韓 冬，黃攀峰，劉正雄，鹿振宇，齊志剛

(1. 西北工業(yè)大學(xué)航天學(xué)院智能機器人研究中心，西安 710072；2.西北工業(yè)大學(xué)航天飛行動力學(xué)技術(shù)重點實驗室，西安 710072；3.山西師范大學(xué)物理與信息工程學(xué)院，臨汾 041000)

空間自旋目標(biāo)混合EFIR/DFT運動軌跡預(yù)測算法

韓 冬1, 2, 3，黃攀峰1, 2，劉正雄1, 2，鹿振宇1, 2，齊志剛1, 2

(1. 西北工業(yè)大學(xué)航天學(xué)院智能機器人研究中心，西安 710072；2.西北工業(yè)大學(xué)航天飛行動力學(xué)技術(shù)重點實驗室，西安 710072；3.山西師范大學(xué)物理與信息工程學(xué)院，臨汾 041000)

針對自旋目標(biāo)運動軌跡的跟蹤與預(yù)測中魯棒性與時效性問題，本文提出一種在視覺測量目標(biāo)位姿的基礎(chǔ)上，通過混合擴展有限沖擊響應(yīng)(EFIR)/離散傅立葉變換(DFT)估計目標(biāo)狀態(tài)與特征參數(shù)，進而預(yù)測目標(biāo)軌跡的方法。在視覺相機對目標(biāo)特征點位姿測量的基礎(chǔ)上，將運動過程分解為平動與轉(zhuǎn)動，時域與頻域同步估計目標(biāo)的狀態(tài)與動力學(xué)參數(shù)，采用DFT估計與平動相關(guān)參量，采用EFIR估計與轉(zhuǎn)動相關(guān)參量，根據(jù)空間漂浮目標(biāo)動力學(xué)方程，實現(xiàn)在過程噪聲與量測噪聲未知的復(fù)雜條件下對目標(biāo)軌跡的長期準(zhǔn)確預(yù)測，并通過地面機器人模擬試驗對預(yù)測方法的正確性和有效性開展驗證。結(jié)果表明：利用本文提出的方法實現(xiàn)了對空間自旋目標(biāo)運動軌跡的準(zhǔn)確預(yù)測；與傳統(tǒng)基于擴展卡爾曼濾波的預(yù)測方法相比，在過程噪聲、量測噪聲未知的條件下，文中提出的方法有效縮短了參數(shù)收斂時間，提高了參數(shù)估計與軌跡預(yù)測精度。

空間機器人；空間自旋目標(biāo)；運動軌跡預(yù)測；擴展有限沖擊響應(yīng)濾波器；離散傅立葉變換

0 引 言

空間機器人具有視覺辨識與運動控制系統(tǒng)，可完成對合作或非合作目標(biāo)的在軌捕獲與釋放，執(zhí)行如軌道垃圾清理、航天器在軌維護等空間任務(wù)[1-3]。為完成對目標(biāo)的在軌服務(wù)，在接近與?？磕繕?biāo)的過程中，目標(biāo)相對空間智能機器人往往存在一定的線速度與角速度，由于信息處理以及位姿解算需要耗費一定時間，因此，實時追蹤目標(biāo)運動軌跡并對運動目標(biāo)的軌跡進行預(yù)測是十分必要的，也是開展目標(biāo)捕獲與在軌服務(wù)的基礎(chǔ)[4-5]。

國內(nèi)外許多學(xué)者開展了空間智能機器人相關(guān)領(lǐng)域的研究，在路徑規(guī)劃方面，Zhou等[6]提出了奇異魯棒規(guī)劃方法，解決了路徑規(guī)劃中的算法與動力學(xué)奇異問題。在基于視覺的目標(biāo)識別方面，Linchter等[7]將雙卡爾曼濾波器應(yīng)用到自由漂浮目標(biāo)的位姿估計中，通過雙濾波器差分降低視覺傳感器噪聲，因為每一次的參數(shù)估計都需要進行兩次濾波器遞歸運算，降低了執(zhí)行器的工作效率，增加了處理時間。Aghili等[8-9]提出了擴展卡爾曼濾波(Extended Kalman filter,EKF)與最近點迭代算法；劉厚德等[10]針對自旋目標(biāo)運動預(yù)測，提出采用無損卡爾曼濾波方法，但是這些方法均需要預(yù)先估計量測噪聲與過程噪聲的協(xié)方差，這對于空間任務(wù)來說是十分困難的。Hillenbrand等[11]利用最小二乘法對空間目標(biāo)進行參數(shù)辨識與運動估計，這種方法在發(fā)生遮擋、抖動等情況造成非等間隔采樣的條件下會顯著降低預(yù)測精度。

