董明曉，張恩，韓松君，王勝春

（山東建筑大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，山東濟(jì)南250101）

塔式起重機(jī)運(yùn)動(dòng)慣性力引起貨物擺動(dòng)特性分析

董明曉，張恩，韓松君，王勝春

（山東建筑大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，山東濟(jì)南250101）

塔式起重機(jī)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)容易引起貨物擺動(dòng)，降低了起重機(jī)的工作效率和安全性。通過分析機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)慣性力引起的貨物擺動(dòng)特性，可為有效消除塔式起重機(jī)貨物擺動(dòng)提供控制理論和方法。文章根據(jù)Lagrange-Euler運(yùn)動(dòng)方程，建立塔式起重機(jī)動(dòng)力學(xué)模型，推導(dǎo)了慣性力引起的貨物擺動(dòng)角度、角速度及貨物擺動(dòng)中心線傾斜角度的計(jì)算公式，通過實(shí)驗(yàn)仿真分析其擺動(dòng)特性，并對(duì)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)慣性力引起的貨物擺動(dòng)最大角度進(jìn)行估算。結(jié)果表明：塔式起重機(jī)變幅機(jī)構(gòu)和回轉(zhuǎn)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)慣性力使貨物產(chǎn)生空間擺動(dòng)；貨物運(yùn)動(dòng)慣性力、離心力和科氏力的共同作用使擺動(dòng)中心線發(fā)生傾斜，偏離了原來的平衡位置；貨物運(yùn)動(dòng)的離心力和科氏力進(jìn)一步加大了空間擺動(dòng)的幅值。

塔式起重機(jī)；貨物；慣性力；擺動(dòng)幅值

Abstract：Cargo oscillation，induced bymechanism motions of tower cranes，reduceswork efficiency and safety of cranes.Therefore，it is necessary to analyze the swing performances induced by motion inertial forces of themechanisms to explore the control theories and methods for restraining the cargo oscillation.In this paper，the dynamicalmodels of the tower crane based on Lagrange-Euler equation ofmotion are set up and the oscillation characteristics induced by inertia force of the mechanism movements are analyzed.Then the calculation formula of the swing angle and angular velocity caused by the inertia force are deduced.The expression for calculating the inclination angle of the cargo oscillation centerline is proposed and the formula of the maximum oscillation angle induced by the inertial forces are put forward.The validity of the formula is proven by simulation.The simulation results show that themotion inertia forces of the translationmechanism and the rotation mechanism of the tower cranemake the cargo oscillate in space swing.The centrifugal force and the Coriolis force further increase the oscillation amplitude.The oscillation center line tilts are induced by the common effect of the inertia force，the centrifugal force and the Coriolis force and deviates from the original balance position.

Key words：tower crane；cargo；inertia force；oscillation amplitude

0 引言

起重機(jī)具有變幅、回轉(zhuǎn)和起升運(yùn)動(dòng)3種基本工作狀態(tài)，每個(gè)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)都經(jīng)歷加速、勻速和減速運(yùn)動(dòng)，為了提高工作效率，通常變幅、回轉(zhuǎn)和起升運(yùn)動(dòng)同時(shí)進(jìn)行，這使貨物的運(yùn)動(dòng)情況更加復(fù)雜——隨著懸掛點(diǎn)移動(dòng)，貨物做變擺長(zhǎng)的空間擺運(yùn)動(dòng)，其動(dòng)力學(xué)特性表現(xiàn)為時(shí)變的非線性二階振動(dòng)特性。為了實(shí)現(xiàn)貨物的準(zhǔn)確定位和擺動(dòng)控制，通常是將模型進(jìn)行線性化處理，簡(jiǎn)化成平面單擺運(yùn)動(dòng)，然后提出消除貨物擺動(dòng)控制策略［1-3］。這一簡(jiǎn)化方法會(huì)降低消擺控制策略的實(shí)施精度，無法達(dá)到預(yù)期的控制效果［4-6］。而且沒有對(duì)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)慣性力引起貨物擺動(dòng)的最大擺動(dòng)角度進(jìn)行估算，實(shí)現(xiàn)貨物擺動(dòng)預(yù)測(cè)控制的目的［7-9］。更沒有研究貨物慣性力引起的物擺動(dòng)中心線傾斜角度，實(shí)現(xiàn)在貨物運(yùn)輸過程中通過控制機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)慣性力控制貨物運(yùn)動(dòng)離心力和科氏力達(dá)到抑制貨物擺動(dòng)的目的［10-13］。為了解決上述問題，文章分析了變幅機(jī)構(gòu)、回轉(zhuǎn)機(jī)構(gòu)和起升機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)慣性力對(duì)貨物擺動(dòng)的影響規(guī)律，研究機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)對(duì)貨物空間擺動(dòng)中心線的影響規(guī)律，并針對(duì)塔式起重機(jī)在無風(fēng)的天氣里運(yùn)輸大密度的貨物，不計(jì)空氣阻力和風(fēng)載荷的情況下，推導(dǎo)出機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)慣性力引起貨物擺動(dòng)的最大擺角計(jì)算公式，探索有效消除塔式起重機(jī)貨物擺動(dòng)提供控制理論和方法。

