顧曉光， 馬義中， 張延靜， 蔣 兆

(南京理工大學(xué) 經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院， 南京 210094)

基于置信水平和熵權(quán)法的參數(shù)和容差經(jīng)濟(jì)性設(shè)計(jì)

顧曉光， 馬義中， 張延靜， 蔣 兆

(南京理工大學(xué) 經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院， 南京 210094)

為降低生產(chǎn)運(yùn)作成本并提高產(chǎn)品穩(wěn)健性，需要對(duì)產(chǎn)品系統(tǒng)進(jìn)行參數(shù)和容差的經(jīng)濟(jì)性設(shè)計(jì). 本文考慮模型參數(shù)不確定性和質(zhì)量損失函數(shù)系數(shù)對(duì)優(yōu)化結(jié)果的影響，從質(zhì)量損失成本和容差成本的角度，提出了基于置信水平和熵權(quán)法的參數(shù)和容差經(jīng)濟(jì)性設(shè)計(jì)方法. 該方法分為兩個(gè)階段：在參數(shù)設(shè)計(jì)階段，根據(jù)因子響應(yīng)試驗(yàn)數(shù)據(jù)構(gòu)建質(zhì)量特性的響應(yīng)曲面模型，進(jìn)而得到質(zhì)量特性規(guī)格限為約束區(qū)間的置信水平計(jì)算公式，再通過最大化置信水平得到最優(yōu)設(shè)計(jì)變量；在容差設(shè)計(jì)階段，構(gòu)建質(zhì)量特性的均值方差關(guān)于設(shè)計(jì)變量和容差的模型，同時(shí)根據(jù)容差成本試驗(yàn)數(shù)據(jù)構(gòu)建容差成本模型，再采用熵權(quán)法計(jì)算質(zhì)量損失函數(shù)系數(shù)進(jìn)而構(gòu)建總成本函數(shù)，最終通過最小化總成本計(jì)算最優(yōu)容差值. 本文以樹脂生產(chǎn)過程的胺添加試驗(yàn)為案例，系統(tǒng)地研究了溫度、攪拌速度和添加速度這三個(gè)設(shè)計(jì)變量對(duì)樹脂粘度的影響. 結(jié)果表明，與已有方法相比，通過本文方法所確定的最優(yōu)設(shè)計(jì)變量及其容差值，減少了模型參數(shù)不確定性對(duì)優(yōu)化結(jié)果影響，同時(shí)降低了質(zhì)量損失和容差成本.

參數(shù)；容差；置信水平；熵權(quán)法；經(jīng)濟(jì)性設(shè)計(jì)

質(zhì)量管理學(xué)家朱蘭曾指出“21世紀(jì)將是質(zhì)量的世紀(jì)”，產(chǎn)品質(zhì)量不僅是企業(yè)的生命線，更是在全球市場(chǎng)上贏得顧客的關(guān)鍵. 如何通過改進(jìn)質(zhì)量工程技術(shù)，來提高產(chǎn)品質(zhì)量、競(jìng)爭(zhēng)優(yōu)勢(shì)，已成為國(guó)內(nèi)外工業(yè)界和學(xué)術(shù)界極為關(guān)注的問題. 質(zhì)量專家田口玄一博士將數(shù)理統(tǒng)計(jì)、經(jīng)濟(jì)學(xué)運(yùn)用到質(zhì)量工程中，形成離線質(zhì)量控制和在線質(zhì)量控制理論，創(chuàng)立質(zhì)量工程學(xué)并提出三次設(shè)計(jì)(系統(tǒng)設(shè)計(jì)、參數(shù)設(shè)計(jì)、容差設(shè)計(jì))的質(zhì)量工程方法[1].

參數(shù)設(shè)計(jì)是離線質(zhì)量控制的核心，是以試驗(yàn)設(shè)計(jì)為基礎(chǔ)，通過結(jié)合統(tǒng)計(jì)知識(shí)和工程技術(shù)而發(fā)展起來的一種質(zhì)量改進(jìn)方法. 其基本原理為選擇最佳的參數(shù)組合以達(dá)到產(chǎn)品過程對(duì)不確定因素的變化不敏感，從而提高產(chǎn)品過程的穩(wěn)健性，使產(chǎn)品性能更加穩(wěn)定可靠[2]. 統(tǒng)計(jì)學(xué)家Box和Wilson首先提出響應(yīng)曲面方法，之后Shoemaker等引入到參數(shù)設(shè)計(jì)中[3]. 該方法首先通過試驗(yàn)設(shè)計(jì)建立設(shè)計(jì)變量與質(zhì)量特性之間的響應(yīng)曲面模型，并優(yōu)化所構(gòu)建的目標(biāo)函數(shù)，從而確定最佳的因子水平組合. Vining等[4]指出質(zhì)量特性對(duì)目標(biāo)值的波動(dòng)是由均值偏差和方差組成，需要同時(shí)考慮均值波動(dòng)和方差波動(dòng)對(duì)結(jié)果的影響，因此提出了雙響應(yīng)曲面方法. 響應(yīng)曲面法具有推導(dǎo)嚴(yán)謹(jǐn)和模型可靠的優(yōu)點(diǎn)，被廣泛地用于產(chǎn)品過程的參數(shù)設(shè)計(jì)研究和實(shí)踐[5-7].

