張艷龍，石建飛，王 麗

(1.蘭州交通大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院,蘭州 730070； 2.蘭州城市學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院,蘭州 730070)

周期激勵(lì)Ueda電路系統(tǒng)的雙參數(shù)特性分析

張艷龍1，石建飛1，王 麗2

(1.蘭州交通大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院,蘭州 730070； 2.蘭州城市學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院,蘭州 730070)

數(shù)值計(jì)算周期激勵(lì)Ueda電路系統(tǒng)在雙參數(shù)平面上的最大Lyapunov指數(shù)，得到系統(tǒng)在雙參數(shù)平面上周期運(yùn)動(dòng)、擬周期運(yùn)動(dòng)和混沌運(yùn)動(dòng)的參數(shù)區(qū)域。結(jié)合單參數(shù)分岔圖和龐加萊截面圖討論多參數(shù)耦合對(duì)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性的影響以及系統(tǒng)在參數(shù)平面上的分岔混沌過(guò)程，表明在不同的參數(shù)匹配下系統(tǒng)的局部動(dòng)力學(xué)特性非常復(fù)雜，參數(shù)之間的相互耦合關(guān)系對(duì)系統(tǒng)分岔與混沌過(guò)程的影響非常明顯：當(dāng)外激勵(lì)幅值小于1.0時(shí)，系統(tǒng)在外激勵(lì)頻率小于1.181或大于1.936的區(qū)域內(nèi)均為擬周期運(yùn)動(dòng)；當(dāng)外激勵(lì)幅值大于1.0時(shí)，系統(tǒng)在外激勵(lì)頻率小于0.9和大于2.5的區(qū)域內(nèi)出現(xiàn)混沌運(yùn)動(dòng)和周期運(yùn)動(dòng)相交替的現(xiàn)象；選取合適的參數(shù)，系統(tǒng)由擬周期運(yùn)動(dòng)經(jīng)鎖相退化為周期運(yùn)動(dòng)，后經(jīng)倍周期分岔序列進(jìn)入混沌運(yùn)動(dòng)；在給定系統(tǒng)參數(shù)下，當(dāng)外激勵(lì)頻小于0.2時(shí)，系統(tǒng)振子發(fā)生顫振。

振動(dòng)與波；Ueda電路；多參數(shù)匹配特性；Lyapunov指數(shù)；分岔

Key kords:vibration and wave;Ueda circuit;multi-parameter matching characteristic;Lyapunov exponent;bifurcation

非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)隨系統(tǒng)參數(shù)變化而出現(xiàn)分岔和混沌是非常普遍的現(xiàn)象[1–3]。目前，很多學(xué)者通過(guò)計(jì)算系統(tǒng)在雙參數(shù)平面上的分岔圖，研究系統(tǒng)隨雙參數(shù)變化時(shí)的分岔特性，如文獻(xiàn)[4]對(duì)兩自由度碰撞振動(dòng)系統(tǒng)的多參數(shù)分岔以及各參數(shù)之間的匹配規(guī)律進(jìn)行了研究，得到系統(tǒng)在參數(shù)平面上的各種分岔曲線以及不同類型周期運(yùn)動(dòng)的參數(shù)區(qū)域；文獻(xiàn)[5]對(duì)參數(shù)周期轉(zhuǎn)換洛倫茲系統(tǒng)的雙參數(shù)分岔進(jìn)行了研究；文獻(xiàn)[6]對(duì)耦合發(fā)電機(jī)系統(tǒng)的分岔和雙參數(shù)特性進(jìn)行了研究，研究發(fā)現(xiàn)不同控制參數(shù)對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為的影響特性有所差異；文獻(xiàn)[7–9]對(duì)多參數(shù)非常規(guī)分岔以及多參數(shù)分岔的分形結(jié)構(gòu)進(jìn)行了一定的研究；文獻(xiàn)[10]利用PNF和分岔延續(xù)算法相結(jié)合的方法研究了行星齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)在一組給定參數(shù)下共存的周期運(yùn)動(dòng)，并判斷了各共存周期運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性；文獻(xiàn)[11]根據(jù)特征值理論研究了Laser系統(tǒng)在雙參數(shù)條件下的分岔特性。對(duì)于系統(tǒng)在雙參數(shù)平面上最大Lyapunov指數(shù)的計(jì)算與分析卻鮮有文獻(xiàn)報(bào)道。

