潘小明

江蘇省泰州學(xué)院 (225300)

解題教學(xué)：重在通過(guò)解題活動(dòng)深化學(xué)生數(shù)學(xué)思維*

潘小明

江蘇省泰州學(xué)院 (225300)

數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)活動(dòng)的教學(xué)，作為數(shù)學(xué)教學(xué)重要環(huán)節(jié)和重要內(nèi)容的解題教學(xué)自然也是解題活動(dòng)的教學(xué).解題教學(xué)既然是解題活動(dòng)的教學(xué)，就應(yīng)當(dāng)是一個(gè)有著思路探究和結(jié)果整理的思維過(guò)程.由此，在解題教學(xué)過(guò)程中應(yīng)當(dāng)重視師生雙方解題過(guò)程的暴露.對(duì)在解題教學(xué)中起主導(dǎo)作用的教師而言，尤其要注意合理暴露諸如“思路尋探”“方法優(yōu)化”“結(jié)果分析”“監(jiān)控調(diào)節(jié)”和“過(guò)程反思”等關(guān)鍵性解題思維過(guò)程.缺少對(duì)解題活動(dòng)過(guò)程的有效暴露，解題教學(xué)很容易淪為機(jī)械性的刺激反應(yīng)活動(dòng)，學(xué)生不僅難能經(jīng)由解題實(shí)踐激發(fā)有深度的數(shù)學(xué)思維，而且難能經(jīng)由“問(wèn)題理解”“思路尋找”和“獲得解答”這一系列的過(guò)程學(xué)會(huì)如何解題.相反，不良的解題習(xí)慣還會(huì)使越來(lái)越多的學(xué)生在對(duì)“解題方法模仿”“解題結(jié)論記憶”的過(guò)程中走向不是深度而是表層化的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí).本文擬結(jié)合一則數(shù)學(xué)教學(xué)案例的分析，討論當(dāng)下的數(shù)學(xué)解題教學(xué)何以會(huì)異化數(shù)學(xué)解題的活動(dòng)？何以會(huì)分裂解題活動(dòng)與數(shù)學(xué)思維的對(duì)接？并在此基礎(chǔ)上初步探討如何改進(jìn)數(shù)學(xué)解題教學(xué)的對(duì)策.

一、教學(xué)案例的描述

Y老師在高二(3)班給學(xué)生提供了如下一道數(shù)學(xué)題：已知函數(shù)f(x)=ax2+bx,且1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,試探求f(-2)的取值范圍.

Y老師認(rèn)為，這道題并不是太難，自己所教的班級(jí)是重點(diǎn)班，他想，“學(xué)生會(huì)的自己就不必多費(fèi)口舌”“今天要完成的教學(xué)工作量比較大，這道題交給學(xué)生自己來(lái)解決”.基于自己的思考，Y老師在出示題目后，要求學(xué)生自己來(lái)“做一做”，并讓一位他認(rèn)為解題能力不錯(cuò)的學(xué)生1到講臺(tái)前的黑板上進(jìn)行板演.學(xué)生1的板演如下：

Y老師一看，答案與自己的完全相同，應(yīng)當(dāng)沒(méi)有什么漏洞，于是笑著說(shuō)：“大家看一看，這個(gè)解法是正確的.如果沒(méi)有什么問(wèn)題，我們就來(lái)做下面的一道題.”

就在老師準(zhǔn)備就此而過(guò)的時(shí)候，學(xué)生2突然舉手要求發(fā)言.“嗯，有人舉手了.好的，你有什么問(wèn)題？請(qǐng)講！”Y老師對(duì)學(xué)生2微笑說(shuō).

解:∵f(-1)=a-b,f(1)=a+b,f(-2)=4a-2b,由已知條件有1≤a-b≤2,①2≤a+b≤4,②∴3≤2a≤6.又∵4a-2b=2a+2(a-b),∴3+2×1≤f(-2)≤6+2×2.即所求f(-2)的取值范圍為[5,10].

