【摘要】本文首先探討數(shù)學(xué)建模思想和參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)教學(xué)之間的關(guān)系，并闡述了將數(shù)學(xué)建模思想融入到參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)教學(xué)中的必要性與可行性；其次，結(jié)合參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)的教學(xué)實(shí)踐，給出了一個(gè)應(yīng)用案例，討論了數(shù)學(xué)建模思想融入到參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)中的教學(xué)模式。最后發(fā)現(xiàn)，通過(guò)滲透數(shù)學(xué)建模思想于假設(shè)檢驗(yàn)教學(xué)，是培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用能力的一個(gè)有效途徑，也是當(dāng)前統(tǒng)計(jì)專(zhuān)業(yè)教學(xué)教改的一個(gè)方向。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)建模 參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)

【中圖分類(lèi)號(hào)】G642 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2017）33-0103-02

一、引言

美國(guó)在20世紀(jì)80年代舉行大學(xué)生數(shù)學(xué)建模比賽，加深了數(shù)學(xué)與應(yīng)用學(xué)科之間的緊密聯(lián)系。我國(guó)也于20世紀(jì)90年代引入了比賽，以激發(fā)我國(guó)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的熱愛(ài)和興趣，培養(yǎng)學(xué)生的實(shí)踐應(yīng)用能力。在數(shù)學(xué)建模的過(guò)程中，學(xué)生面對(duì)出題者給出的實(shí)際問(wèn)題及數(shù)據(jù)，要根據(jù)題目本身的專(zhuān)業(yè)背景，結(jié)合數(shù)學(xué)知識(shí)，給出基本假設(shè)，設(shè)計(jì)解決方案并解之。通常需要來(lái)自不同專(zhuān)業(yè)的學(xué)生相互合作才能圓滿完成。數(shù)學(xué)建模過(guò)程分為模型預(yù)備、模型假設(shè)、模型建立、模型求解和模型驗(yàn)證。學(xué)生通過(guò)數(shù)學(xué)建模，了解學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的用處和學(xué)好數(shù)學(xué)的優(yōu)勢(shì)，必將促進(jìn)和提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程的積極性。再次，數(shù)學(xué)建模的思想和方法一旦滲透入大學(xué)數(shù)學(xué)課堂將有助于提高數(shù)學(xué)教師的教學(xué)質(zhì)量，特別是為年輕教師個(gè)人教學(xué)風(fēng)格的培養(yǎng)創(chuàng)造了條件。

數(shù)學(xué)建模思想應(yīng)與已有的課程教學(xué)內(nèi)容有機(jī)結(jié)合起來(lái)，從而為大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)改革提供一種全新的思路。如何把數(shù)學(xué)模型思想融入到概率統(tǒng)計(jì)的教學(xué)過(guò)程中，需要經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期的探索。近來(lái)，任普強(qiáng)（1998）、劉瓊蓀（2006）研究了在工科高等數(shù)學(xué)中融入數(shù)學(xué)建模意識(shí)的教學(xué)方法，倪中新（2006）、李曉毅（2008）、顏亭玉（2013）、張利鳳（2014）、袁玲（2014）、劉桂蘭（2015）研究了在概率統(tǒng)計(jì)課程中融入數(shù)學(xué)建模意識(shí)的教學(xué)研究。這幾年數(shù)學(xué)建模主題大部分與統(tǒng)計(jì)相關(guān)，如2013 年車(chē)道被占用對(duì)城市道路通行能力的影響與公共自行車(chē)服務(wù)系統(tǒng)問(wèn)題。因此，在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程教學(xué)中融入數(shù)學(xué)建模的思想和方法，探索一些具有現(xiàn)實(shí)意義、應(yīng)用性強(qiáng)的實(shí)例，讓學(xué)生去分析、調(diào)查、研究，在探索的過(guò)程中體驗(yàn)隨機(jī)問(wèn)題的魅力，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)理論知識(shí)分析和解決實(shí)際問(wèn)題的意識(shí)和能力是可行的。

