安徽省安慶市岳西縣湯池中學(xué) 楊續(xù)亮 蘇岳祥 (郵編:246620)

一個(gè)三角不等式的類比與證明

安徽省安慶市岳西縣湯池中學(xué) 楊續(xù)亮 蘇岳祥 (郵編:246620)

《數(shù)學(xué)通訊》2016年10月上半月刊問(wèn)題275題是:

設(shè) △ABC的三邊為a、b、c,證明:

《數(shù)學(xué)通報(bào)》2017年第3期,賀斌等老師在《一個(gè)三角形不等式的證明與類比》中提出不等式:在 △ABC中,設(shè) ∠A、∠B、∠C所對(duì)的三邊為a、b、c則有如下不等式成立:

為此,筆者先給出不等式①②的類比不等式,再給出證明．

在 △ABC中,設(shè) ∠A、∠B、∠C所對(duì)的三邊為a、b、c則有如下不等式成立:

證明①式的證明

而

證法一

同理可得(a＋b－c)(b＋c－a)≤b2,(a＋c－b)(b＋c－a)≤c2．

將以上三式相乘并開(kāi)方可得(a＋b－c)(a＋c－b)(b＋c－a)≤abc,即

證法二由正弦定理有

而sin2A＋sin2B＝2sin(A＋B)cos(A－B)≤2sinC．

同理可得sin2A＋sin2C≤2sinB,sin2B＋sin2C≤2sinA．

將以上三式相加可得sin2A＋sin2B＋sin2C≤sinA＋sinB＋sinC．

以下同證法一．

證法三不妨設(shè)A≥B≥C,則a≥b≥c,

④式的證明

不妨設(shè)A≥B≥C,則a≥b≥c,a2≥b2

⑤式的證明:

不妨設(shè)A≥B≥C,則a≥b≥c,a2≥b2≥c2,0＜cosA≤cosB≤cosC．

根據(jù)切比雪夫不等式知a2cosA＋b2cosB＋c2)．

在△ABC和任意的實(shí)數(shù)x、y、z有如下嵌入不等式2xycosC＋2yzcosA＋2zxcosB≤x2＋y2＋z2成立,當(dāng)且僅當(dāng)x∶y∶z＝sinA∶sinB∶sinC時(shí),等號(hào)成立．

在這里式子acosA＋bcosB＋ccosC有確切的幾何意義,為△ABC的垂直三角形的周長(zhǎng)．

由切比雪夫不等式容易證明,請(qǐng)讀者自己完成．

⑧式的證明,由余弦定理和重要不等式可得

2017-07-11)