呂 娜 侯東昌 孫玉周

(中原工學(xué)院建筑工程學(xué)院，河南 鄭州 450007)

基于高階Cauchy-Born準(zhǔn)則的平面應(yīng)變梯度結(jié)構(gòu)監(jiān)測理論研究★

呂 娜 侯東昌 孫玉周

(中原工學(xué)院建筑工程學(xué)院，河南 鄭州 450007)

應(yīng)用高階Cauchy-Born準(zhǔn)則，通過建立新舊坐標(biāo)系下平面矢量的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換公式，推導(dǎo)新坐標(biāo)系下應(yīng)變梯度的關(guān)系式，為應(yīng)變梯度傳感器的應(yīng)用提供了理論基礎(chǔ)，為結(jié)構(gòu)監(jiān)測提供了新方法。

結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測，光纖光柵傳感器，應(yīng)變梯度，高階Cauchy-Born準(zhǔn)則

0 引言

近年來，隨著我國土木工程的繁榮發(fā)展，工程結(jié)構(gòu)的健康監(jiān)測問題成為一項越來越重要的研究。智能結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測技術(shù)將先進(jìn)傳感技術(shù)與被測結(jié)構(gòu)本身特性相結(jié)合，實現(xiàn)對結(jié)構(gòu)服役狀態(tài)、損傷程度的監(jiān)測以及對損傷位置的判定[1]。在用于監(jiān)測結(jié)構(gòu)健康的傳感器領(lǐng)域中，光纖光柵傳感器發(fā)展迅速，廣泛應(yīng)用于土木工程結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測中。目前，光纖光柵已經(jīng)用來做成位移、應(yīng)變、溫度傳感器，并且已相當(dāng)成熟，而光纖光柵應(yīng)變梯度傳感器還處于探索階段，雖然有人提出應(yīng)變梯度傳感器，但現(xiàn)在還沒有發(fā)現(xiàn)關(guān)于光纖光柵應(yīng)變梯度傳感器得以實際應(yīng)用的報道。

光纖光柵傳感器質(zhì)量輕、體積小，具有性能穩(wěn)定、多參數(shù)測量、分布測量等優(yōu)點，光纖光柵傳感器的無電磁干擾、可測量多種信號、易于分布埋入結(jié)構(gòu)和構(gòu)成網(wǎng)絡(luò)等特性，使其成為能夠用于長期結(jié)構(gòu)監(jiān)測的理想傳感元件[1]。這為開發(fā)新型傳感器提供了可能。

大量疲勞試驗表明，結(jié)構(gòu)在其使用期限內(nèi)70%的損傷始于初始裂紋。伴隨著裂紋擴(kuò)展，結(jié)構(gòu)的強度與剛度也將不斷劣化，最終導(dǎo)致突發(fā)性災(zāi)難事故。線彈性材料裂紋尖端的應(yīng)變場具有r-1/2奇異性，應(yīng)變梯度相對于應(yīng)變其變化更加劇烈，具有更高階的奇異性r-3/2[3]。相比傳統(tǒng)的應(yīng)變損傷識別，應(yīng)變梯度的監(jiān)測具有更加敏感、更早捕捉損傷的優(yōu)勢。

近年來，很多研究人員開始運用各種原理，注重于開發(fā)設(shè)計新型應(yīng)變梯度傳感器，并關(guān)注存在于大量生物材料、高分子材料以及晶體材料中的撓曲電效應(yīng)[4,5]，目前已開發(fā)出幾種可測量應(yīng)變梯度的傳感器，如鈦酸鍶鋇(BST)應(yīng)變梯度傳感器[6,7]，應(yīng)變梯度測量方面的研究還未見報道。若要將光纖光柵應(yīng)變梯度傳感器用于工程實際中，還需要解決一些問題，如已知該狀態(tài)下的應(yīng)變梯度，如何確定任意方向的應(yīng)變梯度，最大應(yīng)變梯度該如何確定等問題。本文應(yīng)用高階Cauchy-Born準(zhǔn)則，通過建立新舊坐標(biāo)系下平面矢量的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換公式，推導(dǎo)新坐標(biāo)系下應(yīng)變梯度的表達(dá)式，為應(yīng)變梯度傳感器的使用提供理論基礎(chǔ)。

1 Cauchy-Born準(zhǔn)則

在結(jié)構(gòu)變形中建立坐標(biāo)系如圖1所示，X=(X，Y)表示原始參考構(gòu)形，x=(x，y)表示當(dāng)前構(gòu)形。結(jié)構(gòu)從平面到曲面的變形映射由x=x(X)定義，其一階和二階變形梯度為：

