張愛萍

(呂梁學(xué)院 汾陽師范分校, 山西 汾陽0322000)

探析數(shù)學(xué)思想方法在高等代數(shù)教學(xué)中的滲透

張愛萍

(呂梁學(xué)院 汾陽師范分校, 山西 汾陽0322000)

高等代數(shù)是大學(xué)課程里的一門基礎(chǔ)課程，對其他專業(yè)課的學(xué)習(xí)充當(dāng)著工具的作用，因此高等代數(shù)是解決問題的一種手段。而在高等代數(shù)中，問題解決的方式有不同種，但靈魂是主導(dǎo)。數(shù)學(xué)思想方法則是其精髓與靈魂，對于深刻理解高等代數(shù)的原理以及進(jìn)一步的掌握有重要意義。文章提出幾種高等代數(shù)中的數(shù)學(xué)思想方法，為相關(guān)教育工作者提供一定參考借鑒。

數(shù)學(xué)思想方法；高等代數(shù)；教學(xué)

高等代數(shù)是數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要分支，相比于高等數(shù)學(xué)與概率論更具有其自身的特點(diǎn)，即抽象性。所以只有認(rèn)清數(shù)學(xué)的本質(zhì)，增加對于高等代數(shù)的學(xué)習(xí)興趣，才能更加靈活的運(yùn)用代數(shù)來解決問題。

1 高等代數(shù)的課程特點(diǎn)

高等代數(shù)內(nèi)容主要包括向量、矩陣、行列式、方程組與矩陣變換等多個(gè)方面。該課程的主要特點(diǎn)可以概括為“三點(diǎn)一線”。“三點(diǎn)”即邏輯推理的嚴(yán)密性；研究方法的公理性；代數(shù)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)性。而“一線”是矩陣表示是一條主線，利用矩陣?yán)碚摪亚昂笾R串起來。高等代數(shù)是現(xiàn)代工程、數(shù)學(xué)以及物理等需要大量計(jì)算學(xué)科的良好幫手與工具。高等代數(shù)中體現(xiàn)了現(xiàn)代數(shù)學(xué)的許多思想以及方法原則，如化復(fù)雜為簡單，多學(xué)科交叉結(jié)合等，但由于高等代數(shù)與高等數(shù)學(xué)、概率論的最大不同點(diǎn)在于其抽象性〔1〕。

2 高等代數(shù)中思想方法的分類及具體思想方法

數(shù)學(xué)的發(fā)展歷史悠久，從古至今，雖然所發(fā)展的具體科學(xué)隨著時(shí)代有所不同，但其思想方法貫穿了整個(gè)數(shù)學(xué)史〔2〕。關(guān)于數(shù)學(xué)思想方法，作者認(rèn)為可分為兩類：針對過往所學(xué)知識進(jìn)行延伸擴(kuò)展的思想方法與對于數(shù)學(xué)中各個(gè)分支所對應(yīng)相應(yīng)特點(diǎn)進(jìn)行分析的思想方法。高等代數(shù)中抽象性以及所具備的較強(qiáng)聯(lián)系性使得研究在高等代數(shù)中的思想方法對于更好的理解高等代數(shù)有重要意義。

2.1 一般化的思想

在中學(xué)時(shí)學(xué)生就簡單的接觸過空間向量。而在高等代數(shù)中，對于向量的討論就會向上更進(jìn)一步〔3〕。不僅包括之前學(xué)過的運(yùn)算法則及性質(zhì)，還增加了一些新的內(nèi)容。如在高等代數(shù)中會接觸到“數(shù)乘”的概念，這顯然是之前沒接觸過的，但與之前所學(xué)的“點(diǎn)乘”可做比較，再進(jìn)行理解。數(shù)乘的結(jié)果是向量，點(diǎn)乘的結(jié)果是數(shù)，其運(yùn)算法則也有不同，如：α·β點(diǎn)乘的運(yùn)算法則，即若α=(1，2，5，0)，β=(-1，-4，0，5)，則α·β=1×(-1)+2×(-4)+5×0+0×5=-9。kα為數(shù)乘的法則,其中k為數(shù),當(dāng)k=-12時(shí)，有kα=-12(1，2，5，0)=(-12，-24，-60，0)。例如在之前的學(xué)習(xí)中可解的方程組一般為二元、三元，但是通過高等代數(shù)的學(xué)習(xí)可以解決更多元的問題。利用空間向量可以更好的理解代數(shù)的部分內(nèi)涵，使學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)上有更進(jìn)一步的提高。