前期的研究工作以及地面驗證試驗表明，在目標(biāo)位置坐標(biāo)獲得過程中，可能出現(xiàn)的相機抖動、光照變化、目標(biāo)漂浮及遮擋等影響，造成采樣時間較短，采樣過程不連續(xù)及測量噪聲與過程噪聲未知等問題[12]。因此，設(shè)計基于位姿測量信息，對目標(biāo)運動軌跡進行追蹤與預(yù)測的魯棒性算法便十分必要。

本文首先假設(shè)已經(jīng)獲得了帶有噪聲的目標(biāo)位姿測量數(shù)據(jù)，在空間自旋目標(biāo)動力學(xué)方程的基礎(chǔ)上，設(shè)計EFIR/DFT濾波器，為滿足濾波器的要求，對目標(biāo)動力學(xué)方程進行了線性化，從而實現(xiàn)運動狀態(tài)信息與動力學(xué)參數(shù)的準(zhǔn)確估計，最后根據(jù)動力學(xué)方程，獲得目標(biāo)的軌跡預(yù)測。本文算法的特點在于通過分別處理平動與轉(zhuǎn)動，減少了估計狀態(tài)，提高了收斂速度。通過采用加窗的方法，避免了噪聲累加對估計值的影響，在噪聲統(tǒng)計特性未知的條件下有更好的估計效果，對擾動有更強的魯棒性，提高了復(fù)雜條件下自旋目標(biāo)的軌跡預(yù)測精度。

1 空間自旋目標(biāo)運動學(xué)與動力學(xué)建模

本文主要研究對象為漂浮旋轉(zhuǎn)目標(biāo)，為預(yù)測目標(biāo)的運動軌跡，首先建立空間坐標(biāo)系模型，如圖1所示。坐標(biāo)系{A}為慣性坐標(biāo)系，坐標(biāo)系{B}為固聯(lián)于衛(wèi)星本體的坐標(biāo)系，衛(wèi)星質(zhì)心O為坐標(biāo)系{B}原點，坐標(biāo)軸平行于衛(wèi)星主慣量軸。坐標(biāo)系{C}以目標(biāo)點為原點，坐標(biāo)軸平行于帆板支架，坐標(biāo)系{C} 的位姿通過視覺系統(tǒng)測量獲得。ρ為衛(wèi)星質(zhì)心到目標(biāo)點位置矢量，ω為目標(biāo)旋轉(zhuǎn)角速度，ρ,ω均為在坐標(biāo)系{B}下的表達。

空間自旋目標(biāo)姿態(tài)運動學(xué)建模可以采用方向余弦矩陣、四元數(shù)以及修正的羅德里格參數(shù)等，文獻[13]提供了一種微分建模思路，為使無窮小角位移描述形式簡單，本文采用四元數(shù)描述空間自旋目標(biāo)姿態(tài)運動學(xué)，坐標(biāo)系{B}相對于{A}的旋轉(zhuǎn)通過四元數(shù)q表示，運動學(xué)方程可表示為：

(1)

圖1 空間自旋目標(biāo)軌跡預(yù)測Fig. 1 Trajectory prediction of space spinning target

q??q0E4+Ω(qv)

(2)

R(q)=(2q02-1)E3+2q0[qv×]+2qvqvT

(3)

為了估計目標(biāo)的運動狀態(tài)與參數(shù)，建立通過歐拉方程描述的目標(biāo)姿態(tài)動力學(xué)方程：

(4)