容差設(shè)計(jì)通常是在系統(tǒng)設(shè)計(jì)和參數(shù)設(shè)計(jì)確定了設(shè)計(jì)變量的最佳水平組合后，通過研究容差范圍與質(zhì)量成本之間的關(guān)系，根據(jù)各設(shè)計(jì)變量波動(dòng)對(duì)產(chǎn)品質(zhì)量特性影響的大小，從經(jīng)濟(jì)性角度考慮是否需要對(duì)設(shè)計(jì)變量的容差進(jìn)行調(diào)整. 近年來，有不少學(xué)者關(guān)注于產(chǎn)品過程的容差設(shè)計(jì)問題. Jin等[8]基于非對(duì)稱質(zhì)量損失函數(shù)，對(duì)服從非正態(tài)分布的產(chǎn)品容差設(shè)計(jì)進(jìn)行了研究. Zhao等[9]根據(jù)產(chǎn)品服務(wù)的壽命分布，從質(zhì)量損失和制造成本的角度構(gòu)建服務(wù)的現(xiàn)值模型，進(jìn)而提出基于服務(wù)質(zhì)量損失的最優(yōu)容差經(jīng)濟(jì)設(shè)計(jì)方法. Zhang等[10]考慮了質(zhì)量特性類型的不同，采用質(zhì)量損失函數(shù)法解決遞階產(chǎn)品的容差經(jīng)濟(jì)性設(shè)計(jì)問題. 另外，Peng等[11-13]也分別針對(duì)不同問題提出了相應(yīng)的容差設(shè)計(jì)方法. 以上研究都是在預(yù)先設(shè)定的模型和最優(yōu)設(shè)計(jì)變量情況下單獨(dú)對(duì)設(shè)計(jì)變量的容差進(jìn)行設(shè)計(jì)，然而有學(xué)者指出同時(shí)考慮參數(shù)設(shè)計(jì)和容差設(shè)計(jì)問題，有助于提高產(chǎn)品過程的經(jīng)濟(jì)性和可靠性[14]. Kim等[15]采用雙響應(yīng)曲面的方法構(gòu)建響應(yīng)均值和方差的模型，同時(shí)考慮田口質(zhì)量損失成本和容差成本，對(duì)參數(shù)與容差進(jìn)行經(jīng)濟(jì)性設(shè)計(jì). Jeang等[16]從質(zhì)量和成本的角度，同時(shí)對(duì)設(shè)計(jì)容差、過程均值和過程容差進(jìn)行并行優(yōu)化設(shè)計(jì). He等[17]在優(yōu)化過程中引入了Cp過程能力指數(shù)，進(jìn)而對(duì)參數(shù)與容差經(jīng)濟(jì)性設(shè)計(jì)進(jìn)行改進(jìn). 張志紅等[18]考慮到噪聲變量對(duì)響應(yīng)曲面建模的影響，以過程方差置信域?yàn)榧s束，提出考慮噪聲變量的參數(shù)和容差經(jīng)濟(jì)性設(shè)計(jì)策略. 這些研究忽視了兩方面的問題：一方面，響應(yīng)曲面模型是一個(gè)近似的替代模型，擬合過程中存在模型參數(shù)不確定性的問題；另一方面，質(zhì)量損失函數(shù)系數(shù)通常是依據(jù)經(jīng)驗(yàn)而主觀設(shè)定，若系數(shù)設(shè)定不當(dāng)，會(huì)對(duì)優(yōu)化結(jié)果產(chǎn)生較壞影響.

本文針對(duì)產(chǎn)品系統(tǒng)的參數(shù)和容差設(shè)計(jì)的問題，從質(zhì)量損失成本和容差成本的角度，提出了基于置信水平和熵權(quán)法的參數(shù)和容差經(jīng)濟(jì)性設(shè)計(jì)方法. 該方法一方面通過最大化置信水平的方式，盡可能減少模型參數(shù)不確定性對(duì)最優(yōu)設(shè)計(jì)變量的影響；另一方面充分利用客觀信息，采用熵權(quán)法計(jì)算質(zhì)量損失函數(shù)系數(shù)，避免主觀假定系數(shù)值導(dǎo)致的最優(yōu)容差不合理的問題.

1 質(zhì)量損失函數(shù)

田口認(rèn)為“質(zhì)量特性一旦偏離其設(shè)計(jì)目標(biāo)值，就會(huì)造成質(zhì)量損失，偏離越遠(yuǎn)，損失越大”，并指出產(chǎn)品過程的質(zhì)量損失與它的均方差大約成正比關(guān)系. 為了近似地描述產(chǎn)品質(zhì)量特性y偏離目標(biāo)值造成的質(zhì)量損失，田口提出了二次損失函數(shù)[2].

L[y(x)]=w[y(x)-T]2.

