陳莉娜

一、問題背景

初中平面幾何是一門提高學(xué)生邏輯思維和分析能力的學(xué)科。對(duì)于大部分學(xué)生來說學(xué)習(xí)起來比較困難，往往學(xué)生最為頭痛的就是如何在這些錯(cuò)綜復(fù)雜的幾何圖形去添加合適的輔助線，其實(shí)添加輔助線也是有規(guī)律可循，教師在教學(xué)的過程中，不但要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)知識(shí)進(jìn)行系統(tǒng)的整理，同時(shí)也要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)教材深入挖掘、提煉總結(jié)其思想實(shí)質(zhì)，揭示歸納方法因素，以其更好地發(fā)揮思想方法的整體功效，從而提高解題技巧。

二、問題研究

（一） 中點(diǎn)模型的構(gòu)造

1、考情分析

三角形是初中幾何的重要內(nèi)容之一，也是歷年中考命題的熱點(diǎn)，其中，三角形各邊的中點(diǎn)、中線及中位線的有關(guān)性質(zhì)的應(yīng)用，是中考的必考內(nèi)容，歷年來多以計(jì)算和證明題的形式出現(xiàn)。通過對(duì)近幾年中考有關(guān)試題的分析，預(yù)計(jì)與中點(diǎn)有關(guān)的操作性試題和綜合性的探究題將是今后幾年中考數(shù)學(xué)的重點(diǎn)題型。

2、技巧提煉

很多幾何題會(huì)給出“點(diǎn)X是線段XX的中點(diǎn)”這樣的條件，那么看到“中點(diǎn)”應(yīng)該想到什么呢？“中點(diǎn)”有哪些作用呢？

已知任意三角形一邊上的中點(diǎn)，可以考慮：

（1） 倍長(zhǎng)中線或類中線（與中點(diǎn)有關(guān)的線段）構(gòu)造全等三角形。如圖（a）、圖（b）所示。

（2） 三角形中位線定理。

（3） 已知直角三角形斜邊中點(diǎn)，可以考慮構(gòu)造斜邊中線。

（4） 已知等腰三角形底邊中點(diǎn)，可以考慮與頂點(diǎn)連接用“三線合一”。

有些題目的中點(diǎn)不直接給出，此時(shí)需要我們挖掘題目中的隱含中點(diǎn)，例如直角三角形中斜邊中點(diǎn)，等腰三角形底邊上的中點(diǎn)，當(dāng)沒有這些條件的時(shí)候，可以用輔助線添加。

3、 例題精講

如圖所示，已知在△ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD上一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)BE并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)F，AF=EF，求證：AC=BE。

【思路點(diǎn)撥】遇到中線，我們考慮倍長(zhǎng)中線或類中線，因?yàn)锳D是中線，所以加倍延長(zhǎng)AD至點(diǎn)G，使DG=DA，聯(lián)結(jié)BG，構(gòu)造全等三角形，進(jìn)行導(dǎo)角；或者加倍延長(zhǎng)ED，構(gòu)造全等三角形，再進(jìn)行導(dǎo)角。

證法一：如圖（a）所示，延長(zhǎng)AD至點(diǎn)G，使DG=AD，聯(lián)結(jié)BG.

∵DB=DC，∠BDG=∠CDA，AD=GD.

∴△ADC≌△GDB，∴AC=GB，∠G=∠EAF.

又∵AF=EF，∴∠EAF=∠AEF.

∵∠AEF=∠BED，

∴∠G=∠BED，∴BE=BG，∴BE=AC.

證法二：如圖（b）所示，延長(zhǎng)ED至點(diǎn)G，使得DG=DE，聯(lián)結(jié)CG.

∵點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，∴BD=CD.

∴∠BDE=∠CDG，∴△BED≌CGD.

∴∠G=∠BED，BE=CG.

∵AF=EF，∴∠FAE=∠AEF=∠BEG.

∴∠G=∠DAC，即∠G=∠EAF，

∴AC=GC.

∴AC=BE。

變式訓(xùn)練

如圖所示，在△ABC中，AD交BC于點(diǎn)D，點(diǎn)E是BC中點(diǎn)，EF∥AD交CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，交AB于點(diǎn)G，若AD為△ABC的角平分線，求證：BG=CF.

【思路點(diǎn)撥】因?yàn)镋是中點(diǎn)，所以加倍延長(zhǎng)FE至點(diǎn)H，使EH=EF，聯(lián)結(jié)BH構(gòu)造全等三角形，進(jìn)行導(dǎo)角。

證法一：如圖（a）所示，延長(zhǎng)FE到點(diǎn)H，使HE=FE，聯(lián)結(jié)接BH。

∵CE=BE，∠CEF=∠BEH，F(xiàn)E=HE，

∴△CEF≌△BEH（SAS）.∴∠F=∠H，CF=BH.

∵AD平分∠BACA，∴∠1=∠2.

∵AD∥EF，∴∠1=∠AGF=∠2=∠F=∠BGH.

∴∠BHG=∠BGH，∴BG=BH.∴BG=CF.