式中：I為轉(zhuǎn)動慣量，τ為擾動力矩，根據(jù)漂浮目標(biāo)動力學(xué)方程，當(dāng)τ=0時無法通過目標(biāo)運動軌跡分別獨立估計出三個方向轉(zhuǎn)動慣量，為解決這個問題，引入慣量參數(shù)表示：

(5)

式中：Ixx,Iyy,Izz為目標(biāo)主慣量，應(yīng)滿足以下條件：

進而可求得慣量參數(shù)的約束條件

px>-1,py>-1,pz>-1

用慣性參數(shù)改寫動力學(xué)方程為：

(6)

式中:

Ic=diag(Ixx,Iyy,Izz)。tr(Ic)表示Ic的跡，ετ用來描述太陽能帆板支架、重力梯度等產(chǎn)生的阻尼效果，可以選擇采用過程噪聲來描述。

目標(biāo)點的位置與速度表達式可由以下方程描述：

rs=r+R(q)ρ=r0+vt+R(q)ρ

(7)

(8)

至此，通過式(1)、(4)及其簡化與變形獲得了空間自旋目標(biāo)的運動學(xué)與動力學(xué)方程。式(7)、(8)描述了目標(biāo)的運動狀態(tài)。

2 EFIR/DFT濾波器設(shè)計與目標(biāo)軌跡預(yù)測

為了實現(xiàn)對運動目標(biāo)的軌跡預(yù)測，需要獲得目標(biāo)的動力學(xué)參數(shù)，因為測量系統(tǒng)僅能提供目標(biāo)的位姿信息，所以有必要對動力學(xué)模型中的未知參數(shù)進行估計。根據(jù)式(7),考慮到運動目標(biāo)平動與轉(zhuǎn)動的可分解性，分別設(shè)計了頻域與時域的估計濾波器，對于平動參量采用頻域最優(yōu)濾波器DFT估計目標(biāo)衛(wèi)星質(zhì)心位置及線速度。對于轉(zhuǎn)動參量采用時域EFIR濾波器估計運動狀態(tài)與動力學(xué)參數(shù)?？紤]到動力學(xué)方程的非線性無法滿足線性濾波器的要求，首先對動力學(xué)方程進行了線性化。

2.1 量測方程線性化

假定視覺測量系統(tǒng)可以獲得帶有噪聲的目標(biāo)點相對位姿并可解算到慣性坐標(biāo)系下，如圖1所示，目標(biāo)位置由矢量rs表示，目標(biāo)所在坐標(biāo)系{C}相對于慣性坐標(biāo)系{A}的姿態(tài)由四元數(shù)η表示，測量向量Z可表示為：

(9)

η=μ?q

(10)

式中:?為四元數(shù)乘，定義與轉(zhuǎn)動有關(guān)的狀態(tài)矢量：

(11)

式中：qv,μv分別為四元數(shù)的矢量部分。則觀測方程中轉(zhuǎn)動部分可表示為：

(12)

式中:

(13)

(14)

描述微小旋轉(zhuǎn)的四元數(shù)方程：

(15a)

(15b)

將式(15)代入式(10)并忽略高階小項可得：

(16)

式中：

Γ=

至此，式(14)、(16)給出了觀測方程的一階近似值，并可以由此得出量測矩陣：

(17)

2.2 狀態(tài)方程線性化

根據(jù)式(1)、(6)所描述的目標(biāo)動力學(xué)方程，將連續(xù)時間狀態(tài)空間模型描述為：

(18)

(19a)

(19b)

對于方程(6)的線性化可直接由全微分公式給出：

將方程(18)寫成離散形式，有

X(n)=Φ(n)X(n-1)+v(n)

(20)

其中，v(n)表示離散的過程噪聲，Φ(n)表示離散狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。對于離散系統(tǒng)有

Φ(n) ?Φ(tn+1,tn)=Φ(tn+1-tn)=

eF(tn)(tn+1-tn)≈E15+(tn+1-tn)F(tn)

(21)