(1)

式中：x為設(shè)計(jì)變量的向量，T為質(zhì)量特性的目標(biāo)值，w為可以將質(zhì)量特性偏差轉(zhuǎn)化為方便比較的價(jià)值單位的函數(shù)系數(shù)，通常由功能界限和喪失功能的損失來確定. 為了進(jìn)一步量化質(zhì)量損失，田口又提出了期望損失函數(shù).

E{L[y(x)]}=wE[y(x)-T]2=w{σ2(x)+[μ(x)-T]2} .

(2)

顯然，為了減小產(chǎn)品過程的質(zhì)量損失，應(yīng)使質(zhì)量特性的均值達(dá)到或接近設(shè)計(jì)目標(biāo)值的情況下，盡可能地減少質(zhì)量特性的波動(dòng). 需要注意的是，該質(zhì)量損失函數(shù)是用于計(jì)算望目質(zhì)量特性的質(zhì)量損失. 根據(jù)田口的質(zhì)量觀，質(zhì)量特性被分為望目特性、望小特性和望大特性三種類型. 對(duì)于望小特性和望大特性，可以采用以下質(zhì)量損失函數(shù)進(jìn)行計(jì)算[10].

若質(zhì)量特性y為望小特性時(shí)，那么其目標(biāo)值可設(shè)為0，其質(zhì)量損失函數(shù)為

L[y(x)]=wy2(x) .

(3)

故而可以得到其期望質(zhì)量損失函數(shù)為

E{L[y(x)]}=wE[y2(x)]=w[σ2(x)+μ2(x)].

(4)

類似地，當(dāng)質(zhì)量特性y為望大特性時(shí)，1/y即為望小質(zhì)量特性，其質(zhì)量損失函數(shù)為

(5)

通過泰勒級(jí)數(shù)展開，可以得到其近似期望質(zhì)量損失函數(shù)為

(6)

通過以上質(zhì)量損失函數(shù)，依據(jù)質(zhì)量特性的不同可以計(jì)算質(zhì)量損失成本.

2 本文方法

本文考慮到模型參數(shù)不確定性和質(zhì)量損失函數(shù)系數(shù)對(duì)優(yōu)化結(jié)果的影響，運(yùn)用置信水平方法和熵權(quán)方法，對(duì)產(chǎn)品系統(tǒng)的參數(shù)和容差進(jìn)行經(jīng)濟(jì)性設(shè)計(jì). 圖1為本文方法流程圖，由流程圖可以看出：該方法分為參數(shù)設(shè)計(jì)和容差設(shè)計(jì)兩個(gè)階段，每個(gè)階段又分為“試驗(yàn)設(shè)計(jì)-模型構(gòu)建-目標(biāo)優(yōu)化”三個(gè)步驟. 具體的流程步驟如下.

圖1 本文方法的流程步驟圖

2.1參數(shù)設(shè)計(jì)階段

步驟一因子響應(yīng)試驗(yàn)設(shè)計(jì). 分析案例，確定產(chǎn)品過程的質(zhì)量特性和設(shè)計(jì)變量. 根據(jù)試驗(yàn)中的設(shè)計(jì)變量和約束條件的情況，結(jié)合制造商和顧客對(duì)產(chǎn)品生產(chǎn)的安全性和經(jīng)濟(jì)性要求，選擇合適的因子響應(yīng)試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法. 運(yùn)行試驗(yàn)并收集相關(guān)的試驗(yàn)數(shù)據(jù).

步驟二響應(yīng)曲面模型構(gòu)建. 根據(jù)步驟一獲得的因子響應(yīng)試驗(yàn)數(shù)據(jù)，擬合質(zhì)量特性y的響應(yīng)曲面模型.

假設(shè)y表示產(chǎn)品系統(tǒng)的質(zhì)量特性，zi(i=1,2,…m)表示第i個(gè)設(shè)計(jì)變量，則質(zhì)量特性y的二階模型如下所示:

(7)

(8)

步驟三參數(shù)設(shè)計(jì)的目標(biāo)優(yōu)化. 由步驟二中質(zhì)量特性y的響應(yīng)曲面估計(jì)模型，分析模型系數(shù)所服從的數(shù)學(xué)分布情況. 再依據(jù)質(zhì)量特性的類型，得到質(zhì)量特性置信水平的計(jì)算公式. 通過最大化y的置信水平，得到最優(yōu)設(shè)計(jì)變量的水平組合.

