● (寧波大學(xué)附屬學(xué)校，浙江 寧波 315000)

2017-07-08

鄔云德(1956-)，男，浙江奉化人，浙江省特級(jí)教師.研究方向數(shù)學(xué)教育.

初中概念教學(xué)：根據(jù)概念的定義形式針對(duì)性地設(shè)計(jì)教學(xué)

●鄔云德
(寧波大學(xué)附屬學(xué)校，浙江 寧波 315000)

數(shù)學(xué)概念的定義形式可分為白描、歸納和抽象這3種，根據(jù)概念的定義形式針對(duì)性地設(shè)計(jì)教學(xué)是概念教學(xué)所要遵循的基本規(guī)范．但目前有不少教師在概念教學(xué)中沒有按這個(gè)規(guī)范進(jìn)行操作．鑒于此，文章介紹各種定義形式的概念的特征及其對(duì)應(yīng)的認(rèn)知過(guò)程．

數(shù)學(xué)概念；定義形式；認(rèn)知過(guò)程

數(shù)學(xué)概念是反映現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)量關(guān)系和空間形式的本質(zhì)屬性的思維形式[1]．?dāng)?shù)學(xué)概念的定義形式大致可分為白描、歸納和抽象這3種．例如，畫出三角形，定義“這樣的圖形為三角形”為白描形式；畫出一些包括三角形在內(nèi)的多邊形，定義“由三條邊構(gòu)成的多邊形為三角形”為歸納形式；直接給出定義“由三條線段首尾相接所組成的平面圖形為三角形”為抽象形式[2].根據(jù)概念的定義形式針對(duì)性地設(shè)計(jì)教學(xué)是概念教學(xué)所要遵循的基本規(guī)范．但調(diào)研發(fā)現(xiàn)，目前有不少教師在概念教學(xué)中沒有按這個(gè)規(guī)范進(jìn)行操作．鑒于此，筆者介紹各種定義形式的概念的特征及其對(duì)應(yīng)的認(rèn)知過(guò)程，供讀者參考、研究．

1 白描形式定義的概念的特征及其對(duì)應(yīng)的認(rèn)知過(guò)程

若所學(xué)概念的形式特征比較明顯，能從外形上直接觀察和識(shí)別，并且教學(xué)要求不高，或所學(xué)概念的本質(zhì)特征比較抽象，學(xué)生還缺乏抽象其本質(zhì)特征所需要的知識(shí)與經(jīng)驗(yàn)(例如，抽象拋物線的本質(zhì)特征需要高中知識(shí))，則可選擇用白描形式定義該概念．其對(duì)應(yīng)的認(rèn)知過(guò)程可用圖1表示．

圖1

案例1浙教版《數(shù)學(xué)》七年級(jí)上冊(cè)第4.2節(jié)“代數(shù)式”概念的教學(xué)設(shè)計(jì)．

1)問題：利用字母表示數(shù)，能把數(shù)和數(shù)量關(guān)系一般化地、簡(jiǎn)明地表示出來(lái)．怎樣根據(jù)下列問題的條件列出算式？

2)操作：

①大米的單價(jià)為每千克a元，食油的單價(jià)為每千克b元．買10千克大米、2千克食油共需多少元？

②日平均氣溫是指一天中2：00,8：00,14:00,20:00這4個(gè)時(shí)刻氣溫的平均值．若上述4個(gè)時(shí)刻氣溫的攝氏度數(shù)分別是a,b,c,d,則日平均氣溫的攝氏度數(shù)是多少？

圖2

③一個(gè)五彩花圃的形狀如圖2所示，花圃的面積是多少？

3)觀察：上面我們所得到的算式和以前學(xué)過(guò)的算式有什么區(qū)別？

5)解釋：這里的運(yùn)算是指加、減、乘、除、乘方和開方．單獨(dú)一個(gè)數(shù)或者一個(gè)字母也稱代數(shù)式．

6)應(yīng)用：請(qǐng)解答下列問題．

問題1怎樣用代數(shù)式表示下列數(shù)量關(guān)系？

①x的3倍與3的差;

