張寧寧

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三疊片壓電復合換能器彎曲振動的比較研究

張寧寧

(渭南師范學院數(shù)理學院，陜西渭南714099)

用瑞利法對三疊片彎振圓盤換能器在三種不同邊界條件下的振動特性進行理論研究，推導了諧振頻率及有效機電耦合系數(shù)的表達式，通過數(shù)值計算分析了復合換能器的諧振頻率及有效機電耦合系數(shù)隨換能器各結構參數(shù)的變化規(guī)律并進行比較研究，同時將計算結果與有限元模擬結果比較，結果表明不同邊界條件下?lián)Q能器的結構參數(shù)對諧振頻率和有效機電耦合系數(shù)影響不同：在換能器結構參數(shù)一定時，自由邊界條件下諧振頻率最大，簡支邊界條件下最小，固定邊界條件下次之；有效機電耦合系數(shù)隨著金屬片厚度、陶瓷片厚度和陶瓷片半徑變化時，分別有一個最大值；其他參數(shù)一定時，有效機電耦合系數(shù)在簡支邊界條件下最大，自由邊界條件下的值稍大于固定邊界條件下的值。上述研究結果可為三疊片彎曲振動換能器的設計和實際應用提供一定的理論支持。

瑞利法；諧振頻率；有效機電耦合系數(shù)；有限元模擬

0 引言

疊片式彎曲振動換能器結構比較簡單，輻射面積較大，輻射阻抗較低，易與氣體進行阻抗匹配，因此被廣泛應用于各種超聲領域。文獻[1-4]對夾心換能器進行了比較全面的研究。近年來，對疊片式特別是三疊片型換能器的研究和應用受到很多研究人員的重視。文獻[5-7]用ANSYS軟件對三疊片型換能器在自由和固定邊界條件下的振動模態(tài)和諧響應進行分析，結果與數(shù)值計算結果是一致的。文獻[8]用瑞利法對兩疊片壓電振子在固定邊界條件下的諧振頻率和有效機電耦合系數(shù)進行了數(shù)值計算。目前對夾心縱彎模式的換能器研究已比較成熟[9-14]，為了對換能器的性能和機械耦合及結構安裝問題進行改善，三疊片式彎曲壓電換能器經(jīng)常被應用，但其邊界條件和結構尺寸對換能器的性能影響各不相同而且較大，因此有必要系統(tǒng)地研究疊片式彎曲振動換能器。

彎曲振動是由于同時存在伸長和縮短兩種變形所產(chǎn)生，因此可認為彎曲振動是一種間接產(chǎn)生的振動模式，其振動模式相對傳統(tǒng)伸縮振動模式和剪切振動模式更為復雜。目前對疊片式彎曲振動的主要研究方法有瑞利變分法和等效電路法，但等效電路法的數(shù)學過程相對比較麻煩，所以瑞利法普遍被采用。本文用瑞利法對三種不同邊界條件下的三疊片彎振圓盤換能器進行理論研究，推導了諧振頻率及有效機電耦合系數(shù)的表達式，通過數(shù)值計算分析了復合換能器的諧振頻率及有效機電耦合系數(shù)隨各結構參數(shù)的變化規(guī)律并進行比較，同時與有限元模擬結果比較，得出的結果為疊片式彎曲振動換能器的設計和進一步廣泛應用提供理論支持。

1 三疊片彎振圓盤換能器在不同邊界條件下頻率方程的確定

三疊片彎振圓盤換能器的基本結構如圖1所示，由一個金屬基片和兩個尺寸相同的壓電陶瓷片組成，兩塊壓電陶瓷片采用厚度方向極化，然后粘在金屬圓盤兩個外表面。在壓電盤的厚度方向施加電壓，壓電陶瓷受到激勵使上下兩個表面產(chǎn)生彎曲振動。圖中A為壓電圓盤，B為金屬圓盤。設是金屬圓盤的厚度，為壓電片厚度，/2為金屬圓盤一半的厚度與壓電圓盤厚度之和。為金屬圓盤半徑，(為半徑比)為壓電圓盤的半徑。利用瑞利原理結合三疊片彎振圓盤換能器的不同邊界條件，推導換能器的位移分布函數(shù)中的各項系數(shù)。設在極坐標中三疊片彎振圓盤換能器的振動位移分布曲線為[15]：