假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想是小概率反證法思想。小概率思想是指小概率事件（P<0.01或P<0.05）在一次試驗(yàn)中基本上不會(huì)發(fā)生。反證法思想是先提出假設(shè)（檢驗(yàn)原假設(shè)），再用適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計(jì)方法確定假設(shè)成立的可能性大小，如可能性小，則認(rèn)為假設(shè)不成立，若可能性大，則還不能認(rèn)為假設(shè)不成立。

假設(shè)檢驗(yàn)的過(guò)程依賴樣本信息，在一定可靠程度上對(duì)總體的有關(guān)情況進(jìn)行推斷。如果推斷原假設(shè)正確時(shí)，通過(guò)檢驗(yàn)予以保留，而當(dāng)為錯(cuò)誤時(shí)則加以拒絕。假設(shè)檢驗(yàn)是一種不完全的統(tǒng)計(jì)歸納推理，通過(guò)數(shù)據(jù)檢驗(yàn)所作的推斷正確的概率較大，但也存在著犯錯(cuò)誤的風(fēng)險(xiǎn)和可能，所犯錯(cuò)誤分兩類(lèi)：第一類(lèi)是為真但遭到拒絕，即所謂“棄真”錯(cuò)誤；第二類(lèi)是為假但被接受，即所謂“納偽”錯(cuò)誤，在統(tǒng)計(jì)假設(shè)檢驗(yàn)中只有了解兩類(lèi)錯(cuò)誤的發(fā)生緣由才能根據(jù)需要控制兩類(lèi)錯(cuò)誤的發(fā)生。在課堂上，學(xué)生往往能夠掌握參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)的求解過(guò)程， 卻不清楚假設(shè)檢驗(yàn)?zāi)Ｐ徒⒌倪m用條件。在解題過(guò)程中，學(xué)生能按照要求順利的進(jìn)行參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)，也能得到檢驗(yàn)結(jié)果，但當(dāng)時(shí)不能解釋原假設(shè)和檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的含義， 甚至在面對(duì)數(shù)據(jù)時(shí)并不知運(yùn)用何種檢驗(yàn)方法建立何種模型。因此，在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)中融入數(shù)學(xué)建模的思想是必要的。

二、將數(shù)學(xué)建模思想融入到參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)教學(xué)中的模式

想要把數(shù)學(xué)建模思想融入大學(xué)數(shù)學(xué)課堂需要要在教師的日常教學(xué)中日益滲透。下面就以參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)為例，談?wù)勅绾伟褦?shù)學(xué)建模思想融入專(zhuān)業(yè)教學(xué)，如何提高學(xué)生的應(yīng)用能力。為將數(shù)學(xué)建模思想融入到參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)教學(xué)中，培養(yǎng)和提高學(xué)生以解決實(shí)際問(wèn)題為核心的實(shí)踐能力，在講解參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)的概念與原理時(shí)，應(yīng)注重從日常生活的實(shí)際問(wèn)題出發(fā)，選取易引起學(xué)生興趣的案例進(jìn)行啟發(fā)式教學(xué)。這樣能由直觀到抽象，由簡(jiǎn)單到復(fù)雜，進(jìn)而運(yùn)用歸納類(lèi)比，使學(xué)生主動(dòng)去掌握相關(guān)的背景與實(shí)際意義，以問(wèn)題為主線，發(fā)現(xiàn)、分析、解決問(wèn)題，在此過(guò)程中學(xué)生加強(qiáng)了基本概念、方法的理解，提高了學(xué)習(xí)興趣，能主動(dòng)去探索未知的理論知識(shí)。因此，在參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)教學(xué)中，應(yīng)盡量做到概念、公式和定理的實(shí)際背景和應(yīng)用實(shí)例貫穿起來(lái)，注重案例教學(xué)。例如運(yùn)用假設(shè)檢驗(yàn)解決產(chǎn)品促銷(xiāo)問(wèn)題等。通過(guò)融入數(shù)學(xué)建模思想，使參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)教學(xué)與現(xiàn)實(shí)社會(huì)、生活背景與當(dāng)今熱點(diǎn)問(wèn)題結(jié)合起來(lái)，讓學(xué)生感覺(jué)學(xué)有所用。

