● (太湖中學，安徽 太湖 246400)

2017-07-08

李昭平(1963-)，男，安徽太湖人，安徽省特級教師.研究方向數(shù)學教育.

從等差向等比類比

●李昭平
(太湖中學，安徽 太湖 246400)

類比,通常是指由某類事物的特征類比出另一類事物的相應特征的一種思維方式和解題思想.等差數(shù)列和等比數(shù)列之間聯(lián)系緊密、規(guī)律和諧、辯證統(tǒng)一，這些為等差向等比類比提供了保證.從等差數(shù)列的性質、形式、條件、等式、解法可以類比出等比數(shù)列相應的性質、形式、條件、等式、解法等.

等差數(shù)列；類比；等比數(shù)列；邏輯證明

從等差向等比類比，往往融直觀想象、邏輯推理、數(shù)學運算等數(shù)學核心素養(yǎng)于一體，能有效培養(yǎng)學生的直覺思維能力、合情推理能力和探究證明能力[1].從等差數(shù)列的性質可以類比出等比數(shù)列的性質；從等差數(shù)列問題的結構形式可以類比出等比數(shù)列問題的結構形式；從等差數(shù)列的充要條件可以類比出等比數(shù)列的充要條件；從等差數(shù)列滿足的等式可以類比出等比數(shù)列所滿足的等式；從等差數(shù)列問題的解法可以類比出等比數(shù)列問題的解法.下面分享幾個類比結論，從中體會類比的魅力.

1 性質類比

例1我們知道，若等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，則對任意m∈N*,Sm,S2m-Sm,S3m-S2m也成等差數(shù)列.類比到等比數(shù)列，則有：若等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，則對任意m∈N*,Sm,S2m-Sm,S3m-S2m(其中Sm≠0)也成等比數(shù)列.

說明以上兩道題是大家熟悉的，均由等差數(shù)列的性質類比出等比數(shù)列的相應性質.例1中要注意在等比數(shù)列中，必須滿足Sm≠0；例2的結論中“和差”變成了“積商”，這是由等比數(shù)列的本質決定的.

2 形式類比

例3在等差數(shù)列{an}中，若a2+1,a4+3,a6+5成等比數(shù)列，則其公比是1.理由是：因為a2,a4,a6成等差數(shù)列，1,3,5也成等差數(shù)列，所以a2+1,a4+3,a6+5成等差數(shù)列.于是a2+1,a4+3,a6+5既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列，則為非零的常數(shù)列，故其公比是1.由此向等比數(shù)列類比，寫出一道試題，并解之.

分析類比題:在等比數(shù)列{an}中，若2a1,6a3,18a5成等差數(shù)列，則其公差是______．

事實上，因為a1,a3,a5成等比數(shù)列，2,6,18也成等比數(shù)列，所以2a1,6a3,18a5成等比數(shù)列.于是2a1,6a3,18a5既是等比數(shù)列又是等差數(shù)列，則為非零的常數(shù)列，故其公差是0.

說明從形式類比，例2中等差、等比數(shù)列的性質可以一般化，即“在等差數(shù)列{an}中，若am+bk,ap+bs,aq+bt成等比數(shù)列，且am,ap,aq和bk,bs,bt均成等差數(shù)列，則其公比是1”和“在等比數(shù)列{an}中，若ambk,apbs,aqbt成等差數(shù)列，且am,ap,aq和bk,bs,bt均成等比數(shù)列，則其公差是0”[2].

例4在數(shù)1和100之間插入n個實數(shù)，使得這n+2個數(shù)構成遞增的等差數(shù)列，將這n+2個數(shù)的和記作Tn，再令an=10Tn，n≥1.

1)求數(shù)列{an}的通項公式；

2)由此向等比數(shù)列類比，寫出一道試題，并解之.

分析1)設t1,t2,…,tn+2構成等差數(shù)列，其中t1=1,tn+2=100，則

因此

2)類比題：在數(shù)1和100之間插入n個實數(shù)，使得這n+2個數(shù)構成遞增的等比數(shù)列，將這n+2個數(shù)的乘積記作Tn，再令an=lgTn,n≥1.求數(shù)列{an}的通項公式.

事實上，設t1,t2,…,tn+2構成等比數(shù)列，其中t1=1,tn+2=100，則

式(1)×式(2)并利用titn+3-i=t1tn+2=102(其中1≤i≤n+2),得

從而

an=lgTn=n+2,其中n∈N*.

說明從試題結構形式上類比，即“遞增的等差數(shù)列變成遞增的等比數(shù)列”“n+2個數(shù)的和記作Tn變成n+2個數(shù)的乘積記作Tn”“再令an=10Tn變成再令an=lgTn”.