學(xué)生2：老師，我的答案和黑板上的不一樣！

Y老師：你是不是哪兒不小心，算錯(cuò)了？你得認(rèn)真仔細(xì)地重新檢查一下！

學(xué)生2：老師，我認(rèn)真檢查過(guò)了，我的答案沒(méi)問(wèn)題！

師：怎么可能？你肯定在某個(gè)地方搞錯(cuò)了.好吧，你也到前面來(lái)，在黑板上把你的解題過(guò)程寫(xiě)出來(lái)，讓大家?guī)湍憧纯磫?wèn)題究竟出在哪兒？

學(xué)生2根據(jù)教師的指令在黑板上寫(xiě)下了自己的解題過(guò)程.

解:∵f(x)=ax2+bx,1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,∴1≤a-b≤2,①2≤a+b≤4,②①+②得3≤2a≤6,即32≤a≤3,③由②得-4≤-(a+b)≤-2,④①+④得-3≤-2b≤0,即0≤b≤32⑤③×⑤+⑤×(-2)得3≤4a-2b≤12,∴所求f(-2)的取值范圍為[3,12].

Y老師一看，答案確實(shí)不一樣!學(xué)生1的解答與自己的解答、參考書(shū)上的解答都是一樣的.學(xué)生2的解答肯定是錯(cuò)了，那么，錯(cuò)在哪兒呢？Y老師用眼睛再一次瞄了瞄黑板，一下子沒(méi)有看出學(xué)生2的解法致錯(cuò)的原因.怎么辦？Y老師頭腦迅速地轉(zhuǎn)著，他決定將解題的皮球先踢給下面的學(xué)生們.

Y老師：同學(xué)們一起來(lái)看看，現(xiàn)在有了兩種不同的解答了，結(jié)果不同.那么誰(shuí)對(duì)誰(shuí)對(duì)？錯(cuò)在什么地方呢？大家可以相互討論.

老師的話音一落，教室里嘰嘰喳喳地議論了起來(lái)，“第二種解答肯定是錯(cuò)的！”“我的解答和第一種相同，可第二種答案看來(lái)也不錯(cuò)呀！”“第一個(gè)結(jié)果是第二個(gè)結(jié)果的真子集”“第二個(gè)范圍更大”“也許這兩種解答都不對(duì)”……教室里看來(lái)有點(diǎn)亂.

利用學(xué)生相互討論的這段時(shí)間，Y老師自己對(duì)解答有了正確的判斷：學(xué)生2的答案是錯(cuò)誤的，他問(wèn)了幾個(gè)學(xué)生對(duì)學(xué)生2解答的看法，見(jiàn)學(xué)生說(shuō)不出一個(gè)所以然，他想，“如果再問(wèn)下去，肯定是浪費(fèi)時(shí)間，自己還有任務(wù)要完成”“干脆自己來(lái)講吧！”于是他果斷地把自己對(duì)學(xué)生2解法的正確認(rèn)識(shí)當(dāng)眾揭曉.

Y老師講解后，再也沒(méi)有其他學(xué)生提出異議.Y老師終于舒出了一口氣，接著講解他預(yù)先備好的下一道題……

二、教學(xué)案例的反思

這個(gè)案例可以從多個(gè)角度來(lái)反思，從“解題活動(dòng)”“數(shù)學(xué)思維”兩個(gè)角度來(lái)反思，我們可以提出如下的一些問(wèn)題：Y老師是如何展開(kāi)解題教學(xué)的？在這一解題教學(xué)中，存在著哪些解題活動(dòng)？主導(dǎo)教師解題活動(dòng)的內(nèi)在因素是什么？Y老師的解題價(jià)值觀可能是什么？從學(xué)生的表現(xiàn)看，Y老師解題教學(xué)能否算成功？為什么？在這一解題教學(xué)中，學(xué)生在思維訓(xùn)練方面有哪些收獲？存在哪些不足？為了進(jìn)一步深化學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，類(lèi)似的解題教學(xué)還可做哪些改進(jìn)？下面就嘗試所提出的問(wèn)題作一些分析.

