江蘇連云港市九里中心小學(xué) 劉軍吉

滲透數(shù)學(xué)模型思想，促進(jìn)學(xué)生思維發(fā)展

江蘇連云港市九里中心小學(xué) 劉軍吉

“數(shù)學(xué)建?！钡倪^程就是實(shí)現(xiàn)“數(shù)學(xué)化”的過程。在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂上，教師需要有效把握滲透數(shù)學(xué)模型思想的四大原則：激發(fā)學(xué)生探究欲望的原則、搭建臺(tái)階輔助支撐的原則、歸納概括抽象表達(dá)的原則、激發(fā)主動(dòng)有序研究的原則。只有長(zhǎng)期堅(jiān)持在課堂上滲透數(shù)學(xué)模型思想，才能促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維向更高級(jí)別發(fā)展，聯(lián)結(jié)數(shù)學(xué)解題與生活實(shí)際的關(guān)系。

模型思想 思維發(fā)展 核心素養(yǎng)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中把數(shù)學(xué)模型思想歸結(jié)為數(shù)學(xué)十大核心內(nèi)容之一，強(qiáng)調(diào)建立數(shù)學(xué)模型思想就是讓學(xué)生體會(huì)和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑。同時(shí)，還提出要幫助學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型思想的過程，即從現(xiàn)實(shí)生活或者具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)符號(hào)建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，求出結(jié)果、并討論結(jié)果的意義。可見教師在課堂上滲透數(shù)學(xué)模型思想有助于學(xué)生初步形成模型思想，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和應(yīng)用意識(shí)。

因此，我結(jié)合自己的數(shù)學(xué)課堂，努力在數(shù)學(xué)建模教學(xué)中建立以下四個(gè)基本原則：激發(fā)學(xué)生探究欲望的原則，搭建臺(tái)階輔助支撐的原則，歸納概括抽象表達(dá)的原則，激發(fā)主動(dòng)有序研究的原則。

一、在數(shù)學(xué)模型中設(shè)計(jì)生活情境，激發(fā)學(xué)生探究欲望的原則

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中指出：數(shù)學(xué)源自生活，又高于生活。當(dāng)我們把生活實(shí)際問題帶進(jìn)數(shù)學(xué)課堂時(shí)，不僅能讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)有用，還能激發(fā)他們的探究欲望和學(xué)習(xí)欲望。如在教學(xué)蘇教版六年級(jí)上冊(cè)第一單元“長(zhǎng)方體和正方體表面積”的知識(shí)后，我結(jié)合生活中的包裝設(shè)計(jì)了操作實(shí)踐活動(dòng)課“表面積的變化”，讓學(xué)生借助學(xué)具操作，探索發(fā)現(xiàn)多個(gè)相同正方體、長(zhǎng)方體拼搭后表面積的變化規(guī)律，體驗(yàn)解決問題的基本過程、方法與策略，并且總結(jié)出包裝問題的模型。

師：同學(xué)們，今天我們來研究包裝拼搭問題中“表面積的面積”，想一想現(xiàn)在老師給你2個(gè)小正方體，它們的表面積有什么變化。

生：用2個(gè)小正方體可以拼成1個(gè)長(zhǎng)方體，我們發(fā)現(xiàn)可以左右疊，也可以上下疊。當(dāng)它們拼出來后和原來相比少了2個(gè)面的面積。

教師結(jié)合學(xué)生的回答畫表格板書：

師：如果有3個(gè)、4個(gè)、5個(gè)這樣的正方體拼成一個(gè)長(zhǎng)方體，表面積又會(huì)怎么變化呢？請(qǐng)你自己拼一拼，并填寫表格。

（學(xué)生自己操作填表，教師巡視并指導(dǎo)）

師：同學(xué)們，在你們剛才的動(dòng)手拼搭中，你們覺得正方體個(gè)數(shù)和減少的表面積之間有什么規(guī)律？

生：如果把n個(gè)正方體排成一排拼出長(zhǎng)方體后，我們發(fā)現(xiàn)表面積會(huì)減少2（n-1）個(gè)面的面積。

師：剛才老師看到同樣是4個(gè)正方體拼出來的長(zhǎng)方體，但是它們的形狀不一樣，表面積會(huì)怎么樣呢？

生：我們用4個(gè)正方體拼出了兩種不同的長(zhǎng)方體，一種長(zhǎng)方體的表面積減少了6個(gè)面，另一種長(zhǎng)方體的表面積減少了8個(gè)面。

