趙星宇 趙鐵石 云 軒 王文超 田 昕 李忠杰

(1.燕山大學河北省并聯(lián)機器人與機電系統(tǒng)實驗室, 秦皇島 066004；2.燕山大學先進鍛壓成形技術與科學教育部重點實驗室, 秦皇島 066004)

3-P(4S)并聯(lián)機構分析與多目標性能優(yōu)化

趙星宇1,2趙鐵石1,2云 軒1,2王文超1,2田 昕1,2李忠杰1,2

(1.燕山大學河北省并聯(lián)機器人與機電系統(tǒng)實驗室, 秦皇島 066004；2.燕山大學先進鍛壓成形技術與科學教育部重點實驗室, 秦皇島 066004)

針對3-P(4S)并聯(lián)平臺，首先對其進行了位置反解，提出了由BP神經(jīng)網(wǎng)絡和擬Newton法相結合的混合數(shù)值法，并以此對機構進行了位置正解，求解精度可達到10-8數(shù)量級，求解時間在20 ms內。然后通過對位置解求導可得到機構動平臺和分支桿件的速度和加速度。根據(jù)運動學分析的結果，應用牛頓歐拉方法構建該機構的動力學模型，并對機構的數(shù)值算例進行了動力學仿真驗證。最后綜合考慮機構的動力學性能、剛度性能和速度性能，分別推導了其評價指標，并應用改進的加權求和法對該機構進行多目標的尺寸優(yōu)化。通過多目標的尺寸優(yōu)化，該機構的動力學性能和速度性能提升了2倍，剛度性能提升了3倍。

并聯(lián)機構； 混合數(shù)值算法； 多目標； 性能優(yōu)化

引言

多維并聯(lián)激振平臺可以為振動測試提供穩(wěn)定的復合多自由度激振，模擬設備的運動狀態(tài)，有效提高測試效率[1-2]。因此，近年來多維并聯(lián)激振平臺在國內外得到了廣泛的研究和發(fā)展[3-6]。德國Instron公司的六自由度振動臺，主要應用于整車的振動模擬及疲勞測試。英國Servotest公司的高頻六自由度振動臺，采用3-2-1結構布置，主要應用于車載發(fā)動機的振動測試。中國科學院長春光學機械研究所基于Stewart構型模擬多維擾動。上海交大自主研發(fā)的多維電動振動臺，用于多維振動模擬。

同一構型的振動臺，當其結構參數(shù)不同時，性能存在較大的差異。通過優(yōu)化尺寸參數(shù)來提升機構性能，這是機構學領域值得研究的課題。ALTUZARRA等[7]基于操作靈活度以及工作空間對4-PRΠRR機構進行了尺寸優(yōu)化，齊明等[8]通過求解雅可比矩陣，獲得3-PUS/PU三自由度機構的全域條件數(shù)，并進行幾何參數(shù)優(yōu)化。

本文同時考慮機構的動力學性能、速度性能和剛度性能，分別給出其評價指標，并將進行多目標的尺寸優(yōu)化。對3-P(4S)激振平臺應用BP神經(jīng)網(wǎng)絡[9-12]與擬Newton法[13-14]相結合的混合數(shù)值法對該機構進行位置正解分析，進而建立其運動學和動力學模型，并用動力學仿真軟件進行仿真驗證，最后根據(jù)改進的加權求和法對機構性能進行多目標優(yōu)化。

1 3-P(4S)機構運動學分析

1.1 位置正解分析

圖1為本文所研究的3-P(4S)激振平臺三維造型，圖2為機構簡化圖。該機構由上平臺、基座以及3個P(4S)分支組成。每個分支均為1個移動副和4個球副組成的閉環(huán)子鏈，4個球副中心點呈平行四邊形布置，由于在運動過程中閉環(huán)不會出現(xiàn)扭曲，所以在分析過程中，閉環(huán)機構可等效為以上下邊中點以球副中心點鉸接而成的等效桿件cidi(i=1,2,3)?；酌娉收切畏植迹渫饨訄A的半徑為rb，各分支的移動副與基座底面呈傾角φ布置。分支的4S閉環(huán)子鏈上下邊長為d，左右邊邊長為L。上平臺呈3個長邊和3個短邊的對稱六邊形布置，其外接圓的半徑為ra，相鄰球副在上平臺中心連線的夾角的一半為θ=arcsin(d/(2ra))。以基座底面中心為原點建立固定坐標系{O}，其X軸沿分支1軸線在底面投影線方向，Z軸豎直向上。以上平臺中心為原點建立動坐標系{P}，其X軸垂直于分支1中閉環(huán)子鏈的短邊，Z軸豎直向上。以下平臺3個頂點為原點分別建立分支坐標系{ui}(i=1,2,3)，xi軸垂直O(jiān)ui，yi軸沿ciui方向。由文獻[15]可得，在機構呈平行四邊形布置時，機構能實現(xiàn)三維線性平動，則動平臺的3個姿態(tài)角參數(shù)(α,β,γ)均為0。

