孫麗紅，李樹有

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三維power-normal分布的性質(zhì)及參數(shù)估計(jì)問題的研究

孫麗紅，李樹有

（遼寧工業(yè)大學(xué) 理學(xué)院，遼寧 錦州 121001）

應(yīng)用了Clayton連接函數(shù)的性質(zhì)給出了三維power-normal分布的分布函數(shù)及概率密度函數(shù)，并詳細(xì)研究了三維power-normal分布的基本性質(zhì)，同時(shí)，根據(jù)所構(gòu)造出的三維power-normal分布模型，對(duì)其中的參數(shù)進(jìn)行了最大似然估計(jì)的討論。并給出了參數(shù)的最大似然估計(jì)的算法。結(jié)合費(fèi)永法在文獻(xiàn)中的1964年到1973年10年間長(zhǎng)江大通站、淮河中渡站及黃河花園口站的天然年流經(jīng)量數(shù)據(jù)作為樣本數(shù)據(jù)，利用MATLAB程序計(jì)算了參數(shù)的最大似然估計(jì)。

power-normal分布；極大似然估計(jì)；Clayton連接函數(shù)；三維分布；MATLAB

Power-normal分布是一種斜正態(tài)分布[1]，它是正態(tài)分布的一種特殊情況。是在研究實(shí)際問題時(shí)正態(tài)分布[2]難以滿足條件的情況下提出的一種新的研究方向，Isogai[3]在1999年第一次提到這類power-normal分布族。

Gupta等[4]在2008年正式提出了power-normal分布，用它來(lái)研究實(shí)線上的傾斜數(shù)據(jù)。Gupta等[5]在2013年根據(jù)一元power-normal分布一些基本性質(zhì)詳細(xì)研究了二元power-normal分布的相應(yīng)性質(zhì)。同時(shí)，根據(jù)直接估計(jì)和兩步驟估計(jì)法對(duì)二元power-normal分布的參數(shù)進(jìn)行了估計(jì)。

Nelsen[6]在1998年提出了Copula函數(shù)，并給出了其定義及基本的性質(zhì)。本文在此基礎(chǔ)上研究三維power-normal分布的性質(zhì)及參數(shù)估計(jì)問題。

1 預(yù)備知識(shí)

1.1 Copula連接函數(shù)

Copula[7]函數(shù)是被用來(lái)將多維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布用其一維邊緣分布連接起來(lái)的函數(shù)，因此也常被稱為“相依函數(shù)”或者“連接函數(shù)”，令，Copula函數(shù)表示為:，則有：

1.2 power-normal分布的參數(shù)估計(jì)問題

，

根據(jù)上式給出的power-normal分布的概率密度函數(shù)，得到其對(duì)數(shù)似然函數(shù)[8]為：

將上式對(duì)參數(shù)求導(dǎo)，并使其為零，得到參數(shù)的估計(jì)：

2 三維power-normal分布的參數(shù)估計(jì)

2.1 三維Clayton連接函數(shù)

Copula連接函數(shù)可分為橢圓Copula函數(shù)和阿基米德Copula函數(shù)兩大類。其中，阿基米德Copula函數(shù)取生成元時(shí)，得到維Clayton copula連接函數(shù)的表達(dá)式為：。根據(jù)p維Clayton copula函數(shù)定義，當(dāng)=3時(shí)，有三維Clayton copula函數(shù)：

2.2 三維power-normal分布

2.2.1 三維power-normal分布定義

2.2.2 三維power-normal分布的性質(zhì)

（2）聯(lián)合分布函數(shù)

分別求在上述4種情況下的三維power-normal分布的條件概率分布函數(shù)。

證明 上述最大最小概率分布函數(shù)根據(jù)多維分布最大最小概率分布函數(shù)定義得到。

2.2.3 參數(shù)估計(jì)

其中

表1 整理數(shù)據(jù)

