安徽省合肥師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院 阮 征

暢你所見
——埃舍爾藝術(shù)作品的數(shù)學(xué)美

安徽省合肥師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院 阮 征

埃舍爾是將理性思維和藝術(shù)表現(xiàn)發(fā)揮到極致的藝術(shù)家和思想家。在他的藝術(shù)作品中，往往能夠體現(xiàn)數(shù)學(xué)思維融入繪畫藝術(shù)創(chuàng)作，為繪畫藝術(shù)增添了數(shù)學(xué)之美，其作品被科學(xué)家認可。如果說數(shù)學(xué)家開啟了通往宇宙之門的鑰匙，那么埃舍爾就是那個將理性思維和藝術(shù)表現(xiàn)發(fā)揮到極致、把情感和生靈給予這個空曠的世界的藝術(shù)家。他的作品的成功之處不僅來源于他精湛的繪畫能力，而且在于他將數(shù)學(xué)美融入藝術(shù)創(chuàng)造中。本文通過介紹數(shù)學(xué)美的內(nèi)容和最數(shù)學(xué)的畫家埃舍爾，從平面鑲嵌、多面體、空間形狀、拓撲學(xué)效果和自我復(fù)制五個方面走進埃舍爾的“不可能”世界，剖析埃舍爾藝術(shù)作品中所能看見的數(shù)學(xué)美，領(lǐng)略埃舍爾賦予這些抽象的數(shù)學(xué)美以具體的表象。

埃舍爾；數(shù)學(xué)思維；數(shù)學(xué)美

愛美之心，人皆有之。人們執(zhí)著地追求美，但什么是美，卻很少有人能夠具體地描述出來，當(dāng)我們看到一幅精美的圖畫時，便會感到心情愉悅，受到一種美的熏陶，這難道不就是一種美嗎？現(xiàn)如今，數(shù)學(xué)已滲透到文學(xué)、音樂、美術(shù)、建筑等大量領(lǐng)域之中，之所以數(shù)學(xué)可以如此廣泛地存在于生活的各個方面，就在于數(shù)學(xué)存在一種美，數(shù)學(xué)美是豐富的，如數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的協(xié)調(diào)性、對稱性，數(shù)學(xué)命題與數(shù)學(xué)模型的概括性、典型性與普遍性，數(shù)學(xué)中的奇異性等都是數(shù)學(xué)美的具體內(nèi)容。20世紀最偉大的數(shù)學(xué)家希爾伯特把數(shù)學(xué)比喻為“一座鮮花盛開的園林”，由此足以看到藝術(shù)與數(shù)學(xué)美有著悠遠的歷史。早在公元前6世紀，畢達哥拉斯就把數(shù)與美聯(lián)系起來，將數(shù)看作是美的本源，認為“事物由于數(shù)而顯得美”，一切藝術(shù)都產(chǎn)生于數(shù)，甚至整個天空都是一個音樂的音階和一個數(shù)。數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家用數(shù)字符號描述這個世界，而在荷蘭圖形藝術(shù)家摩里茨·科奈里斯·埃舍爾看來，“在數(shù)學(xué)領(lǐng)域，平面規(guī)則分割已經(jīng)從理論上獲得了充分的研究，數(shù)學(xué)家打開了一扇通向無限可能性的大門，但是他們自身并沒有進入其中看看，他們特殊的稟賦使他們對如何打開這扇門的方式更感興趣，而對隱藏在其后的花園不感興趣。如果我們想構(gòu)建一個宇宙，不能讓它是模糊不清的抽象物，而必須是可以識別的具體形象”。埃舍爾的創(chuàng)作筆記《不規(guī)則圖案的平面規(guī)則分割》等，證明了他和達·芬奇一樣，都是致力于對藝術(shù)創(chuàng)作的基本原理做徹底探究的藝術(shù)家。下面就走進埃舍爾藝術(shù)作品中的“不可能”世界，去領(lǐng)略其中的數(shù)學(xué)美。