1) 質(zhì)量特性y置信水平的計(jì)算

關(guān)于質(zhì)量特性y，通過對(duì)設(shè)計(jì)變量進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)，篩選出顯著性變量，得到模型顯著性變量的向量

(9)

可得模型系數(shù)的向量

(10)

那么，式(8)可寫成

(11)

假設(shè)zip(p=1,2,…P)為設(shè)計(jì)變量zi在第p組實(shí)驗(yàn)時(shí)的樣本數(shù)據(jù)，可得樣本數(shù)據(jù)矩陣

(12)

(13)

(14)

因此，質(zhì)量特性估計(jì)值的誤差方差計(jì)算公式為

(15)

當(dāng)置信水平為1-α?xí)r，質(zhì)量特性y的雙側(cè)置信區(qū)間為

(16)

式中：tα/2,n-p表示顯著性水平和自由度分別為α/2和P-b時(shí)的t分布分位數(shù)，P為試驗(yàn)的次數(shù). 因此質(zhì)量特性y的單側(cè)置信區(qū)間為

[yL(z), +]=[(z)-tα/2,n-p,+],

(17)

(18)

由此可得如下質(zhì)量特性y置信水平的計(jì)算公式：

當(dāng)y為望目質(zhì)量特性時(shí)

(19)

當(dāng)y為望小質(zhì)量特性時(shí)

(20)

當(dāng)y為望大質(zhì)量特性時(shí)

(21)

2)最優(yōu)設(shè)計(jì)變量的計(jì)算

根據(jù)數(shù)據(jù)和以上分析，設(shè)計(jì)變量的求解問題就轉(zhuǎn)化成質(zhì)量特性的置信水平最大化的問題

max1-α,

st.z∈Ωz.

(22)

式中：Ωz表示設(shè)計(jì)變量的取值范圍. 采用優(yōu)化算法即可求得最優(yōu)設(shè)計(jì)變量組合zop，再通過解碼得到最優(yōu)設(shè)計(jì)變量組合的真實(shí)值xop.

2.2容差設(shè)計(jì)階段

步驟一容差成本試驗(yàn)設(shè)計(jì). 根據(jù)實(shí)際工程情況，確定設(shè)計(jì)變量的容差范圍，設(shè)計(jì)并運(yùn)行容差成本試驗(yàn)，采集容差成本試驗(yàn)數(shù)據(jù).

步驟二均值方差模型和容差成本模型構(gòu)建. 根據(jù)步驟二的響應(yīng)曲面模型，分別構(gòu)建基于設(shè)計(jì)變量及其容差的均值和方差模型，進(jìn)而得到最優(yōu)設(shè)計(jì)變量情況下均值和方差關(guān)于容差的模型；另外，根據(jù)步驟四獲得的試驗(yàn)數(shù)據(jù)，擬合得到設(shè)計(jì)變量的容差成本模型.

1) 質(zhì)量特性y的均值和方差模型

通過對(duì)設(shè)計(jì)變量zi進(jìn)行解碼，由式(8)可以得到質(zhì)量特性y關(guān)于設(shè)計(jì)變量真實(shí)值x=(x1,x2,…xm)的響應(yīng)曲面模型

(23)

實(shí)際工程中設(shè)計(jì)變量xi是一個(gè)在標(biāo)稱值Δi附近變化的隨機(jī)變量，服從以標(biāo)稱值為均值的正態(tài)分布. 那么假設(shè)設(shè)計(jì)變量xi服從正態(tài)分布N(Δi,σxi2)，通過泰勒公式展開可以得到均值和方差估計(jì)模型

(24)

(25)

由于設(shè)計(jì)變量的容差與其方差之間普遍存在ti=3σi的關(guān)系，故式(15)和(16)可寫成

(26)

(27)

式中：t=(t1,t2…tm). 因此，在最優(yōu)設(shè)計(jì)變量組合xop=(x1;op,x2;op,…xm;op)情況下，均值和方差關(guān)于容差t的公式為

(28)

(29)

2)容差成本模型

容差設(shè)計(jì)是通過縮小設(shè)計(jì)變量的容差來進(jìn)一步減少產(chǎn)品的變異性. 雖然較小的容差可以降低設(shè)計(jì)變量波動(dòng)進(jìn)而提高穩(wěn)健性，但是需要更精確的設(shè)備和操作程序以及更好的技術(shù)人員, 這些都會(huì)促使投入的成本上升. 因此，在容差設(shè)計(jì)階段，設(shè)計(jì)師需要從經(jīng)濟(jì)性的角度研究設(shè)計(jì)變量的容差范圍與質(zhì)量、成本之間的關(guān)系，對(duì)質(zhì)量和成本進(jìn)行綜合決策. 目前不少學(xué)者已經(jīng)對(duì)設(shè)計(jì)變量容差和成本之間的數(shù)學(xué)關(guān)系做了研究. 依據(jù)設(shè)計(jì)變量的特點(diǎn)，常用模型有倒數(shù)模型、倒數(shù)平方模型、指數(shù)模型和冪函數(shù)模型等[15]，這些模型的計(jì)算公式如表1所示.

表1 各類容差成本模型

以容差成本模型為冪函數(shù)模型為例可得總?cè)莶畛杀灸Ｐ?/p>

(30)

步驟三容差設(shè)計(jì)的目標(biāo)優(yōu)化. 結(jié)合步驟五中的均值和方差模型以及容差成本模型，得到最優(yōu)設(shè)計(jì)變量水平組合情況下的期望質(zhì)量損失函數(shù)，再根據(jù)因子響應(yīng)試驗(yàn)數(shù)據(jù)和容差成本試驗(yàn)數(shù)據(jù)，得到質(zhì)量損失函數(shù)系數(shù). 由期望質(zhì)量損失函數(shù)和容差成本模型構(gòu)造總成本函數(shù)，通過最小化產(chǎn)品過程的總成本，得到最優(yōu)設(shè)計(jì)變量的容差水平.