圖1 3-P(4S)并聯(lián)機構Fig.1 3-P(4S) parallel mechanism

圖2 3-P(4S)并聯(lián)機構簡化圖Fig.2 Sketch of 3-P(4S) parallel mechanism

任意時刻，各分支上邊中點di(i=1,2,3)在{P}系均表示為

(1)

從{P}系到{O}系再到分支坐標系{ui}(i=1,2,3)進行坐標變換，得出di(i=1,2,3)在分支坐標系ui(i=1,2,3)的表示為

(2)

(3)

式中l(wèi)1、l2、l3——直線驅動輸入?yún)?shù)

根據(jù)閉環(huán)子鏈呈平行四邊形布置的幾何關系，任意時刻閉環(huán)子鏈的上邊中點di(i=1,2,3)和下邊中點ci(i=1,2,3)之間的距離恒等于左右邊長L。此關系可表達為

(4)

將式(3)代入式(4)，整理可得

(5)

將式(2)代入式(5)，即完成了機構的位置反解，通過給定位置參數(shù)可得出對應的輸入行程。

采用混合數(shù)值法求解機構的位置正解。如圖3所示，首先以行程參數(shù)(l1，l2，l3)作為輸入?yún)?shù)，動平臺中心位置參數(shù)(xp，yp，zp)作為輸出參數(shù)，隱藏層節(jié)點數(shù)的確定方法為首先任意給出一個初值，然后采用逐步增長法[17]將隱藏層節(jié)點數(shù)確定為10。這樣，一個由3個輸入層和3個輸出層組成的BP神經(jīng)網(wǎng)絡已構造完成。通過式(5)的位置反解以及給定的機構結構參數(shù)后，可得到大量訓練樣本，本文采用LM數(shù)值優(yōu)化算法訓練以上所構建的BP神經(jīng)網(wǎng)絡，LM數(shù)值優(yōu)化算法可以提高訓練速度、減小收斂誤差。將所構建的BP神經(jīng)網(wǎng)絡，進行離線訓練后，其輸出結果的精度可達到10-4級。

為了進一步提高輸出精度，將任意輸入行程代入神經(jīng)網(wǎng)絡的輸入層，經(jīng)過以上所訓練好的BP神經(jīng)網(wǎng)絡的預測，得出機構對應位姿參數(shù)的初解。將此初解作為擬牛頓法的初值T0進行迭代，并規(guī)定迭代誤差ε為10-7，得出對應位姿參數(shù)的精確結果(xp,yp,zp)。

圖3 混合數(shù)值法結構簡圖Fig.3 Sketch of hybrid numerical method

表1為通過式(5)得出的5組位置數(shù)值算例，將其代入混合數(shù)值法求解，機構的結構參數(shù)為ra=0.25 m,rb=0.67 m,L=0.38 m,φ=30°，所選計算機主頻為3.2 GHz，求解結果如表2所示，求解精度為10-8數(shù)量級，迭代步數(shù)為3，求解效率在20 ms以內。

表1 數(shù)值算例Tab.1 Numerical calculation example m

表2 混合數(shù)值法計算結果Tab.2 Results of hybrid numerical method

1.2 速度分析

圖4為該機構的P(4S)分支簡化圖，其中ei、mi、ni、si均為其所在方向上的單位向量，p、o分別為上下平臺中心點，c、d分別為等效上下鉸鏈點，u為移動副端點，qi為驅動分支i(i=1,2,3)的驅動行程，l為4S分支等效桿長，為定值，racosθ為上平臺中心到短邊距離，為定值，rb為下平臺外接圓半徑，為定值，向量r為動系原點p在定系中的位置矢量。

