覃文源， 覃 會(huì)， 鄭洪波， 張振果， 張志誼

(1.上海交通大學(xué) 機(jī)械系統(tǒng)與振動(dòng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 200240；2.高新船舶與深海開發(fā)裝備協(xié)同創(chuàng)新中心，上海 200240)

軸承摩擦力作用下彈性支承軸系自激振動(dòng)特性研究

覃文源1,2， 覃 會(huì)1,2， 鄭洪波1,2， 張振果1,2， 張志誼1,2

(1.上海交通大學(xué) 機(jī)械系統(tǒng)與振動(dòng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 200240；2.高新船舶與深海開發(fā)裝備協(xié)同創(chuàng)新中心，上海 200240)

以重力式水洞中的彈性支承軸系為研究對(duì)象，研究其在水潤(rùn)滑橡膠軸承摩擦力作用下的自激振動(dòng)特性及其機(jī)理。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，系統(tǒng)于某一確定轉(zhuǎn)速產(chǎn)生自激振動(dòng)，并隨轉(zhuǎn)速下降維持不變直到一個(gè)較低轉(zhuǎn)速由于驅(qū)動(dòng)力不足而消失，各個(gè)轉(zhuǎn)速下的自激振動(dòng)均表現(xiàn)為轉(zhuǎn)速調(diào)制下的單階模態(tài)失穩(wěn)。為了研究自激振動(dòng)機(jī)理，建立了彈性支承軸系動(dòng)力學(xué)模型。在建模時(shí)，將軸系分為彈性支承和轉(zhuǎn)軸兩個(gè)子結(jié)構(gòu)，分別獲取固有振動(dòng)頻率和模態(tài)振型，建立在軸承界面摩擦力作用下的支承-轉(zhuǎn)軸耦合動(dòng)力學(xué)模型，并采用模態(tài)疊加法對(duì)模型進(jìn)行降階處理。采用四階Runge-Kutta方法求解動(dòng)力學(xué)方程，分析主要物理參數(shù)對(duì)系統(tǒng)的影響。分析結(jié)果表明，失穩(wěn)模態(tài)為支承的小阻尼扭轉(zhuǎn)振動(dòng)模態(tài)，支承振動(dòng)與軸承摩擦耦合作用是系統(tǒng)失穩(wěn)的主要原因。

彈性支承；摩擦激勵(lì)；耦合振動(dòng)；自激振動(dòng)

水潤(rùn)滑橡膠軸承被廣泛用于船舶的艉軸支承[1-3]。由于螺旋槳的懸伸布置，在開、停機(jī)以及低速重載工況下，艉軸承-軸頸間往往處于“邊界潤(rùn)滑”或“混合潤(rùn)滑”狀態(tài)，甚至直接接觸。在無明顯外激勵(lì)作用下，系統(tǒng)仍可能產(chǎn)生異常振動(dòng)和鳴音，加速橡膠軸承磨損，影響艦船的隱身性能[4-9]。

1 彈性支承軸系

1.1實(shí)驗(yàn)臺(tái)簡(jiǎn)介

重力式水洞彈性支承軸系如圖1所示，主要由伺服電機(jī)、推力軸承、彈性中間支承以及艉支承組成。其中，艉支承界面如圖2所示，四根支承劍的一端與橡膠軸承套鉸接，另一端固支，且受預(yù)緊力FP作用。

(a)

(b)