周期激勵(lì)Ueda電路是一個(gè)高度非線性的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)[12]，它既具有Duffing方程中的非線性能量存儲(chǔ)項(xiàng)，又具有Van der Pol方程中的非線性阻尼項(xiàng)。文獻(xiàn)[13]研究了周期激勵(lì)Ueda電路中的Hopf分岔，基于Hopf分岔?xiàng)l件給出了一個(gè)確定混沌參數(shù)區(qū)域的方法。而對(duì)周期激勵(lì)Ueda電路系統(tǒng)多參數(shù)匹配特性的研究卻很少見有文獻(xiàn)報(bào)道，系統(tǒng)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中不可能只受單參數(shù)的影響，為了得到系統(tǒng)在參數(shù)大范圍內(nèi)變化時(shí)的動(dòng)力學(xué)特性，有必要對(duì)系統(tǒng)的多參數(shù)耦合特性進(jìn)行研究。

本文針對(duì)周期激勵(lì)Ueda電路系統(tǒng)，通過(guò)數(shù)值計(jì)算系統(tǒng)在參數(shù)平面ω-f上最大Lyapunov指數(shù)(the Top Lyapunov Exponent，簡(jiǎn)稱TLE)來(lái)研究參數(shù)匹配對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性的影響，結(jié)合系統(tǒng)單參數(shù)分岔圖、龐加萊截面圖對(duì)系統(tǒng)在雙參數(shù)平面上TLE的分布進(jìn)行分析和驗(yàn)證。最后研究參數(shù)μ對(duì)系統(tǒng)在參數(shù)平面ω-f上TLE分布的影響。

1 系統(tǒng)在雙參數(shù)平面上TLE的分布

無(wú)量綱化后，周期激勵(lì)Ueda振蕩電路[12]描述為

式中μ是系統(tǒng)參數(shù)，f和ω分別是外加周期激勵(lì)信號(hào)的幅度和頻率。

數(shù)值仿真f=0.2、0.6、1.0、1.5、2.0、3.0、4.0變化時(shí)參數(shù)平面ω-f上最大Lyapunov指數(shù)的變化區(qū)域。由于篇幅限制僅以μ=0.2時(shí)為例，結(jié)合單參數(shù)分岔圖和龐加萊截面圖討論了多參數(shù)耦合對(duì)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性的影響以及系統(tǒng)在參數(shù)平面上的分岔混沌過(guò)程。圖1為周期激勵(lì)Ueda振蕩電路系統(tǒng)在μ=0.2時(shí)參數(shù)平面ω-f上TLE的分布圖，其中深灰色區(qū)域?yàn)橄到y(tǒng)TLE近似等于0的擬周期運(yùn)動(dòng)區(qū)域；黑色區(qū)域?yàn)橄到y(tǒng)TLE大于0的混沌運(yùn)動(dòng)；淺灰色區(qū)域?yàn)橄到y(tǒng)TLE小于0的穩(wěn)定周期運(yùn)動(dòng)。

圖1 系統(tǒng)在參數(shù)平面上TLE的分布圖，μ=0.2

圖中ω在1.5附近時(shí)，隨f的增加，存在淺灰色周期區(qū)域，且該周期區(qū)域面積不斷向兩邊擴(kuò)展；當(dāng)f較小時(shí)(圖1底部)，在左下部和右下部均為深灰色擬周期運(yùn)動(dòng)區(qū)域，當(dāng)ω較大時(shí)右下部深灰色區(qū)域內(nèi)系統(tǒng)出現(xiàn)了較小魚鱗狀的黑色區(qū)域，系統(tǒng)在該區(qū)域內(nèi)仍為擬周期運(yùn)動(dòng)，其TLE在0附近的擾動(dòng)范圍有所增大；當(dāng)f較大，系統(tǒng)在ω較小和較大時(shí)(圖1左上部和右上部)均出現(xiàn)黑色混沌帶，在該區(qū)域內(nèi)系統(tǒng)出現(xiàn)混沌運(yùn)動(dòng)和周期運(yùn)動(dòng)相交替的現(xiàn)象，動(dòng)力學(xué)特性很復(fù)雜。

