◎ 文/孫林華

關(guān)于陀螺運(yùn)動(dòng)原理的力學(xué)分析

◎ 文/孫林華

陀螺會(huì)在繞支點(diǎn)做公轉(zhuǎn)時(shí)會(huì)產(chǎn)生一個(gè)與公轉(zhuǎn)方向垂直的力，力的方向與陀螺自轉(zhuǎn)方向有關(guān)，所以當(dāng)陀螺受到重力影響時(shí)不會(huì)朝重力方向倒下，而是產(chǎn)生一個(gè)波浪形前進(jìn)的運(yùn)動(dòng)。物理學(xué)沒(méi)有用力學(xué)的方法解釋陀螺運(yùn)動(dòng)不會(huì)由于重力倒下的原因，本文將用力學(xué)的方法分析陀螺為什么不會(huì)倒下，并且解釋發(fā)生進(jìn)動(dòng)和章動(dòng)現(xiàn)象的原因。

如圖1所示，一陀螺在三維坐標(biāo)系中旋轉(zhuǎn)，圓o代表陀螺旋轉(zhuǎn)面，線段L是陀螺的轉(zhuǎn)軸，abcdefgh是陀螺旋轉(zhuǎn)面的8個(gè)點(diǎn)a點(diǎn)位置最高，c點(diǎn)位置最低，b與d是最左最右的點(diǎn)，線段ef平行于線段ac，線段gh平行于線段ac，陀螺以一角速度逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)。

通常認(rèn)為陀螺的自轉(zhuǎn)會(huì)使陀螺有一個(gè)繞z軸的進(jìn)動(dòng)，而不會(huì)由于受重力影響有倒下的趨勢(shì)，這里首先假設(shè)陀螺會(huì)倒下，并且在圖中位置處已經(jīng)有了一個(gè)倒下的角速度。由于受重力影響，角速度是在不斷增大的，這里取一固定時(shí)刻的角速度w來(lái)討論。為了方便計(jì)算，假設(shè)L軸位于xz平面內(nèi)，那么陀螺在倒下的過(guò)程則會(huì)繞y軸做公轉(zhuǎn)的圓周運(yùn)動(dòng)，這時(shí)來(lái)計(jì)算此刻abcd點(diǎn)的公轉(zhuǎn)線速度，a點(diǎn)離y軸的距離為√L2+r2，c點(diǎn)也是√L2+r2，b點(diǎn)離y軸距離為L(zhǎng)，d點(diǎn)離y軸距離也為L(zhǎng)，則a與c的公轉(zhuǎn)線速度為w√L2+r2，b與d的公轉(zhuǎn)線速度為wL。可以得知，從a質(zhì)點(diǎn)到b質(zhì)點(diǎn)之間公轉(zhuǎn)線速度一直在變小。在陀螺繞y軸做公轉(zhuǎn)時(shí)，陀螺還在自轉(zhuǎn)。自轉(zhuǎn)會(huì)帶動(dòng)a質(zhì)點(diǎn)轉(zhuǎn)向b質(zhì)點(diǎn)，a到b之間質(zhì)點(diǎn)在角速度為w這一時(shí)刻都在做減速運(yùn)動(dòng)，質(zhì)點(diǎn)做減速運(yùn)動(dòng)說(shuō)明質(zhì)點(diǎn)受到了阻力，產(chǎn)生了反向加速度。下面來(lái)討論質(zhì)點(diǎn)對(duì)于陀螺的作用力的方向與大小。

陀螺每個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)都是由多個(gè)速度合成的，包括繞支點(diǎn)的公轉(zhuǎn)，繞圓心o的自轉(zhuǎn)，由于自轉(zhuǎn)不會(huì)影響陀螺的運(yùn)動(dòng)，所以這里將速度分解，只討論質(zhì)點(diǎn)公轉(zhuǎn)速度的變化，公轉(zhuǎn)速度大小變化由兩個(gè)原因產(chǎn)生，第一因?yàn)樽赞D(zhuǎn)導(dǎo)致的公轉(zhuǎn)速度的變化，第二受重力導(dǎo)致的公轉(zhuǎn)速度的增加，質(zhì)點(diǎn)加速度a=(wR-(w+?w)r)/?t ,R為角速度為w時(shí)的公轉(zhuǎn)半徑，r為變化后的公轉(zhuǎn)半徑。將等式分解a= (w(R-r))/?t-?wr/?t，?t無(wú)限趨近0，等式變?yōu)閍=wv-a1 ，v為角速度為w時(shí)半徑的變化速度，a1為此時(shí)由于重力產(chǎn)生的加速度，wv為陀螺自轉(zhuǎn)導(dǎo)致的公轉(zhuǎn)速度變化的加速度?？梢灾浪匈|(zhì)點(diǎn)的合重力只會(huì)使陀螺公轉(zhuǎn)速度增加，所以就不討論重力的影響，這里只討論自轉(zhuǎn)導(dǎo)致的公轉(zhuǎn)線速度的變化產(chǎn)生的力。

如圖2所示，圓O1為陀螺點(diǎn)e與f繞y軸公轉(zhuǎn)軌跡，由于線段ef平行線段ac，所以ef兩點(diǎn)處于同一公轉(zhuǎn)的圓形軌道，分析e與f受力情況。