Y老師主要是通過(guò)“讓學(xué)生做題”“讓學(xué)生板演”“讓學(xué)生提問(wèn)”“自己講解”來(lái)展開(kāi)教學(xué)的，之所以這樣展開(kāi)教學(xué)，是因?yàn)閅老師有著諸如“這道題并不是太難”“所教的班級(jí)是重點(diǎn)班”“學(xué)生會(huì)的自己就不必多費(fèi)口舌”“今天要完成的教學(xué)工作量比較大，這道題交給學(xué)生自己來(lái)解決”等一系列的教學(xué)預(yù)設(shè).表面看來(lái)，Y老師的教學(xué)預(yù)設(shè)中也有著濃濃的“學(xué)生主體意識(shí)”“課堂效率意識(shí)”.所謂的“學(xué)生主體意識(shí)”，在這里主要表現(xiàn)為數(shù)學(xué)教學(xué)要讓學(xué)生動(dòng)腦、動(dòng)手，先有學(xué)生的做數(shù)學(xué)，再有教師的講數(shù)學(xué).而所謂的“課堂效率意識(shí)”，在這里主要表現(xiàn)為“學(xué)生會(huì)的教師就不講”“教師課堂語(yǔ)言精練”，盡可能節(jié)約時(shí)間、盡可能多講解一些題目.然而從實(shí)際效果來(lái)說(shuō)，教師并沒(méi)有真正體現(xiàn)“學(xué)生主體意識(shí)”，比如，對(duì)學(xué)生2解法的分析最終仍是教師“塞給學(xué)生的”“是直接向?qū)W生奉送答案的”.Y老師沒(méi)有真正地認(rèn)識(shí)到，自己所教的班級(jí)有著近50名的學(xué)生，他們有著不同的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)、思維風(fēng)格，他們不是空著腦袋走進(jìn)教室的，他們不應(yīng)象一張白紙一樣任由教師涂畫(huà)，也不應(yīng)象一個(gè)空洞的容器一樣任由教師直接塞正確的解法.教學(xué)認(rèn)識(shí)的缺失必然導(dǎo)致教學(xué)行為的不當(dāng)，由Y教師主導(dǎo)的解題教學(xué)中就實(shí)然地喪失或減弱了學(xué)生的主體性.事實(shí)上，盡管有許多學(xué)生在解法上與學(xué)生1的解法相同，但是，他們?yōu)槭裁催@樣解？同一解法背后是否都有著同樣的數(shù)學(xué)思維？教師沒(méi)有探究，也不知曉.此外，在Y老師講解學(xué)生2解法錯(cuò)誤的原因之前，他也聽(tīng)到了教室里一些嘰嘰喳喳的議論——“第二種解答肯定是錯(cuò)的！”“我的解答和第一種相同，可第二種答案看來(lái)也不錯(cuò)呀！”第一個(gè)結(jié)果是第二個(gè)結(jié)果的真子集”“第二個(gè)范圍更大”“也許這兩種解答都不對(duì)”，由于當(dāng)時(shí)忙于思考如何評(píng)判學(xué)生2解答的科學(xué)性，所以，盡管Y老師聽(tīng)到了議論，而且這些議論中可能會(huì)有一些值得進(jìn)一步挖掘的教學(xué)資源，但他并沒(méi)有真正有效利用學(xué)生的議論，本質(zhì)上就是無(wú)視學(xué)生的存在.其次，教師也沒(méi)有真正體現(xiàn)“課堂效率意識(shí)”，簡(jiǎn)單地把一道題一帶而過(guò)，教師內(nèi)心貪圖的是講更多的題，本質(zhì)上是長(zhǎng)期存在的“題海戰(zhàn)術(shù)”教學(xué)思想在作怪.數(shù)學(xué)問(wèn)題似海洋，題海戰(zhàn)術(shù)很荒唐，所以盡管人們強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)要多做題，但不主張題海戰(zhàn)術(shù).比如，曾經(jīng)用麻袋裝草稿的數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)在與他的學(xué)生討論數(shù)學(xué)解題時(shí)也強(qiáng)調(diào)“題有千變，貴在有根”，認(rèn)為只有尋探到了題目的“根”，才能促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提高.這也表明，做數(shù)學(xué)題目、教數(shù)學(xué)題目，貴在將題目做透，貴在將學(xué)生的數(shù)學(xué)思考通達(dá)至題目的“根子上”，只有這樣，學(xué)生才能“舉一反三”“觸類(lèi)旁通”，讓做過(guò)的數(shù)學(xué)題目具有真正的“生長(zhǎng)性”和教學(xué)效益.在解題教學(xué)中顧數(shù)量不顧質(zhì)量顯然不是真正意義上的“講效率”，也不是“精講精練”的內(nèi)在要求.