1 塔式起重機(jī)線性化模型

回轉(zhuǎn)塔式起重機(jī)是通過變幅機(jī)構(gòu)、回轉(zhuǎn)機(jī)構(gòu)和起升機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)達(dá)到運(yùn)輸貨物的目的，根據(jù)貨物的運(yùn)動(dòng)特性，建立極坐標(biāo)系，其坐標(biāo)原點(diǎn)取在起重機(jī)回轉(zhuǎn)中心線與起重機(jī)回轉(zhuǎn)平面的交點(diǎn)處。貨物在小車運(yùn)動(dòng)的同時(shí)做空間擺動(dòng)，并且隨著起升機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)，擺長(zhǎng)不斷變化。根據(jù)這一運(yùn)動(dòng)特性建立非慣性直角坐標(biāo)系和非慣性球坐標(biāo)系，，坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點(diǎn)取在小車上鋼絲繩的懸掛點(diǎn)處，隨著回轉(zhuǎn)機(jī)構(gòu)同步回轉(zhuǎn)，并且隨著變幅機(jī)構(gòu)一起運(yùn)動(dòng)，建立的坐標(biāo)系如圖1所示［14］。

貨物懸掛在小車上，在圖1中將小車簡(jiǎn)化為一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，小車在坐標(biāo)系中的位置是ρ和分別為小車的位移和回轉(zhuǎn)角度，貨物在坐標(biāo)系中的位置用表示，l為起升機(jī)構(gòu)鋼絲繩長(zhǎng)度，φ為起升機(jī)構(gòu)鋼絲繩與平面的夾角，θ為起升機(jī)構(gòu)鋼絲繩在平面上投影與過小車質(zhì)點(diǎn)鉛垂線的夾角。變幅機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)的速度和加速度分別為回轉(zhuǎn)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)的角速度和角加速度分別為，起升運(yùn)動(dòng)的速度和加速度分別為和，貨物擺動(dòng)角度為θ和φ。

圖1 回轉(zhuǎn)塔式起重機(jī)坐標(biāo)系統(tǒng)圖

根據(jù)Lagrange-Euler運(yùn)動(dòng)方程，在3大運(yùn)行機(jī)構(gòu)同時(shí)運(yùn)動(dòng)的情況下，建立塔式起重機(jī)非線性動(dòng)力學(xué)模型［14］。由于 GB／T 3811—2008《起重機(jī)設(shè)計(jì)規(guī)范》規(guī)定，塔式起重機(jī)在運(yùn)輸貨物時(shí)貨物的擺動(dòng)角度不得大于10°［15］，所以確定貨物擺動(dòng)的平衡位置θe＝0°和φe＝0°，在平衡位置附近將非線性化動(dòng)力學(xué)模型作線性化處理，忽略高階無窮小，得出塔式起重機(jī)在3大機(jī)構(gòu)同時(shí)運(yùn)動(dòng)的情況下線性化動(dòng)力學(xué)模型，由式（1）～（5）表示為

式中：Jm為回轉(zhuǎn)機(jī)構(gòu)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，kg·m2；M為小車質(zhì)量，kg；m為貨物質(zhì)量，kg；bρ為變幅機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)阻尼系數(shù)，N·s／m；bψ為回轉(zhuǎn)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)阻尼系數(shù)，N·s／m；bl為起升機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)阻尼系數(shù)，N·s／m；Fρ為變幅機(jī)構(gòu)驅(qū)動(dòng)力，N；Fψ為回轉(zhuǎn)機(jī)構(gòu)驅(qū)動(dòng)力，N；Fl為起升機(jī)構(gòu)驅(qū)動(dòng)力，N；g為重力加速度，m／s2。

式（1）～（5）是塔式起重機(jī)變幅運(yùn)動(dòng)、回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)、起升運(yùn)動(dòng)和貨物擺動(dòng)的線性化動(dòng)力學(xué)模型，以式（4）為例說明慣性力、離心力和科氏力的大小。將式（4）乘以貨物質(zhì)量m，就變?yōu)樨浳飻[動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程，由式（6）表示為