首先考慮兩點(diǎn)公轉(zhuǎn)線速度大小變化對(duì)陀螺的力，e的公轉(zhuǎn)線速度方向?yàn)閑點(diǎn)所處的切線方向，f公轉(zhuǎn)線速度方向?yàn)閒點(diǎn)所處的切線方向，a點(diǎn)到b點(diǎn)公轉(zhuǎn)速度在一直減小，所以e點(diǎn)的公轉(zhuǎn)線速度在減小，對(duì)陀螺的力為f1，與公轉(zhuǎn)線速度方向一致，b點(diǎn)到c點(diǎn)公轉(zhuǎn)線速度增大，所以f點(diǎn)公轉(zhuǎn)線速度在增大，對(duì)陀螺的力為f2，與公轉(zhuǎn)線速度方向相反。因?yàn)閑點(diǎn)與f點(diǎn)相對(duì)y軸有相同的斜率，在e與f處半徑變化速度相同，所以e與f處線速度增大和減小的速率相同，所以加速度大小相同，所以f1等于f2，將f1分解為朝向ef的力f4和垂直ef的力f3，將f2分解為朝向ef的力f6和垂直ef的力f5，可以得知f4=f6，兩力抵消，則e與f由于線速度大小改變對(duì)陀螺的力為f3和f5，大小相等垂直陀螺面向上。

由此可知，由于公轉(zhuǎn)線速度的變化位于半圓abc內(nèi)所有質(zhì)點(diǎn)都會(huì)對(duì)陀螺產(chǎn)生向上的力。其次考慮e與f的離心力。e點(diǎn)對(duì)陀螺產(chǎn)生沿半徑方向朝向圓外的力f7，f點(diǎn)對(duì)陀螺產(chǎn)生沿半徑方向朝向圓外的力f8，由于e與f速度大小相同，半徑相等，所以f7=f8，f7與f8合力為垂直陀螺面朝上的力。

用相同的方法分析半圓adc，可以得出結(jié)果由于公轉(zhuǎn)線速度的大小變化位于半圓adc內(nèi)所有質(zhì)點(diǎn)都會(huì)對(duì)陀螺產(chǎn)生向下的力。公轉(zhuǎn)產(chǎn)生垂直陀螺面向上的離心力。

因?yàn)殡x心力對(duì)稱平衡，所以不會(huì)對(duì)陀螺運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生影響，所以不考慮離心力，只討論公轉(zhuǎn)線速度變化產(chǎn)生的力。

如圖4所示abc面受垂直陀螺面向上的力，adc面受垂直陀螺面向下的力。

為了計(jì)算方便將abc面受到力記為f1，f1位于直徑bd上f1到陀螺面圓心的距離是L1,f1垂直陀螺面向上，adc面受到力記為f2，f2位于直徑bd上，f2到陀螺圓心的距離是L2,f2垂直陀螺面向下。以陀螺與地面接觸點(diǎn)為支點(diǎn)，根據(jù)杠桿原理從支點(diǎn)到動(dòng)力作用線的距離為動(dòng)力臂，則f1的動(dòng)力臂長(zhǎng)度為L(zhǎng)1，f2的動(dòng)力臂長(zhǎng)度為L(zhǎng)2，對(duì)陀螺產(chǎn)生的力f3，f3的阻力臂為L(zhǎng)3。所以陀螺將產(chǎn)生一個(gè)圍繞支點(diǎn)的公轉(zhuǎn)。

如圖6所示，陀螺將沿圓q的軌跡運(yùn)動(dòng)，又因?yàn)槭苤亓τ绊憰?huì)偏離圓q，在圓q下方位置運(yùn)動(dòng)，大體方向?yàn)樾庇蚁路健?/p>

根據(jù)前文分析陀螺向斜下運(yùn)動(dòng)而產(chǎn)生一個(gè)垂直于斜下方向并且朝向運(yùn)動(dòng)方向左側(cè)的力，所以當(dāng)陀螺朝向一個(gè)方向做繞支點(diǎn)公轉(zhuǎn)時(shí)，會(huì)產(chǎn)生一個(gè)與公轉(zhuǎn)方向垂直方向朝運(yùn)動(dòng)方向左側(cè)的力。那么當(dāng)陀螺向斜右下方運(yùn)動(dòng)，就會(huì)產(chǎn)生一個(gè)斜右上方的力f，f會(huì)提供沿陀螺面向上的力f1，沿陀螺面向右的力f2，當(dāng)f1大于重力沿陀螺面向下的分力時(shí)，陀螺做減速下降運(yùn)動(dòng)，當(dāng)陀螺向斜下運(yùn)動(dòng)速度為0時(shí)，會(huì)只有向右水平的一個(gè)運(yùn)動(dòng)速度，水平的運(yùn)動(dòng)速度提供向斜上的力，陀螺開(kāi)始向斜的右上方運(yùn)動(dòng)，當(dāng)陀螺向斜的右上方運(yùn)動(dòng)時(shí)，又會(huì)產(chǎn)生向斜的左上方的力，當(dāng)斜左上方的力提供斜向上的分力小于重力時(shí)，做減速上升，最終向上的速度為0會(huì)再次有一個(gè)下落的運(yùn)動(dòng)。

大體軌跡如圖7波浪線所示，當(dāng)軌跡上下抖動(dòng)較小時(shí)，看上去只有只有一個(gè)沿水平方向的圓周運(yùn)動(dòng)。

綜上所述，陀螺做繞支點(diǎn)公轉(zhuǎn)時(shí)會(huì)產(chǎn)生一個(gè)與公轉(zhuǎn)方向垂直的力，力的指向與陀螺自轉(zhuǎn)方向有關(guān)，當(dāng)陀螺逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，力的方向朝向運(yùn)動(dòng)方向左側(cè)，當(dāng)陀螺順時(shí)針運(yùn)動(dòng)時(shí)，力的方向朝向運(yùn)動(dòng)方向右側(cè)，所以當(dāng)陀螺受到重力影響時(shí)不會(huì)朝重力方向倒下，而是產(chǎn)生一個(gè)波浪形前進(jìn)的運(yùn)動(dòng)。

（文章所述皆為作者本人觀點(diǎn)，如有問(wèn)題，文責(zé)自負(fù)）