圖4 P(4S)分支等效圖Fig.4 Equivalent sketch of P(4S) limb

向量r可表示為

r=rbei+qimi+lni+racosθsi

(6)

對式(6)求導可得

(7)

式中v——上平臺速度矢量

ωi——桿件運動角速度

(8)

(9)

式中Jωi——分支桿件角速度對上平臺速度的映射矩陣

若ni=[xiyizi]T，則

分支桿件質心點的位置矢量可表達為

(10)

對式(10)求導，即為分支桿件的線速度

(11)

式中I3——3×3的單位矩陣

Jvi——分支桿件線速度對上平臺速度的映射矩陣

1.3 加速度分析

對式(7)求導，可得

(12)

式中a——上平臺加速度矢量

(13)

其中

對式(11)求導，整理可得分支桿件質心點線加速度與上平臺運動參數(shù)的映射關系。

(14)

將式(9)求導，整理可得分支桿件角加速度與平臺運動參數(shù)的映射關系

(15)

式中，“*”表示矩陣廣義標量積。

1.4 運動學數(shù)值算例

給定機構與1.1節(jié)相同的結構參數(shù)，并給定運動x=0.001sin(40πt)和y=0.001sin(40πt)，將數(shù)值算例和結構參數(shù)代入式(8)和式(13)，通過Matlab編程可得驅動速度和加速度的理論曲線，如圖5、6所示。

圖5 驅動單元速度理論曲線Fig.5 Velocity theory curves of drive unit

然后將給定機構的三維造型導入ADAMS中，并給定與上述數(shù)值算例相同的運動規(guī)律進行仿真驗證，將所得到機構驅動輸入的速度以及加速度到Matlab中進行顯示，得到運動仿真曲線如圖7、8所示，其單位和圖5、6相同。在圖7、8曲線上任取若干點，與理論計算所得曲線圖5、6中對應的值進行比較。經(jīng)對比，兩者完全相等，因此完成了運動學理論模型與仿真模型的相互驗證。

圖6 驅動單元加速度理論曲線Fig.6 Acceleration theory curves of drive unit

圖7 驅動單元速度仿真曲線Fig.7 Velocity simulation curves of drive unit

圖8 驅動單元加速度仿真曲線Fig.8 Acceleration simulation curves of drive unit

2 3-P(4S)機構動力學分析

2.1 機構等效慣性力矩

根據(jù)牛頓-歐拉法, 由于上平臺只具有三維移動自由度，所以只存在慣性力對驅動的等效力矩映射，其計算式為

(16)

其中

J1=J-1

式中J1——上平臺速度對驅動速度的映射矩陣

m——上平臺質量

因為滑塊與直線電動機固連，所以滑塊運動規(guī)律和電動機驅動一致，其計算式為

(17)

式中Jei——滑塊與驅動速度之間映射矩陣

me——驅動滑塊質量

由于分支桿件運動形式包括移動和轉動，所以其對驅動力的映射中存在慣性力和慣性力矩，可得

(18)

(19)

其中

式中md——分支桿件質量

Jvdi——分支桿件質心點線速度對驅動速度的映射矩陣

Jωdi——分支桿件的角速度對驅動速度的映射矩陣

Idi——在定系中分支桿件的轉動慣量

Idio——分支桿件在以其質心為原點，坐標軸Z與桿件軸線平行的坐標系(本文中將其簡稱為本坐標系)的轉動慣量

ORi——從本坐標系到定系的旋轉變換矩陣

(20)

2.2 機構等效重力矩

通過虛功原理，機構等效重力矩為

(21)

2.3 機構動力學方程的建立

本文所研究機構構型主要應用于振動臺，忽略機構的所受外力，并忽略各關節(jié)間的摩擦，機構的動力學方程可表達為

τI+τG+τA=0

(22)

式中τA——廣義驅動力矢量

將式(20)、(21)代入式(22)，整理可得

(23)