2 慣性力引起的貨物擺動(dòng)特性分析

2.1 慣性力引起貨物擺動(dòng)的角度和角速度分析

2.1.1 計(jì)算公式

根據(jù)式（1）～（5）可知，貨物擺動(dòng)角度θ（t）和φ（t）主要是由變幅機(jī)構(gòu)和回轉(zhuǎn)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)慣性力引起的，如果變幅機(jī)構(gòu)和回轉(zhuǎn)機(jī)構(gòu)同時(shí)運(yùn)動(dòng)，將使貨物產(chǎn)生空間擺運(yùn)動(dòng)，并且回轉(zhuǎn)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)的離心力和科氏力加大了空間擺的擺動(dòng)幅度，使擺動(dòng)中心線發(fā)生傾斜。如果3大機(jī)構(gòu)以最大的加速度進(jìn)行起、制動(dòng)，將引起貨物最大的擺動(dòng)。從式（1）～（5）推導(dǎo)出變幅機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)慣性力和回轉(zhuǎn)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)慣性力引起的貨物擺動(dòng)計(jì)算公式，由式（7）、（8）表示為

式（7）的通解由式（9）表示為

式中：c1、c2分別為由起重機(jī)系統(tǒng)初始狀態(tài)決定的待定系數(shù)；ωn為貨物擺動(dòng)的固有頻率l。起重機(jī)系統(tǒng)通常情況下初始狀態(tài)為0，所以貨物擺動(dòng)角度和角速度可以由式（10）、（11）表示為

將式（10）、（11）用泰勒級(jí)數(shù)展開，且忽略高次項(xiàng)，式（10）、（11）化簡(jiǎn)成式（12）、（13）表示為

2.1.2 實(shí)驗(yàn)仿真分析

按照z-135塔式起重機(jī)以1∶30的比例設(shè)計(jì)回轉(zhuǎn)塔式起重機(jī)模擬實(shí)驗(yàn)臺(tái)［14］，試驗(yàn)臺(tái)參數(shù)如下：小車質(zhì)量M為1.5 kg，貨物質(zhì)量m為1 kg，變幅機(jī)構(gòu)最大運(yùn)動(dòng)加速度 amax為 1 m／s2，額定速度 vmax為0.5 m／s，阻尼系數(shù)為 0.1 N·s／m，變幅機(jī)構(gòu)加速運(yùn)動(dòng) 0.5 s，勻速運(yùn)動(dòng) 9 s，再減速運(yùn)動(dòng) 0.5 s；回轉(zhuǎn)機(jī)構(gòu)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 Jm為 5.5 kg·m2，額定回轉(zhuǎn)速度為0.1 rad／s，回轉(zhuǎn)機(jī)構(gòu)加速回轉(zhuǎn) 0.5 s，然后勻速回轉(zhuǎn)9 s，再減速回轉(zhuǎn)0.5 s；起升機(jī)構(gòu)額定運(yùn)動(dòng)速度為0.2 m／s，起升機(jī)構(gòu)鋼絲繩長(zhǎng)度由 0.8 m 提升到0.4 m，再下降到0.8 m。

貨物擺動(dòng)角度θ（t）和φ（t）如圖2所示。從圖2可以看出變幅機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)慣性力引起的貨物擺動(dòng)角度θ（t）變化不大，貨物擺動(dòng)角度幅值φ（t）隨著變幅機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)和回轉(zhuǎn)幅度的增大而不斷增大。

圖2 貨物擺動(dòng)角度圖

2.2 貨物擺動(dòng)中心線的傾斜角度分析

2.2.1 計(jì)算公式

隨著變幅機(jī)構(gòu)和回轉(zhuǎn)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)，貨物開始做空間擺運(yùn)動(dòng)，其擺動(dòng)的中心線開始傾斜。起升運(yùn)動(dòng)不影響貨物擺動(dòng)中心線的位置，但影響貨物自由擺動(dòng)延續(xù)時(shí)間的長(zhǎng)短。而變幅機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)加速度和回轉(zhuǎn)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)速度使貨物擺動(dòng)的中心線發(fā)生傾斜，擺動(dòng)中心線的傾斜角度 θe和 φe分別由式（14）、（15）［14］表示為

式（14）、（15）描述了變幅機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)和回轉(zhuǎn)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)對(duì)貨物擺動(dòng)中心線的作用規(guī)律。變幅機(jī)構(gòu)和回轉(zhuǎn)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)位移、速度和加速度使貨物擺動(dòng)中心線發(fā)生傾斜，相當(dāng)于貨物在傾斜的重力場(chǎng)內(nèi)做空間擺運(yùn)動(dòng)，擺動(dòng)中心線也是貨物空間擺的平衡位置。