2 系統(tǒng)在雙參數(shù)平面上的分岔過(guò)程

取μ=0.2，f=0.5計(jì)算系統(tǒng)隨ω變化的單參數(shù)分岔圖和相應(yīng)TLE圖分別如圖2(a)和圖2(b)所示，在圖2(b)中當(dāng)ω∈[1.181,1.936]時(shí)系統(tǒng)TLE明顯小于0，系統(tǒng)在該參數(shù)區(qū)間內(nèi)表現(xiàn)為穩(wěn)定周期運(yùn)動(dòng)，當(dāng)ω＜1.181或ω＞1.936時(shí)其TLE在0附近上下擾動(dòng)，而且當(dāng)ω＞1.936時(shí)，隨著ω的增大其擾動(dòng)幅度也越來(lái)越大，表明系統(tǒng)不穩(wěn)定性越來(lái)越強(qiáng)。圖2(c)為ω=2.0時(shí)的龐加萊截面圖，表現(xiàn)為1個(gè)閉合的極限環(huán)，表明系統(tǒng)為擬周期運(yùn)動(dòng)，對(duì)應(yīng)圖2(b)其TLE=-0.000 8。

取μ=0.2，f=1.5計(jì)算系統(tǒng)隨ω變化的單參數(shù)分岔圖和相應(yīng)TLE，如圖3(a)和圖3(b)所示，圖3(a)中隨ω的變化系統(tǒng)出現(xiàn)了多條寬度不同的黑色帶，對(duì)比圖3(a)和圖3(b)發(fā)現(xiàn)，ω在0.82和2.25附近的黑色帶所對(duì)應(yīng)的TLE明顯大于0，表明系統(tǒng)在該黑色帶內(nèi)表現(xiàn)為混沌運(yùn)動(dòng)；而其它黑色帶所對(duì)應(yīng)的TLE近似等于0，表明系統(tǒng)在該黑色帶內(nèi)為擬周期運(yùn)動(dòng)。圖3(c)為圖3(a)在ω∈[0.65,0.90]時(shí)的放大圖，系統(tǒng)在此區(qū)間內(nèi)出現(xiàn)了周期運(yùn)動(dòng)和混沌運(yùn)動(dòng)或擬周期運(yùn)動(dòng)相交替的現(xiàn)象（后面詳細(xì)分析）。圖3(a)中，當(dāng)ω∈(0.9,2.2)時(shí)系統(tǒng)為穩(wěn)定的周期1運(yùn)動(dòng)，當(dāng)ω=2.21時(shí)系統(tǒng)經(jīng)鞍結(jié)分岔轉(zhuǎn)遷為混沌運(yùn)動(dòng)，隨著ω增加系統(tǒng)經(jīng)逆倍化分岔序列退化為周期3運(yùn)動(dòng)。圖3(d)為圖3(a)在ω∈[2.52，2.62]的放大圖，當(dāng)ω=2.538 9時(shí)系統(tǒng)由周期3運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)遷為周期11運(yùn)動(dòng)，后由周期11運(yùn)動(dòng)進(jìn)入擬周期運(yùn)動(dòng)，隨著ω繼續(xù)增加系統(tǒng)由擬周期運(yùn)動(dòng)退化為較短暫的周期8運(yùn)動(dòng)，當(dāng)ω=2.606 6時(shí)系統(tǒng)由周期8跳躍為周期5運(yùn)動(dòng)，ω再增加系統(tǒng)由周期5運(yùn)動(dòng)進(jìn)入擬周期運(yùn)動(dòng)，隨后出現(xiàn)了周期2窗口，然后由周期2運(yùn)動(dòng)再次進(jìn)入擬周期運(yùn)動(dòng)。