師：看來把多個(gè)正方體拼成長(zhǎng)方體的拼法不同，拼成后減少的面的面積也不相同。重疊的面越多，拼成的長(zhǎng)方體的表面積就會(huì)越小。

在這個(gè)教學(xué)片段中，教師設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)活動(dòng)由易到難，符合學(xué)生的年齡特點(diǎn)和認(rèn)知水平，讓他們?cè)趧?dòng)手操作中不僅體會(huì)到成功的喜悅，還建立了正方體個(gè)數(shù)和減少的表面積、同樣的正方體和減少的面不同等數(shù)學(xué)模型，為后續(xù)探究更多的正方體個(gè)數(shù)積累了數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

二、在數(shù)學(xué)模型中拓展數(shù)學(xué)題組，搭建臺(tái)階輔助支撐的原則

數(shù)學(xué)模型思想的育人價(jià)值在于為學(xué)生搭建適合他們數(shù)學(xué)思維的輔助支撐，并且激發(fā)學(xué)生頭腦中已有的生活經(jīng)驗(yàn)，讓他們感受到隱含抽象的數(shù)學(xué)問題，總結(jié)歸納出數(shù)學(xué)模型。如在教學(xué)蘇教版四年級(jí)的“植樹問題”一課時(shí)，教師把“兩端不栽”“兩端都栽”“只栽一端”這幾種數(shù)學(xué)模型以題組的形式呈現(xiàn)，讓學(xué)生在比較和遷移中發(fā)現(xiàn)這兩種相似的數(shù)學(xué)模型之間的聯(lián)系和區(qū)別。

師：[課件出示題目：綠化隊(duì)要在相距60米的小路一邊植樹（兩端都栽），相鄰兩棵樹之間的距離是3米。一共要栽多少棵樹？]同學(xué)們，請(qǐng)你先讀一讀題目，再解決這道題目。

生1：60÷3=20（棵）。因?yàn)?0米里面有3個(gè)20米，所以答案是20棵。

生2：60÷3+1=21（棵）。我通過畫圖數(shù)出來答案是21棵，而且我們知道60米里面有20個(gè)3米，我們還要算上最后1棵樹。

（師帶著全班同學(xué)一起畫圖數(shù)數(shù)，并總結(jié)出“兩端都栽”的數(shù)學(xué)模型）

師：如果用一個(gè)公式來表示“兩端都栽”的棵數(shù)，你會(huì)怎么表示？

生：棵數(shù)=間隔數(shù)+1。

師：剛才我們解決了“兩端都栽”的數(shù)學(xué)模型，現(xiàn)在我們還看看“兩端都不栽”又會(huì)是怎么樣呢？[課件出示題目：綠化隊(duì)要在相距60米的小路一邊植樹（兩端不栽），相鄰兩棵樹之間的距離是3米。一共要栽多少棵樹？]

生：60÷3-1=19（棵）。因?yàn)檫@道題目?jī)啥硕疾辉?，?dāng)我們種到最后一棵時(shí)，正好是末端，這棵樹不能算。

師：現(xiàn)在我們一起想一想，剛才我們?cè)诮鉀Q“兩端都不栽”的問題時(shí)，你發(fā)現(xiàn)了什么？

生：棵數(shù)=間隔數(shù)-1。

在這個(gè)教學(xué)片段中，教師通過把相近的“植樹問題”以數(shù)學(xué)題組的方式呈現(xiàn)，層次清晰，引導(dǎo)學(xué)生由表及里地認(rèn)識(shí)“植樹問題”的各種規(guī)律，通過前面鋪墊里的數(shù)學(xué)規(guī)律讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)一一間隔排列的規(guī)律，在此基礎(chǔ)上，讓學(xué)生自己畫一畫的過程中發(fā)現(xiàn)兩端都栽的情況下會(huì)多1，兩端都不栽的情況會(huì)少1。這樣的數(shù)學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)既能讓學(xué)生更加直觀地發(fā)現(xiàn)不同類型“植樹問題”之間的異同點(diǎn)，還能為學(xué)生解決數(shù)字更大和更加復(fù)雜的“植樹問題”提供數(shù)學(xué)公式模型。

