李國熊， 宋小鵬， 張 權(quán)， 桂志國,2

(1. 中北大學(xué) 電子測試技術(shù)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 山西 太原 030051；2. 中北大學(xué) 儀器科學(xué)與動(dòng)態(tài)測試教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 山西 太原 030051)

結(jié)合差分曲率的空間模糊C均值圖像分割算法

李國熊1， 宋小鵬1， 張 權(quán)1， 桂志國1,2

(1. 中北大學(xué) 電子測試技術(shù)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 山西 太原 030051；2. 中北大學(xué) 儀器科學(xué)與動(dòng)態(tài)測試教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 山西 太原 030051)

針對基于空間信息的模糊C均值圖像分割算法(sFCM)在對含噪圖像分割時(shí)， 圖像的噪聲和邊緣細(xì)節(jié)不能同時(shí)得到較為正確分割的問題， 本文提出了一種結(jié)合差分曲率的改進(jìn)sFCM算法. 差分曲率(difference curvature)可以有效地區(qū)分圖像邊緣和平坦區(qū). 將差分曲率引入到sFCM算法的空間函數(shù)中， 算法的函數(shù)相關(guān)性參數(shù)在每個(gè)像素點(diǎn)處自適應(yīng)取值， 使改進(jìn)算法在抗噪性能提高的同時(shí)， 對圖像細(xì)節(jié)有著更好的分割效果. 實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明： 在對含噪圖像進(jìn)行分割時(shí)， 本文提出的改進(jìn)算法相比于sFCM及其衍生算法具有更好的模糊劃分效果， 并有效地提升了sFCM算法的抗噪性和對邊緣細(xì)節(jié)的保護(hù)能力.

模糊聚類； 圖像分割； 圖像去噪； 空間信息； 差分曲率

Abstract: For the problem of noise and details can not be segmented correctly at the same time when applying spatial information fuzzy c-means clustering algorithm (sFCM) to noise image segmentation, an improved algorithm of sFCM incorporating with difference curvature was proposed in this paper. Difference curvature can distinguish edges from ramp regions effectively. By applying difference curvature to the spatial function of sFCM, the function correlation parameters are determined adaptively in a single pixel so that the adapted method is more robust to noise, and results in better segmentation performance for details in the meantime. The experimental results indicate that the improved method achieve competitive results in fuzzy clustering, compared to sFCM and its variants. The noise tolerance and detail-preserving property are promoted effectively.

Keywords: Fuzzy c-means clustering; image segmentation; image noise; spatial information; difference curvature

圖像分割就是把圖像分成若干個(gè)特定的、 具有獨(dú)特性質(zhì)的區(qū)域的過程， 是圖像處理領(lǐng)域的重要環(huán)節(jié)， 在航空航天、 生物醫(yī)學(xué)工程、 工業(yè)檢測、 機(jī)器人視覺、 地理測繪等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用， 是模式識別和計(jì)算機(jī)視覺中重要的研究課題. 圖像分割的方法主要可分為： 閾值分割法， 基于邊緣分割法， 基于形態(tài)學(xué)分割法， 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)分割法[1]， 免疫算法， 基于支持向量機(jī)分割法[2]和聚類方法等， 其中， 模糊C均值聚類算法(FCM)作為一種無監(jiān)督算法已經(jīng)在圖像分割領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用.

