高光發(fā) 李永池

摘要：空腔膨脹模型是當前廣泛應用于許多工程領域的一個理論模型。基于Euler坐標構架，對球腔膨脹過程中不同階段介質內的應力應變場的通解進行理論推導。討論了當前國內外的一些推導成果的不足之處，分析表明當前的研究結果具有彈塑性解不連續(xù)、混淆了彈性體積壓縮率和塑性階段體積壓縮率的概念等局限性，是一種間斷的特解。給出了考慮塑性壓縮性和塑性不可壓兩種情況下的彈塑性通解，在此基礎上給出了考慮初始球腔尺寸和彈性變形等相關參數的準確的、連續(xù)的通解；并對塑性階段壓縮率的影響進行分析討論。經過驗證分析，這些通解更加普適，其簡化及在特定假設下的特解與當前的國內外研究結果一致，該研究為球腔膨脹模型的應用和深化研究提供一定的參考。

關鍵詞：球腔膨脹；空腔膨脹；應用力學；塑性力學

中圖分類號：O39文獻標志碼：A文章編號：1672-1098（2017）03-0006-11

Abstract：The cavity expansion model is widely used in engineering area. The deficiencies and problem of the corresponding solutions in the published literatures， such as discontinuity between the elastic stage and plastic stage and confusion of some concepts， were analyzed and discussed. The general solutions of the relative size of the plastic zone and field of stress in the Euler coordinate system were deduced， in which the initial cavity size and the elastic deformation prior to the plastic deformation were considered. These solutions are verified that they are continuous and universal and the solutions in the published literatures are the special solutions. It can be referred to in the appllication and further study the cavity expansion model.

Key words：spherical expansion； cavity expansion； applied mechanics； plasticity

空腔膨脹模型自提出至今無論是土木工程、礦業(yè)工程還是軍事工程都得到了廣泛的應用與推廣，自從空腔膨脹模型首次被引入桿彈對金屬類延性靶板的準靜態(tài)/動態(tài)侵徹行為分析[1]半個多世紀以來，得到更多力學學者的關注和研究。在此創(chuàng)新性的工作[1]基礎上，文獻[2]考慮了材料的可壓縮性，并推導出此種情況下的空腔膨脹模型中相應的物理量的計算式；同時，文獻[3]以另一種方法推導出考慮材料壓縮特征的空腔膨脹模型中相關物理量的解析解。文獻[4]對二戰(zhàn)期間空腔膨脹模型的研究成果進行了綜述。之后，文獻[5]對勻速球腔膨脹問題進行了分析，文獻[6]根據實驗觀察對空腔膨脹模型進行了分析，文獻[7]對金屬材料中空腔膨脹非穩(wěn)定性進行了研究。在侵徹力學理論研究方面，文獻[8-10]對考慮材料壓縮性情況下動態(tài)空腔膨脹問題進行了系列的研究討論，特別地，在延性材料的抗侵徹問題中，動態(tài)空腔膨脹得到許多學者[11-19]的應用和推廣。文獻[20]對空腔膨脹模型進行了總結和研究。雖然當前在此方面的研究眾多，但各研究之中存在許多不統一之處，各有優(yōu)缺點，例如，一般以拉為正，但有些研究以壓為正，有些在Euler坐標系下進行推導[20-23]，也有點在Lagrange坐標系下進行推導[4]。這在很大程度上限制了空腔膨脹模型在工程中的應用。

對金屬延性材料中球腔膨脹模型的研究已經有半個多世紀了，然而除了存在上述所提的問題之外，當前的研究還存在一些不足之處：首先，在膨脹過程中存在彈性壓縮和塑性壓縮兩個過程，因而在不可壓縮假設過程中應區(qū)分兩種情況下的區(qū)別，也需要考慮應變包含彈性應變和塑性應變這一事實，這點在當前的一些研究中沒有體現；其次，絕大部分研究所計算出的塑性區(qū)域相對尺寸是一個固定值，事實上，這個沒有體現壓縮過程中的實際情況，從而導致其彈性解與塑性解之間不連續(xù)。本文參考當前國際對球腔膨脹模型的研究，在討論分析當前的相關研究中的不足之處和待改進之處，借鑒當前學者的研究方法，給出系統的、思想統一的和較易理解和應用的一種新的推導過程與結論。