證法二：如圖（b）所示，取AB的中點(diǎn)Q，聯(lián)結(jié)EQ，則EQ=?AC，EQ∥AC，∴∠QEG=∠F.

∵EF∥AD，∴∠F=∠2=∠1.

∵∠QGE=∠1，∠QEG=∠F，∠FGA=∠1，

∴∠F∠FGA，∠QGE=∠QEG，

故EQ=GQ，AF=AG.

∵BQ=AQ=GQ+AG，

∴BG=BQ+GQ=2GQ+AG.

∵2GQ=2EQ=AC，∴BG=AC+AF=CF.

（二） 角平分線模型的構(gòu)造

1、考情分析

三角形內(nèi)外角平分線的概念是處理與角相關(guān)問題的基本依據(jù)和方法，在中考題中經(jīng)常利用角平分線的性質(zhì)去證明線段相等、角相等或三角形全等。隨著課改的深入，中考的題型也發(fā)生了變化。利用角平分線的對(duì)稱性把圖形翻折，再進(jìn)行推理計(jì)算，以及與角平分線有關(guān)的探究題、綜合題成為近幾年中考的熱點(diǎn)題型。

2、技巧提煉

與角平分線有關(guān)的常用輔助線作法，即角平分線的四大基本模型。

已知P是∠MON平分線上一點(diǎn)，

（1）若PA⊥OM于點(diǎn)A，如下圖（a）所示，可以過P點(diǎn)作PB⊥ON于點(diǎn)B，則PB=PA.可記為“圖中有角平分線，可向兩邊作垂線”。

（2）若點(diǎn)A是射線OM上任意一點(diǎn)，如下圖（b）所示，可以在ON上截取OB=OA，連接PB，構(gòu)造△OPB≌△OPA.可記為“圖中有角平分線，可以將圖對(duì)折看，對(duì)稱以后關(guān)系現(xiàn)”。

（3）若AP⊥OP于點(diǎn)P，如上圖（c）所示，可以延長(zhǎng)AP交ON于點(diǎn)B，構(gòu)造△AOB是等腰三角形，P是底邊AB的中點(diǎn)?？捎洖椤敖瞧椒志€加垂線，三線合一試試看”。

（4）若過點(diǎn)P作PQ∥ON交OM于點(diǎn)Q，如上圖（d）所示，可以構(gòu)造△POQ是等腰三角形，可記為“角平分線 + 平行線，等腰三角形必呈現(xiàn)”。endprint

3、例題講解

已知：如圖所示，△ABC的外角∠ACD的平分線CP與內(nèi)角∠ABC的平分線BP交于點(diǎn)P，連接AP、CP，若∠BPC=40°，求∠CAP的度數(shù)。

由題意可證∠BAC=2∠BPC.又∠BPC=40°，

∴∠BAC=80°，如下圖所示，過P分別作

PE⊥CD，PF⊥AC，PG⊥BA，垂足分別為E、F、G.由角平分線的性質(zhì)，得PE=PF，PE=PG，∴PF=PG.

∴∠CAP=?∠CAG=?（180°-80°）=?×100°=50°。

（三） 弦圖模型的構(gòu)造

1、考情分析

勾股定理的證明，從古至今引起無(wú)數(shù)人的關(guān)注，其證法到現(xiàn)在已有五百多種，“弦圖”就是我國(guó)三國(guó)時(shí)期的數(shù)學(xué)家趙爽，利用面積相等，形象巧妙的證明方法。隨著課改的深入，利用弦圖或其衍生圖來解決數(shù)學(xué)問題，已成為中考的熱點(diǎn)題型。預(yù)計(jì)與弦圖相關(guān)的中考題型有填空題、選擇題、計(jì)算題及探究題，對(duì)探究題要多加注意；同時(shí)在解題時(shí)；要掌握作輔助線構(gòu)造弦圖的方法。

2、 技巧提煉

勾股定理的證明方法是多樣的，而其中的多種方法是具有共性的。觀察發(fā)現(xiàn)：很多圖形中都可以提煉出一個(gè)相同的圖形——三垂直全等模型。如右圖所示。

三垂直全等模型其實(shí)是從弦圖中衍生出來的一個(gè)模型，當(dāng)我們解直角三角形或者正方形的試題時(shí)，在很多情況下我們可以考慮構(gòu)造弦圖來解決，有時(shí)候是完整的弦圖，有時(shí)只需一半弦圖——三垂直全等模型。

右圖是三垂直全等模型經(jīng)過直角三角形位置的變化之后所得到的另外兩個(gè)有三垂直和全等三角形的圖形，僅供做題時(shí)參考。

3、例題講解

如圖所示，向△ABC的外側(cè)做正方形ABDE，正方形ACFG.過點(diǎn)A作AH⊥BC于點(diǎn)H，AH的反向延長(zhǎng)線與EG交于點(diǎn)P，

求證：（1）EP=GP；（2）BC=2AP.

證明：（1）如下圖所示，過點(diǎn)E，G分別作AP的垂線，垂足為M，N.

∴∠M=∠GNM=90°

.∵AH⊥BC，∴∠AHB=90°∴∠AHB=∠M.