圖3 系統(tǒng)分岔圖和TLE譜圖

圖4 與圖3 (c)對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)龐加萊截面圖

下面結(jié)合Poncaré截面圖對(duì)圖3(c)吸引子的轉(zhuǎn)遷過(guò)程進(jìn)行詳細(xì)分析。隨ω的增加，系統(tǒng)由擬周期運(yùn)動(dòng)(如圖4(a))退化為周期4運(yùn)動(dòng)(如圖4(b)、圖4(c))，后經(jīng)較短暫的倍化分岔序列進(jìn)入混沌運(yùn)動(dòng)(如圖4(d))；隨ω的繼續(xù)增加，系統(tǒng)混沌運(yùn)動(dòng)退化為周期5運(yùn)動(dòng)(如圖4(e))，隨后系統(tǒng)由周期5運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)遷為穩(wěn)定的周期1運(yùn)動(dòng)，當(dāng)ω=0.791時(shí)系統(tǒng)進(jìn)入極短暫的混沌運(yùn)動(dòng)，隨后退化為周期9運(yùn)動(dòng)(如圖4(f))；ω再增加，系統(tǒng)由周期9運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)遷為混沌運(yùn)動(dòng)(如圖4(g))，隨后混沌運(yùn)動(dòng)退化為周期7運(yùn)動(dòng)(如圖4(h))；當(dāng)ω=0.848時(shí)系統(tǒng)出現(xiàn)了周期17運(yùn)動(dòng)，后經(jīng)極短暫的混沌運(yùn)動(dòng)退化為周期1運(yùn)動(dòng)。圖3(d)所示的轉(zhuǎn)遷過(guò)程與圖3(c)類似，限于篇幅本文沒有給出Poncaré截面圖。

由此可見，在參數(shù)平面ω-f上，當(dāng)f=1.5，ω∈[0.848，2.251]時(shí)系統(tǒng)為穩(wěn)定的周期1運(yùn)動(dòng)，當(dāng)ω＜0.848或ω＞2.251時(shí)出現(xiàn)了周期運(yùn)動(dòng)和周期運(yùn)動(dòng)、周期運(yùn)動(dòng)和混沌運(yùn)動(dòng)、周期運(yùn)動(dòng)和擬周期運(yùn)動(dòng)相交替的現(xiàn)象。

取μ=0.2，f=3.0計(jì)算系統(tǒng)隨ω變化的單參數(shù)分岔圖和相應(yīng)TLE如圖5(a)和圖5(b)所示。當(dāng)ω較小時(shí)(ω＜1.0)系統(tǒng)出現(xiàn)周期運(yùn)動(dòng)和混沌運(yùn)動(dòng)交替現(xiàn)象。圖5(c)為圖5(a)在ω∈[0.05，0.25]時(shí)的放大圖，取ω的值分別為0.06、0.1和0.15計(jì)算系統(tǒng)相圖和相應(yīng)時(shí)間歷程圖，如圖6所示。結(jié)合圖5(c)和圖6可以看出，當(dāng)ω＜0.2時(shí)Ueda振蕩電路存在顫振運(yùn)動(dòng)，而且隨ω的增加顫震逐漸減弱。圖5(a)中，當(dāng)ω=2.503時(shí)系統(tǒng)進(jìn)入混沌運(yùn)動(dòng)，隨ω增加系統(tǒng)由混沌運(yùn)動(dòng)經(jīng)逆倍化分岔序列退化為周期2運(yùn)動(dòng)，隨ω繼續(xù)增加，系統(tǒng)由周期2進(jìn)入極短暫的混沌運(yùn)動(dòng)，隨后又退化為周期7運(yùn)動(dòng)，此后系統(tǒng)在頻率ω較窄區(qū)間內(nèi)出現(xiàn)了高周期運(yùn)動(dòng)與混沌運(yùn)動(dòng)相交替的現(xiàn)象，如圖5(d)所示(圖 5(d)為圖 5(a)在ω∈[3.8,4.0]時(shí)的放大圖)。