一、最數(shù)學(xué)的畫家埃舍爾簡介

1898年出生在荷蘭的埃舍爾，自稱是一個“圖形藝術(shù)家”，專門從事木版畫和平板畫。1956年，埃舍爾舉辦了生平第一次重要的畫展，這個畫展得到了《時代》雜志的好評，使他獲得了世界范圍的名望，許多數(shù)學(xué)家給予了埃舍爾藝術(shù)作品充分的肯定，認為埃舍爾的藝術(shù)作品中數(shù)學(xué)的原則和思想得到了非同尋常的形象化。后來隨著埃舍爾創(chuàng)作的發(fā)展，創(chuàng)造了許多反映悖論和“不可能”的圖形結(jié)構(gòu)的藝術(shù)作品，讓全世界看到了藝術(shù)作品中的數(shù)學(xué)美。

二、剖析埃舍爾藝術(shù)作品中的數(shù)學(xué)美

1．鑲嵌圖形

我們都知道，規(guī)則的平面分割叫作“鑲嵌”，鑲嵌圖形是完全沒有重疊并且沒有空隙的封閉圖形的排列。一般情況下，構(gòu)成一個鑲嵌的封閉圖形的基本單元是多邊形或類似的常規(guī)形狀，然而更使埃舍爾著迷的是那些不規(guī)則的、形狀特別的平面鑲嵌。埃舍爾曾經(jīng)在他的一篇關(guān)于鑲嵌圖形的文章里談到：“從數(shù)學(xué)領(lǐng)域來看，規(guī)則的平面分割已經(jīng)在理論上進行了研究……難道這意味著它只是一個嚴格的數(shù)學(xué)問題嗎？按照我的意見，它不是。數(shù)學(xué)家打開了一扇通向無限可能性的大門，但是他們自身并沒有進入其中看看。他們特殊的稟賦使他們更感興趣的是如何打開這扇門，而不是門后面的花園?！?/p>

埃舍爾平面鑲嵌的很多藝術(shù)作品中，都運用了幾何學(xué)中的反射、旋轉(zhuǎn)來得到更多變化的圖案，埃舍爾也努力使這些圖案通過扭曲變形成為人、鳥、魚、蜥蜴等動物，這樣的效果既是美不勝收的，又是令人拍案叫絕的。當(dāng)中體現(xiàn)出最為神奇的數(shù)學(xué)美是埃舍爾的平面鑲嵌圖形每次都能鋪滿整個平面，下面以埃舍爾的《黑白鳥的鑲嵌》（如圖1所示）和《騎士平面鑲嵌》（如圖2所示）為例：

圖1

著名數(shù)學(xué)家彭羅斯多次提到埃舍爾的設(shè)計思路對數(shù)學(xué)思維的啟發(fā)，在黑白鳥的平面鑲嵌里，觀眾看到的是向西北方向飛翔的深色鳥和白色鳥布滿了整個平面，通過鑲嵌圖形形成的黑白鳥在變化中并不脫離最初的圖案?，F(xiàn)在經(jīng)常將這些圖案模式運用到多邊形的鑲嵌圖形中。

圖2

而《騎士平面鑲嵌》就給觀眾呈現(xiàn)了某種怪異的對稱現(xiàn)象，假如把白騎士看作一個圖形，黑騎士就成了“背景”，倘若把黑騎士揭起來，翻轉(zhuǎn)180°，就可以和原來的白騎士重疊，不僅表現(xiàn)出了數(shù)學(xué)上翻轉(zhuǎn)、重疊的美，也表現(xiàn)了物理世界中某種“對稱”的破壞和缺損——在弱相互作用下的“守稱不守恒”，可見藝術(shù)不僅和數(shù)學(xué)有密切聯(lián)系，也和物理、科學(xué)之間有著相通之處。

2．多面體

對埃舍爾來說，數(shù)學(xué)上規(guī)則的幾何體中，多面體尤為具有特殊的魅力，他把多面體作為自己許多藝術(shù)作品的第二重要元素出現(xiàn)。

從理論上講，正四面體、正方體、正八面體、正十二面體和正二十面體這五種立體圖形可以被視為理想的多面體，即有4個三角形表面的正四面體、有6個正方形表面的正方體、有8個三角形表面的正八面體、有12個五邊形表面的正十二面體，在他的木版畫作品《四個常規(guī)的幾何體》中，將四種多面體勻稱地交叉，使它們呈現(xiàn)出半透明狀，觀眾可以有效地辨認出來。