∵四邊形ABDE是正方形，

∴AB=AE，∠EAB=90°.∴∠1+∠2=90°.

∵∠2+∠ABH=90°，∴∠ABH=∠1.

∴△ABH≌△AEM.∴AH=EM，BH=AM.

同理可證△ACH≌△AGN

∴AH=GN，CH=AN.∴EM=GN.

∠EPM=∠GPN，∠M=∠GNM，

∴△EPM≌△GPN.

∴EP=PG.

（2）由（1）得，PM=PN.∵BC=BH+CH，

∴BC=AM+AN=AP+PM+AP-PN=2AP.

（四） 梯形中的輔助線問題

1、考情分析

“梯形”是近幾年來中考數(shù)學(xué)綜合題中的中點(diǎn)和熱點(diǎn)題型，利用梯形的性質(zhì)和它多種輔助線的添加，來證明線段相等，及進(jìn)行線段、角、梯形周長(zhǎng)和面積的計(jì)算，是中考的常見題型。

2、 技巧提煉

初二幾何中梯形面積公式的教學(xué)，教材中給出作對(duì)角線、把梯形分成兩個(gè)三角形的解法，教學(xué)中不應(yīng)該停留在這種表層的認(rèn)識(shí)上，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生這種方法的深層次含義，既通過“分解與組合”思想，實(shí)現(xiàn)把未知問題轉(zhuǎn)化為已知問題，并進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用這種思想方法去探求問題的其他解法，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性。在梯形中常見的有以下六種題型：

（1） 已知兩底之差或求兩底之差的題型，常過上底的一個(gè)端點(diǎn)添一腰的平行線與下底相交；達(dá)到把梯形分解成一個(gè)平行四邊形與三角形的目的；求（圖1）；

（2） 已知梯形的上底和底，求面積，常過上底的兩個(gè)端點(diǎn)向下底作垂線，添高；（圖2）；

（3） 延長(zhǎng)兩腰交于一點(diǎn)，可得到一對(duì)相似三角形 （圖3）；

（4） 已知梯形對(duì)角線相等或互相垂直的題型，常過上底的一個(gè)端點(diǎn)作一對(duì)角線的平行線，與下底的延長(zhǎng)線相交，體現(xiàn)組合的思想（圖4）；

（5） 有中點(diǎn)時(shí)，常過一腰的中點(diǎn)作另一腰的平行線，分別與上底的延長(zhǎng)線、下底相交（圖5）；

（6） 有中點(diǎn)時(shí)，也常連接上底的一端點(diǎn)與另一腰的中點(diǎn)并延長(zhǎng)，與下底的延長(zhǎng)線相交（圖6）。

3、 例題

已知等腰梯形ABCD的高是9㎝，AB∥CD，A C⊥BD，求它的面積。

（五）圓中的輔助線問題

1、考情分析

“圓”是近幾年中考的重點(diǎn)內(nèi)容，圓的概念和性質(zhì)的考查主要以填空和選擇題的形式出現(xiàn)，與圓的切線有關(guān)的證明題和計(jì)算題則出在解答題中?？v觀近幾年的中考題，圓心角的有關(guān)運(yùn)算，垂徑定理的應(yīng)用，弧長(zhǎng)、扇形、的計(jì)算在今后也還是中考的常見題型，而圓的切線的證明和計(jì)算，以及圓與銳角三角比、四邊形、函數(shù)、方程等結(jié)合的綜合題、探究題、開放題、動(dòng)態(tài)題，將是中考的重點(diǎn)題型。

2、技巧提煉

圓中常見輔助線的作法，通常可以從以下幾個(gè)方面考慮。

（1）構(gòu)造等腰三角形

利用半徑相等構(gòu)造等腰三角形

（2）構(gòu)造直角三角形

（a） （b）

圖（a）利用直徑所對(duì)圓周角是直角構(gòu)造直角三角形

圖（b）利用垂徑定理構(gòu)造直角三角形

（3） 圓心角與圓周角倒角

（4）切線的性質(zhì)與判定

給切線：過切點(diǎn)作半徑

證切線：①有交點(diǎn)：連半徑，證垂直 如果兩圓相切，過切點(diǎn)作兩圓的公切線

②無(wú)交點(diǎn)：作垂直，證半徑

（5）構(gòu)造公共弦：如果兩圓相交，構(gòu)造兩圓公共弦

三、研究小結(jié)

幾何教學(xué)通過在各種復(fù)雜的圖形中添加適當(dāng)?shù)妮o助線去分析解決問題，以此來提高學(xué)生邏輯思維能力和分析解決問題的能力，這種復(fù)雜程度往往也成為許多學(xué)生望而生畏的原因。用添加輔助線的方法來解決幾何問題是實(shí)踐證明的最有效的方法，它在整個(gè)初中幾何學(xué)習(xí)中的地位不可小覷。要想真正學(xué)好幾何，就要找到輔助線添加的有效策略，熟練掌握技巧方法，不斷豐富解題思路，使學(xué)生能夠在每一次的幾何解題中獲得成功體驗(yàn)，能夠始終保持學(xué)習(xí)幾何的積極性，提高學(xué)習(xí)效率。endprint