三、在數(shù)學(xué)模型中增加動(dòng)手操作，歸納概括抽象表達(dá)的原則

動(dòng)手操作的實(shí)踐活動(dòng)有助于讓數(shù)學(xué)活動(dòng)更加直觀且富有個(gè)性，還能讓教師更加清晰地看到學(xué)生的思考過程。因此，我們?cè)跀?shù)學(xué)課堂教學(xué)時(shí)倡導(dǎo)動(dòng)手操作、自主探索、合作交流等學(xué)習(xí)活動(dòng)，讓學(xué)生在彼此交流中碰撞出數(shù)學(xué)的思維火花，努力構(gòu)建出讓更多人能理解的數(shù)學(xué)模型。如我在教學(xué)蘇教版六年級(jí)下冊(cè)“圓錐的體積”一課時(shí)，在課堂上讓學(xué)生借助圓柱、長(zhǎng)方體、正方體和圓柱等學(xué)具進(jìn)行倒?jié)M沙子的活動(dòng)，從而發(fā)現(xiàn)圓錐和圓柱體積之間的關(guān)系。

師：同學(xué)們，我們?cè)谏弦还?jié)課學(xué)習(xí)圓柱的體積時(shí)用了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，這一節(jié)課我們要來學(xué)習(xí)圓錐的體積，想一想你們能把它轉(zhuǎn)換為我們學(xué)過的什么圖形？

（學(xué)生有的說長(zhǎng)方體，有的說正方體，有的說圓柱等）

師：接下來，請(qǐng)大家4人一組，利用桌上的學(xué)具進(jìn)行操作，研究出圓錐體積的計(jì)算方法。

（教師巡視，并觀察學(xué)生的操作情況）

生1：我們組選擇了長(zhǎng)方體和圓錐進(jìn)行裝沙，我們把圓錐里的沙倒進(jìn)長(zhǎng)方體容器里，沒有發(fā)現(xiàn)什么聯(lián)系。

生2：我們組選擇了圓柱和圓錐進(jìn)行裝沙，把圓錐里的沙倒進(jìn)圓柱里，我們倒了3次才把圓柱裝滿。所以我們組認(rèn)為圓柱的體積是圓錐體積的3倍，我們知道了圓柱的體積，想要知道圓錐體積只要除以3就可以了。

師：那請(qǐng)大家仔細(xì)觀察這個(gè)圓柱和圓錐的底面和高，你覺得它們有什么關(guān)系？

生：這個(gè)圓柱和圓錐的底面積相等，高也相等。

（學(xué)生動(dòng)手挑選等底等高的圓柱和圓錐進(jìn)行驗(yàn)證，發(fā)現(xiàn)它們之間都存在著圓錐體積是圓柱體積的的規(guī)律）

在這個(gè)教學(xué)片段中，教師為學(xué)生提供了豐富的操作學(xué)具，學(xué)生需要從這些學(xué)具里挑選出自己需要的學(xué)具進(jìn)行創(chuàng)造性學(xué)習(xí)，而且在動(dòng)手操作中他們通過不斷的猜想、分析、調(diào)整、試驗(yàn)、總結(jié)尋找到最合適的學(xué)具，從而歸納概括出圓錐體積和圓柱體積之間的聯(lián)系。這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)讓學(xué)生充分體驗(yàn)到建立數(shù)學(xué)模型的過程，豐富了他們的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