標(biāo)準(zhǔn)FCM算法[3]通過模糊集合理論將數(shù)字圖像進(jìn)行有效的分割， 然而， 由于標(biāo)準(zhǔn)FCM算法在對圖像分割時(shí)， 在目標(biāo)函數(shù)最小化的原則下， 沒有考慮像素點(diǎn)的空間鄰域信息， 僅將圖像的灰度信息作為分類依據(jù)， 導(dǎo)致圖像中的噪聲得不到正確的分類以及其邊緣信息的丟失. 針對標(biāo)準(zhǔn)FCM算法對噪聲敏感的問題， 有大量的學(xué)者進(jìn)行了相關(guān)研究并從不同的角度提出了很多有效的改進(jìn)算法[4-9]. 其中， Ahmed等人最早在目標(biāo)函數(shù)中添加了空間鄰域的約束項(xiàng)， 提出了FCM_S算法[4]， 其改進(jìn)算法FCM_S1&S2提高了聚類計(jì)算速度； KFCM[5]算法用核函數(shù)替代了FCM中的歐式距離作為測度， 將像素灰度變換到新的特征空間進(jìn)行處理； Cai引入了同時(shí)包含鄰域空間距離以及鄰域灰度差的相似測度， 提出FGFCM算法[6]； Zheng提出一種結(jié)合廣義平均和多層聚類的GHFCM算法[7]， 該算法具有較好的拓展性; Zhao在s-FCM的基礎(chǔ)上提出了一種結(jié)合非局部信息的自適應(yīng)算法[9]. 上述算法均利用了圖像的空間信息， 降低了圖像分割結(jié)果中噪聲點(diǎn)的比例. 然而， 這些算法需要一些參數(shù)(λ或α)在分割過程中使降噪和細(xì)節(jié)保持上達(dá)到平衡， 參數(shù)的取值大小決定了分割結(jié)果是偏向去噪還是保護(hù)邊緣.λ或α由經(jīng)驗(yàn)或者實(shí)驗(yàn)得到， 應(yīng)用于圖像所有像素點(diǎn)沒有自適應(yīng)的在具體像素處做出調(diào)整.

Chuang等人于2006年提出一種基于空間信息的改進(jìn)FCM算法(sFCM)[10]， sFCM算法通過定義一種空間函數(shù)來重新計(jì)算像素隸屬度， 從而達(dá)到對噪聲點(diǎn)進(jìn)行正確分割的目的. 在sFCM算法中， sFCM1,1和sFCM0,2分別為空間函數(shù)中兩個(gè)函數(shù)相關(guān)性參數(shù)取不同的值對應(yīng)的算法， 在這兩種情況下， 圖像的分割結(jié)果有很大差異. sFCM1,1算法降噪能力不足， 對噪聲點(diǎn)分類不準(zhǔn)確； sFCM0,2由于對隸屬度過度平滑， 圖像邊緣細(xì)節(jié)得不到保護(hù). 其改進(jìn)算法有： 基于高斯空間信息的gsFCM[11]算法， 基于直覺模糊集的sIFCM[12]算法， 但上述算法同sFCM算法均存在明顯的不足， 空間函數(shù)相關(guān)性參數(shù)為固定值， 不能隨像素灰度以及其領(lǐng)域信息的變化而自適應(yīng)調(diào)整， 去噪和保護(hù)邊緣不能同時(shí)達(dá)到較好的效果. 因此， 為了讓sFCM算法的函數(shù)相關(guān)性參數(shù)能在每個(gè)像素點(diǎn)自適應(yīng)的取值， 本文引進(jìn)差分曲率[13]， 來量化像素點(diǎn)為邊緣的可能性， 使相關(guān)性參數(shù)的取值隨該像素點(diǎn)的差分曲率變化而變化， 在對噪聲正確分類的同時(shí)， 更好地保護(hù)圖像邊緣和細(xì)節(jié).

1 標(biāo)準(zhǔn)FCM算法

FCM算法由Dunn提出， 而后由Bezdek對其進(jìn)行了改進(jìn)與推廣[3]. 假設(shè)X=(x1,x2,…,xN)為待分類集合，X是由數(shù)字圖像中N個(gè)像素組成的樣本， 其中xj表示圖像中第j個(gè)像素的灰度值. 將集合X分為c類， FCM算法通過對最小化目標(biāo)函數(shù)迭代優(yōu)化， 實(shí)現(xiàn)模糊聚類. 目標(biāo)函數(shù)為

其約束項(xiàng)為

式中：Jm為各樣本與其聚類原型的加權(quán)誤差平方和；c為聚類數(shù)；N為像素個(gè)數(shù)；uij表示第j個(gè)像素屬于第i類的隸屬度函數(shù)；m為加權(quán)指數(shù)(一般取m=2)；vi為第i個(gè)聚類中心. 由拉格朗日數(shù)乘法， 得到使目標(biāo)函數(shù)最小化的uij和vi

通過優(yōu)化迭代， 直到滿足條件

式中：ε為收斂閾值.