圖3

交叉幾何體常出現(xiàn)在埃舍爾的藝術(shù)作品中，體現(xiàn)出濃厚的數(shù)學(xué)美，以這幅有趣的木版畫《星空》（如圖3所示）為例：這是一個由八面體、四面體、立方體和變色龍交叉構(gòu)成的幾何體，這些正面體都是外凸的，同時還存在內(nèi)凸的正多面體，數(shù)學(xué)家已證明出存在26種可能的規(guī)則立體，它們之間互相交叉還可以形成無數(shù)規(guī)則的立體系列，然而倘若單單畫出這些規(guī)則的立體幾何，想讓觀眾對這幅藝術(shù)作品產(chǎn)生興趣是十分困難的，可在這里，埃舍爾引入了兩條栩栩如生的變色龍，使它們居住在這個周圍一片漆黑且飄浮著無數(shù)規(guī)則立體星空的奇妙正多面體中，帶給觀眾一種奇妙的視覺沖擊，完美展現(xiàn)出了立體幾何的數(shù)學(xué)美。

3．空間的形狀

在埃舍爾用數(shù)學(xué)觀點完成的所有重要藝術(shù)作品中，最重要的是處理空間性質(zhì)的作品，以《瀑布》（如圖4所示）為例，從中可以看到很多美妙的幾何圖形，更容易會發(fā)現(xiàn)原來富有規(guī)則的線條也是那么令人著迷。不禁引發(fā)觀眾思考：是否存在這樣一種圖形（如圖5所示）？

圖4

圖5

這種圖形在數(shù)學(xué)上被稱為彭羅斯三角，是所有不可能圖形中最基礎(chǔ)、最著名的一個。彭羅斯三角被很多人獨立發(fā)現(xiàn)過，最早的也許是1934年18歲的瑞典學(xué)生奧斯卡·路特斯瓦德的課堂涂鴉。在看到了埃舍爾的作品《樓梯房間》（如圖6所示）之后，羅杰·彭羅斯和他的父親一起寫了一篇論文，分析了這種錯覺以及當(dāng)中存在的數(shù)學(xué)美，從而提煉出彭羅斯三角和彭羅斯樓梯等幾個基本形態(tài)，還把這篇論文寄給了埃舍爾，反過來埃舍爾受此啟發(fā)，創(chuàng)作出了最有名的不可能作品《瀑布》。

圖6

反觀《瀑布》，不難發(fā)現(xiàn)這個瀑布本質(zhì)上就是兩個彭羅斯三角的疊加，形成了矛盾的空間，顯示了埃舍爾對空間維度的關(guān)注以及用二維的方式表現(xiàn)三維空間的矛盾和詭術(shù)，剛性的維度在埃舍爾手中好像成了一團面，可以任意扭轉(zhuǎn)彈拉、可以在自己想象空間里展現(xiàn)出各種不同維度空間和它們不可思議的魔法轉(zhuǎn)變。

以下面這幅《三個球面》（如圖7所示）為例，這三個簡單的幾何體號稱球面。對于最上面的幾何體，觀眾都毫不猶豫地認為這是個球面，可萬萬沒想到這只不過是一個在二維平面上畫的球面。埃舍爾把這個球面折了一下，經(jīng)緯線做了一定的變動，將其放到了中間，觀眾眼里就看到了一個半球面，仍然沒料到這個半球也在二維平面上。繼續(xù)壓那個球面，直至它成了一張皮，攤在桌上，觀眾這才意識到最下面的那個是一個二維的圓，可這個二維圓卻在一個三維空間里，更像是三維球面在一個三維桌的桌面上的投影。

