田江龍 屈衛(wèi)東

(上海交通大學(xué)電子信息與電氣工程學(xué)院)

基于小波去噪的閾值函數(shù)改進(jìn)方法分析①

田江龍 屈衛(wèi)東

(上海交通大學(xué)電子信息與電氣工程學(xué)院)

首先介紹了兩種國內(nèi)外比較有代表性的小波閾值改進(jìn)方法，并在傳統(tǒng)軟、硬閾值函數(shù)的基礎(chǔ)上提出了一種新的改進(jìn)閾值函數(shù)，通過對(duì)小波系數(shù)的閾值處理，使得去噪后的信號(hào)在過分平滑與邊緣振蕩現(xiàn)象之間達(dá)到合理的平衡。對(duì)一段壓氣機(jī)臺(tái)架實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的仿真分析表明：該方法在去噪的同時(shí)減少了有用信息的損失，在信噪比增益和最小均方差誤差方面的性能指標(biāo)要優(yōu)于傳統(tǒng)軟、硬閾值法，同時(shí)在3種改進(jìn)閾值函數(shù)方法中具有最佳的去噪性能。

小波去噪 軟閾值函數(shù) 硬閾值函數(shù)

信號(hào)去噪問題一直是一個(gè)重要而且熱門的課題。近些年來，隨著小波分析理論的日臻完善和小波研究的不斷深入，小波分析的應(yīng)用日趨廣泛。其中，利用小波分析進(jìn)行信號(hào)去噪是信號(hào)處理領(lǐng)域的重要應(yīng)用之一，并且已經(jīng)顯示出比傳統(tǒng)的傅里葉分析更多的優(yōu)勢。目前，小波去噪方法大致分為3類：基于小波變換模極大值原理的小波去噪、基于相鄰尺度小波系數(shù)相關(guān)性的小波去噪和小波閾值函數(shù)去噪。閾值函數(shù)法是Donoho D L在1995年提出的一種簡單有效的小波去噪方法[1]，由于該方法在Besov空間上可得到最佳的估計(jì)值，是其他線性估計(jì)方法所達(dá)不到的，因此引起了國內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注與研究。但是，該方法采用的軟閾值與硬閾值函數(shù)仍存在一些有待改進(jìn)的地方，如硬閾值函數(shù)由于不連續(xù)會(huì)使得信號(hào)在突變處出現(xiàn)振蕩現(xiàn)象；軟閾值函數(shù)會(huì)損失有用的高頻信息，去噪后信號(hào)過于平滑等。針對(duì)這些問題，國內(nèi)外的很多學(xué)者提出了一些解決方案和改進(jìn)方法[2,3]，如最大似然估計(jì)法、軟硬閾值折衷法、多項(xiàng)式插值法及修正軟閾值法等，并進(jìn)行了大量的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，從而進(jìn)一步提高了小波閾值去噪法的去噪性能，擴(kuò)展了其應(yīng)用領(lǐng)域。

筆者首先介紹小波閾值去噪的原理和傳統(tǒng)的軟、硬閾值函數(shù)，然后在傳統(tǒng)閾值函數(shù)的基礎(chǔ)上提出了一種新的小波閾值函數(shù)，并進(jìn)行了理論分析與仿真驗(yàn)證。然后選取3種國內(nèi)外有代表性的改進(jìn)方法和筆者的改進(jìn)方法對(duì)截取的一段壓氣機(jī)臺(tái)架實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行去噪分析，并對(duì)比了它們的去噪性能。

1 小波閾值函數(shù)去噪法

1.1 小波閾值函數(shù)去噪原理

假設(shè)一維含噪聲信號(hào)的數(shù)學(xué)模型為[4]：

f(k)=s(k)+n(k)

(1)

其中，f(k)為含噪聲信號(hào)，s(k)為原始信號(hào)，n(k)為均方差為σ2的高斯白噪聲，服從N(0,σ2)的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。則通過小波閾值去噪法從f(k)含噪信號(hào)中得到s(k)的過程可分為以下3個(gè)步驟：

a. 利用小波對(duì)含噪信號(hào)進(jìn)行分解。選擇小波分解層數(shù)N和合適的小波包，對(duì)含噪聲信號(hào)f(k)進(jìn)行N層小波分解，獲取各尺度小波系數(shù)ψjk。

1.2 傳統(tǒng)閾值函數(shù)

小波閾值去噪方法的焦點(diǎn)在于對(duì)高頻小波系數(shù)的估計(jì)，傳統(tǒng)的閾值函數(shù)有軟閾值和硬閾值函數(shù)兩種。

傳統(tǒng)硬閾值函數(shù)的數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

(2)