③a與b的和的平方;

④ 2a的立方根;

⑤v1,v2的和除s所得的商;

⑥x與1的差的平方根．

問題2已知甲數(shù)比乙數(shù)的2倍少1．設(shè)乙數(shù)為x，則怎樣用x的代數(shù)式來(lái)表示甲數(shù)？

問題3一輛汽車以80 km/h的速度行駛，從城A到城B需th．如果該車的行駛速度增加vkm/h，那么從城A到城B需多少時(shí)間？

問題4能舉一個(gè)用代數(shù)式3a+2b表示結(jié)果的實(shí)際問題的例子嗎？

7)反思：你在學(xué)習(xí)過(guò)程中對(duì)代數(shù)式有何感觸？你認(rèn)為還應(yīng)該繼續(xù)研究什么？

說(shuō)明用白描形式定義概念其對(duì)應(yīng)的學(xué)習(xí)方式是概念形成的方式，只不過(guò)其形式特征比較明顯，略去了歸納抽象的過(guò)程．用白描形式定義概念對(duì)概念的本質(zhì)揭示不夠，彌補(bǔ)這個(gè)缺陷有兩種處理方法：一是在以白描的方式給出概念后，再對(duì)概念的數(shù)學(xué)本質(zhì)作進(jìn)一步的分析說(shuō)明；二是像代數(shù)式的定義一樣，采用“白描+說(shuō)明”的定義形式．教材中許多概念是用“白描+說(shuō)明”的形式定義的．白描形式定義的概念其教學(xué)側(cè)重點(diǎn)應(yīng)放在“操作”和“應(yīng)用”上，使學(xué)生明確概念從哪里來(lái)和往何處去．

2 歸納形式定義的概念的特征及其對(duì)應(yīng)的認(rèn)知過(guò)程

若所學(xué)概念的本質(zhì)特征比較抽象，但學(xué)生有抽象其本質(zhì)特征所需要的知識(shí)與經(jīng)驗(yàn)，并想讓學(xué)生在概念學(xué)習(xí)過(guò)程中有更多的收獲，經(jīng)歷更多的數(shù)學(xué)思考過(guò)程，則可選擇用歸納形式定義該概念．其對(duì)應(yīng)的認(rèn)知過(guò)程可用圖3表示．

圖3

案例2浙教版《數(shù)學(xué)》八年級(jí)下冊(cè)第2.1節(jié)“一元二次方程”概念的教學(xué)設(shè)計(jì)．

1)問題：我們知道，一元一次方程、二元一次方程(組)都是刻畫現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量相等關(guān)系問題的有效模型．一元一次方程、二元一次方程(組)夠用了嗎？

2)操作：請(qǐng)大家根據(jù)下列問題中的條件列出方程．

圖4

①把面積為4 m2的一張紙分割成如圖4所示的正方形和長(zhǎng)方形兩個(gè)部分，則正方形的邊長(zhǎng)是多少？

若設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為xm,則x應(yīng)滿足怎樣的方程？

②象山特產(chǎn)“高唐西瓜”進(jìn)入了收獲期．據(jù)調(diào)查2015年收購(gòu)價(jià)是3元/斤，2017年收購(gòu)價(jià)是4元/斤．問：?jiǎn)蝺r(jià)平均每年上升的百分率是多少？

若設(shè)單價(jià)平均每年上升的百分率為x，則x應(yīng)滿足怎樣的方程？

圖5

若設(shè)B端將沿CB方向移動(dòng)xm，則x應(yīng)滿足怎樣的方程？

3)觀察：方程“x2+3x=4”與一元一次方程或二元一次方程相比有何差異？

5)表達(dá)：一般地，方程兩邊都是整式，只含有一個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是二次的方程叫做一元二次方程．能使一元二次方程兩邊相等的未知數(shù)的值叫一元二次方程的解(或根)．由于任何一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程都可以化為ax2+bx+c=0的形式,我們把a(bǔ)x2+bx+c=0(其中a,b,c是已知數(shù)，a≠0)稱為一元二次方程的一般形式．其中ax2，bx，c分別稱為二次項(xiàng)、一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)，a，b分別稱為二次項(xiàng)系數(shù)和一次項(xiàng)系數(shù)．