2.4 動力學數(shù)值算例

給出振動臺的上平臺質量m=4.16 kg，驅動滑塊質量me=2.57 kg，各分支桿件質量md=1.59 kg，其在本坐標系的轉動慣量Idio=diag(Ixx,Iyy,Izz)，其中Ixx=0.022 3 kg·m2,Iyy=0.022 3 kg·m2，Izz=1.276×10-4kg·m2，其余結構參數(shù)與運動學數(shù)值算例和正反解算例相同。并給定該機構在初始高度下在XY平面內的復合運動，具體表達式為xp=0.001sin(40πt)，yp=0.001sin(40πt)，zp=0.57。將以上結構參數(shù)和運動參數(shù)代入到式(23)，應用Matlab進行計算，得到機構上述復合運動情況下的驅動力受力曲線，如圖9所示。為了驗證理論計算的結果，首先將機構的三維造型設定與實際加工一致的材料后，將其導入到ADAMS動力學仿真軟件，添加各約束，為保持一致性，不設額外負載，并給定相同的運動規(guī)律，運行仿真，將驅動副驅動力仿真數(shù)值輸出到Matlab，生成仿真曲線，如圖10所示。將圖10和圖9的值進行比較，兩者完全相等。因此完成了動力學理論模型和動力學仿真模型的相互驗證。

圖9 沿XY軸復合運動驅動力理論曲線Fig.9 Theory curves of driving force along XY axis

圖10 沿XY軸復合運動驅動力仿真曲線Fig.10 Simulation curves of driving force along XY axis

3 3-P(4S)機構尺寸優(yōu)化

3.1 動力學性能指標

由于所研究振動臺一般進行高頻往復振動，主要考慮動力學公式中的加速度項[18]，所以動力學模型可簡化成

τA=-MAH

(24)

(25)

將式(25)求導，可得

(26)

由式(26)可得

MTMAH=λAH

(27)

式中λ——MTM的特征值

(28)

式中σ——振動臺動力學性能指標

σ數(shù)值越小，機構的動力學性能則越好，即選取σ在工作空間W的全域值σ1為優(yōu)化目標[19]，即

(29)

3.2 剛度性能指標

并聯(lián)機構的簡化剛度矩陣為

K=JTkJ

(30)

為了更直觀地判斷機構剛度性能，對微位移δD向δF方向進行投影，以此可以得到機構受力δF方向上的微位移δD，從而得到移動方向剛度[20-21]

(31)

設δF=Ff，其中f是F方向上單位向量，將其代入式(31)，可得到機構的方向剛度為

KF=fTKTf

(32)

(33)

式中σ*——振動臺動力學性能指標

其數(shù)值越大，機構的剛度性能則越好。選取σ*在工作空間W的全域值σ2為優(yōu)化目標，即

(34)

3.3 速度性能指標

給定驅動關節(jié)一個可以沿關節(jié)空間的任意方向單位速度向量，即可得出驅動輸入速度的三維球體，其表達式為

(35)

通過式(35)可得到所有驅動輸入速度對應的上平臺輸出速度集合，將其稱為機構的廣義速度橢球。橢球的主軸半徑的長度是矩陣JTJ的特征值的平方根，主軸方向與其特征值對應的特征向量相同。

圖11和圖12為振動臺在初始位置(結構參數(shù)與之前數(shù)值算例相同)的輸入速度球體和輸出速度橢球，可以看出，輸入速度變化，對應的輸出速度變化程度不同，這說明機構在該機構參數(shù)下的速度傳遞能力不同。從圖11和圖12還可看出，輸出橢球越接近于球體(即其長短軸的長度越接近)，機構速度傳遞性能越相近，其速度性能越好。

圖11 關節(jié)空間速度向量分布圖Fig.11 Vector distribution of joint space velocity

圖12 操作空間末端速度向量分布圖Fig.12 Vector distribution of end space velocity

因此，可把輸出速度橢球長半軸數(shù)值σmax(J)與短半軸σmin(J)之比作為振動臺速度性能評價指標，從而得到振動臺的速度性能指標為

=

(36)

(37)

3.4 機構多目標優(yōu)化的實現(xiàn)

通過以上分析，最終選取機構的全局最大動力傳遞系數(shù)指標σ1、全局最小方向剛度指標σ2以及全局速度各向同性指標σ3作為振動臺的優(yōu)化目標，對其進行綜合考慮。