2.2.2 實(shí)驗(yàn)仿真分析

對(duì)貨物擺動(dòng)中心線的傾斜角度進(jìn)行仿真計(jì)算，仿真計(jì)算參數(shù)同圖2的仿真參數(shù)。貨物擺動(dòng)角度中心線 θe（t）和 φe（t）如圖3所示。

圖3 回轉(zhuǎn)塔式起重機(jī)貨物擺動(dòng)中心線圖

由圖3可以看出，貨物擺動(dòng)中心線與變幅加速度成近似線性關(guān)系，當(dāng)小車加速運(yùn)行時(shí)，貨物擺動(dòng)中心線向反方向擺動(dòng)；當(dāng)小車勻速運(yùn)行時(shí)，貨物擺動(dòng)中心線不發(fā)生傾斜。貨物擺動(dòng)中心線 φe（t）與 θe（t）有著相似的關(guān)系，只是由于回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)離心力的存在使貨物擺動(dòng)中心線φe（t）不為零，隨著回轉(zhuǎn)半徑的增加，離心力逐漸加大，φe（t）越來越大，回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)離心力對(duì)貨物擺動(dòng)中心線φe（t）影響較大。當(dāng)變幅機(jī)構(gòu)和回轉(zhuǎn)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)的位移、速度和加速度超過一定值時(shí)，不再滿足非線性化處理?xiàng)l件，應(yīng)求解新的平衡位置，在新的平衡位置附近進(jìn)行模型線性化處理。

2.3 慣性力引起貨物擺動(dòng)的最大擺動(dòng)角度分析

塔式起重機(jī)以最短時(shí)間起動(dòng)，在完成起動(dòng)瞬間貨物擺動(dòng)角度 θ（t）和角速度滿足即變幅運(yùn)動(dòng)引起最大擺速同理，回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)引起貨物最大擺速

對(duì)于密度大、體積小的貨物，空氣阻力的影響非常小［16］，且GB／T 3811—2008規(guī)定，在風(fēng)力大于6級(jí)的天氣里不允許操作起重機(jī)［15］。因此，只針對(duì)塔式起重機(jī)在無風(fēng)的天氣里運(yùn)輸大密度的貨物的情況，不計(jì)空氣阻力和風(fēng)載荷，推導(dǎo)慣性力引起貨物擺動(dòng)的最大擺動(dòng)角度的估算公式。根據(jù)能量守恒定律，估計(jì)慣性力引起貨物擺動(dòng)的最大擺角度公式，由式（16）、（17）表示為

式（16）、（17）揭示了起重機(jī)變幅機(jī)構(gòu)和回轉(zhuǎn)機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)參數(shù)對(duì)貨物擺動(dòng)的最大幅值的作用規(guī)律。根據(jù)式（16）、（17）的推導(dǎo)可以得出：當(dāng)起升高度和變幅機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)速度滿足l＜（18vmax）2／（π2g）時(shí)，貨物的擺動(dòng)角度 θ（t）大于 10°。根據(jù) GB／T 3811—2008規(guī)定，貨物的擺動(dòng)角度不得大于10°，因此這將超過起重機(jī)操作規(guī)程中貨物擺動(dòng)角度的規(guī)定，屬于危險(xiǎn)作業(yè)，應(yīng)該停止操作；當(dāng)起升高度和回轉(zhuǎn)機(jī)構(gòu)回轉(zhuǎn)速度滿足時(shí)，貨物擺動(dòng)角度φ（t）大于10°，也超過起重機(jī)操作規(guī)程中貨物擺動(dòng)角度的規(guī)定。在這種情況下，應(yīng)該根據(jù)式（14）、（15）重新計(jì)算貨物擺動(dòng)的平衡位置，重新推導(dǎo)式（1）～（5），作為起重機(jī)系統(tǒng)線性化模型。

3 結(jié)論

通過上述研究表明：

（1）塔式起重機(jī)變幅機(jī)構(gòu)和回轉(zhuǎn)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)慣性力引起貨物擺動(dòng)，在小車的勻速運(yùn)動(dòng)過程中，在變幅機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)平面內(nèi)的貨物擺動(dòng)角度和角速度變化不大；隨著回轉(zhuǎn)幅度的增大，在回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)切向平面內(nèi)的擺動(dòng)角度和角速度逐漸增大。

（2）離心力和科氏力的共同作用使擺動(dòng)中心線發(fā)生傾斜，偏離了原來的平衡位置，線性化模型存在這較大誤差，應(yīng)重新計(jì)算貨物擺動(dòng)的平衡位置，建立新的起重機(jī)線性化模型。

（3）隨著變幅運(yùn)動(dòng)和回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的進(jìn)行，貨物運(yùn)動(dòng)的離心力和科氏力逐漸增大，貨物將產(chǎn)生更大幅度的空間擺動(dòng)，將超出起重機(jī)安全操作規(guī)程中規(guī)定的最大擺動(dòng)角度，導(dǎo)致起重機(jī)操作不安全。

［1］ Kim D.，Park Y..Tracking control in x-y plane of an offshore container crane［J］.Journal of Vibration and Control，2015，7（1）：1-15.

