高金花

新課標下的高考越來越注重對考生的綜合素質(zhì)的考查，恒成立問題便是一個考查考生綜合素質(zhì)的很好途徑，它常以函數(shù)、方程、不等式和數(shù)列等知識點為載體，滲透著換元、化歸、分類討論、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程等思想方法，在培養(yǎng)思維的靈活性、創(chuàng)造性等方面起到了積極的作用.近幾年的數(shù)學高考中頻頻出現(xiàn)恒成立問題，其形式逐漸多樣化，但都與函數(shù)、導數(shù)知識密不可分.解決高考數(shù)學中的恒成立問題常用以下幾種方法：①函數(shù)性質(zhì)法；②主參換位法；③分離參數(shù)法；④數(shù)形結(jié)合法；⑤消元轉(zhuǎn)化法.下文舉例說明.

一、函數(shù)性質(zhì)法

二次不等式恒成立問題，往往采用這個方法.它主要有以下幾種基本類型：

二、分離參數(shù)法

若所給的不等式能通過恒等變形使參數(shù)與主元分離于不等式兩端，從而問題轉(zhuǎn)化為求主元函數(shù)的最值，進而求出參數(shù)范圍.利用分離參數(shù)法來確定不等式f（x，λ）≥0（x∈D，λ為實參數(shù)）恒成立中參數(shù)λ的取值范圍的基本步驟：

（1）將參數(shù)與變量分離，即化為g（λ）≥f（x）（或g（λ）≤f（x））恒成立的形式；

（2）求f（x）在x∈D上的最大（或最小）值；

（3）解不等式g（λ）≥f（x）max（或g（λ）≤f（x）min），得λ的取值范圍.

適用題型：（1）參數(shù)與變量能分離；（2）函數(shù)的最值易求出.

三、反客為主法

某些含參不等式恒成立問題，在分離參數(shù)會遇到討論的麻煩或者即使能容易分離出參數(shù)與變量，但函數(shù)的最值卻難以求出時，可考慮變換思維角度“反客為主”，即把習慣上的主元變量與參數(shù)變量的“地位”交換一下，換個視角重新審查恒成立問題，往往可避免不必要的分類討論或使問題降次、簡化，起到“山窮水盡疑無路，柳暗花明又一村”的效果.

四、數(shù)形結(jié)合法

若所給不等式進行合理的變形化為f（x）≥g（x）（或f（x）≤g（x））后，能非常容易地畫出不等號兩邊函數(shù)的圖象，則可以通過畫圖直接判斷得出結(jié)果.尤其對于填空題，這種方法更顯方便、快捷.

五、消元轉(zhuǎn)化法

對于含有兩個以上變量的不等式恒成立問題，可以根據(jù)題意依次進行消元轉(zhuǎn)化，從而轉(zhuǎn)化為只含有兩變量的不等式問題，使問題得到解決.

上述例子剖析了高考數(shù)學中恒成立問題的題型及解法，值得一提的是，各種類型各種方法并不是完全孤立的，雖然方法表現(xiàn)得不同，但其實質(zhì)卻都與求函數(shù)的最值是等價的，這也正體現(xiàn)了數(shù)學中的“統(tǒng)一美”.endprint