(1)

其中，i=1，2；J，K=1，2。

將一階變形梯度F進(jìn)行展開，形式如下：

(2)

將二階變形梯度G進(jìn)行展開，形式如下:

(3)

在經(jīng)典Cauchy-Born準(zhǔn)則中，變形前的矢量R和變形后的矢量r可通過一階變形梯度F表示為[8]:

r=F·R

(4)

原始參考構(gòu)形中矢量R的起點為X，變形后當(dāng)前構(gòu)形中的矢量r可以準(zhǔn)確表示為：

r=x(X+R)-x(X)

(5)

對x(X+R)做關(guān)于X的泰勒級數(shù)展開，可得:

(6)

將式(6)代入式(5)，保留二階項可得:

(7)

式(7)即為高階Cauchy-Born準(zhǔn)則下變形后的矢量近似表達(dá)式[10]。相對于經(jīng)典Cauchy-Born準(zhǔn)則，這里增加了一個基于二階變形梯度的修正項。如果要提高近似解的精度，還可以附加更多的高階項。

對彎曲或扭轉(zhuǎn)的研究表明，桿件的最大應(yīng)力往往發(fā)生于構(gòu)件表層，由于構(gòu)件表面一般為自由表面，即有一主應(yīng)力等于零，因而從構(gòu)件表層取出的微分單元體單元就接近二向應(yīng)力狀態(tài)。所以在工程監(jiān)測中選擇在構(gòu)件表面測量與二向應(yīng)力成比例的二向應(yīng)變具有理論與埋設(shè)難易程度的實際意義。本文提出的應(yīng)變梯度傳感器可粘貼在構(gòu)件表面工作，因而應(yīng)變梯度的分析可以視為平面問題處理，可將光纖光柵看做方向矢量進(jìn)行研究。

2 應(yīng)變與應(yīng)變梯度

在平面坐標(biāo)系Oxy中，方向矢量R(X,Y)經(jīng)變形成為r(x,y)。由應(yīng)變的定義可知[11]：

(8)

(9)

(10)

將式(8)～式(10)代入一階應(yīng)變梯度表達(dá)式(2)，可得:

本文研究基于的數(shù)據(jù)是1996—2017年，2018年的中美貿(mào)易戰(zhàn)對中國石油安全也帶來了影響，后期筆者將做進(jìn)一步的研究。

(11)

(12)

(13)

(14)

將式(11)～式(14)代入經(jīng)典Cauchy-Born準(zhǔn)則表達(dá)式(4)，展開寫成分量形式為:

x=(1+εX)X+θXYY

(15)

y=θYXX+(1+εY)Y

(16)

將式(11)～式(14)代入高階Cauchy-Born準(zhǔn)則表達(dá)式(7)，展開寫成分量形式為:

(17)

(18)

在坐標(biāo)系OXY中，方向矢量R(X,Y)變形后方向為矢量r(x,y)，長度由|R|變?yōu)閨r|，與X軸正方向夾角為α，則有:

X=|R|cosα,Y=|R|sinα

(19)

假設(shè)將坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)α角(逆時針方向為正)，得到新坐標(biāo)系Oxy(見圖2)，方向矢量R(X,Y)變形后為r(x,y)，長度仍然由|R|變化為|r|，則有:

X|α=|R|,Y|α=0

(20)

將式(19)代入式(15)，式(16)得:

x=(1+εX)|R|cosα+θXY|R|sinα

(21)

y=θYX|R|cosα+(1+εY)|R|sinα

(22)

將式(20)代入式(15)，式(16)得:

x|α=(1+εX|α)·|R|,y|α=θYX|α·|R|

(23)

新舊坐標(biāo)系下矢量坐標(biāo)變換關(guān)系為:

x|α=xcosα+ysinα

(24)

y|α=-xsinα+ycosα

(25)

εX|α=εXcos2α+εYsin2α+γXYsinαcosα

(26)

式(26)即為平面應(yīng)變狀態(tài)下任意方向線應(yīng)變表達(dá)式。

將式(19)代入式(17)，式(18)得:

(27)

(28)

將式(20)代入式(17)，式(18)得:

(29)

(30)

將式(27)～式(30)代入式(24)，化簡得:

(31)

式(31)減去式(26)，化簡得:

G111|α=G111cos3α+G222sin3α+
(G122+2G212)cosαsin2α+(G211+2G112)cos2αsinα

(32)

