，∠AEF=90°，且EF交正方形ABCD的外角平分線CF于點F，求證：AE=FE.

陳：這道題是我們在八年級下冊學(xué)習(xí)“正方形”后的一道課后習(xí)題，課本還給出了相應(yīng)的提示. 我們在初三教學(xué)四點共圓的條件時再讓學(xué)生做這道題，發(fā)現(xiàn)了雙直角模型，存在的一個更大的格局是A，E，C，F(xiàn)四點共圓，于是添加如下輔助線證明更為快捷. 如圖14，連接AC，AF，取AF的中點O，連接OE，OC，則AO=EO=CO=FO. 所以A，E，C，F(xiàn)四點共圓. 所以∠AFE=∠ACE=45°. 所以△AEF是等腰直角三角形. 所以AE=FE.

鄭：哦，我知道了，比如將四邊形的問題轉(zhuǎn)化為三角形問題，再將一般三角形問題轉(zhuǎn)化為特殊的直角三角形問題，就是從小格局上入手. 若把斜三角形放在一個大矩形或一個平行四邊形中，就是從大格局上考慮. 教學(xué)時，我們要讓學(xué)生感悟事物之間是普遍聯(lián)系的這一哲理，讓學(xué)生知道一個圖形不是孤立的，可以前后關(guān)聯(lián)在一起，形成一個更加良好、系統(tǒng)的格局.

陳：是的，這樣的例子相當(dāng)多，對學(xué)生來說也比較容易想到. 教學(xué)時，要提醒學(xué)生輔助線的功能就是將分散的條件集中起來，將隱含的條件顯現(xiàn)出來. 另外，作輔助線一般要遵循一個原則，即“不可貪，不可破”！其中“貪”的情況比較普遍，比如學(xué)生經(jīng)常在作輔助線時說這條輔助線不僅能和誰垂直還要和誰相等，這顯然就是貪多了，再如本文開頭的第一道題，假如作平行線CF∥AB且CF∥DE，顯然不妥. “不可破”就是作輔助線時盡量不要破壞已知條件，不能通過輔助線得了一個條件，反而失去一個可用的條件，這樣反而得不償失了.

鄭：這個本質(zhì)和原則今后我會加強滲透，總結(jié)你講的上述策略，我發(fā)現(xiàn)也很有美感. 一，從定義模型里尋找輔助線身影；二，從實驗操作上尋覓輔助線思路；三，從美學(xué)特征中發(fā)現(xiàn)輔助線蹤影；四，從平衡理論里尋找輔助線印跡；五，從大小格局中尋找輔助線蹤跡. 今后，在執(zhí)教中引導(dǎo)學(xué)生通過解題慢慢領(lǐng)悟，就能不斷地提高他們的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，那么學(xué)生對需要添加輔助線的題目就會更有信心.endprint