1)質(zhì)量損失函數(shù)系數(shù)的計(jì)算

克勞修斯首先提出熵的概念，之后香農(nóng)將其引入到信息論中，用于評(píng)價(jià)指標(biāo)屬性或方案相對(duì)重要程度. 熵經(jīng)常被用于度量隨機(jī)試驗(yàn)的不確定性，即相應(yīng)隨機(jī)變量取值的不確定性，故而可以將其用于度量作為隨機(jī)向量的質(zhì)量成本的波動(dòng)[20]. 因此本文運(yùn)用熵權(quán)法計(jì)算質(zhì)量損失成本和容差成本的權(quán)重，進(jìn)而得到質(zhì)量損失函數(shù)系數(shù)wop，其計(jì)算步驟如下.

a)建立關(guān)于質(zhì)量波動(dòng)和容差成本的評(píng)價(jià)指標(biāo)矩陣：

假設(shè)對(duì)最優(yōu)設(shè)計(jì)變量xop，在試驗(yàn)過程中對(duì)Q個(gè)不同容差水平的組合進(jìn)行采樣. 根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)可以構(gòu)造出如下評(píng)價(jià)矩陣E

(31)

式中：eLoss;q為試驗(yàn)中第q個(gè)容差組合的質(zhì)量波動(dòng)數(shù)據(jù)，eC;q為試驗(yàn)中第q個(gè)容差組合的容差成本數(shù)據(jù)，q=1,2,…Q.

b) 規(guī)一化評(píng)價(jià)指標(biāo)矩陣

質(zhì)量波動(dòng)和容差成本都為望小特性，故質(zhì)量波動(dòng)的規(guī)一化過程如下

max(eLoss;q)≠min(eLoss;q)

max(eLoss;q)=min(eLoss;q).

(32)

式中：max(eLoss;q)為在Q個(gè)容差組合中質(zhì)量波動(dòng)的最大值，min(eLoss;q)為在Q個(gè)容差組合中質(zhì)量波動(dòng)的最小值. 類似地，可對(duì)容差成本進(jìn)行規(guī)一化.

c) 對(duì)規(guī)一化矩陣求fLoss;q

(33)

式中fLoss;q為第q次試驗(yàn)中質(zhì)量波動(dòng)所占的比重.

d) 計(jì)算質(zhì)量波動(dòng)和容差成本的熵

(34)

(35)

式中HLoss為質(zhì)量損失成本的熵，類似地，可得容差成本的熵HC.

e) 計(jì)算質(zhì)量波動(dòng)和容差成本的熵權(quán)

(36)

式中wLoss為質(zhì)量波動(dòng)的熵權(quán)，且0≤wLoss≤1. 同樣可得到容差成本的熵權(quán)wC，且滿足0≤wC≤1和wLoss+wC=1. 熵值越大，說明所能提供的信息量越小.

f) 計(jì)算最優(yōu)設(shè)計(jì)變量xop情況下質(zhì)量損失函數(shù)的尺度系數(shù)wop

(37)

式中wC≠0

2)最優(yōu)容差的計(jì)算

由質(zhì)量損失成本和容差成本，可以構(gòu)成最優(yōu)設(shè)計(jì)變量情況下的總成本函數(shù)

CM(xop,t)=E{L[y(xop)]}+C(t) .

(38)

其中E{L[y(xop)]}是根據(jù)質(zhì)量特性的類型，將最優(yōu)設(shè)計(jì)變量組合xop及質(zhì)量損失函數(shù)系數(shù)wop代入式(2)、(4)和(6)中計(jì)算得出.

通過最小化總成本，將產(chǎn)品的參數(shù)和容差經(jīng)濟(jì)性設(shè)計(jì)問題轉(zhuǎn)化為如下數(shù)學(xué)問題：

minCM(xop,t)=E{L[y(xop)]}+C(t),

st.t∈Ωt.

(39)

式中Ωt表示設(shè)計(jì)變量容差的取值范圍. 采用非線性優(yōu)化算法即可計(jì)算出最優(yōu)設(shè)計(jì)變量的容差值.

本文方法盡可能地提高質(zhì)量特性的置信水平，減少模型參數(shù)不確定性的影響；同時(shí)充分地利用了試驗(yàn)數(shù)據(jù)客觀信息，確定質(zhì)量損失的尺度系數(shù)，進(jìn)而使成本模型和優(yōu)化結(jié)果更加合理可信.

3 案例研究

Myers和Montgomery[21]最早對(duì)樹脂生產(chǎn)過程的胺添加試驗(yàn)進(jìn)行分析，之后Kim等[15]對(duì)其進(jìn)行了研究. 胺添加行為對(duì)樹脂粘度有較大的影響，因此需要同時(shí)從產(chǎn)品過程的穩(wěn)健性和經(jīng)濟(jì)性角度對(duì)其進(jìn)行參數(shù)和容差優(yōu)化設(shè)計(jì).