1球腔膨脹模型的彈性解

在無限介質中，內部球形內腔由于壓力向外部呈球形膨脹，初期周邊只有彈性變形，但隨著內部壓力的增大，從而形成最內部為塑性變形、外部為彈性變形、無限遠處可認為無變形等三個區(qū)域。利用彈塑性力學，可以求出球腔內表面及介質內部的壓力等相關參數。

1.1彈性解的推導

在無限彈塑性介質中，若初始球腔壓力為0，此時向球腔內表面緩慢施加作用力，使得材料變形行為為準靜態(tài)，在初期，材料中的應力狀態(tài)應為彈性狀態(tài)。

對于球腔膨脹模型，則有應力平衡方程

即當球腔膨脹到a0+Δa時，介質中才開始出現塑性壓縮行為。

1.2彈性解的分析與討論

在上述準靜態(tài)球腔膨脹模型的彈性解的推導過程中，整個過程并沒有假設彈性不可壓，完全根據彈性理論進行推導，所以也應適合于彈性可壓縮即泊松比不為0.5時的情況，所以該彈性解為準靜態(tài)球腔膨脹模型中線彈性材料的解。而從式（6）可知

即體應變?yōu)?。在整個推導過程中只有一處假設，即小應變假設，忽略了真應變中的高階項，而體應變恰恰是徑向和環(huán)向應變的高階小量，所以出現此結果；而且，從推導結果來看，小應變假設是合理較準確的，所以該解也是合理準確的，適合與可壓縮和不可壓縮兩種情況的。

2塑性不可壓介質彈塑性解

不可壓縮假設應包含兩個意義：彈性不可壓和塑性不可壓。前者一般存在誤差，因為金屬材料的彈性階段的泊松比v一般明顯小于0.5，如普通45號鋼為0.29，所以在壓縮過程中密度會逐漸增大，但由于其彈性應變極小，所以此類假設雖然理論上不正確但計算結果誤差較??；后者在一般壓縮過程中基本成立，在很多屈服準則中，假定金屬類材料塑性不可壓，只是在高速侵徹和爆炸過程中由于高溫高壓條件下，才考慮其可壓縮性。另一方面，應變也包含彈性應變和塑性應變部分，總應變可假設為兩種應變之和。

相對于其他學者的推導過程，文獻[20]的推導過程較為簡潔易懂，只由Euler坐標系下的質量守恒方程方程推導出相關解，但其假設介質彈塑性皆不可壓，因此推導過程與結論稍顯粗糙；文獻[6]直接給出塑性相對尺寸，雖然在塑性區(qū)域相對尺寸的結果中存在泊松比參數，但推導中并沒有完全體現彈性壓縮等現象。

2.1塑性不可壓縮介質中的塑性區(qū)域相對尺寸

在上節(jié)的彈性區(qū)域內應力等量的推導過程中，假設應變極小從而滿足小應變理論，結果表明該假設是合理可行的；而在塑性變形中，其應變往往不一定能夠滿足該理論，而且很多時候其應變值很大；因此，此時應變不能取值為Cauchy應變，而應為真應變。根據文獻[4]的推導結果，有式（13）推導的是塑性階段的質量守恒方程，需要注意的是ρp0表示介質中剛達到塑性變形時的初始密度，而不是整個階段包括彈性變形的初始密度，如圖1所示。