1.2實(shí)驗(yàn)結(jié)果

待水洞灌滿水后，對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行摩擦振動(dòng)實(shí)驗(yàn)，調(diào)節(jié)主軸轉(zhuǎn)速由高到低連續(xù)變化，從600 r/min開始按30 r/min的間隔逐步下降至30 r/min，拾取各個(gè)轉(zhuǎn)速下艉支承水平方向劍固支端的動(dòng)態(tài)支反力。測(cè)試結(jié)果表明，當(dāng)主軸轉(zhuǎn)速降至210 r/min時(shí)，系統(tǒng)有自激振動(dòng)現(xiàn)象產(chǎn)生，當(dāng)主軸轉(zhuǎn)速降至180 r/min時(shí)，人耳可以聽到自激振動(dòng)產(chǎn)生的噪聲，隨著主軸轉(zhuǎn)速的進(jìn)一步降低，自激振動(dòng)變得更加強(qiáng)烈，但當(dāng)主軸轉(zhuǎn)速降至30 r/min時(shí)，自激振動(dòng)難以維持，由于軸頸-軸承摩擦激勵(lì)引起的能量損耗難以得到持續(xù)補(bǔ)償，電機(jī)驅(qū)動(dòng)力不足。這里僅列出120 r/min、60 r/min以及30 r/min時(shí)的支反力測(cè)試結(jié)果，分別如圖3～5所示，其中，圖3～4中的上、下圖分別代表艉支承左、右劍的支反力測(cè)試結(jié)果。

圖2 艉支承示意圖

(a) 時(shí)域圖

(b) 頻率圖

(a) 時(shí)域圖

(b) 頻率圖

圖5 艉支承支反力(30 r/min)

系統(tǒng)自激失穩(wěn)的頻域特征均表現(xiàn)為被主軸轉(zhuǎn)速調(diào)制的單階模態(tài)失穩(wěn)，其頻率值約為114 Hz及其倍頻。

2 有限元建模

為了分析確定系統(tǒng)的自激失穩(wěn)模態(tài)，利用Abaqus建立系統(tǒng)的流固耦合有限元模型并進(jìn)行模態(tài)分析。其中，模型如圖6所示，模型參數(shù)如表1所示。流體和轉(zhuǎn)軸均采用實(shí)體單元，軸承套和支承劍采用殼單元建模，流體邊界條件為平面無反射，支承劍一端與軸承套鉸接，另一端固支且固支端有預(yù)緊力FP=1 700 N作用。

艉支承的前六階固有振型如圖7所示，其中，第一、三、五、六階模態(tài)是支承扭轉(zhuǎn)振動(dòng)模態(tài)，第五階模態(tài)與失穩(wěn)模態(tài)相對(duì)應(yīng)。

(a) 流固耦合模型

(b) 結(jié)構(gòu)模型

軸長(zhǎng)度半徑L1L26.16m0.03m3.82m2.16m支承劍長(zhǎng)度寬度厚度0.33m0.07m2.36mm結(jié)構(gòu)密度彈性模量泊松比材料8.034kg/m32.03E+011Pa0.28水密度體積模量1000kg/m32.18E+009Pa

1st 7.1 Hz

2nd 30.0 Hz

3rd 37.1 Hz

4th 80.0 Hz

5th 113.6 Hz

6th 265.9 Hz

3 動(dòng)力學(xué)建模

為了進(jìn)一步分析自激失穩(wěn)機(jī)理，分析艉支承振動(dòng)對(duì)系統(tǒng)振動(dòng)特性的影響，對(duì)如圖8所示的系統(tǒng)簡(jiǎn)化模型進(jìn)行動(dòng)力學(xué)建模。其中，螺旋槳簡(jiǎn)化成集中質(zhì)量，中間支承與推力軸承均以簡(jiǎn)支代替。簡(jiǎn)化系統(tǒng)的艉支承界面如圖9所示，軸承被簡(jiǎn)化成并聯(lián)的線性彈簧和黏性阻尼器。

在進(jìn)行系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)建模時(shí)，采用子結(jié)構(gòu)綜合方法，將系統(tǒng)分成支承和轉(zhuǎn)軸兩個(gè)子結(jié)構(gòu)，然后，根據(jù)協(xié)調(diào)條件和邊界條件分別求取固有振動(dòng)頻率及其模態(tài)，最后，建立通過軸承界面摩擦耦合的支承-轉(zhuǎn)軸耦合動(dòng)力學(xué)模型。