由式(32)可以計算分析α方向上的應(yīng)變梯度，在平面上任意一點，通過6個應(yīng)變梯度和角度關(guān)系即可表示出來該變形狀態(tài)下任意方向的應(yīng)變梯度。

當(dāng)不考慮高階梯度，應(yīng)用經(jīng)典Cauchy-Born準(zhǔn)則，結(jié)論退化為平面應(yīng)變狀態(tài)下任意方向線應(yīng)變表達(dá)式，這驗證了式(32)推導(dǎo)結(jié)果的正確性。

由于應(yīng)變梯度是最敏感的測量對象，通過對式(32)的應(yīng)用，應(yīng)變梯度的有效量測為掌控結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測中裂縫的發(fā)生與生長情況提供了新途徑。

3 結(jié)語

本文應(yīng)用高階Cauchy-Born準(zhǔn)則，通過代入新舊坐標(biāo)系下平面位移矢量的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換公式，推導(dǎo)出了新坐標(biāo)系下應(yīng)變梯度的表達(dá)式，即任意方向上的應(yīng)變梯度可通過該變形狀態(tài)下的6個應(yīng)變梯度和角度來表示。該理論為使用應(yīng)變梯度理論制作光纖光柵應(yīng)變梯度傳感器進(jìn)行結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測的應(yīng)用提供了理論基礎(chǔ)。

為了更好地分析預(yù)測結(jié)構(gòu)損傷，下一步我們將深入分析最大應(yīng)變梯度該如何確定。

[1] 付興權(quán),干鵬飛.光纖健康監(jiān)測技術(shù)在橋梁結(jié)構(gòu)中的發(fā)展與應(yīng)用[J].山西建筑,2015，41(26):166-167.

[2] 李宏男,李東升,趙柏東.光纖健康監(jiān)測方法在土木工程中的研究與應(yīng)用進(jìn)展[J].地震工程與工程振動,2002,22(6):76-83.

[3] Staszewski D W,Lecturer.Monitoring on-line integrated technologies for operational reliability-monitor[J].Air & Space Europe,2000,2(4):67-72.

[4] 李 康,駱 英,徐晨光.基于BST微懸臂梁橫向撓曲電系數(shù)的測定[J].壓電與聲光,2014(5):798-800.

[5] Baskaran S,He X,Chen Q,et al.Experimental studies on the direct flexoelectric effect in α-phase polyvinylidene fluoride films[J].Applied Physics Letters,2011,98(24):901-903.

[6] Kwon S R,Huang W B,Zhang S J,et al.Flexoelectric sensing using a multilayered barium strontium titanate structure[J].Smart Materials & Structures,2013,22(11):2870-2876.

[7] Huang W,Yan X,Kwon S R,et al.Flexoelectric strain gradient detection using Ba0.64Sr0.36TiO3 for sensing[J].Applied Physics Letters,2012,101(25):2903-2907.

[8] 趙亞溥.表面與界面物理力學(xué)[M].北京：科學(xué)出版社,2012.

[9] 范鏡泓.材料變形與破壞的多尺度分析[M].北京:科學(xué)出版社,2008.

[10] Sun Y,Liew K M.The buckling of single-walled carbon nanotubes upon bending:The higher order gradient continuum and mesh-free method[J].Computer Methods in Applied Mechanics & Engineering,2008,197(33-40):3001-3013.

[11] 徐秉業(yè).應(yīng)用彈塑性力學(xué)[M].北京：清華大學(xué)出版社,1995.

Planestraingradientanalysisbasedonhigher-orderCauchy-Bornrule★

LvNaHouDongchangSunYuzhou

(SchoolofCivilEngineeringandArchitecture,ZhongyuanUniversityofTechnology,Zhengzhou450007,China)

In this paper, by using the high-order Cauchy-Born rule and the coordinate transformation formula of plane vector in the new and old coordinate systems, the expression of strain gradient in the new coordinate system is derived, which provides a theoretical basis for the application of strain gradient sensors.

structure health monitoring， sensor, strain gradient, higher-order Cauchy-Born rule

TU196

：A

1009-6825(2017)24-0030-03

2017-06-15 ★ ：國家自然科學(xué)基金(11472316)；河南省科技創(chuàng)新人才項目(164200510020)

呂 娜(1991- )，女，在讀碩士； 侯東昌(1991- )，男，在讀碩士； 孫玉周(1974- )，男，博士，教授