傳統(tǒng)軟閾值函數(shù)的數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

(3)

硬閾值函數(shù)是將絕對(duì)值小于閾值的小波系數(shù)設(shè)為零，而將絕對(duì)值較大的系數(shù)全部保留，由于該函數(shù)是不連續(xù)的，小波重構(gòu)后所得到的信號(hào)會(huì)出現(xiàn)振蕩。軟閾值函數(shù)則是將絕對(duì)值較大的系數(shù)減去固定值T，這樣會(huì)直接影響重構(gòu)后的小波信號(hào)與原始信號(hào)的逼近程度，造成較多的高頻信息損失，導(dǎo)致信號(hào)的邊緣模糊。在實(shí)際工程應(yīng)用中，通過軟閾值函數(shù)法去噪后的信號(hào)較光滑，有著較大的信號(hào)失真，而利用硬閾值函數(shù)去噪后的效果并不理想，且對(duì)時(shí)變信號(hào)的去噪效果不佳。

2 對(duì)小波閾值函數(shù)的改進(jìn)方法

由上述分析結(jié)果可見，傳統(tǒng)的軟、硬閾值函數(shù)還存在一些不足之處。國內(nèi)外在這方面已做了大量研究，并提出了一些改進(jìn)函數(shù)。筆者選取兩種比較有代表性的改進(jìn)方法進(jìn)行介紹并做理論分析，然后在傳統(tǒng)軟、硬閾值函數(shù)的基礎(chǔ)上提出一種新的閾值函數(shù)方法。為了敘述方便，筆者將提到的3種改進(jìn)方法分別稱為：改進(jìn)方法一、改進(jìn)方法二和改進(jìn)方法三。

2.1 改進(jìn)方法一

改進(jìn)方法一是一種改進(jìn)硬閾值法[5]，其表達(dá)式為：

(4)

其中，n為任意正常數(shù)，即n∈Z,當(dāng)n→+∞時(shí)閾值函數(shù)等效于軟閾值函數(shù)，當(dāng)n→0時(shí)閾值函數(shù)等效于硬閾值函數(shù)。通過調(diào)整n的值，使得該函數(shù)在軟、硬閾值函數(shù)之間變動(dòng)，從而獲得不同的去噪性能。改進(jìn)方法一(在n=0.5,T=3時(shí)的函數(shù)如圖1所示)是對(duì)硬閾值函數(shù)的一種改進(jìn)方法，使得閾值處理時(shí)在閾值T處的小波系數(shù)能平滑過渡，從而使得去噪后的信號(hào)具有更好的連續(xù)性。

圖1 改進(jìn)方法一函數(shù)示意圖

2.2 改進(jìn)方法二

改進(jìn)方法二是一種雙變量小波閾值函數(shù)[6]，其表達(dá)式為：

(5)

圖2 改進(jìn)方法二函數(shù)示意圖

2.3 改進(jìn)方法三

改進(jìn)方法三是筆者在對(duì)傳統(tǒng)的軟、硬閾值函數(shù)和國內(nèi)外相關(guān)閾值函數(shù)研究基礎(chǔ)上提出的一種新的閾值函數(shù)，其表達(dá)式為：

(6)

其中，a>0.5,k>0，且a、k滿足如下條件：

(7)

其中a是可變參數(shù)。改進(jìn)方法三在有用信號(hào)和噪聲信號(hào)之間形成一段連續(xù)的平滑過渡帶。a參數(shù)的值用于指定過渡帶的曲線階次，a越大，過渡帶曲線越陡，a越小，過渡帶曲線越緩。因此，可以通過設(shè)置a來調(diào)節(jié)去噪信號(hào)的平滑度。式(7)用于保證閾值T的位置處在閾值函數(shù)二階導(dǎo)數(shù)為零處，從而使得在過渡帶斜率保持持續(xù)增加，使得閾值函數(shù)的曲線更快地逼近漸近線y(x)=x，從而盡量保持高頻信息不損失。當(dāng)參數(shù)a、T被指定，可通過式(7)計(jì)算出k。通過分析可以發(fā)現(xiàn)，在x=T點(diǎn)處的左右導(dǎo)數(shù)值存在如下關(guān)系：

(8)