在目標(biāo)函數(shù)最小化的原則下， 標(biāo)準(zhǔn)FCM算法在對圖像分割時(shí)， 將圖像的灰度信息作為分類的唯一依據(jù)， 所有特征向量之間互相獨(dú)立， 鄰域信息沒有被利用， 忽略了圖像中像素與像素之間的關(guān)系， 導(dǎo)致了算法對噪聲的敏感度高， 圖像中的噪聲點(diǎn)容易被錯(cuò)誤分類.

2 基于空間信息的FCM圖像分割

針對FCM算法對噪聲敏感的問題， Chuang 等人提出了sFCM[10]算法， 該算法定義了一種空間函數(shù)

式中：NB(xj)表示空間區(qū)域中以xj為中心的鄰域. 空間函數(shù)是鄰域像素隸屬度函數(shù)的總和， 表示鄰域區(qū)域?qū)儆诘趇類的可能性大小. 結(jié)合空間函數(shù)的隸屬度函數(shù)定義為

式中：p和q是兩個(gè)隸屬度相關(guān)性參數(shù)， 帶有參數(shù)p和q的空間FCM表示成sFCMp,q.p，q一般取值1和1(sFCM1,1), 或0和2(sFCM0,2). sFCM算法利用了像素的鄰域特性， 改變了隸屬度函數(shù)， 劃分了更多的同類區(qū)域， 其p值越低，q值越高， 對圖像噪聲有著越好的分類能力， 但同時(shí)會(huì)對非噪聲區(qū)域進(jìn)行過度平滑， 導(dǎo)致圖像的邊緣和細(xì)節(jié)區(qū)域得不到保護(hù)； 當(dāng)p值較高，q值較低， 圖像的邊緣和細(xì)節(jié)有較好的保留， 但此時(shí)噪聲點(diǎn)的分類效果較差. 因此， 本文提出一種改進(jìn)算法， 使p和q在圖像分割過程中自適應(yīng)取值： 在圖像的噪聲點(diǎn)或平坦區(qū)域，p值較大； 在含有邊緣細(xì)節(jié)區(qū)域，q值較大， 從而讓分割結(jié)果更為準(zhǔn)確.

3 改進(jìn)的sFCM算法

差分曲率[13]可以較好地區(qū)分圖像的噪聲和細(xì)節(jié)區(qū)域， 并廣泛應(yīng)用于圖像處理[14,15]. 設(shè)圖像梯度和切線方向的方向向量分別為

Iηη和Iξξ為圖像I在梯度方向和水平方向的二階導(dǎo)數(shù)

Iηη=

其中，

Iη=I·η=(IxIy)·=.

同理可得

差分曲率

由式(11)可知， 在圖像噪聲點(diǎn)處， |Iηη|和|Iξξ|較大， 且?guī)缀跸嗟龋?則該點(diǎn)處D較?。?在平坦區(qū)域， |Iqq| 和|Iξξ|都較小，D值較?。?而在邊緣處， |Iqq|較大， |Iξξ|較小， 差分曲率D值則較大. 因此， 本文提出一種結(jié)合差分曲率的sFCM改進(jìn)算法， 差分曲率用來量化像素點(diǎn)為邊緣的可能性. 首先對差分曲率進(jìn)行歸一化

式中：Dmax為圖像N個(gè)像素差分曲率的最大值. 然后對D′進(jìn)行拉伸變換得到sFCM算法新隸屬度函數(shù)中uij的指數(shù)

拉伸的目的在于讓處于弱邊緣細(xì)節(jié)處的像素點(diǎn)有較大的p值， 其模糊隸屬度在分割迭代過程中不被過度平滑.h和E為拉伸參數(shù)，h越大， 拉伸曲線重心越大，E越大， 則拉伸斜率越大. 經(jīng)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，h=0.2，E=7的時(shí)候算法效果最佳， 令q′=2-p′. 最后得到新算法的隸屬度

具體算法步驟如下： ① 初始化聚類數(shù)目c， 模糊指數(shù)m， 鄰域半徑r， 收斂參數(shù)ε； ② 給定初始聚類中心V0； ③ 根據(jù)式(11)～式(13)計(jì)算圖像所有像素的差分曲率； ④ 根據(jù)式(2)， 式(5)和式(14)更新隸屬度矩陣U； ⑤ 根據(jù)式(3)更新聚類中心V； ⑥ 重復(fù)4)和5)， 若滿足條件： ‖V(l+1)-Vl‖<ε， 則停止迭代.