6)應(yīng)用：請(qǐng)解答下列問題．

問題1下列方程哪些是一元二次方程？

① 10x2=9；

② 2(x-1)=3x；

③ 2x2-3x-1=0；

⑤ 2xy-7=0；

⑥ 9x2=5-4x；

⑦ 4x2=5x；

⑧ 3t2+4=5t．

問題2表1中的空格處應(yīng)填什么？

表1 一元二次方程

6)反思：在ax2+bx+c=0(其中a,b,c是已知數(shù)，且a≠0)中，為何要規(guī)定a≠0？為何不規(guī)定b和c也必須不為0？求二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)要經(jīng)歷哪幾個(gè)步驟？你對(duì)一元二次方程有何感觸？

說(shuō)明用歸納形式定義概念其對(duì)應(yīng)的學(xué)習(xí)方式是概念形成的方式.由于其形式特征不太明顯，因此要經(jīng)歷操作、觀察、歸納、抽象、表達(dá)等完整的認(rèn)知過(guò)程．它是一種帶有較多發(fā)現(xiàn)性的學(xué)習(xí)方式，對(duì)發(fā)展學(xué)生的智力、能力和個(gè)性有積極影響．教材中大多數(shù)概念是用歸納方式定義的，旨在全面發(fā)揮數(shù)學(xué)概念的育人功能．歸納方式定義的概念其教學(xué)側(cè)重點(diǎn)應(yīng)放在“操作觀察”“歸納抽象”上，以發(fā)展學(xué)生觀察、歸納、抽象的能力，積累多角度觀察事物特征的經(jīng)驗(yàn)，體會(huì)概念從哪里來(lái)等．

3 抽象形式定義的概念的特征及其對(duì)應(yīng)的認(rèn)知過(guò)程

根據(jù)奧蘇貝爾的概念獲得過(guò)程理論，數(shù)學(xué)概念的來(lái)源：一是來(lái)自于生活實(shí)例的數(shù)學(xué)抽象；二是數(shù)學(xué)自身邏輯的產(chǎn)物．若所學(xué)概念是數(shù)學(xué)自身邏輯的產(chǎn)物，特別是所學(xué)概念是已知概念的特殊情況，則可選擇用抽象形式定義該概念．其對(duì)應(yīng)的認(rèn)知過(guò)程可用圖6表示．

圖6

案例3浙教版《數(shù)學(xué)》八年級(jí)下冊(cè)第5.1節(jié)“矩形”概念的教學(xué)設(shè)計(jì)．

浙教版教材對(duì)矩形是這樣定義的：我們把有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形．它屬于抽象的定義形式．根據(jù)圖6可將其教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)如下.

1)問題：在數(shù)學(xué)中，當(dāng)研究對(duì)象有多種情況時(shí)，經(jīng)常要通過(guò)考察對(duì)象的特殊情況來(lái)加深對(duì)該對(duì)象的認(rèn)識(shí)．平行四邊形的形狀、大小是千變?nèi)f化的(教師借助平行四邊形模型進(jìn)行演示)，因此要通過(guò)考察平行四邊形的特殊情況來(lái)加深對(duì)平行四邊形的認(rèn)識(shí)．平行四邊形有哪些情況比較特殊？