從總體上說(shuō)，Y老師對(duì)于這道題目的教學(xué)盡管有一些優(yōu)點(diǎn)，但確實(shí)不能算成功.雖然我們可以看到，在這一解題教學(xué)過(guò)程中已經(jīng)有學(xué)生“動(dòng)了起來(lái)”——“做題”“板演”“交流”“討論”，等等，但這些“動(dòng)起來(lái)”并非是真正意義上的數(shù)學(xué)活動(dòng)，因?yàn)檫@些“動(dòng)起來(lái)”并未與思維暴露、思維內(nèi)容、思維深化有機(jī)融合起來(lái).學(xué)生1的解答雖然是正確的，但他是如何思考的？不得而知.學(xué)生2的解答雖然是錯(cuò)誤的，但他錯(cuò)誤的結(jié)果與學(xué)生1正確的結(jié)果又存在著一定的關(guān)系(學(xué)生2所求解集真包含學(xué)生1所求解集)，為什么會(huì)這樣？學(xué)生在解題活動(dòng)過(guò)程中出現(xiàn)錯(cuò)誤是一種正常甚至是必然的現(xiàn)象，由此對(duì)于解題教學(xué)而言，教師就應(yīng)當(dāng)認(rèn)識(shí)到對(duì)學(xué)生錯(cuò)解的分析與處理是解題教學(xué)重要、必要而又非常正常的業(yè)務(wù)，并且，由于來(lái)自學(xué)生的錯(cuò)解具有“正例示范所不可替代的作用”，所以合理處理學(xué)生的錯(cuò)解有利于發(fā)展學(xué)生的批判性思維和提高解題教學(xué)的完整性.特別地，應(yīng)當(dāng)看到，來(lái)自學(xué)生的錯(cuò)解或相關(guān)的疏忽，既可能產(chǎn)生一些消極的教學(xué)因素(如耗時(shí)、費(fèi)口舌、學(xué)生喪失信心、影響士氣)，也有可能產(chǎn)生一些積極的教學(xué)因素(如借機(jī)完善學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)、加強(qiáng)數(shù)學(xué)知識(shí)的聯(lián)結(jié)).在本教學(xué)中，Y老師對(duì)此顯然缺少正確的認(rèn)識(shí).從邏輯上講，教學(xué)過(guò)程中出現(xiàn)了兩種具有包含關(guān)系的結(jié)果可以證明至少有一種解答是錯(cuò)誤的，利用學(xué)生討論的時(shí)機(jī)，教師把學(xué)生2出錯(cuò)的原因想通了，并進(jìn)行了講解，但這樣的教學(xué)并沒(méi)有能正視學(xué)生“也許這兩種解答都不對(duì)”的擔(dān)心，源于數(shù)學(xué)知識(shí)的邏輯分析并不等于學(xué)生心理上的接受，更不等于學(xué)生有深度的數(shù)學(xué)思維和更本質(zhì)的數(shù)學(xué)理解.這是因?yàn)?，學(xué)生2的出錯(cuò)并不能保證學(xué)生1的正確，即使學(xué)生1的解答與參考答案以及老師本人的解法相同，也不能保證這種解法一定是正確的(盡管它確實(shí)是正確的).至少，僅僅用教師本人對(duì)一種錯(cuò)誤分析的講解還不能揭示數(shù)學(xué)題目真正的“數(shù)學(xué)化”本質(zhì)，教師替代性數(shù)學(xué)思考遠(yuǎn)遠(yuǎn)不能等同于學(xué)生建構(gòu)性數(shù)學(xué)思考.