3 條件類比

例5設數(shù)列{an}的前n項和為Sn,不難得到：數(shù)列{an}為等差數(shù)列的充分必要條件是：對任何n∈N+,都有Sn=An2+Bn(其中A,B是常數(shù)).由此向等比數(shù)列類比，寫出結論，并證明之.

分析類比結論：設數(shù)列a1,a2,…,an,…中的每一項都不為0，且前n項和為Sn,則數(shù)列{an}為公比非1的等比數(shù)列的充分必要條件是：對任何n∈N+,都有Sn=kqn-k(其中k,q是非零的常數(shù)).

只證充分性(必要性易證，略去)：當n≥2時，

an=Sn-Sn-1=(kqn-k)-(kqn-1-k)=

k(q-1)qn-1；

當n=1時,

a1=S1=kq-k=k(q-1),

從而

an=k(q-1)qn-1,其中n∈N+.

因此{an}是等比數(shù)列.

說明從等差數(shù)列的和式充要條件類比到等比數(shù)列的和式充要條件.

例6設數(shù)列a1,a2,…,an,…中的每一項都不為0.我們能得到：{an}為等差數(shù)列的充分必要條件是：對任何n∈N+,都有

此結論反映了等差數(shù)列概念的又一種表達方式.由此向等比數(shù)列類比，寫出結論，并證明之.

分析類比結論：設數(shù)列a1,a2,…,an,…中的每一項都為正數(shù)，則{an}為等比數(shù)列的充分必要條件是：對任何n∈N+,都有

只證充分性(必要性易證，略去)：由

和

整體相除，得

即

同理可得

于是

而數(shù)列a1,a2,…,an,…中的每一項都為正數(shù),從而

4 等式類比

例7在等差數(shù)列{an}中，若a2 018=0,則等式a1+a2+a3+…+an=a1+a2+a3+…+a4 035-n(其中n<4 035,n∈N*)成立.類比此等式，相應地，在等比數(shù)列{bn}中，若b2 017=1,則有______成立.

分析因為a4 036-n+i+an-i=2a2 018=0(其中0≤i≤n-1),且

2(a4 036-n+a4 037-n+a4 038-n+…+an)=(a4 036-n+an)+(a4 037-n+an-1)+(a4 038-n+an-2)+…+(an+a4 036-n)=0,所以a4 036-n+a4 037-n+a4 038-n+…+an=0,

于是a1+a2+a3+…+an=a1+a2+a3+…+a4 035-n(其中n<4 035,n∈N*).

(b4 034-n·b4 035-n·b4 036-n·…·bn)2=(b4 034-n·b4 035-n·b4 036-n·…·bn)(bn·bn-1·bn-2·…·b4 034-n)=(b4 034-n·bn)(b4 036-n·bn-1)(b4 035-n·bn-2)·…·(bn·b4 034-n)=1,所以b4 034-n·b4 035-n·b4 036-n·…·bn=1,于是b1·b2·b3·…·bn=b1·b2·b3·…·b4 033-n(其中n<4 033,n∈N*).

說明從等差數(shù)列{an}滿足的等式類比到等比數(shù)列{bn}滿足的等式，充分運用an+am=ap+ap和bn·bm=bp·bq(其中n+m=p+q).

5 解法類比

例8在等差數(shù)列{an}中，對某些正整數(shù)s，t(其中s≠t),當as=at時，{an}必是常數(shù)列.類比此結論，在等比數(shù)列{bn}中，對某些正整數(shù)s，t(其中s≠t),當as=at時，{bn}也是常數(shù)列嗎？

當s-r為奇數(shù)時，q=1，{bn}是常數(shù)列；當s-r為偶數(shù)時，q=±1，{bn}是項的絕對值相等、相鄰項異號的非常數(shù)列.

說明從等差數(shù)列{an}的解法類比到等比數(shù)列{bn}的解法，獲得結論.

以上8個例題很好地展現(xiàn)了等差數(shù)列與等比數(shù)列在定義、通項、求和公式、基本性質等方面的聯(lián)系和區(qū)別.利用兩者異同規(guī)律進行類比,往往會得到兩種數(shù)列類似的結論.顯然在證明過程中，也充分運用了解決數(shù)列問題的一些重要思想方法(函數(shù)思想、整體相減、整體相加、整體相乘、整體相除等).需要注意的是，類比的結論不一定都正確，需要邏輯證明.這給我們的啟示是：類比是極好的研究性學習素材，關鍵在于教師要善于思考、善于發(fā)掘、善于研究、善于利用[3].

[1] 中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學課程標準(實驗)[M].北京：人民教育出版社，2003.

[2] 曹才翰，章建躍.數(shù)學教育心理學[M].北京：北京師范大學出版社，1999.

[3] 李昭平.通過數(shù)學研究性學習培養(yǎng)學生科學素養(yǎng)[J].中學數(shù)學,2011(4)：12-14.

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