2)定義：我們把有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形．

3)分析：矩形的本質(zhì)特征是什么？矩形與平行四邊形、線段、直角三角形和生活中的矩形分別是怎樣的關(guān)系？

4)辨認(rèn)：小學(xué)里學(xué)過(guò)的長(zhǎng)方形和正方形是不是矩形？小學(xué)里學(xué)過(guò)的梯形呢？

5)強(qiáng)化：能舉幾個(gè)矩形的生活實(shí)例嗎？生活中為何經(jīng)常采用矩形的結(jié)構(gòu)？

6)反思：矩形是怎樣產(chǎn)生的？還可以怎樣產(chǎn)生？矩形有何用處？你對(duì)矩形有何感觸？

說(shuō)明用抽象形式定義概念其對(duì)應(yīng)的學(xué)習(xí)方式是概念同化的方式.它是一種帶有較多接受性的學(xué)習(xí)方式，其優(yōu)點(diǎn)是教學(xué)效率高——通過(guò)演繹直接獲得概念；其缺點(diǎn)是抽象——它不是來(lái)源于現(xiàn)實(shí)，而是數(shù)學(xué)自身邏輯的產(chǎn)物．彌補(bǔ)其缺點(diǎn)的處理方法是：在以抽象的方式給出概念后，再對(duì)概念作進(jìn)一步的分析與強(qiáng)化，以使學(xué)生明確概念的數(shù)學(xué)本質(zhì)，理解概念與相關(guān)概念之間的關(guān)系，豐富概念的生活實(shí)例．教材對(duì)一些特殊圖形大多是用“抽象”方式定義的，旨在揭示概念之間的邏輯關(guān)系．抽象方式定義的概念其教學(xué)側(cè)重點(diǎn)應(yīng)放在“分析”和“強(qiáng)化”上，以使學(xué)生把所學(xué)概念納入到相應(yīng)的概念體系之中．不像試卷中的新定義概念，課堂教學(xué)中直接給出定義總有“天上掉下林妹妹”的感覺，為使思維過(guò)渡自然，像用白描形式定義的概念教學(xué)一樣，可以在給出定義之前，有一個(gè)簡(jiǎn)單的導(dǎo)入或操作過(guò)程．

在中小學(xué)數(shù)學(xué)中，有許多概念既可以用白描形式定義，也可以用歸納形式定義，還可以用抽象形式定義，并且有些概念不同學(xué)段其定義形式也不同．選擇哪種定義形式主要取決于學(xué)生已有的知識(shí)與經(jīng)驗(yàn)和教師對(duì)學(xué)習(xí)目標(biāo)的定位(年輕教師可以參考教材使用的定義形式).若學(xué)生有歸納抽象概念本質(zhì)特征所需要的知識(shí)與經(jīng)驗(yàn)，并想全面發(fā)揮其育人功能，則可選擇用歸納形式定義概念并針對(duì)性地設(shè)計(jì)教學(xué)．盡管根據(jù)概念的定義形式針對(duì)性地設(shè)計(jì)教學(xué)是有效概念教學(xué)的重要標(biāo)志，但還要發(fā)揮教師的主導(dǎo)作用(根據(jù)概念的特征和學(xué)生的實(shí)際情況確定合適的教學(xué)目標(biāo)，通過(guò)選擇合適的問題來(lái)引發(fā)學(xué)生積極思考，通過(guò)適度的價(jià)值引導(dǎo)來(lái)促進(jìn)學(xué)生的思維等)，要留給學(xué)生足夠的自主思考與實(shí)踐的時(shí)間和合作交流的機(jī)會(huì)，要合理評(píng)價(jià)學(xué)生在數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程中的表現(xiàn)．按歸納形式定義概念并針對(duì)性地進(jìn)行教學(xué)，有時(shí)會(huì)給按時(shí)完成教學(xué)任務(wù)帶來(lái)挑戰(zhàn)．解決這個(gè)問題的策略是運(yùn)用課內(nèi)外結(jié)合的方法——課前預(yù)習(xí)教師設(shè)計(jì)的具有“問題+指導(dǎo)”“閱讀+思考”“探究+反思”的導(dǎo)學(xué)案[3]．

[1] 羅增儒．?dāng)?shù)學(xué)概念的教學(xué)認(rèn)識(shí)[J]．中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考:中旬，2016(3)：1-4．

[2] 史寧中．?dāng)?shù)學(xué)教育的未來(lái)發(fā)展[J].數(shù)學(xué)教學(xué),2014(1):1-3.

[3] 鄔云德．例談“先行組織者”教學(xué)方式及其成效[J]．中學(xué)教研(數(shù)學(xué))，2012(11)：9-12．

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1003-6407(2017)10-01-04