3.1樹脂生產(chǎn)過程的胺添加試驗(yàn)

步驟一本文以溫度(x1)、攪拌速度(x2)和添加速度(x3)為設(shè)計(jì)變量，研究了它們對(duì)質(zhì)量特性樹脂粘度(y)的影響. 設(shè)計(jì)變量真實(shí)值的取值范圍為：150≤x1≤200、5≤x2≤10和15≤x3≤25；質(zhì)量特性為望目特性，其約束范圍為：54≤y≤58，目標(biāo)值T=55. 對(duì)設(shè)計(jì)變量的真實(shí)值進(jìn)行編碼，得到真實(shí)值的編碼值如表2所示. 采用Box-Behnken試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法運(yùn)行因子響應(yīng)試驗(yàn)并采集數(shù)據(jù)，如表3所示，其中z1、z2、z3分別表示配方因子x1、x2、x3的編碼值.

表2 設(shè)計(jì)變量及其水平

表3 因子響應(yīng)試驗(yàn)數(shù)據(jù)

步驟二根據(jù)表3中因子響應(yīng)試驗(yàn)的數(shù)據(jù)，用響應(yīng)曲面法擬合得到形如式(8)的二階模型

步驟三由于y為望目質(zhì)量特性，采用式(19)可以計(jì)算y(z)在約束范圍54≤y≤58上的置信水平. 通過最大化質(zhì)量特性y(z)的置信水平，構(gòu)建形如式(22)的優(yōu)化目標(biāo)

max 1-α=pro{54≤y(z)≤58}

st.zL;i≤zi≤zU;i

i=1,2,3

式中zL;i和zU;i分別表示zi的取值范圍下限和上限. 由案例數(shù)據(jù)及相關(guān)分析知道n=15、p=10. 運(yùn)用Matlab軟件進(jìn)行編程計(jì)算優(yōu)化結(jié)果，得到最優(yōu)設(shè)計(jì)變量組合(-0.66, 0.18, 0.28)，經(jīng)解碼，其真實(shí)值組合為(158.5, 7.95, 21.4)，此時(shí)的置信水平為0.972.

步驟四通過查閱相關(guān)文獻(xiàn)，可以知道設(shè)計(jì)變量容差的取值范圍分別為：7≤t1≤10，0.35≤t2≤0.55，0.6≤t3≤0.9. 按照容差取值范圍，運(yùn)行容差成本試驗(yàn)并采集試驗(yàn)數(shù)據(jù)如表4所示，其中c1、c2、c3分別表示三種設(shè)計(jì)變量的容差成本.

步驟五通過對(duì)設(shè)計(jì)變量編碼值解碼，將步驟中二的響應(yīng)曲面模型，轉(zhuǎn)化為質(zhì)量特性關(guān)于設(shè)計(jì)變量實(shí)際值的數(shù)學(xué)關(guān)系模型

0.088x1x3+0.14x2x3.

表4 容差成本試驗(yàn)數(shù)據(jù)

通過分析質(zhì)量特性的數(shù)學(xué)模型，可知估計(jì)誤差的方差為2.25. 將上式和相關(guān)數(shù)據(jù)代入式(26)和(27)，可得質(zhì)量特性均值和方差關(guān)于設(shè)計(jì)變量及其容差的模型

(-0.65+0.6x2+0.14x3-

另外，根據(jù)本案例的實(shí)際情況并結(jié)合相關(guān)工程師的意見，本文采用冪函數(shù)模型來擬合容差成本的模型. 由表4中試驗(yàn)數(shù)據(jù)，得各設(shè)計(jì)變量容差成本的模型

將以上各容差成本模型代入式(30)中，可得總?cè)莶畛杀灸Ｐ蜑?/p>

步驟六將得到的最優(yōu)設(shè)計(jì)變量xop代入式(28)和(29)中，可以得到在最優(yōu)設(shè)計(jì)變量情況下均值和方差關(guān)于容差的函數(shù)為

由于該質(zhì)量特性為望目質(zhì)量特性，因此由式(2)得期望質(zhì)量損失成本

E{L[y(xop)]}=wopE[y(xop)-T]2=

由表3中的容差成本數(shù)據(jù)，計(jì)算各容差組合情況下的質(zhì)量損失成本和容差成本，再根據(jù)式(31)-(36)計(jì)算得到質(zhì)量損失成本和容差成本的熵權(quán)分別為0.378 4和0.621 6，此時(shí)質(zhì)量損失函數(shù)系數(shù)wop為0.608 8. 再由式(38)即可得總成本函數(shù)，進(jìn)而將容差設(shè)計(jì)問題轉(zhuǎn)化為形如式(39)的優(yōu)化目標(biāo).

st.t∈Ωt

運(yùn)用Matlab軟件的Global Optimization Toolbox工具箱并采用DIRECT算法進(jìn)行尋優(yōu)，得最優(yōu)設(shè)計(jì)變量組合xop情況下的最優(yōu)容差值top為(10, 0.55, 0.9)，此時(shí)總成本為9.226 2.