(2)

1.1 固定邊界條件下頻率方程的確定

其中，

1.2 自由邊界條件下頻率方程的確定

(7)

(8)

1.3 簡支邊界條件下頻率方程確定

(11)

2 三疊片彎振圓盤換能器的有效機電耦合系數(shù)

2.3 有效機電耦合系數(shù)

對于彎曲壓電換能器有效機電耦合系數(shù)為[7]

將式(13)和式(15)代入式(16)，可得該換能器的有效機電系數(shù)具體表達式。當選定材料后，換能器的各結構尺寸決定了其諧振頻率和有效機電耦合系數(shù)。諧振頻率和有效機電耦合系數(shù)的方程比較復雜，解析解很難得到的，所以采用數(shù)值計算。以下研究中，取壓電材料為PZT-4及金屬材料為45號鋼，主要材料參數(shù)是：

3 不同邊界條件下三疊片彎振圓盤換能器諧振頻率和有效機電耦合系數(shù)與結構尺寸的比較

3.1 不同邊界條件下諧振頻率的比較

由表1可以看出，三種邊界條件下，三疊片彎振圓盤換能器的諧振頻率都隨著金屬片厚度的增大而增大，且在相同的金屬片厚度情況下，自由邊界條件下頻率最大，簡支條件下最小，固定條件下次之。自由邊界條件下，隨著金屬片厚度的增大諧振頻率變化加快。簡支條件下，諧振頻率隨著金屬片厚度的增大，增加量先大后減小。固定邊界條件下，諧振頻率在金屬片厚度的增大量較小時增長很快，約在1.25 mm后隨著金屬片厚度的增大基本呈線性增長。

表1 諧振頻率隨金屬片厚度變化

表2 諧振頻率隨壓電片厚度變化

表3 諧振頻率隨壓電片半徑變化

由表2可以看出，自由邊界條件下，諧振頻率隨著壓電片厚度的增大而增大，且變化趨勢不斷加劇。簡支邊界條件下，諧振頻率隨著壓電片厚度的增大也增大，開始變化較快，之后變化有所減緩。但在固定邊界條件下，諧振頻率一直隨壓電片厚度的增大而增大。由表3可得，自由邊界條件下，諧振頻率隨著壓電片半徑的增加先增大后減小，在24 mm附近達到最大，之后有減小的趨勢。簡支和固定邊界條件下的諧振頻率都隨壓電片半徑的增大而增大，增長速度越來越快。由表1～3可以看出，在三種邊界條件下，若其他參數(shù)不變時，諧振頻率都隨三疊片彎振圓盤換能器結構參數(shù)的增大而增大，且都是自由邊界條件下頻率最大，簡支邊界條件下最小，固定邊界條件下次之。

3.2 不同邊界條件下有效機電耦合系數(shù)的比較

由圖2可看以出，自由邊界條件下的有效機電耦合系數(shù)先隨金屬片厚度的增大而迅速增大，之后緩慢減小，在2.5 mm附近達到最佳的機電轉換效果，此時耦合系數(shù)為0.462。簡支邊界條件下的有效機電耦合系數(shù)在隨金屬片的厚度增大快速增加，到2.5 mm附近達到最佳的機電轉換效果，耦合系數(shù)為0.480，之后隨著金屬片厚度的增大緩慢降低。而固定邊界條件下的有效機電耦合系數(shù)隨著金屬片厚度的變化趨勢與簡支條件類似，但在1.65 mm附近有效機電耦合系數(shù)達到最大值，約為0.448。

由圖3可看出，自由邊界條件下有效機電耦合系數(shù)在壓電片半徑約為22.5 mm時達到最佳的機電轉換效果，耦合系數(shù)為0.463，之后逐漸降低。簡支邊界條件下的有效機電耦合系數(shù)也隨著壓電片半徑的增大而增大，在半徑較小時增長比較緩慢，到達最大值之后增長迅速，在27 mm附近達到最佳的機電轉換效果，耦合系數(shù)接近0.481。固定邊界條件下的有效機電耦合系數(shù)隨著壓電片半徑的增大先增大后迅速減小，在壓電片半徑約為 24 mm時達到最佳機電轉換效果，耦合系數(shù)約為0.442。