保持a=-0.5時(shí)該閾值函數(shù)的曲線與軟閾值函數(shù)的一樣。當(dāng)a→+∞時(shí)該閾值函數(shù)的曲線與硬閾值函數(shù)的一樣。改進(jìn)方法三在合理地選取參數(shù)后既有改進(jìn)軟閾值函數(shù)法的優(yōu)點(diǎn)，又有改進(jìn)硬閾值函數(shù)法的優(yōu)點(diǎn)，通過文獻(xiàn)[6]可以知道在信噪比特性方面，改進(jìn)硬閾值方法的性能較一般的改進(jìn)軟閾值函數(shù)法要好。改進(jìn)方法三在a=3,T=3時(shí)的閾值函數(shù)如圖3所示。

圖3 改進(jìn)方法三函數(shù)示意圖

為了更為直觀地顯示參數(shù)a對(duì)閾值函數(shù)的影響，分別取a=-0.5,a=0.5,a=3,a=200繪制函數(shù)曲線(圖4)，由圖可見閾值函數(shù)變換趨勢與理論分析相符。

a. a=-0.5 b. a=0.5

c. a=3 d. a=200

3 去噪性能對(duì)比分析

為了能夠獲得筆者所介紹的3種改進(jìn)閾值函數(shù)在小波閾值去噪中的性能特性，分別采用軟、硬閾值函數(shù)和文中所提到的3種改進(jìn)閾值函數(shù)對(duì)一段壓氣機(jī)臺(tái)架實(shí)驗(yàn)的靜壓數(shù)據(jù)進(jìn)行去噪分析，并利用信噪比SNR和均方差誤差RMSE這兩個(gè)性能指標(biāo)對(duì)降噪效果進(jìn)行量化，以便進(jìn)行比較。

選擇db8小波對(duì)所選實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行5層小波分解，并對(duì)小波系數(shù)分層(即d1～d5共5層)后的數(shù)據(jù)設(shè)置閾值T。通過前面章節(jié)的分析可知，小波閾值T在去噪過程中起著至關(guān)重要的作用。若閾值T設(shè)置太大，將會(huì)丟失較多有用的高頻信息，從而造成小波重構(gòu)后的信號(hào)存在較大的失真；而如果閾值T設(shè)置太小，那么閾值函數(shù)處理后的小波估計(jì)系數(shù)中依舊含有很多噪聲分量，與去噪的初衷不合。文中閾值T通過統(tǒng)一全局閾值法[7]求取，它在實(shí)際的工程應(yīng)用中具有較好的效果，其數(shù)學(xué)表達(dá)式如下：

(9)

其中，Nj為j尺度上的小波系數(shù)的數(shù)據(jù)長度；σj=MAD(|ψjk|)/q,MAD(·)表示對(duì)數(shù)據(jù)取中值，q是常數(shù)，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)取0.4～1.0之間的值，筆者選擇q=0.7。筆者對(duì)壓氣機(jī)實(shí)驗(yàn)室數(shù)據(jù)進(jìn)行仿真計(jì)算得到各層小波系數(shù)的閾值設(shè)置見表1。

表1 各層閾值設(shè)置

由上述分析可知，所選的3種改進(jìn)閾值函數(shù)均有可變參數(shù)，且其去噪效果與參數(shù)值有關(guān)。因此，通過參考各文獻(xiàn)的參數(shù)設(shè)置和Matlab仿真結(jié)果，各改進(jìn)函數(shù)參數(shù)取值分別為n=0.2,m=0.9,a=3和a=3時(shí)得到的均方差最小，信噪比最大。5種閾值函數(shù)的去噪性能對(duì)比見表2。

表2 5種閾值函數(shù)的去噪性能對(duì)比

從表2的對(duì)比結(jié)果可見，硬閾值函數(shù)法要比軟閾值函數(shù)法的去噪性能好，原因在于軟閾值函數(shù)去噪后信號(hào)盡管比硬閾值函數(shù)法平滑，但損失了更多的高頻成分。改進(jìn)方法一是一種改進(jìn)的硬閾值函數(shù)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明此方法去噪性能要比傳統(tǒng)硬閾值函數(shù)法優(yōu)越。改進(jìn)方法二是一種改進(jìn)的軟閾值函數(shù)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明其去噪性能要比傳統(tǒng)軟閾值函數(shù)優(yōu)越，但是其平滑作用也損失了較多有用高頻信號(hào)，使得其性能并不優(yōu)于改進(jìn)方法一。筆者提出的改進(jìn)方法三在5種函數(shù)方法中去噪性能最佳，去噪后信號(hào)的信噪比提升最多，均方差誤差系數(shù)最小。當(dāng)然，表2的對(duì)比結(jié)果與各層小波系數(shù)閾值的選取也有一定關(guān)系，通過改變閾值的取值發(fā)現(xiàn)，隨著閾值增大，這5種方法的信噪比趨于同一個(gè)值，隨著閾值減小，信噪比均有不同程度的增大，但大量實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，筆者所提的方法均有最佳的表現(xiàn)。選取信噪比最大的兩種方法的去噪后信號(hào)與原始信號(hào)的對(duì)比如圖5所示。

