張海燕, 馬麗娜, 王煥

(赤峰學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,內(nèi)蒙古 赤峰 024000)

某類具有對(duì)稱共軛點(diǎn)的倒星象函數(shù)的三階Hankel行列式上界估計(jì)

張海燕, 馬麗娜, 王煥

(赤峰學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,內(nèi)蒙古 赤峰 024000)

利用從屬關(guān)系引入了一類關(guān)于對(duì)稱共軛點(diǎn)的倒星象函數(shù)類 Ss?,c(A,B),用Toeplitz行列式討論了上述函數(shù)類的三階Hankel行列式H3(1),得到了該行列式的上界估計(jì).其結(jié)果改進(jìn)并推廣了一些已有結(jié)論.

倒星象函數(shù);對(duì)稱共軛點(diǎn);三階Hankel行列式;上界估計(jì)

1 引言

設(shè)S表示單位圓盤D={z∈C:|z|＜1}內(nèi)單葉解析且具有如下形式的函數(shù)族:

設(shè)P表示單位圓盤D={z∈C:|z|＜1}內(nèi)具有如下形式且滿足條件Re p(z)＞0的函數(shù)族:

由文獻(xiàn)[1]中的結(jié)論易知,對(duì)于函數(shù)p(z)∈P,存在Schwarz函數(shù)ω(z),使得

定義1.1[2]設(shè)函數(shù)f(z)和g(z)在單位圓盤D內(nèi)解析.如果存在D內(nèi)的Schwarz函數(shù)ω(z),滿足:ω(0)=0,|ω(z)|＜ 1且 f(z)=g(ω(z)),則稱 f(z)從屬于 g(z),記為 f(z)? g(z).特別地,如果g(z)在D內(nèi)單葉,則

設(shè)函數(shù)f(z)∈S,若滿足

則稱函數(shù) f(z)屬于函數(shù)類 S?(?),其中 ?(z)∈P.函數(shù)類 S?(?)和相應(yīng)的凸函數(shù)類 K(?)詳見文獻(xiàn)[3].

1959年,Sakaguchi在文獻(xiàn)[4]中引入關(guān)于對(duì)稱點(diǎn)的星象函數(shù)類S?,f∈S?當(dāng)且僅當(dāng)

1987年,El-Asha和 Thomas在文獻(xiàn) [5]中引入并分別研究了關(guān)于共軛點(diǎn)的星象函數(shù)類和關(guān)于對(duì)稱共軛點(diǎn)的星象函數(shù)類,分別滿足如下條件

利用從屬關(guān)系,本文引入了關(guān)于對(duì)稱共軛點(diǎn)的倒星象函數(shù)類S?sc(A,B)如下.

定義1.2設(shè)是具有(1)的形式且滿足下面條件的函數(shù)全體,

其中?1≤B＜A≤1.

其中ω(z)是單葉解析函數(shù),且滿足

1976年,Noonan和Thomas[6]定義了函數(shù)f的q階Hankel行列式:

其中a1=1,n≥1,q≥1.

因?yàn)?f∈S,a1=1,故有

其中 H2(1)的上界估計(jì)即是經(jīng)典的Fekete-Szeg不等式[7].

近年來,越來越多的學(xué)者對(duì)Hankel行列式的研究產(chǎn)生了濃厚的興趣.Noonan和Thomas研究了p葉函數(shù)的二階Hankel行列式[6],Noor在文獻(xiàn)[8]中研究了星象函數(shù)的行列式Hq(n),并確定了當(dāng)n→∞時(shí),行列式Hq(n)的增長(zhǎng)率.其他相關(guān)研究詳見文獻(xiàn)[9-11].受以上啟發(fā),張海燕、湯獲等在文獻(xiàn)[12]中研究了一類與對(duì)稱點(diǎn)有關(guān)的一類解析函數(shù)Ms(α,μ,A,B)的三階Hankel行列式H3(1),并得到了其上界估計(jì).利用類似的方法,本文研究了與對(duì)稱共軛點(diǎn)有關(guān)的一類倒星象函數(shù)S?s,c(A,B)的三階Hankel行列式H3(1),給出了該行列式的上界估計(jì).

2 主要結(jié)果

除非特別說明,在本文中,我們總假設(shè)?1≤B＜A≤1.為了證明本文結(jié)論,需要如下引理.

引理 2.1[2]如果p(z)∈P,則引理 2.2[13]如果p(z)∈P,則存在復(fù)數(shù)x,z,滿足 |x|≤1,|z|≤1,使得

定理 2.1設(shè)f∈,則

證明設(shè),則由定義1.2和(5)式,可得

其中 ω(z)是 Schwarz函數(shù)且滿足 ω(0)=0,|ω(z)|≤1,z∈D.令

則有

進(jìn)而可得

分別比較上式中z,z2,z3,z4的系數(shù),易得

定理2.1得證.