圖5 系統(tǒng)分岔圖和最大Lyapunov指數(shù)以及局部放大分岔圖

圖6 系統(tǒng)相圖和對(duì)應(yīng)時(shí)間歷程圖

由此可見，當(dāng)f較大時(shí)，系統(tǒng)在ω=1.5附近為穩(wěn)定的周期1運(yùn)動(dòng)，當(dāng)ω較大或較小時(shí)系統(tǒng)的局部動(dòng)力學(xué)特性變得很復(fù)雜。當(dāng)ω＜0.2時(shí)系統(tǒng)具有一定的顫震性，這種顫震性隨ω的增加而減弱，系統(tǒng)顫震出現(xiàn)在低頻率和高幅值情況下，這種現(xiàn)象在以前Ueda電路的研究中鮮有遇見。

3 參數(shù)μ對(duì)系統(tǒng)雙參數(shù)特性的影響

取μ的值分別為0.6、1.5、2.0和4.0，數(shù)值計(jì)算周期激勵(lì)Ueda振蕩電路系統(tǒng)在參數(shù)平面ω-f上TLE分布，如圖7所示，對(duì)比圖1發(fā)現(xiàn)隨參數(shù)μ的增加，圖中左邊區(qū)域內(nèi)的黑色混沌帶和分岔曲線以及深灰色區(qū)域面積不斷縮小并向下移動(dòng)，使得系統(tǒng)在參數(shù)平面上混沌運(yùn)動(dòng)和擬周期運(yùn)動(dòng)的參數(shù)范圍越來(lái)越小，而穩(wěn)定周期運(yùn)動(dòng)的參數(shù)范圍不斷擴(kuò)大(圖7(a)－圖7(d)左邊區(qū)域)；圖中當(dāng)ω較小時(shí)(ω＜1.5)，系統(tǒng)在左上部表現(xiàn)為穩(wěn)定周期運(yùn)動(dòng)，在左下部為擬周期運(yùn)動(dòng)，而在中間系統(tǒng)出現(xiàn)周期運(yùn)動(dòng)和混沌運(yùn)動(dòng)相交替的現(xiàn)象。當(dāng)ω較大時(shí)(ω＞1.5)，如圖7右邊區(qū)域，對(duì)比圖1，黑色混沌帶和深灰色擬周期區(qū)域不斷被淺灰色周期運(yùn)動(dòng)所侵蝕，表明當(dāng)ω較大時(shí)，隨μ增加系統(tǒng)穩(wěn)定周期運(yùn)動(dòng)的參數(shù)范圍在擴(kuò)大，而擬周期運(yùn)動(dòng)和混沌運(yùn)動(dòng)的參數(shù)范圍在縮小，而且在深灰色區(qū)域內(nèi)出現(xiàn)了許多黑色的離散點(diǎn)，表明系統(tǒng)在該區(qū)域內(nèi)TLE在不斷增加，但系統(tǒng)仍為擬周期運(yùn)動(dòng)。

由此可見，在參數(shù)平面ω-f上，當(dāng)外激勵(lì)幅值f較小時(shí)，系統(tǒng)在ω變化的大部分范圍內(nèi)表現(xiàn)為擬周期運(yùn)動(dòng)，隨μ增加，該擬周期區(qū)域面積有所減?。划?dāng)f較大、ω較小時(shí)系統(tǒng)表現(xiàn)為穩(wěn)定的周期運(yùn)動(dòng)，該周期運(yùn)動(dòng)區(qū)域面積隨μ的增加而不斷擴(kuò)大；當(dāng)f較大、ω較大時(shí)系統(tǒng)出現(xiàn)周期運(yùn)動(dòng)和混沌運(yùn)動(dòng)相交替的現(xiàn)象，隨μ增加，淺灰色周期區(qū)域的面積不斷增大，而黑色混沌區(qū)域和深灰色擬周期區(qū)域的面積在不斷縮小，系統(tǒng)在該區(qū)域的穩(wěn)定性開始增強(qiáng)。

圖7 不同參數(shù)μ下系統(tǒng)在參數(shù)平面上的TLE分布

4 結(jié)語(yǔ)