1.在假設(shè)檢驗(yàn)?zāi)Ｐ椭幸霐?shù)學(xué)建模思想

基本假設(shè)是統(tǒng)計(jì)模型和數(shù)學(xué)建模的前提，它的合理性關(guān)乎模型的合理性。假設(shè)檢驗(yàn)?zāi)Ｐ椭凶钪匾木褪菍?duì)原假設(shè)和備擇假設(shè)的假設(shè)。原假設(shè)不一樣可能導(dǎo)致不同的結(jié)論，原假設(shè)為何如此重要？下面以電子元件壽命為例。

某電子元件的壽命均為未知，現(xiàn)測(cè)得16件元件的壽命（小時(shí)）如下：159，280，101，212，224，379，179，264，222，362，168，250，149，260，485，170。問(wèn)是否有理由認(rèn)為元件的平均壽命大于220（小時(shí)）（=0.05）？

因此我們不拒絕，即認(rèn)為元件平均壽命大于220小時(shí)。

從上例知通過(guò)檢驗(yàn)不同的原假設(shè)得出兩種完全相反的結(jié)果，如果根據(jù)以往這種元件的情況或生產(chǎn)這種元件的廠方不好的信譽(yù)，認(rèn)為平均壽命不超過(guò)220小時(shí)，只有非常不利于廠方的觀察結(jié)果才能改變我們對(duì)這種元件不信任的態(tài)度。反之當(dāng)我們交換原假設(shè)和備擇假設(shè)時(shí)，我們事先根據(jù)這種元件以往好的信譽(yù)認(rèn)為其平均壽命大于220小時(shí)，沒(méi)有充分的理由是不能改變我們對(duì)這種元件的好的看法。通過(guò)學(xué)生積極討論，得出這個(gè)充分的理由就是小概率原理，如果小概率事件在一次試驗(yàn)中發(fā)生那就有理由拒絕原假設(shè)，這樣一來(lái)使數(shù)學(xué)建模思想和假設(shè)檢驗(yàn)原理融合在一起，同時(shí)根據(jù)兩個(gè)相異的結(jié)果，通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生分析與抽象出問(wèn)題的核心，從而建立比較合適的原假設(shè)的概念。通過(guò)這樣的分析，學(xué)生對(duì)這個(gè)問(wèn)題有了深刻的認(rèn)識(shí)，也了解到基本假設(shè)合理的重要性。當(dāng)然我們這里的模型建立和求解與數(shù)學(xué)模型中的還是有所區(qū)別，因?yàn)闆](méi)有一個(gè)目標(biāo)函數(shù)而是統(tǒng)計(jì)量的取值范圍。

2.在假設(shè)檢驗(yàn)?zāi)Ｐ徒⒑颓蠼庵幸霐?shù)學(xué)建模思想

數(shù)學(xué)建模中有了基本假設(shè)之后，接著是建模及其求解。問(wèn)題的焦點(diǎn)集中在接受原假設(shè)還是拒絕原假設(shè)，那就要找到一個(gè)小概率事件，觀察在一次實(shí)驗(yàn)中小概率事件是否發(fā)生。這時(shí)可以引導(dǎo)學(xué)生思考，這樣的小概率事件是唯一的嗎？如何才能合理的找到最佳的一個(gè)小概率事件？隨后可簡(jiǎn)單介紹一下樞軸量的構(gòu)造原理和樞軸量在統(tǒng)計(jì)學(xué)中的重要性，再加上分位數(shù)的概念和置信區(qū)間的定義我們自然就能得出拒絕域的結(jié)論。