從根本上說(shuō)，Y老師在解題教學(xué)中并未將“解題活動(dòng)”與“思維活動(dòng)”有效對(duì)接.解題思路的探求主要反映解題者的思維活動(dòng)過(guò)程，所求問(wèn)題答案的呈現(xiàn)主要反映解題者數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的結(jié)果.Y老師在解題過(guò)程中更多關(guān)注了解題的結(jié)果，對(duì)解題思路的探求過(guò)程還沒(méi)有高度重視，比如，除了如學(xué)生1的解題思路外，還有沒(méi)有其他的解題思路？在不同的解題思路中，哪些或哪一個(gè)是更為本質(zhì)的？不同的解題思路之間有著怎樣的內(nèi)在聯(lián)系？諸如此類(lèi)的問(wèn)題，教學(xué)中都沒(méi)有涉及.當(dāng)然，Y老師自己本人也存在著“麻痹”“輕視”的心理，他因?yàn)樽约涸趥湔n時(shí)很快做出了答案并且和參考答案相符，就沒(méi)有對(duì)題目進(jìn)行深究，這其實(shí)也反映了教師解題習(xí)慣和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的不足，特別是當(dāng)他看到學(xué)生2錯(cuò)誤的解答后并未能迅速定位學(xué)生出錯(cuò)的原因和有效的教學(xué)，也進(jìn)一步反映了數(shù)學(xué)功底和教學(xué)能力的欠缺.在現(xiàn)實(shí)的數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，象Y老師這樣的數(shù)學(xué)教師人數(shù)眾多，他們喜歡將解題教學(xué)的關(guān)注點(diǎn)停留于最終解題結(jié)果的呈現(xiàn)，對(duì)于解題過(guò)程要么不敢暴露(教師自己事先看了參考答案然后照本宣科)，要么不會(huì)暴露，不能處理好暴露什么？如何暴露？暴露到什么程度？由于教師不會(huì)暴露解題思維，不少學(xué)生雖然能看得懂教師所提供的一些解法，但是相應(yīng)的解法究竟怎么來(lái)的不得而知，長(zhǎng)此以往，學(xué)生會(huì)感覺(jué)到從教師那里會(huì)有越來(lái)越多解題方法的簡(jiǎn)單堆積或者各種各樣解題技巧的神秘出現(xiàn).解題教學(xué)不僅要求教師懂?dāng)?shù)學(xué)、會(huì)做題，而且要求教師會(huì)暴露解題思維、揭示數(shù)學(xué)方法，只有合理暴露數(shù)學(xué)解題的過(guò)程和透徹地分析問(wèn)題中所涉及數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)方法的本質(zhì)，數(shù)學(xué)解題教學(xué)才能有較強(qiáng)的數(shù)學(xué)感染力和思維穿透力.忽視解題活動(dòng)與數(shù)學(xué)思維的對(duì)接，教師講題目覺(jué)得無(wú)聊，學(xué)生做題目覺(jué)得無(wú)奈，教和學(xué)的興趣共同淹沒(méi)在題海中，教和學(xué)的智慧共同喪失于傻練中.

三、改進(jìn)教學(xué)的意見(jiàn)

就核心價(jià)值而言，解題教學(xué)要引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)解題活動(dòng)與數(shù)學(xué)思維的對(duì)接實(shí)現(xiàn)相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)的掌握和數(shù)學(xué)能力的提高，為了實(shí)現(xiàn)這一核心理想，這道題的教學(xué)還可以從如下方面作一些優(yōu)化或改進(jìn)：