四、在數(shù)學(xué)模型中嘗試化大為小，激發(fā)主動(dòng)有序研究的原則

“化大為小”是數(shù)學(xué)建模中的一種數(shù)學(xué)思想方法，通過把題目中的數(shù)目變小有助于尋找到解決問題的突破口，從而建立這種題型的數(shù)學(xué)模型，為解決更復(fù)雜的題目服務(wù)。如在教學(xué)蘇教版四年級(jí)“烙餅問題”一課時(shí)，教師以大數(shù)目問題激發(fā)需求，與學(xué)生一起討論怎么烙餅產(chǎn)生的時(shí)間最少，最終優(yōu)化概括出“烙餅問題”的數(shù)學(xué)模型。

師：同學(xué)們，在生活中我們經(jīng)常會(huì)遇到一些數(shù)學(xué)問題。比如，煮雞蛋的時(shí)候，煮一個(gè)雞蛋要8分鐘，那煮8個(gè)雞蛋需要多少分鐘？

生1：我會(huì)一個(gè)一個(gè)地煮，八八六十四，所以煮8個(gè)雞蛋需要64分鐘。

生2：我想把8個(gè)雞蛋要放在一起煮，只要8分鐘就夠了。因?yàn)榉旁谝黄鹬缶蜁?huì)節(jié)約很多時(shí)間。

師：今天我們就來研究像煮雞蛋、烙餅這樣的問題。（課件出示題目：同時(shí)烙2張餅，兩面都要烙，每面3分鐘，100張要多少時(shí)間？）同學(xué)們，我們先一起來讀一讀題目，再想一想你會(huì)怎么做。

生：我覺得要算100張要多少時(shí)間有點(diǎn)難，我們可以先算出烙2張餅需要多少時(shí)間，再去算烙100張需要多少時(shí)間。

師：好，我們從小數(shù)目開始研究，先研究烙2張的情況，請(qǐng)你在練習(xí)本上算一算。

生：我們可以兩張餅一起烙，先烙第一張的正面和第二張的反面，需要3分鐘；再烙第二張的反面和第一張的正面，也需要3分鐘。所以一共要6分鐘。

師：如果烙3張餅，你們覺得最少要多少分鐘呢？

生：9分鐘。我是這樣烙餅的，先烙餅第一張的正面和第二張的反面，需要3分鐘；再烙餅第一張的反面和第三張的正面，需要3分鐘；最后烙餅第二張的正面和第三張的反面，也需要3分鐘。所以一共要9分鐘。

在這個(gè)教學(xué)片段中，教師出示大數(shù)目的烙餅問題，學(xué)生巧妙地化大為小，從最簡(jiǎn)單的烙餅2張、3張開始，在數(shù)的累加過程中發(fā)現(xiàn)奇偶數(shù)的規(guī)律，即當(dāng)烙餅張數(shù)n為偶數(shù)時(shí)，所需要的最少時(shí)間是n÷2×6=3n；當(dāng)烙餅張n為奇數(shù)時(shí)，所需要的最少時(shí)間是9+（n-3）÷2×6= 3n。最終在學(xué)生頭腦中建立“烙餅問題”的數(shù)學(xué)模型。

總之，在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂上教師雖然滲透模型思想是一個(gè)長(zhǎng)期且綜合的過程，但是要有意識(shí)地讓學(xué)生在探索的知識(shí)的過程中去經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模的過程。這樣既能讓學(xué)生感覺到數(shù)學(xué)是看得見摸得著的，還能讓學(xué)生利用數(shù)學(xué)建模的思想去解決更多的數(shù)學(xué)問題，加深對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解和掌握，觸及數(shù)學(xué)模型的數(shù)學(xué)本質(zhì)，最終培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)思考力和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣。

[1]姚誠(chéng).經(jīng)歷知識(shí)發(fā)生過程有效建構(gòu)數(shù)學(xué)模型[J].基礎(chǔ)教育研究，2015(06).

[2]周亞美.構(gòu)建數(shù)學(xué)模型還原數(shù)學(xué)本真[J].教育實(shí)踐與研究(A)，2014(11).

[3]邵萬(wàn)強(qiáng).構(gòu)建“數(shù)學(xué)模型”促進(jìn)和諧發(fā)展[J].現(xiàn)代中小學(xué)教育，2008(06).