2.3 混合EFIR/DFT濾波器設(shè)計

滿足無偏要求的擴展有限沖擊響應(yīng)(EFIR)濾波器最早由Shmaliy[15]提出，不同于采用遞歸算法的卡爾曼濾波器，EFIR濾波器采用迭代算法，因為在算法中做了加窗處理，不會產(chǎn)生因持續(xù)的偏差累計而導(dǎo)致濾波器發(fā)散的現(xiàn)象，魯棒性好。但是，加窗的影響會增加計算量，使收斂時間變長，針對這一問題，本文根據(jù)式(7)～(8)將目標(biāo)運動分解為相對慣性系的平動與轉(zhuǎn)動，分別進行時域與頻域處理，對于平動采用離散傅立葉變換(DFT)估計質(zhì)心位置與線速度，對于轉(zhuǎn)動則采用擴展有限沖擊響應(yīng)(EFIR)濾波器估計角速度、慣性參量及目標(biāo)點距質(zhì)心位置，從而降低了估計維數(shù)，提高了收斂速度。

2.3.1 DFT濾波器設(shè)計

對目標(biāo)位置序列進行DFT變換，相當(dāng)于把這個序列通過一個FIR數(shù)字濾波器，位置序列rs(n)的離散傅立葉變換式

(22)

根據(jù)式(7)、(8)，質(zhì)心位置r0與線速度v均為目標(biāo)位置序列及其差分的直流分量，因此可通過DFT濾波器準(zhǔn)確估計出，并且由于估計值為直流分量，因而對高頻觀測噪聲以及信號的非等間隔采樣具有很強抑制性。理論上角速度為周期函數(shù)，也可由DFT估計得出，但由于估計需要滿足最低周期要求，這需要觀測最小一個周期的時間，這會使得觀測時間過長，正是這個原因使我們提出了通過EFIR濾波器進行角速度與動力學(xué)參數(shù)估計。

2.3.2 EFIR濾波器設(shè)計

將離散線性系統(tǒng)模型采用狀態(tài)空間法進行描述，由式(12)、(20)描述的狀態(tài)矩陣和觀測矩陣表示為：

Xn=ΦnXn-1+Vn

(23)

Zn=HnXn+Wn

(24)

其中，過程噪聲與量測噪聲均假定為零均值分布的高斯白噪聲，并且假定彼此互不相關(guān)。設(shè)計EFIR濾波器的有效觀測長度N，這可以通過地面試驗獲得，也可以通過計算量測偏差的均方值在線估計得出[16]。當(dāng)獲得第n時刻量測值時，從時刻m=n-N+1到時刻n之間的N個量測值為有效量測值，為保證系統(tǒng)的因果性，需要滿足m≥0，即n≥N-1。

目標(biāo)n時刻狀態(tài)的估計值可以表示為

(25)

其中

而

該算法是使用正交條件，通過優(yōu)化估計均方誤差最小原則獲得，其優(yōu)點是能夠在噪聲統(tǒng)計特性未知的情況下對信號進行估計，當(dāng)N=Nopt時可以獲得近似最優(yōu)估計。其不足之處在于N的增大會導(dǎo)致矩陣維數(shù)的增大，從而使計算量增加，求解速度減慢。引入類卡爾曼濾波器的迭代算法可以很好地解決這一問題，目標(biāo)狀態(tài)的迭代估計值為

(26)

(27)

式中:Gl為廣義噪聲功率增益，通過下式迭代計算得出

(28)

可見，Gl的計算僅需已知矩陣Hl與Φl，Hl為l時刻觀測矩陣，Φl為l時刻狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，在濾波器增益計算中，不需要預(yù)測噪聲統(tǒng)計特性，該特點使算法適合噪聲特性未知的復(fù)雜條件下空間任務(wù)。算法流程如圖2所示。

圖2 EFIR濾波算法Fig.2 EFIR filter algorithm

2.4 目標(biāo)軌跡預(yù)測

圖3 測量系統(tǒng)實驗平臺Fig. 3 The equipment of measuring system

3 試驗驗證

為驗證本文提出的混合EFIR/DFT軌跡預(yù)測算法的正確性，現(xiàn)利用兩臺機器人對其進行運動學(xué)試驗驗證，測試平臺如圖3所示，采用ABB-14000機器人抓持衛(wèi)星模型，該機器人具有6自由度，可以根據(jù)航天器零重力空間動力學(xué)模型解算出軌跡精確的模擬漂移與自旋運動，采用ABB-120機器人模擬空間平臺，機械臂末端裝備手眼相機，通過振動模擬平臺隨機抖動。手眼相機采集目標(biāo)位置數(shù)據(jù)并解算姿態(tài)信息，數(shù)據(jù)采樣頻率為10 Hz，采樣數(shù)據(jù)傳輸?shù)缴衔粰C中進行處理。