本文數(shù)值計(jì)算了典型周期激勵(lì)Ueda振蕩電路在參數(shù)平面ω-f上的TLE，得到系統(tǒng)在雙參數(shù)平面上不同運(yùn)動(dòng)形態(tài)的參數(shù)區(qū)域，結(jié)合系統(tǒng)單參數(shù)分岔圖和相應(yīng)的TLE以及龐加萊截面圖，對(duì)系統(tǒng)各參數(shù)之間的匹配特性進(jìn)行了分析，更為全面地反映了系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性與各參數(shù)之間的關(guān)系。

隨著μ的增加，在整個(gè)參數(shù)平面上系統(tǒng)穩(wěn)定周期運(yùn)動(dòng)的參數(shù)區(qū)域不斷擴(kuò)大，而混沌運(yùn)動(dòng)和擬周期運(yùn)動(dòng)的參數(shù)區(qū)域不斷縮小。當(dāng)μ較小，且ω在1.5附近較小區(qū)間內(nèi)取值時(shí)，系統(tǒng)在整個(gè)f參數(shù)范圍內(nèi)為穩(wěn)定的周期運(yùn)動(dòng)；當(dāng)f較小時(shí)，系統(tǒng)在ω較大和較小區(qū)域內(nèi)為擬周期運(yùn)動(dòng)；當(dāng)f較大時(shí)，系統(tǒng)在ω較大和較小區(qū)域內(nèi)出現(xiàn)周期運(yùn)動(dòng)和混沌運(yùn)動(dòng)相交替的現(xiàn)象，系統(tǒng)在該區(qū)域的局部分岔特性非常復(fù)雜。

在一定參數(shù)條件下，系統(tǒng)會(huì)發(fā)生顫振運(yùn)動(dòng)，系統(tǒng)也會(huì)出現(xiàn)由擬周期運(yùn)動(dòng)經(jīng)鎖相、倍化分岔向混沌運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)遷的特殊過(guò)程，當(dāng)系統(tǒng)處于擬周期運(yùn)動(dòng)時(shí)，其相應(yīng)最大Lyapunov指數(shù)在零附近較小范圍內(nèi)擾動(dòng)。利用系統(tǒng)在參數(shù)平面上最大TLE的分布圖來(lái)研究非線性系統(tǒng)具有一定的有效性和可行性，以上研究對(duì)多參數(shù)系統(tǒng)在較寬條件下的非線性動(dòng)力學(xué)行為研究及混沌控制具有參考價(jià)值。

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Double-parameter CharacteristicsAnalysis of Ueda Circuit Systems with Periodic Excitation

ZHANG Yan-long1,SHI Jian-fei1,WANG Li2
(1.School of Mechanical Engineering,Lanzhou Jiaotong University,Lanzhou 730070,China;2.School of Mathematics,Lanzhou City University,Lanzhou 730070,China)

The top Lyapunov exponent of the Ueda circuit system with periodic excitation on the double-parameter plane is calculated,and the parameter regions of periodic motion,quasi-periodic motion and chaotic motion of the system are obtained.With the single-parameter bifurcation diagrams and Poincaré section maps,the influence of multi-parameter coupling on the system motion stability is discussed,and the bifurcation and chaos processes of the system on the doubleparameter plane are also studied.The results show that the system local dynamic characteristics are very complex under different parameters coupling.The influence of the mutual coupling among the parameters on the process of bifurcation and chaos of the system is very obvious.When the external excitation amplitude is less than 1.0,the system exhibits quasiperiodic motion in the region where the external excitation frequency is less than 1.181 or greater than 1.936.When the external excitation amplitude is greater than 1.0,the system exhibits periodic motion and chaotic motion alternatively in the range of the external excitation frequency below 0.9 or above 2.5.When the system parameters are selected appropriately,the system motion will evolve into periodic motion from the quasi-periodic motion through phase lock,and then get into chaotic motion through multi-periodic bifurcation.Under the given system parameters,the system oscillator shows chatter motion when the external excitation frequency is less than 0.2.

O322；O241

A

10.3969/j.issn.1006-1355.2017.05.007

1006-1355(2017)05-0033-05+45

2016-11-08

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（11302092）

張艷龍(1981－)，男，河北省圍場(chǎng)縣人，副教授，博士生，主要研究方向?yàn)閯?dòng)力學(xué)與控制。

E-mail:zhangyl@mail.lzjtu.cn