2.2 變抽象為具體的思想

高等代數(shù)的最大特點(diǎn)之一就是抽象性。但是任何抽象的東西都可以將其轉(zhuǎn)化為具體可理解的東西。如在空間運(yùn)算的過程中可以將向量的加減運(yùn)算分別簡化為同一空間坐標(biāo)中橫縱坐標(biāo)的相加減，這樣可以將向量由空間轉(zhuǎn)化為平面〔4〕，簡化其理解與計(jì)算。如在矩陣的化簡過程中，可以將其理解為幾個(gè)方程相互消元的過程，這也是方程組求解的思想方法的應(yīng)用，最終得到結(jié)果，這樣就可以將抽象相對簡化為具體。還有抽象的初等變換與具體的行列式;抽象的因式分解理論與具體多項(xiàng)式的因式分解;抽象的線性方程組與具體的矩陣;抽象的二次型與具體的對稱矩陣;抽象的線性空間與具體的線性空間等。

例如：取何值時(shí)，下列二次型是正定的

因?yàn)閷?shí)二次型正定的等價(jià)條件是矩陣的順序主子式都大于零得知，即

所以解得-1

抽象思維可以在高等代數(shù)學(xué)習(xí)的過程中逐步培養(yǎng)，這種思維能力不僅僅是對于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上有重要的意義，對其他學(xué)科掌握其本質(zhì)，深刻理解學(xué)科的內(nèi)涵同樣有重要意義。抽象思維的優(yōu)越性在于可以使看似復(fù)雜的事物變得簡單、有跡可循，有理可依。

2.3 公理化思想方法

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，有許多的定理，而如何將數(shù)學(xué)原理加以證明，這也是學(xué)習(xí)高等代數(shù)需要掌握的問題。在證明過程中，應(yīng)該將已知條件中所隱藏的潛在已知條件挖掘出來〔5〕，將所靠近的知識定理加以梳理以此獲得可證出結(jié)果的方案。這樣的系統(tǒng)演繹的方案需要不斷的進(jìn)行實(shí)踐與摸索。而在高等代數(shù)的證明體系中，這種方法更加嚴(yán)謹(jǐn)。公理化方法是一項(xiàng)整理數(shù)學(xué)中知識、使知識進(jìn)一步向更深層次發(fā)展的一種思想方法。其實(shí)質(zhì)是將高等代數(shù)中的相關(guān)內(nèi)容放在同一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)下，討論它們的相關(guān)運(yùn)算等內(nèi)容。

公理化的作用是可以進(jìn)行一系列的分析和整體框架的整合，用相對嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)語言將各個(gè)邏輯關(guān)系串聯(lián)起來。這種思想方法便于理解在實(shí)際應(yīng)用中的效果也較為明顯，可以不斷增強(qiáng)學(xué)生的自我總結(jié)能力以及自己解決問題的能力，同時(shí)也培養(yǎng)了學(xué)生對于高等代數(shù)的興趣。

2.4 初等轉(zhuǎn)化的思想

這種思想在行列式部分、矩陣部分以及向量維數(shù)的變換過程都有相當(dāng)多的體現(xiàn)。轉(zhuǎn)化的思想指的是在保證原有性質(zhì)與結(jié)果不變的前提下，為了簡化計(jì)算而進(jìn)行的操作。利用初等轉(zhuǎn)換的性質(zhì)可以化繁為簡，將計(jì)算簡單化。

例如求線性方程組:

(1)

所以 方程組(1)無解。

分析 ：本題的方程組有四個(gè)未知數(shù)x1，x2，x3，x4，解方程組時(shí)未知數(shù)不斷重復(fù)出現(xiàn)，這樣會很繁瑣。其實(shí)解題過程實(shí)際上是系數(shù)在變化，所以解題時(shí)只要對增廣矩陣進(jìn)行初等行變換就會使問題變得簡單化。

與人們的認(rèn)知相一致，即尋求最簡單的方法去解決問題，這種思想同樣也可以應(yīng)用到其他學(xué)科以及工程實(shí)際應(yīng)用當(dāng)中，為實(shí)際工程提供便利。