［2］ Fang Y.C.，Zhang Y.C..Dynamics analysis and nonlinear control of an offshore boom crane［J］.IEEE Transactions on Industrial Electronics，2014，16（1）：414-427.

［3］ Kiviluoto S.，Eriksson L.，Koivo H.N..Modelling and control of vertical oscillation in overhead cranes［C］.Chicago：2015 American Control Conference，2015.

［4］ Fujioka D.，Shah M.，Singhose W..Robustness analysis of input-shaped model reference control on a double-pendulum crane［C］.Chicago：2015 American Control Conference，2015.

［5］ Yoon J.，Vaughan J.E..Control of crane payloads that bounce during hoisting［J］.IEEE Transactions on Control Systems Technology，2014，22（3）：1233-1238.

［6］ Kumada T.，Chen G.，Takami I..Adaptive control for jib crane with nonlinear uncertainties［C］. Kathmandu：12th IEEE International Conference on Control＆ Automation（ICCA），2016.

［7］ Zhang X.B.，Sun N..Minimum-time trajectory planning for underactuated overhead crane systems with state and control constraints［J］.IEEE Transactionson Industrial Electronics，2014，61（12）：6915-6925.

［8］ Lu B.，F(xiàn)ang Y.C.，Sun N..Modeling and verification for a four-rope crane［C］. Shenyang： The 5th Annual IEEE International Conference on Cyber Technology in Automation，Control and Intelligent Systems，2015.

［9］ Smoczek J.，Szpytko J..Particle swarm optimization-based multivariable generalized predictive control for an overhead crane［J］.IEEE-ASME Transactions on Mechatronics，2017，22（1）：258-268.

［10］ Donaire A.M.R.，Singh N.M..Shaping the energy of mechanical systems without solving partial differential equations［J］.IEEE Transactions on Automatic Control，2016，64（4）：1051-1056.

［11］Sun N.F.Y.，F(xiàn)u Y.M..Slew／translation positioning and swing suppression for4-DOF Tower craneswith parametric uncertainties：design and hardware experimentation［J］.IEEE Transactions on Industrial Electronics，2016，63（10）：6407-6418.

［12］Kurabayashi T.，Yang C.，Murakami T..An advanced position control of overhead crane by sway suppression method emulating natural damping［C］.Hiroshima：The 2014 International Power Electronics Conference，2014.

［13］Farag S.A.，F(xiàn)oda S.G.，Alenany A..Fuzzy control of a large crane structure［J］.European Journal of Engineering Research and Science，2016，1（6）：68-73.

［14］董明曉.實(shí)現(xiàn)起重機(jī)自動(dòng)化的時(shí)滯控制理論及應(yīng)用研究［D］.西安：西安交通大學(xué)，2005.

［15］GB／T 3811—2008，起重機(jī)設(shè)計(jì)規(guī)范［S］.北京：中國(guó)標(biāo)準(zhǔn)出版社，2008.

［16］董明曉，鄭康平，張明勤，等.回轉(zhuǎn)起重機(jī)載荷擺動(dòng)建模誤差及不確定性定量分析［J］.應(yīng)用基礎(chǔ)與工程科學(xué)學(xué)報(bào)，2005，13（1）：75-80.

（學(xué)科責(zé)編：趙成龍）

Analysis of cargo oscillation caused by inertia force ofmechanism motions for tower cranes

Dong Mingxiao，Zhang En，Han Songjun，et al.
（School of Mechanical and Electrical Engineering，Shandong Jianzhu University，Jinan 250101，China）

TH213

A

1673-7644（2017）04-0307-04

2017-06-26

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（51475277）；山東省高端外國(guó)專家項(xiàng)目（370020121030）；山東省科技發(fā)展計(jì)劃項(xiàng)目（2013GCG20303）

董明曉（1965-），女，教授，博士，主要從事機(jī)電系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)控制、振動(dòng)控制等方面的研究.E-mail：mxdong＠sdjzu.edu.cn