圖8 系統(tǒng)簡(jiǎn)化模型

圖9 簡(jiǎn)化系統(tǒng)艉支承界面

艉支承子結(jié)構(gòu)如圖10所示，四根支承劍依次標(biāo)記為1、2、3、4。相對(duì)于支承劍，軸承套具有較大的剛性，故將軸承套簡(jiǎn)化成剛體。

圖10 艉支承子結(jié)構(gòu)

3.1支承固有振動(dòng)

支承劍被簡(jiǎn)化成歐拉-伯努利梁考慮，其橫向振型函數(shù)[21]可以表示為

(1)

(2)

式中:Ab、Bb、Cb、Db為待定常數(shù);Fp為縱向預(yù)緊力;ωb為橫向振動(dòng)固有頻率;E,ρ分別為材料的彈性模量和密度;A為梁的截面面積;I為梁橫截面慣性矩。

縱向振型函數(shù)[21]：

(3)

式中:Al、Bl為待定常數(shù);ωl為縱向振動(dòng)固有頻率。

3.2協(xié)調(diào)條件和邊界條件

協(xié)調(diào)條件包括位移協(xié)調(diào)條件和力平衡條件，其中，力平衡條件可以由位移協(xié)調(diào)條件推得。由于四個(gè)鉸接點(diǎn)之間沒有相對(duì)位移，故滿足下列位移協(xié)調(diào)條件：

x′+Rb(1-cosθ′)=u1(x,t)|x=-Rb

(4a)

y′-Rbsinθ′=w1(x,t)|x=-Rb

(4b)

x′-Rbsinθ′=w2(y,t)|y=Rb

(4c)

y′-Rb(1-cosθ′)=-u2(y,t)|y=Rb

(4d)

x′-Rb(1-cosθ′)=-u3(x,t)|x=Rb

(4e)

y′+Rbsinθ′=-w3(x,t)|x=Rb

(4f)

x′+Rbsinθ′=-w4(y,t)|y=-Rb

(4g)

y′+Rb(1-cosθ′)=u4(y,t)|y=-Rb

(4h)

式中:ui、wi為i號(hào)支承劍的縱、橫向振動(dòng)位移，(x′,y′)是軸承套中心的坐標(biāo);Rb是軸承套半徑。

以1號(hào)支承劍為例，其邊界條件可以表示為

(5a)

u1(x,t)|x=-(Rb+l)=0

(5b)

式中，l為支承劍的長(zhǎng)度。

式(1)、(3)中的常數(shù)可以通過條件式(4)、(5)確定，支承劍的橫向和縱向固有振動(dòng)頻率及其模態(tài)即可確定。

軸承套中心位移可以表示如下：

x′(t)=[u1(-Rb,t)-u3(Rb,t)]/2

(6a)

y′(t)=[u4(-Rb,t)-u2(Rb,t)]/2

(6b)

θ′(t)=[w4(-Rb,t)+w2(Rb,t)]/(2Rb)

(6c)

3.3摩擦模型

軸頸-軸承接觸界面的摩擦模型對(duì)分析結(jié)果起著決定性作用[22-23]。當(dāng)轉(zhuǎn)軸運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)，軸承-軸頸接觸模型如圖11所示。轉(zhuǎn)軸與支承之間的摩擦激勵(lì)可以等效為通過轉(zhuǎn)軸軸心的摩擦力Ff和力矩Mf，兩者都會(huì)誘導(dǎo)轉(zhuǎn)軸及支承振動(dòng)。為了模擬低速重載工況下水潤(rùn)滑橡膠軸承的摩擦特性，本文選用經(jīng)典的速度依賴型Stribeck摩擦因數(shù)模型。

動(dòng)摩擦因數(shù)μd可表示為

μd=a0sgn(vr)exp(b0(c0+|vr|)-1)Pd0

(7)