圖5 改進(jìn)方法一、三去噪結(jié)果對(duì)比

通過以上分析，分析結(jié)果與各方法的理論分析結(jié)果相符，筆者所提出的去噪方法較其他幾種方法具有明顯的優(yōu)越性。

4 結(jié)束語

首先通過介紹小波閾值去噪的原理，然后針對(duì)傳統(tǒng)小波軟、硬閾值函數(shù)存在的不足介紹了3種改進(jìn)的閾值函數(shù)，并通過Matlab仿真實(shí)驗(yàn)對(duì)比分析了3種改進(jìn)閾值函數(shù)的去噪性能。分析結(jié)果表明改進(jìn)閾值函數(shù)在SNR和RMSE性能方面要優(yōu)于傳統(tǒng)的軟、硬閾值函數(shù)。

筆者提出的新的閾值函數(shù)在3種改進(jìn)閾值函數(shù)方法中去噪性能更好，且在除閾值T處外具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)和二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，使它具有更好的數(shù)學(xué)特性和靈活性，更加符合自然信號(hào)的特性。因此，它既具備比傳統(tǒng)的閾值函數(shù)更好的去噪性能，又具有閾值自適應(yīng)的特性，這為信號(hào)的小波閾值去噪提供了新的可選閾值函數(shù)。

[1] Donoho D L.De-noising by Soft-thresholding[J].IEEE Trans on Information Theory，1995，41(3)：613～627.

[2] 曲天書,戴逸松,王樹勛，等.基于SURE無偏估計(jì)的自適應(yīng)小波閾值去噪[J].電子學(xué)報(bào),2002,30(2):266～268.

[3] 王宏強(qiáng),尚春陽,高瑞鵬，等.基于小波系數(shù)變換的小波閾值去噪算法改進(jìn)[J].振動(dòng)與沖擊,2011,30(10):165～168.

[4] 姚建紅,林娜,付強(qiáng)，等.基于多目標(biāo)函數(shù)的粒子群算法優(yōu)化小波閾值的去噪方法研究[J].化工自動(dòng)化及儀表,2013,40(2):154～157.

[5] 張維強(qiáng),宋國鄉(xiāng).基于一種新的閾值函數(shù)的小波域信號(hào)去噪[J].西安電子科技大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2004,31(2):296～299,303.

[6] 張淑清,師榮艷,董玉蘭，等.雙變量小波閾值去噪和改進(jìn)混沌預(yù)測模型在短期電力負(fù)荷預(yù)測中的應(yīng)用[J].中國電機(jī)工程學(xué)報(bào),2015,35(22):5723～5730.

[7] 崔蕾,張玉林,伍海龍，等.掃描電化學(xué)顯微鏡掃描圖像處理的實(shí)現(xiàn)[J].化工自動(dòng)化及儀表,2006,33(4):33～36.

AnalysisofModifiedMethodforThresholdFunctionsBasedonWaveletDe-noising

TIAN Jiang-long, QU Wei-dong

(SchoolofElectronicInformationandElectricalEngineering,ShanghaiJiaotongUniversity)

Two typical methods for modifying wavelet threshold functions were introduced, and basing on traditional soft and hard threshold functions, a new modified threshold function was proposed. Through the threshold processing of wavelet coefficients, the signals de-noised reached the balance between excessive smoothness and edge oscillations. Simulating experiment data from a compressor bench shows that this method can reduce the loss of useful information while de-noising the signals, and the performance index is superior to traditional soft and hard in SNR gain and in the minimum mean square error, and it has the best de-noising performance of three modified threshold methods.

wavelet de-noising, threshold function, hard threshold de-noising

田江龍(1990-),碩士研究生，主要從事高負(fù)荷軸流壓氣機(jī)不穩(wěn)定信號(hào)的研究。

TN911.4

A

1000-3932(2017)03-0243-05

聯(lián)系人屈衛(wèi)東(1961-)，副教授，主要從事航空發(fā)動(dòng)機(jī)控制系統(tǒng)與故障診斷的研究，wdqu@sjtu.edu.cn。

2016-10-17，

2017-01-22)