根據(jù)表2給出數(shù)據(jù)，可以發(fā)現(xiàn)對(duì)數(shù)似然方程組是一個(gè)三元方程組，且未知參數(shù)為。故可以應(yīng)用MATLAB計(jì)算。得到參數(shù)，再根據(jù)參數(shù)的表達(dá)式可以得到參數(shù)，最后根據(jù)所設(shè)有。

3 總結(jié)

研究了三維power-normal分布及其參數(shù)估計(jì)問題，首先給出Copula函數(shù)的定義及基本性質(zhì)，并根據(jù)一維power-normal分布的分布函數(shù)及概率密度函數(shù)，利用最大似然估計(jì)法給出未知參數(shù)的估計(jì)；其次，文章根據(jù)Copula函數(shù)的定義及性質(zhì)，分析總結(jié)三維Clayton連接函數(shù)的基本性質(zhì)，主要利用Clayton連接函數(shù)的性質(zhì)及設(shè)變量的方法推導(dǎo)出三維power-normal分布的分布函數(shù)及概率密度函數(shù)，并給出其生存函數(shù)、條件概率密度函數(shù)、最大最小分布函數(shù)、單調(diào)性等基本性質(zhì)和證明過程。同時(shí)，用最大似然估計(jì)法對(duì)其未知參數(shù)即連接函數(shù)中的參數(shù)、power-normal分布中的未知參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，并利用MATLAB給出參數(shù)估計(jì)值。若研究條件允許，研究?jī)?nèi)容可向多維方向擴(kuò)展，其在經(jīng)濟(jì)學(xué)、統(tǒng)計(jì)學(xué)領(lǐng)域都將有廣闊的研究前景。

[1] Azzalini A. A class of distributions which includes the normal ones[J]. Scandinavian journal of statistics, 1985: 171-178.

[2] 盛驟, 謝式千, 潘承毅. 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)[M]. 4版. 北京: 高等教育出版社, 2008.

[3] Isogai T. Power transformation of the F distribution and a power normal family[J]. Journal of Applied Statistics, 1999, 26(3): 355-371.

[4] Gupta R D, Gupta R C. Analyzing skewed data by power normal model[J]. Test, 2008, 17(1): 197-210.

[5] Kundu D, Gupta R D. Power-normal distribution[J]. Statistics, 2013, 47(1): 110-125.

[6] Nelsen R B. An Introduction to copulas (Lecture Notes in Statistics). 1998.

[7] 楊益黨, 羅羨華. Copula 函數(shù)的參數(shù)估計(jì)[J]. 新疆師范大學(xué)學(xué)報(bào): 自然科學(xué)版, 2007, 26(2): 15-18.

[8] Gupta R D, Gupta R C. Analyzing skewed data by power normal model[J]. Test, 2008, 17(1): 197-210.

[9] 費(fèi)永法. 多元隨機(jī)變量的條件概率計(jì)算方法及其在水文中的應(yīng)用[J]. 水利學(xué)報(bào), 1995(8): 60-66.

責(zé)任編校：孫 林

Research on the Properties and Parameter Estimation Problem of Three-dimensional Power-normal Distribution

SUN Li-hong, LI Shu-you

（College of Science, Liaoning University of Technology, Jinzhou 121001, China）

In this paper, the cumulative distribution function and probability density function of three-dimensional power-normal distribution are given by using the properties of Clayton copula function. The basic properties of power-normal distribution are investigated in detail. At the same time, the maximum likelihood estimation of the parameters are discussed according to the three-dimensional power-normal distribution model. According to Fei Yongfa, who mentioned in the article, from 1964 to 1973 the annual flows data as the sample data among Datong station in the Yangtze River and the Huaihe River Ferry station and Huayuankou Station of the Yellow River, we use the MATLAB language to calculate the parameters of maximum likelihood estimation.

power - normal distribution; maximum likelihood estimation; clayton copula function; three-dimensional distribution; MATLAB

10.15916/j.issn1674-3261.2017.03.014

O212

A

1674-3261(2017)03-0190-06

2015-12-08

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(11271064)

孫麗紅(1991- )，女(滿族)，遼寧撫順人，碩士生。李樹有(1964- )，男，吉林通化人，教授，博士。