式中:a0、b0、c0、d0均是常數(shù);vr為軸頸-軸承間的相對(duì)滑動(dòng)速度;P為軸承比壓;sgn(·)為符號(hào)函數(shù)。其中b0體現(xiàn)μd相對(duì)于vr的變化梯度。

圖11 軸頸-軸承接觸模型

摩擦力Ff，力矩Mf：

Ff=FN·μd(vr),Mf=Ff·R

(8)

式中:FN為軸頸-軸承間的法向接觸力;R為轉(zhuǎn)軸截面半徑。

軸頸-軸承間相對(duì)滑動(dòng)速度的水平分量vrx：

(9)

式中:Ω為轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)速;θ0、x0分別為轉(zhuǎn)軸扭轉(zhuǎn)振動(dòng)角位移和X方向橫向振動(dòng)位移。同理，可以表示出軸頸-軸承間相對(duì)滑動(dòng)速度的豎直分量。

3.4系統(tǒng)耦合振動(dòng)

轉(zhuǎn)軸和支承之間通過軸承摩擦激勵(lì)耦合，在軸承摩擦作用下，支承劍的縱向受迫振動(dòng)表示如下：

(10)

式中，F(xiàn)Nx為軸頸-支承間水平方向接觸力。

支承劍的橫向受迫振動(dòng)：

Ffxδ(y,t)|y=-Rb

(11)

式中，F(xiàn)fx為軸頸-軸承間水平方向摩擦力。

利用模態(tài)疊加法[24]對(duì)上述方程進(jìn)行降階處理：

(12)

(13)

式中，Uir(x)、Wir(x)分別為i號(hào)支承劍的第r階縱、橫向振動(dòng)模態(tài)向量，qiur(t)、qiwr(t)為相應(yīng)的模態(tài)坐標(biāo)。

將式(12)、(13)分別代入式(10)、(11)：

(14)

Ffxδ(y,t)|y=-Rb

(15)

利用模態(tài)向量正交性，在式(14)、(15)兩邊分別乘以U1j(x)和W4j(y)，并將方程寫成矩陣形式：

(16)

(17)

考慮水的質(zhì)量效應(yīng)，式(16)、(17)可以寫成是式(18)、(19):

(18)

(19)

為了考慮結(jié)構(gòu)的阻尼效應(yīng)，本文采用式(20)的Rayleigh阻尼[21]：

C=αM+βK

(20)

式中，α和β是系數(shù)向量。

式(18)、(19)可分別寫成：

Ku1qu1(t)=Fu1

(21)

Kw4qw4(t)=Fw4

(22)

本文主要考慮艉支承振動(dòng)的影響，故將轉(zhuǎn)軸簡(jiǎn)化成單自由度系統(tǒng)，其動(dòng)力學(xué)方程如下：

(23a)

(23b)

(23c)

式中：ms為轉(zhuǎn)軸質(zhì)量；cx、cy分別為軸承水平、豎直方向阻尼系數(shù);kx、ky分別為軸承水平、豎直方向剛度;Jsp為轉(zhuǎn)軸極轉(zhuǎn)動(dòng)慣量;cθ為轉(zhuǎn)軸扭振阻尼系數(shù);kθ為轉(zhuǎn)軸扭振剛度。上述參數(shù)取值均與轉(zhuǎn)軸的某階模態(tài)參數(shù)對(duì)應(yīng)。Ffy為軸頸-支承之間豎直方向摩擦力。

4 數(shù)值仿真

4.1參數(shù)估計(jì)

為了估計(jì)部分振動(dòng)模態(tài)阻尼比，測(cè)試艉支承的傳遞函數(shù)，其中，激勵(lì)點(diǎn)和振動(dòng)拾取點(diǎn)均位于水平支承劍，如圖12所示。