3.2比較研究

為了說明本文方法的有效性，采用文獻(xiàn)[15]中的方法做對(duì)比分析. 該方法對(duì)設(shè)計(jì)變量及其容差進(jìn)行并行優(yōu)化設(shè)計(jì)，但是沒有考慮模型參數(shù)的不確定性以及如何確定質(zhì)量損失函數(shù)系數(shù). 文獻(xiàn)[15]優(yōu)化目標(biāo)為

通過優(yōu)化得到最優(yōu)設(shè)計(jì)變量及其容差值分別為(177.77, 5.66, 25)和(7, 0.55, 0.73). 本文方法與該方法的相關(guān)質(zhì)量指標(biāo)對(duì)比如表5所示.

表5本文方法與文獻(xiàn)[15]方法的比較

Tab.5 Comparison between the proposed approach and that in literature [15]

序號(hào)文獻(xiàn)[15]方法本文方法1最優(yōu)設(shè)計(jì)變量(177.77,5.66,25)(158.5,7.95,21.4)2最優(yōu)容差值(7,0.55,0.73)(10,0.55,0.9)3質(zhì)量特性值55.264256.00544置信水平0.7090.9725質(zhì)量損失成本22.40009.81626容差成本2.29322.06937總成本24.693211.8855

由表5可見：文獻(xiàn)[15]方法比本文方法計(jì)算得到的質(zhì)量特性值更接近目標(biāo)值，但是采用本文方法計(jì)算得到最優(yōu)設(shè)計(jì)變量時(shí)，質(zhì)量特性值在約束區(qū)間的置信水平為0.972，也就是有97.2%的可能落在該區(qū)間內(nèi)，這要遠(yuǎn)高于文獻(xiàn)[15]方法；另外，本文方法的質(zhì)量損失成本和容差成本都遠(yuǎn)小于文獻(xiàn)[15]方法. 顯然，本文方法所得優(yōu)化結(jié)果的經(jīng)濟(jì)性都要優(yōu)于文獻(xiàn)[15]方法.

4 結(jié) 論

參數(shù)和容差設(shè)計(jì)是目前產(chǎn)品設(shè)計(jì)中的熱點(diǎn)問題. 同時(shí)對(duì)參數(shù)和容差進(jìn)行經(jīng)濟(jì)性設(shè)計(jì)，有助于降低生產(chǎn)運(yùn)作成本并提高產(chǎn)品可靠性. 然而目前此方面的研究，忽視了模型參數(shù)不確定性和質(zhì)量損失函數(shù)系數(shù)對(duì)優(yōu)化結(jié)果的影響. 因此，本文同時(shí)考慮這兩方面的問題，通過最大化置信水平的方法得到最優(yōu)設(shè)計(jì)變量，并采用熵權(quán)法求取此時(shí)的質(zhì)量損失函數(shù)系數(shù)，進(jìn)而得到最優(yōu)容差值. 值得注意的是，本文方法解決的是單質(zhì)量特性的參數(shù)和容差設(shè)計(jì)問題，如何針對(duì)多元質(zhì)量特性的產(chǎn)品過程解決多個(gè)響應(yīng)間的沖突和相關(guān)性問題，將是下一步的研究方向.

[1] KACKAR R N. Quality control, robust design, and the Taguchi method [M]. New York: Springer, 1989: 176-188.

[2] TAGUCHI G, CHOWDHURY S, WU Y. Taguchi’s quality engineering handbook [M]. New York: John Wiley & Sons, 2004.

[3] SHOEMAKER A C, TSUI K L, WU C F J. Economical experimentation methods for robust design [J]. Technometrics, 1991, 33(4): 415-427. DOI: 10.2307/1269414.

[4] VINING G G, MYERS R H. Combining Taguchi and response surface philosophies: a dual response approach [J]. Journal of Quality Technology, 1990, 22(1): 38-45.

[5] APLEY D W, KIM J. A cautious approach to robust design with model parameter uncertainty [J]. IIE Transactions, 2011, 43(7): 471-482. DOI: 10.1080/0740817X.2010.532854.

[6] SARIKAYA M, GULLU A. Taguchi design and response surface methodology based analysis of machining parameters in CNC turning under MQL [J]. Journal of Cleaner Production, 2014, 65(4): 604-616. DOI: 10.1016/j.jclepro.2013.08.040.

[7] 顧曉光, 馬義中, 劉健, 等. 基于置信區(qū)間的多元質(zhì)量特性滿意參數(shù)設(shè)計(jì)[J]. 系統(tǒng)工程與電子技術(shù), 2015, 37(11): 2536-2545. DOI: 10.3969/j.issn.1001-506X.2015.11.18.

GU Xiaoguang, MA Yizhong, LIU Jian, et al. Satisfactory parameter design approach based on confidence interval for multivariate quality characteristics [J]. Systems Engineering and Electronics, 2015, 37(11): 2536-2545. DOI: 10.3969/j.issn.1001-506X.2015.11.18.