從圖1可以看出，從ρp0變化ρp至經歷兩個主要階段：首先，塑性變形從內邊界傳遞到物質坐標r-u處，此階段內，此階段的變形為彈性變形；其次，該點運動到瞬時坐標r處，此階段的變形為塑性變形。在彈性階段，介質的體應變?yōu)閺较蚝铜h(huán)向應變的高階小項，所以其中極小，再根據塑性不可壓假設，可認為兩者之間的值相等，所以其比值為1。然而此時，其邊界條件并不是當前現有研究中的u（a）=a-a0（為a0初始球腔半徑），因為塑性階段的位移是從介質達到彈性極限時開始計算的，根據式（10）可知，在塑性階段開始時， 球腔內壁半徑已經膨脹了Δa，因此其邊界條件應為u（a）=a-a0-Δa，根據式（13），可有上式說明，球腔內徑膨脹到a≥a0+Δa時才開始出現塑性變形，即此時才有c≥0，而不是當前文獻中，a≥a0時就出現塑性變形，這與球腔膨脹過程中的物理過程相符。其次，以上述的45號鋼為例，其屈服強度為355MPa，泊松比為0.29，楊氏模量為206GPa，兩者之間的關系如圖2所示。圖2中對不同彈性屈服應變時塑性區(qū)域相對尺寸之間的關系進行了描述，其中泊松比取為0.29。

由圖2（a）可知，在球腔膨脹初期，隨著孔洞的增大，塑性區(qū)域尺寸迅速增加，但當孔洞直徑增大到原有的兩倍之后，塑性區(qū)域的相對尺寸基本恒定，并不明顯隨孔洞尺寸的增加而增大[1，20]；影響塑性區(qū)域最終相對尺寸的最大因素是材料的彈性屈服應變。而從圖2（b）可知，塑性區(qū)域的相對尺寸一直為彈性碰撞，內徑到達a=a0+Δa后才逐漸出現塑性區(qū)域，之后逐趨穩(wěn)定，與時間情況是吻合的，而且該解能夠與彈性解保持連續(xù)性。

同樣，以上文的45號鋼為例，對比本文的推導結果與當前研究結果，如圖3所示。

從圖3可以看出，當球腔膨脹相對內徑大于3.5之后，本研究的結果與文獻[1]的研究結果基本一致，且皆大于文獻[20]的簡化結果，即說明考慮彈性階段的可壓縮性所得到的塑性區(qū)域相對尺寸稍大于不可壓縮假設下的結果。

2.2塑性不可壓縮介質中的球腔內壁壓力

如式（7）所示，當球腔內邊界壓力大于時，材料進入屈服階段。如圖1所示，此時在鄰近球腔內邊界區(qū)域首先形成塑性區(qū)，較遠區(qū)才為彈性區(qū)域。對于一般金屬材料而言，在準靜態(tài)加載作用下，其應變率及塑性變形導致的溫升都極小，可以不予考慮。因此可簡單的認為塑性階段材料中的等效應力取決于其初始屈服強度和等效應變。

上式簡化結果與文獻[1]的研究結果一致，其一般連續(xù)解為式（36）。

3塑性可壓介質彈塑性解的推導與分析

3.1準靜態(tài)理想彈塑性性介質中球腔膨脹模型彈塑性解初解

式（48）和式（49）即考慮塑性壓縮效應時塑性區(qū)域相對尺寸和球腔內表面壓力的解析表達式的通解和特殊情況下的解；其中特殊情況下的解與當前國內外研究和使用的解析公式一致。利用上述所推導出的模型，可以對考慮與不考慮材料壓縮性能時球腔膨脹模型時的相關參數進行對比，以45號鋼為例，不考慮材料壓縮性時塑性相對尺寸的計算結果比考慮材料壓縮性時的結果高約12%，其內表面的壓力高約5%。

3.2初解存在的問題分析

上述考慮塑性可壓縮效應時的解得到大量的應用，并在此基礎上推導出其他更復雜本構模型時的解析表達式和動態(tài)球腔膨脹下的解。從上述的結果分析來看，考慮塑性壓縮性時45號鋼所得的解明顯小于塑性不可壓假設前提下的對應的解。從上述的推導方法可以看出，主要基礎就是式（42）所示的質量守恒方程，然而，在其基礎和推導過程中存在以下幾個概念性的問題：

上二式與式（48）（49）一致，說明當前通用的結論中沒有區(qū)分彈塑性階段的體積壓縮率，混淆了其概念。而本推導與當前推導的基礎除此處修改外，還有一項是本推導考慮到密度增加是從球腔出現塑性變形開始，即壓力為當前壓力與彈性屈服點壓力之差，但結果與前文研究結果一致。原因如下：前文的第一種推導過程中利用屈服條件Y=σθ-σr，使整個計算納入塑性范疇，在此方面兩者推導結果一致，但該修正是具有物理意義的。