圖7

從這些空間形狀的藝術(shù)作品中我們不難發(fā)現(xiàn)，埃舍爾有效地利用了矛盾空間彰顯數(shù)學(xué)美，具有非常好的視覺效果。

4．拓撲學(xué)效果

埃舍爾對拓撲學(xué)的視覺效果也很感興趣。眾所周知，拓撲學(xué)關(guān)注的是空間扭曲后依然不變的性質(zhì)，這種扭曲可以是彎曲或伸長，但不是崩斷或撕裂。早在1946年，埃舍爾在前文所說的藝術(shù)作品《騎士平面鑲嵌》中，就已經(jīng)采用了一些具有重要拓撲學(xué)價值的形象，在此之后又多次嘗試通過藝術(shù)作品具體表達數(shù)學(xué)上的美和有趣。拓撲學(xué)的視域是向世界展現(xiàn)那些奇怪的物體，莫比烏斯帶就是最具有代表性的例子，它擁有一個特別的性質(zhì)：只有一個邊和一個面。

圖8

以埃舍爾的藝術(shù)作品《莫比烏斯帶上的螞蟻》（如圖8所示）為例，如果我們跟蹤螞蟻的路徑，就會發(fā)現(xiàn)螞蟻并不是在相反的面上爬行，而是都爬行在同一個面上。這就是埃舍爾藝術(shù)作品中展現(xiàn)出的拓撲學(xué)價值和數(shù)學(xué)美。

5．自我復(fù)制

埃舍爾的藝術(shù)作品總能和數(shù)學(xué)、信息科學(xué)有著千絲萬縷的關(guān)聯(lián)，當(dāng)中一個重要概念就是自我復(fù)制，其平版畫藝術(shù)作品《互繪的雙手》（如圖9所示）和木版畫《魚和規(guī)模》（如圖10所示）就用不同的方法表現(xiàn)出了“自我復(fù)制”的數(shù)學(xué)美。

圖9

從畫面上來看，左手畫著右手，右手又畫著左手，左右手互繪，埃舍爾好像要表達出“你中有我，我中有你”的意思。我們不難看出，《互繪的雙手》的自我復(fù)制是直接明了的，雙手互繪對方，互繪方式就是意識思考和構(gòu)建自己的方式。令觀眾感到自我復(fù)制的數(shù)學(xué)美、神奇之處在于這里兩只手的自我和自我復(fù)制是完全循環(huán)連接在一塊的，是同等的。

圖10

而在《魚和規(guī)模》這幅藝術(shù)作品中，自我復(fù)制的數(shù)學(xué)美發(fā)揮了更大的功能，也可稱作自我相似。從更深層次水平上講，自我復(fù)制是一種以我們的認知世界互相反映和互相交錯的結(jié)果。這樣的藝術(shù)作品所描述的不僅僅是魚，而是所有的機體。

通過剖析埃舍爾藝術(shù)作品中的平面鑲嵌、多面體、空間形狀、拓撲學(xué)效果和自我復(fù)制體現(xiàn)的數(shù)學(xué)美，可以看出藝術(shù)作品可以體現(xiàn)數(shù)學(xué)之美，事物的數(shù)學(xué)性蘊含著詩意，這不是每個人都能做到的，而埃舍爾從數(shù)學(xué)思想中獲得了巨大的靈感，從生活中的事物的精確、規(guī)則、秩序中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)美，工作中經(jīng)常使用直接平面幾何和射影幾何的結(jié)構(gòu)，這便使他的藝術(shù)作品深刻反映了非歐幾里得幾何學(xué)的精髓，其繪畫藝術(shù)中的數(shù)學(xué)之美，將繪畫藝術(shù)和數(shù)學(xué)進行融合、將自己感悟出的數(shù)學(xué)美通過錯綜復(fù)雜的視覺效果傳達出來，為后人創(chuàng)造出更多充滿數(shù)學(xué)之美的繪畫作品提供了非常重要的指導(dǎo)意義。也許，數(shù)學(xué)是他的藝術(shù)之魂，他沒有故意表達的數(shù)學(xué)思想，而是在表達他自己的思想。埃舍爾用他這種獨特的理性思維結(jié)合他無與倫比的藝術(shù)稟賦，為這些抽象的數(shù)學(xué)美賦予了具體的表象。

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[6]王眾杰，楊敬飛．埃舍爾的魔幻圖形及其數(shù)學(xué)原理[J]．科技信息，2017（1）：82-83．

【本文系基金項目：合肥師范學(xué)院2017年度研究生創(chuàng)新基金項目《數(shù)學(xué)教師入職期關(guān)鍵事件對其成才的作用分析》，項目編號：2017YJS10。】