在加權求和法的基礎上，得出一種歸一加權求和法，主要是將各優(yōu)化目標看作同等重要，有效避免不同指標的側重不均，從而實現(xiàn)振動臺多目標優(yōu)化。

首先通過遺傳算法分別對各優(yōu)化目標進行單目標多變量優(yōu)化，得出各指標在參數(shù)變化范圍內的最大值σmax(x)和最小值σmin(x)，并將每個目標函數(shù)表示為[22-23]

(38)

目標函數(shù)fi(x)表示各計算指標在變化范圍內所占的比值，可起到消除不同優(yōu)化目標對優(yōu)化結果影響不均的作用，使每個優(yōu)化目標對優(yōu)化結果同等重要。式(38)可簡化為

fi(x)=ωiσi(x)-gi

(39)

則機構綜合優(yōu)化目標函數(shù)可表示為

(40)

優(yōu)化流程如圖13所示，初始化機構參數(shù)后，求出滿足工作空間要求的末端位姿參數(shù)，根據(jù)式(28)、(33)和式(36)計算動力學性能指標、剛度性能指標和速度性能指標，然后通過式(29)、式(34)和式(37)得出全局動力學性能指標、全局剛度性能指標和全局速度性能指標，通過式(38)～(40)得出機構綜合優(yōu)化目標函數(shù)。遺傳算法的參數(shù)設定首先通過多次試驗法確定種群數(shù)量50，遺傳算法終止代數(shù)為100，并應用算數(shù)交叉法，將精英個體數(shù)設定為2，交叉概率設定為0.8，對父代染色體的選擇采用輪盤式選擇法，選擇自適應變異法計算，得到優(yōu)化結果如圖14所示。

圖13 機構多目標性能優(yōu)化流程簡圖Fig.13 Flow chart of multi-target optimization

圖14 機構綜合性能優(yōu)化結果Fig.14 Optimization results of mechanism performance

由圖14可知，從第70代以后開始接近收斂，此時，機構綜合優(yōu)化目標函數(shù)的最小值為fmin(x)=0.137，多目標優(yōu)化后的尺寸如表3所示。

將表3中多目標優(yōu)化前后的結構參數(shù)分別代入式(28)和式(29)中，通過Matlab數(shù)值計算，得出機構在優(yōu)化前和優(yōu)化后的結構尺寸下的動力學性能指標圖譜和等高線，如圖15～18所示。機構的動力學性能指標變化范圍從優(yōu)化前的[24,42]下降至優(yōu)化后的[14,17]，動力學指標全域值從優(yōu)化前的σ1=29.920 5下降至優(yōu)化后的σ1=15.243 4。由此可知，通過多目標尺寸優(yōu)化，機構動力學性能提高到優(yōu)化前的2倍。

表3 多目標優(yōu)化結果Tab.3 Results of multi-target optimization

圖16 優(yōu)化前動力學性能指標等高線Fig.16 Contour of dynamic performance index before optimization

圖17 優(yōu)化后動力學性能指標圖譜Fig.17 Atlas of dynamic performance index after optimization

將表3中多目標優(yōu)化前后的結構參數(shù)分別代入式(33)和式(34)中，通過Matlab數(shù)值計算，可得出機構在優(yōu)化前和優(yōu)化后的結構尺寸下的剛度性能指標圖譜和等高線，如圖19～22所示。機構的剛度性能指標變化范圍從優(yōu)化前的[0.04,0.16]提升至優(yōu)化后的[0.3,0.4]，其剛度指標的全域值從優(yōu)化前的σ2=0.137 3提升到優(yōu)化后的σ2=0.352 2。由此可知，通過多目標優(yōu)化，機構剛度性能提高到優(yōu)化前的3倍。

圖18 優(yōu)化后動力學性能指標等高線Fig.18 Contour of dynamic performance index after optimization

圖19 優(yōu)化前剛度性能圖譜Fig.19 Atlas of stiffness performance index before optimization

圖20 優(yōu)化前剛度性能等高線Fig.20 Contour of stiffness performance index before optimization

圖21 優(yōu)化后剛度性能圖譜Fig.21 Atlas of stiffness performance index after optimization

圖22 優(yōu)化后剛度性能等高線Fig.22 Contour of stiffness performance index after optimization