2.5 普遍聯(lián)系的思想

在高等代數(shù)的學(xué)習(xí)過程中，重要的是將以前所學(xué)與現(xiàn)在所學(xué)結(jié)合起來，融會貫通解決問題，不可只局限于當(dāng)下。數(shù)學(xué)是一門應(yīng)用學(xué)科，相比于數(shù)學(xué)的其他方面，高等代數(shù)對于解決實(shí)際問題提供便利有重要意義。在老師教學(xué)和學(xué)生學(xué)習(xí)的過程當(dāng)中，都要注重將之前的知識進(jìn)行鞏固與進(jìn)一步深刻理解〔6〕。例如在矩陣部分的學(xué)習(xí)過程中，利用到所學(xué)的行列式的化解知識以及一些相關(guān)性質(zhì)的應(yīng)用，在方程組的解決方案里，應(yīng)用到了矩陣的化解以及對于方程組有解無解的判斷。在正交矩陣以及求二次型中再次利用了方程組的解的相關(guān)性質(zhì)。

2.6 辯證看待問題的思想

數(shù)學(xué)是一門嚴(yán)謹(jǐn)科學(xué)的學(xué)科，不以任何意志為改變的客觀真理，且隨著世界的不斷發(fā)展而不斷的得出新結(jié)論但不否認(rèn)舊結(jié)論的科學(xué)。在高等代數(shù)的發(fā)展中，也存在著許多可以利用辯證法進(jìn)行解決的問題，關(guān)鍵是認(rèn)清事物的現(xiàn)象與本質(zhì)。例如在對線性方程進(jìn)行求解的過程中，要進(jìn)行一步初等變換，這樣做可以將一個(gè)較復(fù)雜的方程組轉(zhuǎn)化為一個(gè)相對簡單的方程組，且結(jié)果不變；在求解矩陣的秩時(shí)，同樣也是利用將復(fù)雜轉(zhuǎn)化為簡單的方法，通過一系列不改變結(jié)果的變換簡化計(jì)算，這些都是在利用將表面的復(fù)雜轉(zhuǎn)化為實(shí)質(zhì)的簡單的思想方法。

現(xiàn)象與本質(zhì)的思想方法以及辯證法的思維可以解開在層層迷霧下的科學(xué)內(nèi)涵，不僅是對于學(xué)習(xí)、對于實(shí)際生活工作中也有著重要的意義，可以提高思維能力與辨明真相的能力。例如在教學(xué)過程中的多項(xiàng)式根的問題可以將抽象變?yōu)榫唧w，把復(fù)雜變?yōu)楹唵危瑢⑽粗優(yōu)橐阎?/p>

3 結(jié)語

相對于高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，在初學(xué)高等代數(shù)的課程當(dāng)中，學(xué)生難免會感到晦澀難懂，許多概念不能夠理解其實(shí)質(zhì)含義。在這種情況下，更需要教師將其中所包含思想方法進(jìn)行講解，使學(xué)生對于所學(xué)課程有更好的理解。利用一般性的思維將之前所學(xué)進(jìn)行深一步的理解，利用抽象性思維與辯證法事物本質(zhì)的思想撥開高等代數(shù)的面紗，看清實(shí)質(zhì)，解決問題，利用公理性思維了解每一條定理的依據(jù)以及證明。

〔1〕 姚裕豐.高等代數(shù)中的幾類數(shù)學(xué)思想方法〔J〕.高師理科學(xué)刊,2016，(05)：62-65.

〔2〕 楊浩菊.在高等代數(shù)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)史知識的思考〔J〕.大學(xué)數(shù)學(xué),2013，(02)：6-8.

〔3〕 史秀英.高等代數(shù)中蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想方法〔J〕.赤峰學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2014(11)：5-6.

〔4〕 張謀,魏曙光,易正俊.高等數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)思想的滲透〔J〕.高等理科教育,2015(03)：90-93.

〔5〕 馬虹.高等數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)思想方法的滲透〔J〕.遼寧師專學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2012，(02)：9-10.

〔6〕 王玉華.數(shù)學(xué)思想方法在高等代數(shù)中的應(yīng)用〔J〕.湖北第二師范學(xué)院學(xué)報(bào),2014，(02)：79-81.

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10.3969/j.issn 1008-3723.2017.05.032

2017-09-06

張愛萍(1975-)，女，山西汾陽人，呂梁學(xué)院汾陽師范分校數(shù)學(xué)與科學(xué)系講師，碩士，研究方向:高等代數(shù).

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