以45號鋼為例（同上忽略初始球腔尺寸），則其塑性區(qū)域相對尺寸和球腔內表面的壓力隨塑性泊松比的值如圖5所示。

圖5塑性區(qū)域相對尺寸與內表面壓力隨塑性泊松比的變化趨勢從圖5中可以看出，以45號鋼為例，考慮塑性變形階段介質的可壓縮性會減小塑性區(qū)域相對尺寸以及球腔內邊界壓力的值，但考慮到金屬延性材料的塑性壓縮率遠小于彈性壓縮率，其減小的幅度小于文獻[20]。

4結論

空腔膨脹模型自從提出以來，在許多工程領域得到了廣泛的應用。本文針對準靜態(tài)球腔膨脹模型，參考借鑒當前國內外的研究思想，對球腔膨脹過程介質中的彈性應力狀態(tài)及相關參數的求解進行了推導，并分別在Euler坐標系中對考慮塑性階段材料的壓縮率和不考慮其壓縮率兩種情況下的相關參數解進行了推導和討論，校正了當前推導過程中的一些不足之處。主要結論如下：

1）分析表明，在彈性解的推導過程中，小應變假設是合理和較準確的；然而，由于體應變是徑向和環(huán)向應變的高階小量，從而導致小應變假設中體應變被忽略。因而，球腔膨脹模型中，彈性解具有普適性，對于考慮塑性壓縮性和不考慮塑性壓縮性情況時其解基本一致。

2）在塑性不可壓假設下，考慮了彈性壓縮階段的壓縮性和初始球腔尺寸，得到了塑性相對尺寸和球腔內壁壓力的連續(xù)的通解。該解考慮了塑性變形時球腔內已具備的彈性應變，也考慮了初始球腔尺寸不為0的情況，描述了球腔膨脹塑性變形初期相關參數如塑性尺寸、內壁壓力隨球腔尺寸變化的規(guī)律；同時，該塑性解能夠與彈性解保持很好的連續(xù)性，并對幾種典型材料本構模型時的具體解進行了分析討論。最后，將該解與當前國內外文獻中所求得的常用解進行了對比分析，分析表明，當前文獻中的解為本文所推導出的解的特解。

3）在考慮介質可壓縮性的前提下，借鑒當前學者的推導思想，給出了Euler坐標系中的相關解，并對改進進行了討論分析。然而，當前解存在兩個問題：一為與塑性不可壓假設下的解不連續(xù)，二為彈塑性階段泊松比概念模糊。分析表明，實際上此兩個問題的根源就只有一個問題，即在推導中混淆了彈性體積壓縮率和塑性階段體積壓縮率的概念。在此基礎上對其進行了推導，得到了考慮初始球腔尺寸和塑性變形前的彈性應變等情況下的通解，結果表明，該解與不考慮塑性變形下的結果連續(xù)，即假設塑性階段的泊松比為0.5時，兩解一致，解決了當前解存在的問題；并給出了相關解隨塑性泊松比的變化而改變的規(guī)律，對比分析顯示，當前通用解是該解的一種特解。

本文中的所有推導都是基于Euler坐標完成的，推導過程中參考了當前國內外相關的思想，并對其進行簡化，推導結果為球腔膨脹模型的通解，適用情況更加廣泛，為工程應用提供了一定的參考作用。

參考文獻：

[1]BISHOP R F， HILL R， MOTT N F. The theory of indentation and hardness test[J]. The Proceedings of The Physical Society， 1945， 57（3）： 147-159.

[2]HILL R.The mathematical theory of plasticity[M]. Oxford： Oxford University Press， 1950.

[3]CHADWICH P. The quasi-static expansion of a spherical cavity in metal and ideal soil[J]. The Quarterly Journal of Mechanics and Applied Mathematics， 1959， 12（1）： 52-71.

[4]HOPKINS H G.Dynamic expansion of spherical cavities in metal[M]// Progress in Solid Mechanics. Amsterdam：North-Holland Publishing Co.， 1960：284-286.