由圖4可以看出，自由邊界條件下的有效機電耦合系數(shù)隨著壓電片厚度的增大而迅速增大，厚度約為2.0 mm時達到最佳的機電轉換效果，耦合系數(shù)為0.454，其后又逐漸減小。簡支邊界條件下，有效機電耦合系數(shù)隨著壓電片厚度的增大而迅速增大，在陶瓷片厚度約為1.4 mm時達到最佳的機電轉換效果，耦合系數(shù)為0.480。固定邊界條件下，有效機電耦合系數(shù)隨著壓電片厚度的增大先快速增大然后緩慢減小，在壓電片厚度約為2.8 mm時達到最佳的機電轉換效果，耦合系數(shù)為0.430。

比較圖2、3、4可以進一步得到不同邊界條件下的有效機電耦合系數(shù)的比較情況。簡支邊界條件下最大，自由邊界條件下次之，固定邊界條件下最小。在同一邊界條件下，當其他尺寸一定時，有效機電耦合系數(shù)隨結構參數(shù)的變化不同，自由邊界時壓電片厚度的影響最大，壓電片半徑的影響最小，金屬片厚度的影響次之；簡支條件時三種結構參數(shù)的影響基本一樣；固定邊界時，三種結構參數(shù)的影響與自由邊界時基本相同。

4 有限元分析

在有限元軟件Ansys環(huán)境下建立換能器有限元模型并分析得到其頻率特征和振動模態(tài)。在方向上加對稱邊界條件，相鄰壓電片之間極化方向相反，在壓電片上表面加載荷 Volt=1，在下表面加載荷 Volt=0，然后利用Ansys分別對建立的有限元模型，在自由邊界、固定邊界和簡支邊界條件下的三疊片彎振圓盤換能器分別進行模態(tài)分析，諧振頻率的理論值與模擬值比較結果如表4所示，結合有限元模擬，重點對自由邊界條件下諧振頻率隨壓電片半徑的變化進行研究，結果如表5所示，表4、5中1為理論計算，2為模擬結果，為理論計算值與模擬值的誤差百分比。圖5為三種邊界條件下的換能器的基頻振動模態(tài)圖。換能器尺寸為、、、。

由圖5可看出，三種邊界邊界條件下，自由邊界下中心位移最大，固定邊界和簡支邊界相比固定邊界，換能器中心位移相對大些，但邊界處的橫向位移為零，這些結論與板的振動理論是相符的。由表4可看出，在不同邊界條件下，三疊片彎振圓盤換能器的理論計算頻率與有限元模擬頻率誤差較小，仍在工程應用誤差允許范圍內(nèi)。理論計算結果與有限元模擬結果存在誤差的原因主要是：有限元方法是一個近似方法。有限元法分析一般包括四個步驟：物理模型的簡化、數(shù)學模型的程序化、計算模型的數(shù)值化和計算結果的分析。每一個步驟在操作過程中都或多或少地引入了誤差，這些誤差的累積就形成最終的誤差結果。比如有限元離散化：選不同類型單元 (在相同網(wǎng)格密度下) 所得結果的精度不同以及約束條件和網(wǎng)格劃分的密度，都會產(chǎn)生一定誤差。由表5可以看出，自由邊界條件下，對于不同半徑的壓電片，其理論計算頻率與有限元模擬頻率誤差較小，比較一致；隨著壓電片半徑的增大即與金屬片半徑的接近，在＜24 mm范圍內(nèi)換能器的諧振頻率一直在增大，當＞24 mm后反而減小，為了保證較高的諧振頻率，壓電片尺寸不宜選的過大，但是由圖3可知，壓電片尺寸過小會降低換能器的有效機電耦合系數(shù)，因此應綜合考慮選擇合適的尺寸。其原因是由于壓電片半徑的增大減小了金屬片徑向滿足自由邊界的長度，導致金屬基片彎曲振動的有效長度減小，從而影響頻率增大，其次壓電片半徑的增大導致三疊片彎振圓盤換能器的等效剛度增大，從而影響諧振頻率升高，因此應綜合考慮選擇合適的尺寸。