[8] JIN Q, LIU S, WANG P. Optimal tolerance design for products with non-normal distribution based on asymmetric quadratic quality loss [J]. The International Journal of Advanced Manufacturing Technology,2015,78(1):667-675. DOI: 10.1007/s00170-014-6681-y.

[9] ZHAO Y M, LIU D S, WEN Z J. Optimal tolerance design of product based on service quality loss [J]. The International Journal of Advanced Manufacturing Technology, 2016, 82(9): 1715-1724. DOI: 10.1007/s00170-015-7480-9.

[10]ZHANG Y, LI L, SONG M, et al. Optimal tolerance design of hierarchical products based on quality loss function [J]. Journal of Intelligent Manufacturing. DOI:10.1007/s10845-016-1238-6.

[11]PENG H P, JIANG X J, LIU X J. Concurrent optimal allocation of design and process tolerances for mechanical assemblies with interrelated dimension chains [J]. International Journal of Production Research, 2008, 46(24): 6963-6979. DOI: 10.1080/00207540701427037.

[12]SHIN S, KONGSUWON P, CHO B R. Development of the parametric tolerance modeling and optimization schemes and cost-effective solutions [J]. European Journal of Operational Research, 2010, 207(3): 1728-1741. DOI: 10.1016/j.ejor.2010.07.009.

[13]PENG H P. Concurrent tolerancing for design and manufacturing based on the present worth of quality loss [J]. The International Journal of Advanced Manufacturing Technology, 2012, 59(9): 929-937. DOI: 10.1007/s00170-011-3542-9.

[14]BISGAARD S, ANKENMAN B. Analytic parameter design[J]. Quality Engineering, 1995, 8: 75-91. DOI: 10.1080/089821195 08904606.

[15]Kim Y J, Cho B R. Economic integration of design optimization [J].Quality Engineering, 2000, 12(4): 561-567. DOI: 10.1080/08982110008962621.

[16]JEANG A. Combined parameter and tolerance design optimization with quality and cost [J]. International Journal of Production Research, 2001, 39(5): 923-952. DOI: 10.1080/00207540010006 717.

[17]He Z, Zhang Z H, Li B G, et al. Improvement of economic integration of design with process capability index [J]. Total Quality Management & Business Excellence, 2009, 11(20): 1255-1262. DOI: 10.1080/14783360903254946.

[18]張志紅, 何楨. 考慮噪聲因子的參數(shù)和公差經(jīng)濟(jì)性設(shè)計(jì)策略[J]. 管理科學(xué)學(xué)報(bào), 2012, 15(3): 61-71.

ZHANG Zhihong, HE Zhen. Strategy of economic parameter and tolerance design with noise factors considered [J]. Journal of Management Sciences in China, 2012, 15(3): 61-71.

[19]MONTGOMERY D C. Design and analysis of experiments(6th) [M]. New York: John Wiley & Sons, 2005.

[20]歐陽林寒, 馬義中, 汪建均, 等. 基于熵權(quán)理論和雙響應(yīng)曲面的穩(wěn)健設(shè)計(jì)[J]. 管理工程學(xué)報(bào), 2014, 28(2): 191-195. DOI: 10.3969/j.issn.1004-6062.2014.02.025.

OUYANG Linhan, MA Yizhong, WANG Jianjun, et al. Robust design based on entropy weight and dual response surface [J]. Journal of Industrial Engineering/Engineering Management, 2014, 28(2): 191-195.

[21]MYERS R H, MONTGOMERY D C. Response surface methodology [M]. New York: John Wiley & Son, 1995.

Parameterandtoleranceeconomicdesignbasedonconfidencelevelandentropymethod

GU Xiaoguang, MA Yizhong, ZHANG Yanjing, JIANG Zhao

(School of Economics and Management, Nanjing University of Science and Technology, Nanjing 210094, China)

Parameter and tolerance design are used to reduce the cost of production and improve the robustness of product. We consider the effects of model parameter uncertainty and quality loss function coefficient, and propose a parameter and tolerance economic design approach based on confidence level and entropy method. The proposed approach consists of parameter design stage and tolerance design stage. In parameter design stage, we obtain the best design variables through maximizing the confidence level of quality characteristics. In tolerance design stage, we get the quality loss function coefficient through entropy method, and then obtain the best tolerances through minimizing the total cost function which is composed of quality loss cost and tolerance cost. In this paper, we have analyzed the amine addition experiment of resin production process and studied the influence of temperature, agitation and rate of addition on the viscosity of resin systematically. Experimental results indicate that the optimal design variables and their tolerance values obtained by the proposed approach minimizes the effects of model parameter uncertainty while reducing the quality lost and tolerance cost.

parameter; tolerance; confidence level; entropy method; economic design

10.11918/j.issn.0367-6234.20171084

O213.1

A

0367-6234(2017)11-0073-08

2017-01-28

國(guó)家自然科學(xué)基金(71471088；61603347)

顧曉光(1986—)，男，博士研究生；馬義中(1964—)，男，教授，博士生導(dǎo)師

馬義中，yzma-2004@163.com

(編輯苗秀芝)