3.模型驗(yàn)證

模型的驗(yàn)證在建模過(guò)程中至關(guān)重要。沒(méi)有驗(yàn)證就無(wú)法證明模型的可靠性穩(wěn)定性。統(tǒng)計(jì)方法和數(shù)學(xué)建模在這個(gè)問(wèn)題上的認(rèn)識(shí)是一致的。就上例，驗(yàn)證的內(nèi)容分為幾個(gè)方面：一是基本假設(shè)是否合理；二是數(shù)據(jù)來(lái)源是否可靠；三是模型本身和結(jié)論是否能在實(shí)際應(yīng)用中得到解釋。首先看第一方面，因?yàn)轭}中問(wèn)題是判斷元件的平均壽命大于220，所以就只有二種結(jié)果，要么就是把大于220當(dāng)做原假設(shè)，要么就把它當(dāng)做備擇假設(shè)。第二方面中數(shù)據(jù)來(lái)自現(xiàn)場(chǎng)測(cè)試，而且有時(shí)候只是純粹做題，所以對(duì)數(shù)據(jù)來(lái)源這一塊除非在論文發(fā)表時(shí)要求嚴(yán)謹(jǐn)。第三方面因?yàn)闃颖揪岛涂傮w均值之間的誤差相對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)差較小，所以可忽略不計(jì)，所以根據(jù)保護(hù)原假設(shè)的原則很難拒絕原假設(shè)導(dǎo)致二種不同結(jié)論。

4.在教學(xué)中融入建模思想

因?yàn)閿?shù)學(xué)建模和統(tǒng)計(jì)方法都是應(yīng)用知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，所以構(gòu)建基本上程序是一致的。在數(shù)學(xué)建模中學(xué)生自己按照問(wèn)題的性質(zhì)提出假設(shè)，建立模型，求解模型和檢驗(yàn)?zāi)Ｐ汀６y(tǒng)計(jì)方法步驟相同，不過(guò)由于統(tǒng)計(jì)方法是現(xiàn)成的方法，我們只需要向?qū)W生展示這個(gè)步驟。因此，在課堂教學(xué)上，可以先介紹有關(guān)數(shù)學(xué)建模的思想及過(guò)程的預(yù)備知識(shí)，結(jié)合啟發(fā)式教學(xué)，以數(shù)學(xué)建模的思路學(xué)習(xí)假設(shè)檢驗(yàn)方法，搭建一座聯(lián)系理論和實(shí)際應(yīng)用的橋梁。

三、結(jié)束語(yǔ)

數(shù)學(xué)建模在鍛煉學(xué)生理論應(yīng)用實(shí)踐方面起到了啟發(fā)作用，也是培養(yǎng)學(xué)生對(duì)統(tǒng)計(jì)方法理論的理解和掌握，并能自主建模解決問(wèn)題的良好途徑。作為學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一種新方式，數(shù)學(xué)建模能夠?yàn)閷W(xué)生們提供自主學(xué)習(xí)與合作學(xué)習(xí)的空間，并且有助于學(xué)生們感受數(shù)學(xué)這一科目在解決一些實(shí)際問(wèn)題時(shí)所表現(xiàn)來(lái)出的用處和意義。因此，將數(shù)學(xué)建模思想融入到數(shù)理統(tǒng)計(jì)的參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)教學(xué)過(guò)程中，有利于提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，在這個(gè)過(guò)程中不僅提升了學(xué)生的綜合水平，還提高了教師的自身素質(zhì)，也會(huì)使整個(gè)課堂教學(xué)更具有說(shuō)服力和吸引力。在教學(xué)中融入數(shù)學(xué)建模思想，不僅能培養(yǎng)學(xué)生綜合運(yùn)用各個(gè)方面知識(shí)解決問(wèn)題的能力，還能培養(yǎng)學(xué)生的語(yǔ)言表達(dá)、科技寫(xiě)作、創(chuàng)新精神、團(tuán)隊(duì)合作等多方面能力，從而提高學(xué)生的整體綜合素質(zhì)。

通過(guò)參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)部分內(nèi)容學(xué)習(xí)的介紹，在今后的概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的教學(xué)中，我們需要不斷融入和滲透數(shù)學(xué)建模的思想和方法。在教學(xué)過(guò)程中， 培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模的思維方式， 強(qiáng)化理論與實(shí)際的聯(lián)系，能夠?qū)W以致用， 這才是最終教學(xué)目標(biāo)。

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作者簡(jiǎn)介：徐小紅（1975-），女，漢族，華南農(nóng)業(yè)大學(xué)講師，理學(xué)博士，主要研究方向?yàn)楦怕收撆c數(shù)理統(tǒng)計(jì)。