衛(wèi)星模型的轉(zhuǎn)動慣量設(shè)計為Ixx=0.08 kg·m2,Iyy=0.04 kg·m2,Izz=0.05 kg·m2，由此可根據(jù)式(8)計算得到慣性參量值

R=diag((0.015)2E3m2,(0.04)2E4)

試驗首先通過視覺系統(tǒng)獲得目標(biāo)的位姿數(shù)據(jù)，由于目標(biāo)與相機所處角度的不同所導(dǎo)致的光照變化及機械臂的振動，造成了采樣數(shù)據(jù)的非平穩(wěn)，量測數(shù)據(jù)如圖4所示。根據(jù)獲得的量測數(shù)據(jù)，頻域上通過DFT算法估計目標(biāo)質(zhì)心位置及漂移線速度，離散傅立葉變換是頻域上的最優(yōu)估計，如圖5所示，其中質(zhì)心位置的估計采用128個數(shù)據(jù)點，12.8 s即可完成采樣，平均誤差0.019 m。線速度的估計采用256個數(shù)據(jù)點，平均誤差0.45 mm，數(shù)據(jù)中的有限零點并不影響估計結(jié)果，對非平穩(wěn)采樣有較強的魯棒性,其中估計誤差僅與采樣點數(shù)目有關(guān)，采樣點增加可提高估計精度。時域上通過EFIR算法估計動力學(xué)參數(shù)與目標(biāo)相對質(zhì)心位置及旋轉(zhuǎn)角速度，根據(jù)狀態(tài)數(shù)選取批處理長度K=5，并通過計算求出此時UFIR濾波器最優(yōu)窗長Nopt=37[16]，估計結(jié)果如圖6所示，從試驗結(jié)果可以看出，估計值較準(zhǔn)確地收斂到了真值。

圖4 手眼相機測量目標(biāo)位置與姿態(tài)Fig. 4 Target pose measurements obtained from hand-eye camera

圖5 DFT濾波器質(zhì)心位置與線速度估計Fig. 5 Estimate position of the target center of mass and drift velocity with DFT filter

圖6 EFIR濾波器目標(biāo)參數(shù)估計Fig. 6 Estimate parameters of the target with EFIR filter

選取一步預(yù)測協(xié)方差的歐幾里得范數(shù)作為估計值收斂的判斷，當(dāng)范數(shù)值小于設(shè)定的閘值時對已采樣數(shù)據(jù)進行DFT變換。

對于εth的選取兼顧了準(zhǔn)確性與收斂時間的矛盾，增大閘值可以縮短收斂時間，但也會降低預(yù)測精度。本文將閘值設(shè)定為0.2，滿足后續(xù)抓捕對預(yù)測精度的要求。由圖7可知，與通常采用的EKF相比，本文提出的算法由于采用了時域與頻域的同步處理，降低了估計維度，縮短了收斂時間。

圖7 估計器收斂檢測Fig. 7 Detecting the estimator convergence

圖8 目標(biāo)軌跡預(yù)測結(jié)果Fig. 8 Predictive results of target trajectory

為比較不同方法獲得的軌跡預(yù)測準(zhǔn)確度，選取EKF作為比較對象，通過計算實驗結(jié)果與預(yù)測值的均方根偏差作為準(zhǔn)確性評估標(biāo)準(zhǔn)

(29)

式中：δx,δy,δz為實驗結(jié)果與預(yù)測值在x軸，y軸，z軸的差值。本文算法的均方根偏差值為0.0120，EKF的均方根偏差為0.0175 ?？梢娫谠肼晠?shù)未知的條件下，本文提出的算法具有更高的準(zhǔn)確性。