其一，教師本人要在事先立足于學(xué)生的深度學(xué)習(xí)進(jìn)行充分的備課.深度學(xué)習(xí)更注重學(xué)習(xí)者的主動(dòng)性、協(xié)作性和探究性，“三性”究竟如何通過(guò)教學(xué)設(shè)計(jì)來(lái)實(shí)現(xiàn)？數(shù)學(xué)問(wèn)題背后隱藏著許多思想和方法，教師如何通過(guò)有效而深入分析予以揭示？提高解題教學(xué)的預(yù)見(jiàn)性關(guān)于在于對(duì)問(wèn)題和學(xué)生的深研，為此，教師要深度預(yù)測(cè)學(xué)生在解題活動(dòng)中可能性的解法及其可能性的錯(cuò)誤，要自覺(jué)地防范和克服僅僅因教師個(gè)人解法與參考書(shū)“不謀而合”就不再深究的教學(xué)行為，要在平時(shí)加強(qiáng)自己的解題修養(yǎng)，要通過(guò)解題、讀書(shū)(包括數(shù)學(xué)、教育和心理學(xué)等方面的書(shū))、和他人交流和自主反思不斷開(kāi)闊自己的解題視野，要有意識(shí)地從數(shù)學(xué)教材、教參、教輔等現(xiàn)有資料的局限性中跳出來(lái)，除了將題目“做全”“做對(duì)”，還要將題目“做深”“做透”，要善于在更高的層次、更高的觀點(diǎn)下看待自己的數(shù)學(xué)解題與教學(xué)實(shí)踐，不斷增強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)題目和所教學(xué)生的理解.

其次，就學(xué)生解答，除了讓學(xué)生板演“怎樣解的”，還應(yīng)當(dāng)讓學(xué)生說(shuō)明“為什么這樣解？是如何想到？”比如，對(duì)于學(xué)生1的正確解答，要防止“碰巧”產(chǎn)生的做法，而是要讓學(xué)生說(shuō)出對(duì)題目的理解，認(rèn)識(shí)到其本質(zhì)是已知a+b和a-b的范圍，并據(jù)此求4a-2b的范圍，在此基礎(chǔ)上說(shuō)明自己的解題思路的關(guān)鍵是“設(shè)法將4a-2b用a+b和a-b來(lái)表示”，本質(zhì)上是一種從整體進(jìn)行數(shù)學(xué)思考的方法.針對(duì)學(xué)生2的錯(cuò)解，教師自己明白了錯(cuò)因后，不能立即向?qū)W生講解，而是引導(dǎo)學(xué)生對(duì)學(xué)生2的思維過(guò)程進(jìn)行討論，由于錯(cuò)誤具有一定的隱蔽性，所以要舍得留時(shí)間給學(xué)生思考、討論和交流，自己講解后，要有恰當(dāng)?shù)臋C(jī)制評(píng)價(jià)學(xué)生“是否真的懂了”“是否真的掌握了”.

(1)若f(x)=ax2+bx，且1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4，那么f(k)的范圍是什么？(2)若f(x)=ax2+bx，且a1≤f(x1)≤b1,a2≤f(x2)≤b2,那么f(k)的范圍是什么？(3)如果f(x)=ax2+bx+c，且1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,5≤f(2)≤10，能否求出f(3)的范圍？

解題教學(xué)的重心不是解題，而是想法，如果教師僅僅引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)已知條件和問(wèn)題目標(biāo)進(jìn)行形式化的計(jì)算、推理、演繹，而不能涉及所求解問(wèn)題背后的數(shù)學(xué)本質(zhì)，即使做了很多題目，也無(wú)異于豬八戒吃了許多人參果食而不知其滋味，這樣的解題教學(xué)就很難體現(xiàn)解題活動(dòng)和數(shù)學(xué)思維的應(yīng)有價(jià)值.為了提高解題教學(xué)的價(jià)值，教師在解題教學(xué)中應(yīng)通過(guò)“解題活動(dòng)”與“數(shù)學(xué)思維”自覺(jué)、主動(dòng)的對(duì)接，鞏固所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)與技能，增強(qiáng)對(duì)所學(xué)概念和命題的理解，優(yōu)化數(shù)學(xué)思維的品質(zhì)，將真正數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)落細(xì)、落實(shí).

泰州學(xué)院教授博士基金項(xiàng)目“數(shù)學(xué)教師實(shí)踐性知識(shí)研究”(TZXYJB/201502)階段性成果之一.江蘇省高校自然科學(xué)基金項(xiàng)目“關(guān)于拓?fù)淇臻g中反射族的研究”(14KJB110024)階段性成果之一.