(a) 自由邊界

(b) 固定邊界

表4 諧振頻率的理論計算與模擬值的比較

表5 自由邊界條件下諧振頻率比較

5 結論

用瑞利法對三疊片彎振圓盤換能器在三種不同的邊界條件下進行了理論研究，分別推導其諧振頻率及有效機電耦合系數(shù)表達式，通過數(shù)值計算分析了換能器諧振頻率及有效機電耦合系數(shù)隨換能器各結構尺寸參數(shù)的變化規(guī)律并進行比較，同時將理論計算結果與有限元模擬結果比較，結果表明：

不同邊界條件下三疊片彎振圓盤換能器結構參數(shù)對諧振頻率和有效機電耦合系數(shù)影響不同；但在不同邊界條件下，換能器結構參數(shù)一定時可得到自由邊界條件下頻率最大，固定邊界條件下次之，簡支邊界條件下最??；有效機電耦合系數(shù)隨著金屬片厚度、陶瓷片厚度和陶瓷片半徑變化時，分別都有一個最大值，且進一步得到了不同邊界條件下，結構參數(shù)對有效機電耦合系數(shù)的影響情況為簡支邊界時最大，自由邊界時次之，固定邊界時最小。在同一邊界條件下，當其他尺寸一定時，有效機電耦合系數(shù)隨結構參數(shù)的變化不同，自由邊界時壓電片厚度的影響最大，壓電片半徑的影響最小，金屬片厚度的影響次之；簡支邊界條件時三種結構參數(shù)的影響基本一樣；固定邊界時，三種結構參數(shù)的影響與自由邊界時的影響基本相同。

就諧振頻率而言，三種邊界條件中自由邊界時頻率較其他兩種邊界都大，就有效機電耦合系數(shù)而言，各種情況下的比較結果為簡支邊界時最大，因此在換能器尺寸一定時，兼顧頻率和有效機電耦合系數(shù)選擇自由邊界最佳，而實際應用時應綜合考慮不同材料的不同厚度和半徑。

在不同邊界下的理論計算頻率與有限元模擬頻率誤差較小，比較一致，同時也表明本文理論的正確性，其結論為三疊片彎振圓盤換能器的設計和實際應用提供了一定的理論支持。

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Research on flexural vibration characteristics of three laminated piezoelectric transducers

ZHANG Ning-ning

(Mathematics and Physics institute, Weinan Teachers University, Weinan 714099,Shaanxi,China)

Three laminated plate transducer is studied under three different boundary conditions and the expressions of the resonant frequency and the effective electromechanical coupling coefficient are derived by using Rayleigh method. Transducer resonant frequency and effective electromechanical coupling coefficient are analyzed and compared with the variation of the structure parameters of the transducer by means of numerical calculation, and the calculated results are compared with the results of finite element simulation. The results show that the effects of structural parameters under different boundary conditions of the transducer on the resonance frequency and the effective electromechanical coupling coefficient are different: for fixed structural parameters of the transducer, the resonant frequency is the greatest in free boundary condition, the next in fixed boundary condition and the minimum in simply supported boundary condition; the effective electromechanical coupling coefficient varies with the thickness of sheet metal and the thickness and radius of ceramic piece, and each has a maximum value; when other parameters are certain, the effective electromechanical coupling coefficient is the greatest in simply supported boundary condition, and the coefficient value in the free boundary condition is slightly larger than that in the fixed boundary condition. The above-mentioned results provide a theoretical support for the design and application of three laminated bending vibration transducer.

Rayleigh method; resonant frequency; effective electromechanical coupling coefficient; finite element simulation

TB556 P 631.5

A

1000-3630(2017)-04-0383-07

10.16300/j.cnki.1000-3630.2017.04.015

2016-12-19;

2017-03-30

國家自然科學基金資助項目(11074158)、陜西省軍民融合研究基金項目(17JMR35)、渭南師范學院校級項目(17YKS08)、渭南師范學院校級教改項目(JG201648)

張寧寧(1978－), 女, 陜西西安人, 碩士, 講師, 研究方向為功率超聲及聲學測量。

張寧寧, E-mail: zhangning7892@163.com