測(cè)試結(jié)果如圖13所示，其中包括轉(zhuǎn)軸靜止和轉(zhuǎn)動(dòng)兩種狀態(tài)下的頻響函數(shù)。從圖中可知，86.5 Hz和113.5 Hz所對(duì)應(yīng)的模態(tài)受轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)的影響，頻率發(fā)生偏移，相反，30.5 Hz和80 Hz多對(duì)應(yīng)的模態(tài)則不受轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)的影響。比較測(cè)試和有限元計(jì)算結(jié)果，30.5 Hz、80 Hz、113.5 Hz為艉支承固有振動(dòng)頻率，86.5 Hz為轉(zhuǎn)軸固有頻率。113.5 Hz對(duì)應(yīng)的模態(tài)阻尼比約為0.007，遠(yuǎn)小于其它模態(tài)阻尼比。

圖12 測(cè)點(diǎn)布置示意圖

圖13 艉支承傳遞函數(shù)

4.2動(dòng)力響應(yīng)分析

采用定步長(zhǎng)四階Runge-Kutta方法聯(lián)立求解動(dòng)力學(xué)方程式(21)、(22)、(23)，并分析軸承載荷、靜摩擦系數(shù)、模態(tài)阻尼比、轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)速以及β0等系統(tǒng)參數(shù)對(duì)響應(yīng)特性的影響。在此僅列舉以下幾組參數(shù)：

(1) 所有模態(tài)阻尼比均為0.01，轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)速60 r/min，a0=0.004 1，b0=4.042，c0=0.893 4，d0=-0.390 4，P=0.1 MPa；

(2) 艉支承第五階模態(tài)阻尼比取0.007，其它模態(tài)阻尼比取0.02，轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)速60 r/min，a0=0.004 1，b0=4.042，c0=0.893 4，d0=-0.390 4，P=0.1 MPa；

(3) 所有模態(tài)阻尼比均為0.01，轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)速60 r/min，a0=0.004 1，b0=4.2，c0=0.893 4，d0=-0.390 4，P=0.1 MPa；

(4) 艉支承第五階模態(tài)阻尼比取0.007，其它模態(tài)阻尼比取0.02，轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)速60 r/min，a0=0.004 1，b0=4.2，c0=0.893 4，d0=-0.390 4，P=0.1 MPa；

(5) 艉支承第五階模態(tài)阻尼比取0.007，其它模態(tài)阻尼比取0.02，轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)速30 r/min，a0=0.004 1，b0=4.042，c0=0.893 4，d0=-0.390 4，P=0.1 MPa；

(6) 艉支承第五階模態(tài)阻尼比取0.007，其它模態(tài)阻尼比取0.02，轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)速90 r/min，a0=0.004 1，b0=4.042，c0=0.893 4，d0=-0.390 4，P=0.1 MPa；

上述六組參數(shù)所對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)響應(yīng)分別如圖14～19所示，其中，14(a)、15(a)、16(a)、17(a)、18(a)、19(a)是轉(zhuǎn)軸扭轉(zhuǎn)振動(dòng)加速度的時(shí)域響應(yīng)特征；14(b)、15(b)、16(b)、17(b)、18(b)、19(b)為軸承界面水平方向摩擦力的時(shí)域特征；14(c)、15(c)、16(c)、17(c)、18(c)、19(c)為相應(yīng)摩擦力的頻域特征。

(a)

(b)

(c)

(a)

(b)

(c)

上述六組參數(shù)所對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)響應(yīng)均有自激失穩(wěn)現(xiàn)象產(chǎn)生，其中，圖14(c)、16(c)所示失穩(wěn)頻率為艉支承的第一階振動(dòng)頻率(ω1)，圖15、17、18、19(c)所示失穩(wěn)頻率為艉支承的第五階振動(dòng)頻率(ω5)，即113.6 Hz的失穩(wěn)頻率,這與實(shí)驗(yàn)結(jié)果一致；比較圖14、16與圖15、17、18、19，說明模態(tài)阻尼比是決定相應(yīng)模態(tài)是否失穩(wěn)的主要因素；比較圖1、3和圖2、4，發(fā)現(xiàn)動(dòng)摩擦系數(shù)關(guān)于相對(duì)滑動(dòng)速度的梯度越大，越容易誘導(dǎo)系統(tǒng)失穩(wěn)；比較圖17、18、19，轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)速越低，越容易誘導(dǎo)系統(tǒng)失穩(wěn)。