將表3中多目標優(yōu)化前后的結構參數(shù)分別代入式(36)和式(37)中，通過Matlab數(shù)值計算，可得出機構在優(yōu)化前和優(yōu)化后的結構尺寸下的速度性能指標圖譜和等高線，如圖23～26所示。從圖中可以看出，尺寸優(yōu)化前機構的速度性能指標的變動范圍為 [9,15]，其在優(yōu)化前尺寸下的速度性能指標的全域值為σ3=10.007 5。尺寸優(yōu)化后速度性能指標的變動范圍為[4.3,4.8]，其全域值為σ3=4.537 0。由此可知，通過多目標優(yōu)化，機構速度性能提升到優(yōu)化前的2倍。

圖23 優(yōu)化前速度性能圖譜Fig.23 Atlas of velocity performance before optimization

圖24 優(yōu)化前速度性能等高線Fig.24 Contour of velocity performance before optimization

圖25 優(yōu)化后速度性能圖譜Fig.25 Atlas of velocity performance after optimization

4 結論

(1)結合了BP神經(jīng)網(wǎng)絡法和擬Newton法，建立了混合數(shù)值法求解3-P(4S)并聯(lián)機構位置正解。其求解精度遠高于BP神經(jīng)網(wǎng)絡，并有效避免了擬Newton法求解正解受迭代初值影響大的問題，求解效率也高于擬Newton法，可實現(xiàn)高精度實時控制。

(2)建立了3-P(4S)振動臺的運動學和動力學模型，并用動力學仿真軟件對所建立模型進行仿真驗證，為以后分析振動臺的振動特性提供了理論基礎。

(3)改進了加權求和法，將各優(yōu)化目標的重要程度轉化為相近水平，從而對機構動力學性能、剛度性能和速度性能進行了綜合優(yōu)化。經(jīng)過多目標的尺寸優(yōu)化，該機構的動力學性能和速度性能提升了2倍，剛度性能提升了3倍。

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MechanismAnalysisandMulti-targetPerformanceOptimizationof3-P(4S)ParallelMechanism

ZHAO Xingyu1,2ZHAO Tieshi1,2YUN Xuan1,2WANG Wenchao1,2TIAN Xin1,2LI Zhongjie1,2

(1.HebeiProvincialKeyLaboratoryofParallelRobotandMechatronicSystem,YanshanUniversity,Qinhuangdao066004,China2.KeyLaboratoryofAdvancedForging&StampingTechnologyandScience,MinistryofEducation,YanshanUniversity,Qinhuangdao066004,China)

The object was to solve the dynamics analysis and multi-target performance optimization of 3-P(4S) parallel mechanism.Firstly, inverse kinematics of 3-P(4S) parallel mechanism was solved, and hybrid numerical algorithm was proposed, which was composed of BP neural network and quasi-Newton method algorithm.The algorithm could solve the forward kinematics of 3-P(4S) parallel mechanism in less than 20 ms by three step iterations, and the accuracy was on the level of 10-8, which can realize the high accuracy and real-time control of 3-P(4S) parallel mechanism.Then the velocity and acceleration of the moving platform and limbs were obtained by the derivative of the position solution.According to the results of kinematic analysis, the dynamic model of the mechanism was constructed by Newton Euler method, and the dynamic simulation of the numerical example was utilized to verify the dynamic model of 3-P(4S) parallel mechanism.From the verification results, both of the two were exactly the same.Finally, considering the dynamic performance, stiffness performance and speed performance of the 3-P(4S) parallel mechanism, an improved genetic algorithm was utilized to optimize the 3-P(4S) parallel mechanism.Through the multi-objective performance optimization, the dynamic performance and speed performance of the mechanism were improved by two times, and the stiffness performance was increased by three times.

parallel mechanism; hybrid numerical algorithm; multi-target; performance optimization

10.6041/j.issn.1000-1298.2017.10.050

TP24

A

1000-1298(2017)10-0390-11

2017-02-19

2017-03-10

國家自然科學基金項目(51375420)和河北省科技計劃項目(14961812D)

趙星宇(1991—)，男，博士生，主要從事并聯(lián)機器人技術研究，E-mail: xyzhao@stumail.ysu.edu.cn

趙鐵石(1963—)，男，教授，主要從事并聯(lián)機器人和多維力傳感器研究，E-mail: tszhao@ysu.edu.cn