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

為了比較改進(jìn)算法與FCM， sFCM及其另外兩種衍生算法sIFCM和gsFCM對圖像的分割效果， 本文對疊加了噪聲的Cameraman和House圖像進(jìn)行分割， 并采用劃分系數(shù)(Vpc)[16]和劃分熵(Vpe)來評價(jià)分割效果. 劃分系數(shù)和劃分熵被廣泛運(yùn)用于評價(jià)聚類效果，Vpc和Vpe定義為

式中： 劃分系數(shù)Vpc越大， 劃分熵Vpe越小， 則模糊聚類分割效果越好.

對自然圖像Cameraman和House添加均值為0， 方差0.005的高斯噪聲， 然后對圖像進(jìn)行分割， 分割類數(shù)為c=2， 鄰域半徑r=1， 收斂參數(shù)ε=0.02. sFCM， sIFCM和gsFCM算法中的p，q分別取1， 1與0， 2.

圖 1 和圖 2 分別為不同算法對Cameraman和House的分割結(jié)果. 從圖中可以看出： FCM分割結(jié)果中， 大部分噪聲點(diǎn)被錯(cuò)誤分類； 當(dāng)p，q取值1， 1時(shí)， 雖然sFCM， sIFCM和gsFCM的抗噪能力相對于FCM有一定的提高， 但仍存在較多噪聲點(diǎn)， 而本文算法的分割結(jié)果中幾乎沒有孤立的噪聲點(diǎn)， 圖 1 中草地區(qū)域和圖 2 中的墻面區(qū)域很好地顯示了本文算法的抗噪性； 當(dāng)p，q取值0， 2時(shí)， 從圖 1 中相機(jī)支架部分和圖 2 中的屋頂邊緣可以看出， 相比于sFCM， sIFCM和gsFCM， 本文算法保留了最為完整的邊緣細(xì)節(jié).

表 1 為各種算法對噪聲圖像分割得到的劃分系數(shù)和劃分熵. 顯然， 標(biāo)準(zhǔn)FCM算法的Vpc在所有算法中最小，Vpe最大； sFCM、 sIFCM和gsFCM算法中， 當(dāng)p，q為1， 1時(shí)Vpc(Vpe)的值比p，q為2時(shí)大(小)； 而在所有算法中， 本文算法其Vpc最大且Vpe最小， 因此， 本文提出算法有著更好的模糊劃分效果.

表 1 不同算法對噪聲圖像分割的Vpc和Vpe

圖 1 Cameraman分割結(jié)果Fig.1 Segmentation result of Cameraman

圖 2 House分割結(jié)果Fig.2 Segmentation result of House

5 結(jié) 論

本文在基于空間信息的FCM算法基礎(chǔ)上， 引入了能較好地區(qū)分邊緣區(qū)與非邊緣區(qū)的差分曲率， 提出了一種改進(jìn)的sFCM算法， 解決了在sFCM算法中， 由于p和q的取值不變性， 噪聲和細(xì)節(jié)不能同時(shí)得到正確分類的問題. 新算法讓p和q的值在分割之前自適應(yīng)獲取， 顯示了較好的抗噪性能和對邊緣細(xì)節(jié)的保護(hù)能力， 從而得到更好的聚類分割效果.

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SpatialFuzzyC-MeansClusteringIncorporatingwithDifferenceCurvatureforImageSegmentation

LI Guoxiong1, SONG Xiaopeng1, ZHANG Quan1, GUI Zhiguo1,2

(1. State Key Laboratory of Electronic Measurement Technology (North University of China), Taiyuan 030051, China； 2. Instrument Science & Dynamic Measurement, Ministry of Education Key laboratory of (North University of China), Taiyuan 030051, China)

1671-7449(2017)05-0392-06

TP391.41

A

10.3969/j.issn.1671-7449.2017.05.004

2017-03-02

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(61671413)； 山西省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(2015011046)

李國熊(1993-)， 男， 碩士生， 主要從事圖像分割的研究.