(a)

(b)

(c)

(a)

(b)

(c)

(a)

(b)

(c)

(a)

(b)

(c)

5 結(jié) 論

實(shí)驗(yàn)結(jié)果與數(shù)值分析結(jié)果比較一致，軸承界面摩擦與彈性支承振動(dòng)的耦合是系統(tǒng)產(chǎn)生自激振動(dòng)的主要原因，其中，失穩(wěn)模態(tài)為艉支承第五階模態(tài)，模態(tài)振型表現(xiàn)為扭轉(zhuǎn)振動(dòng)且其模態(tài)阻尼比較小，說明模態(tài)振型及其模態(tài)阻尼比的大小決定其是否失穩(wěn)。橡膠軸承引起的異常振動(dòng)和噪聲并非一定是其本身直接產(chǎn)生，可能由于耦合作用引起軸系中其它部件振動(dòng)異常，這為識(shí)別軸系異常振動(dòng)和噪聲提供借鑒。同時(shí)，分析發(fā)現(xiàn)水潤(rùn)滑橡膠軸承摩擦激勵(lì)誘導(dǎo)產(chǎn)生的系統(tǒng)自激失穩(wěn)出現(xiàn)在某一特定轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)，軸承載荷、軸承界面接觸特性以及主軸轉(zhuǎn)速等均是影響軸承摩擦的主要因素，這為改善軸承界面摩擦特性提供參考。

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Self-excitedvibrationofaflexiblysupportedshaftingsystemunderbearingfriction

QIN Wenyuan1,2, QIN Hui1,2, ZHENG Hongbo1,2, ZHANG Zhenguo1,2, ZHANG Zhiyi1,2

(1. State Key Laboratory of Mechanical System and Vibration, Shanghai Jiao Tong University, Shanghai 200240；2. Collaborative Innovation Center for Advanced Ship and Deep-Sea Exploration (CISSE), Shanghai 200240)

Self-excited vibration characteristics and its mechanism of a flexibly supported shafting system placed in a gravity water tunnel and excited by a friction force from water-lubricated rubber bearings were investigated. Test results indicated that the system’s self-excited vibration appears at a specific rotating speed and remains unchanged with decrease in the shaft rotating speed, it disappears at a lower rotating speed due to inadequate driving force; the system’s self-excited vibration under a certain rotating speed reveals a single mode to be unstable under rotating speed modulation. To study self-excited vibration mechanism, the dynamic model of the system was built. In modeling, the system was divided into two substructures including a flexible support and a shaft to get their natural frequencies and modal shapes, respectively. According to compatible conditions and boundary conditions, a support-shaft coupled dynamic model under the action of a friction force on bearing interface was built, the mode superposition method was adopted to reduce orders of the model. The fourth order Runge-Kutta method was used to numerically solve the dynamic equations. The influences of the main physical parameters on the system’s vibration instability were analyzed. The test results agreed well with those of simulation. The results showed that the unstable mode is the support’s weakly damped torsional vibration one; the interaction between support vibration and bearing friction force is the main reason to cause the system unstable.

flexible support; friction excitation; coupled vibration; self-excited vibration

國(guó)家自然科學(xué)基金(51505281；11172166)

2016-04-18 修改稿收到日期：2016-06-23

覃文源 男，博士生，1986年7月生

張志誼 男，博士，研究員，博士生導(dǎo)師，1970年11月生 E-mail：chychang@sjtu.edu.cn

O323；TB53

： A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.17.028