定理 2.2若,則有

證明設(shè),由從屬定義和(1.5)式可得

其中 ω(z)是單葉解析函數(shù),且滿足ω(0)=0,|ω(z)|≤1,z∈D.令

顯然 p(z)∈P,且

因此有

分別比較(14)式中等號(hào)兩邊z,z2,z3的系數(shù),得

于是,有

從而,有

設(shè)

又因?yàn)閨z|≤1,則由三角不等式和引理2.2,可得

進(jìn)而,有

顯然 p=0是 G(p)的根.又因?yàn)?G′′(0)＜ 0,所以 G(p)在 p=0處取到最大值.因此函數(shù)F(p,t)在t=1,p=0處取得最大值,即

定理2.2得證.

定理2.3若,則有

證明此定理的證明方法與定理2.2類似,在此省略其證明過程.

定理2.4若,則有

證明由(15),(16),(17)式,可得

又因?yàn)閨z|≤1,則由三角不等式和引理2.2,可得

下面分兩種情況進(jìn)行討論:

(1)當(dāng) t ＞ t?時(shí),＜0,函數(shù)F(p,t)關(guān)于t嚴(yán)格單調(diào)遞減,F(p,t)在t=0取最大值,即

顯然 p=0是 G(p)的根.又因?yàn)?G′′(0)＜0,所以G(p)在 p=0處取到最大值.因此函數(shù)F(p,t)在t=0,p=0處取得最大值,即

(2)類似地,當(dāng)t≤t?時(shí),≥0,函數(shù)F(p,t)關(guān)于t單調(diào)遞增,F(p,t)在t=1處取得最大值,即

進(jìn)而,有

又因?yàn)镚′′(r)＜0,所以G(p)在p=r處取到最大值.因此函數(shù)F(p,t)在t=1,p=r處取得最大值,即

綜上可知,定理2.4得證.

定理 2.5設(shè),則有

t?,M,r分別由 (20),(21),(22)式給出.

證明因?yàn)?/p>

故由三角不等式可得

將(10),(11),(12),(13),(18),(19)式代入到(23)式,即得定理2.5的結(jié)論.

[1]Graham I,Kohr G.Geometric Function Theory in One and Higher Dimensions[M].New York:Marcel Dekker,Inc.,2003.

[2]Duren P L.Univalent Functions[M].New York:Springer Verlag,1983.

[3]Sakaguchi K.On a certain univalent mapping[J].J.Math.Soc.Japan,1959,11:72-75.

[4]El-Ashah R M,Thomas D K.Some subclasses of close-to-convex functions[J].J.Ramanujan Math.Soc.,1987,74(4):85-100.

[5]Halim S A.Functions starlike with respect to other points[J].Intermat J.Math.Math.Sci.,1991,14(3):451-456.

[6]Noonan J W,Thomas D K.On the second Hankel determinant of areally mean p-valent functions[J].Transactions of the American Mathematical Society,1976,223(2):337-346.

[7] Fekete M,SzegG.Eine benberkung uber ungerada schlichte funktionen[J].J.London Math.Soc.,1933,8(2):85-89.

[8]Noor K I.Hankel determinant problem for the class of functions with bounded boundary rotation[J].Rev.Roumaine Math.Pures Appl.,1983,28(8):731-739.

[9]Singh G.Hankel determinant for new subclasses of analytic functions with respect to symmetric points[J].Int.J.of Modern Mathematical Sciences,2013,5(2):67-76.

[10]Raza M,Malik S N.Upper bound of the third Hankel determinant for a class of analytic functions related with lemniscate of bernoulli[J].Journal of Inequalities and Applications,2013,2013(1):1-8.

[11]Sudharsan T V,Vijayalakshmi S P.Adolf Stephen B.Third Hankel determinant for a subclass of analytic univalent functions[J].Malaya J.Mat.,2014,2(4):438-444.

[12]張海燕,湯獲,馬麗娜.一類解析函數(shù)的三階 Hankel行列式上界估計(jì)[J].純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué),2017,33(2):211-220.

[13]Libera R J,Zlotkiewicz E J.Coefficients bounds for the inverse of a function with derivative in positive coefficients[J].Proc.Amer.Math.Soc.,1983,87(2):251-257.

The estimate of upper bound of third Hankel determinant for a class of reciprocal starlike functions with respect to symmetric conjugate points

Zhang Haiyan,Ma Lina,Wang Huan
(School of Mathematics and Statistics,Chifeng University,Chifeng 024000,China)

In this paper,we introduce a class of reciprocal starlike functions with respect to symmetric conjugate points use affiliation,denoted by.we investigate the Hankel determinant H3(1)for this class functions with Toeplitz determinant and obtain the estimate of upper bound of the above determinant.The results present here improve and generalize some known results.

reciprocal starlike functions,symmetric conjugate points,third Hankel determinant,upper bound

30C45,30C50

A

1008-5513(2017)05-0503-10

10.3969/j.issn.1008-5513.2017.05.008

2017-07-07.

國(guó)家自然科學(xué)基金(11561001;11761006);內(nèi)蒙古自治區(qū)高等學(xué)?？茖W(xué)研究項(xiàng)目(NJZY16251).

張海燕(1981-),碩士,講師,研究方向：算子代數(shù)與復(fù)分析.

2010 MSC:30C45,30C55