[5]HUNTER S C， CROZIER R J M. Similarity solution for the rapid uniform expansion of a spherical cavity in a compressible elastic-plastic solid[J]. The Quarterly Journal of Mechanics and Applied Mathematics， 1968， 21（4）： 467-486.

[6]WRIGHT S C， HUANG Y， FLECK N A. Deep penetration of polycarbonate by a cylindrical punch[J]. Mechanics of Materials，1992， 13（4）： 277-284.

[7]HUANG Y， HUTCHINSON J W， TRERGAARDV. Cavitation instabilities in elastic-plastic solids[J]. Journal of the Mechanics and Physics of Solids， 1991， 39（2）： 223-241.

[8]FORRESTAL M J，LUK V K.Dynamic spherical cavity-expansion in a compressible elastic-plastic solid[J]. Journal of Applied Mechanics，1988， 55（2）： 275-279.

[9]FORRESTAL M J， OKAJIMA K， LUK V K. Penetration of 6061-T651 aluminum targets with rigid long rods[J]. Journal of Applied Mechanics，1988， 55（4）： 755-760.

[10]FORRESTAL M J， TZOU D Y， ASKARI E， et al.Penetration into ductile metal targets with rigid spherical-nose rods[J]. International Journal of Impact Engineering， 1995， 16（5）： 699-710.

[11]TATE A. A theory for the deceleration of long rods after impact[J]. Journal of the Mechanics and Physics of Solids， 1967， 15（6）：387-399.

[12]TATE A. Further results in the theory of long rod penetration[J]. Journal of the Mechanics and Physics of Solids， 1969， 17（3）： 141-150.

[13]GOODIER J N.On the mechanics of indentation and cratering in solid targets of strain-hardening metal by impact of hard and soft spheres[C]// AIAA Proceedings of the 7th Symposium on Hypervelocity Impact III， New York：AIAA，1965： 215-259.

[14]HANAGUD S， ROSS B. Large deformation， deep penetration theory for a compressible strain-hardening target material[J].AIAA Journal，1971，9（5）：905-911.

[15]PARTOM Y. Cavity expansion model for partially confined targets[C]// 16th International Ball Symposium， San Francisco： CA， 1996：421-426.

[16]ROSEBERG Z， TSALIAH J.Applying Tate's model for the interaction of long rod projectiles with ceramic targets[J]. International Journal of Impact Engineering， 1990， 9（2）： 247-251.

[17]ROSENBERG Z， MARMOR E， MAYSELESS M. On the hydrodynamic theory of long-rod penetration[J]. International Journal of Impact Engineering， 1990，10（1）： 483-486.

[18]WALKER J D， ANDERSON C E. A time-dependent model for long-rod penetration[J]. International Journal of Impact Engineering， 1995， 16（1）： 19-48.

[19]LEE M， BLESS S.Cavity Dynamics for Long Rod Penetration[R]. Austin：University of Texas， 1996.

[20]SATAPATHY SS. Application of cavity expansion analysis to penetration problems[R]. Austin：University of Texas， 1997.

[21]CHADWICK P.The quasi-static expansion of a spherical cavity in metals and ideal soils[J].The Quarterly Journal of Mechanics and Applied Mathematics， 1959， 12（1）： 52-71.

[22]MENDELSON A.Plasticity： theory and applications[M].Florida：Krieger Publishing Co.，1968：102-103.

[23]FORRESTAL M J， LONGCOPE D B.Target strength of ceramic materials for high-velocity penetration[J]. Journal of Applied Physics， 1990， 67（8）：3 669-3 672.

[24]LUK V K， FORRESTAL M J， AMOS D E. Dynamic spherical cavity expansion of strain-hardening materials[J].Journal of Applied Mechanics，1991， 58（1）： 1-6.

[25]CHADWICK P， COX A D， HOPKINS H G. Mechanics of deep underground explosions[J].Philosophical Transactions of the Royal Society B Biological Sciences，1964， 256（1 070）： 235-300.

（責任編輯：李麗，編輯：丁寒）