4 結(jié) 論

本文針對空間抓捕任務(wù)中的自旋目標(biāo)軌跡預(yù)測問題，提出了混合EFIR/DFT濾波算法，根據(jù)公式的推導(dǎo)與試驗的結(jié)果可得出如下結(jié)論：

1)在空間變化的光照環(huán)境與不確定的量測角度等復(fù)雜條件下，目標(biāo)的視覺識別會產(chǎn)生采樣的不連續(xù)，過程噪聲與量測噪聲的不可預(yù)知等問題，在這種條件下，算法魯棒性便愈加重要，本算法采用的EFIR算法通過時域加窗來解決估計偏差累計造成的估計發(fā)散問題，具有較強的魯棒性。

2)本文算法在時域與頻域同步對采樣數(shù)據(jù)進行處理，與傳統(tǒng)的僅從時域?qū)?shù)據(jù)進行處理相比，最大限度的使用了采樣數(shù)據(jù)所提供的信息，將時域濾波器的維度從7維降低到5維，并且不需要預(yù)估噪聲統(tǒng)計特性參數(shù)，針對復(fù)雜噪聲的空間環(huán)境，可以有效地減少濾波器的收斂時間。

3)機械臂模擬目標(biāo)運動學(xué)試驗證實，在噪聲環(huán)境未知的條件下，本文所提出算法的準(zhǔn)確性優(yōu)于傳統(tǒng)擴展卡爾曼濾波算法，能夠?qū)崿F(xiàn)對目標(biāo)位置的長期預(yù)測。

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[16] Ramirez-Echeverria F, Sarr A, Shmaliy Y S. Optimal memory for discrete-time FIR filters in state-space [J]. IEEE Transactions on Signal Processing, 2014, 62(3): 557-561.

韓 冬 (1983-) 男，博士生,主要從事空間機器人學(xué)、復(fù)合體穩(wěn)定控制等研究。

通信地址：西安市友誼西路127號(710072)

電話：13934179244

E-mail:alexcn@mail.nwpu.edu.cn

黃攀峰(1974-) 男，博士，教授,主要從事空間機器人學(xué)、空間遙操作等研究。本文通信作者。

通信地址：西安市友誼西路127號(710072)

電話：(029)88460366

E-mail:pfhuang@nwpu.edu.cn

A Hybrid EFIR/DFT Algorithm on TrajectoryPrediction of Space Spinning Target

HAN Dong1, 2, 3, HUANG Pan-feng1, 2, LIU Zheng-xiong1, 2, LU Zhen-yu1, 2, QI Zhi-gang1, 2

(1. Research Center of Intelligent Robotics, School of Astronautics, Northwestern Polytechnical University, Xi’an 710072, China;2. National Key Laboratory of Aerospace Flight Dynamics, Northwestern Polytechnical University, Xi’an 710072, China;3. School of Physics and InformationEngineering, Shanxi Normal University, Linfen 041000, China )

Based on the visual camera, a robust and efficient method for tracking and predicting the trajectory of a space spinning target is proposed in this paper. The initial discrete point set of a motion trajectory is firstly accumulated in real-time, and then the motion is decomposed into translation and rotation. A hybrid extended finite impulse response (EFIR)/discrete Fourier transform (DFT) is used to estimate the states and dynamics parameters in time domain and frequency domain simultaneously. According to the dynamic equations of a free-floating object, we achieve the long-term and precise prediction while the measurement noise and process noise are unknown. The experiment with ground robot is presented to verify the correctness and effectiveness of the proposed method. The results show that the trajectory of a space spinning target can be predicted accurately using our proposed method. Comparing with the traditional extended Kalman filtering algorithm, the presented control method can improve the the speed of the parameter estimation and the accuracy of the trajectory prediction despite the noise covariance and the initial conditions are not exactly known in advance.

Space robot; Space spinning target; Trajectory prediction; Extended finite impulse response; Discrete Fourier transform

2017-03-10;

2017-05-31

國家自然科學(xué)基金(11272256，60805034，61503231)

V448.2

A

1000-1328(2017)08-0804-09

10.3873/j.issn.1000-1328.2017.08.004