劉永財+鮑益東+王小平+陳文亮

摘 要： 圖像去噪是數(shù)字圖像處理過程中的一個重要步驟，它將直接影響到圖像處理的最終質量。針對傳統(tǒng)的全變分（TV）正則化去噪算法容易產(chǎn)生階梯效應的缺點，利用雙邊濾波去噪算法在空間域和值域兩個方面進行濾波的特點，提出一種結合TV模型的雙邊濾波方法，該方法能在一定程度上有效地改善階梯效應。仿真實驗結果表明，提出的去噪方法不僅能夠獲得較好的去噪效果，還能有效地保持圖像的邊緣特征信息，降噪效果明顯。在較高水平噪聲情況下，與TV算法相比，該方法針對小尺寸灰度圖片（256×256）圖像的峰值信噪比（PSNR）提高1.45 dB左右，大尺寸灰度圖片（512×512）圖像的PSNR提高2.56 dB左右。

關鍵詞： 數(shù)字圖像； 圖像去噪； TV正則化； 雙邊濾波

中圖分類號： TN911.73?34 文獻標識碼： A 文章編號： 1004?373X（2017）17?0036?04

Total variation model based bilateral filtering method of image denoising

LIU Yongcai1， 2， BAO Yidong2， WANG Xiaoping2， CHEN Wenliang2

（1. College of Mathematics and Statistics， Qujing Normal University， Qujing 655011， China；

2. College of Mechanical and Electrical Engineering， Nanjing University of Aeronautics and Astronautics， Nanjing 210016， China）

Abstract： The image denoising， as a key step in digital image processing， affects the final quality of image processing directly. Since the traditional total variation （TV） regularization denoising algorithm is easily to produce the staircase effect， a bilateral filtering method based on TV model is proposed to eliminate the staircase effect to a certain extent， in which the filtering characteristics in the aspects of spatial domain and value domain are considered. The experimental results show that the denoising method can obtain better denoising effect， reserve the edge feature information of the image， and has perfect denoising effect. In comparison with PSNR obtained with TV algorithm， the PSNR of the gray image with 256×256 size is increased by 1.45 dB， and the PSNR of the gray image with 512×512 size is increased by 2.56 dB.

Keywords： digital image； image denoising； TV regularization； bilateral filtering

0 引 言

隨著遙感數(shù)字設備及計算機技術的飛速發(fā)展，數(shù)字圖像已經(jīng)在航空航天、機械工程、醫(yī)學、視頻監(jiān)控等領域中得到廣泛的應用。由于受到器材材料以及大氣等內外部因素的影響和干擾，導致形成的數(shù)字圖像中存在噪聲，而噪聲會對后續(xù)的圖像操作帶來諸多不利的影響。圖像去噪是指去除圖像中的噪聲信息恢復圖像的原始信息，它是圖像處理過程的重要組成部分，圖像去模糊，圖像融合以及圖像識別等結果都直接依賴于圖像去噪的質量結果。

假設圖像噪聲是高斯白噪聲，相應的圖像去噪問題可以歸結為關于原圖像的二次泛函積分形式的極值問題，但是其Euler?Lagrange方程是一個病態(tài)不適定問題[1]。為了克服不適定性問題，不少學者考慮在優(yōu)化目標泛函上增加正則項來建立優(yōu)化模型[1?3]。其中，全變分正則化（Total Variation，TV）算法是應用最廣泛的方法之一，增加的正則項除了能夠消除病態(tài)不適定性外，還能夠很好地保持圖像的邊緣特征細節(jié)。TV正則化模型雖然能夠很好地恢復圖像的邊緣特征信息，但還存在兩個主要的缺點：一是在去噪過程中容易產(chǎn)生虛假邊界，即階梯效應；二是在去噪過程中存在邊緣退化或對比度下降的現(xiàn)象[4]。針對TV法存在的上述兩個缺點，不少學者在TV正則化模型的基礎上做了進一步工作[5?6]。Meyer提出卡通紋理模型，這個模型對應的Euler?Lagrange方程中涉及到非光滑項，因此它的數(shù)值求解相當困難[7]。根據(jù)圖像邊緣在切線方向上梯度較小，在垂線方向上梯度較大的特點，基于TV正則化去噪結果，使用中值濾波的去噪方法對圖像進行去噪處理，在有效去除噪聲的同時能有效地克服階梯效應[8]。中值濾波僅考慮距離空間中的差異性，沒有考慮像素值之間的差異性，而雙邊濾波算法可以同時反映空間距離和像素值之間的差異來進行濾波。本文提出采用雙邊濾波算法結合TV正則化算法對圖像進行去噪處理，該方法能在一定程度上改善階梯效應，提高圖片的去噪質量。最后采用該去噪方法對兩張典型的噪聲圖片進行去噪處理，并通過比較去噪前后的峰值信噪比（PSNR，單位：dB）用以驗證該去噪方法的準確性和有效性。endprint

1 全變分正則化算法

加性噪聲圖像可以表達為下列形式：

（1）

式中：是觀測圖像；是原圖像；是噪聲變量，它以高斯白噪聲為主，即期望為零，方差為定值的隨機變量。該問題能夠通過優(yōu)化目標泛函來求解：

（2）

由于上述問題的病態(tài)不適定性，計算結果無法反映出原圖像的性質。針對這一問題，文獻[1]首先提出在優(yōu)化目標泛函式（2）中增加TV正則項的ROF模型：

（3）

式中：是觀測圖像；表示在整個圖像空間上的有界變差函數(shù)空間；表示總變差擬范數(shù)，當函數(shù)是光滑函數(shù)時，它等價于梯度向量長度的積分，即該正則項具有明確的幾何意義，它能夠很好地反映出圖像中的邊緣信息，數(shù)值越大，表明圖像中的邊緣信息越豐富；稱為保真項，它代表恢復圖像和含噪圖像之間的逼近程度；是參數(shù)，用于調整保真項在整個優(yōu)化目標中的權重，一般取值都較小。從目標泛函的兩個組成項來看，該模型能夠在去除噪聲的同時，保持圖像的邊緣特征信息，較好地解決了去噪和邊緣特征保持之間的矛盾。

目前求解TV正則化的離散化格式主要有三類方法：

（1） 直接求解法，將問題轉化成Euler?Lagrange偏微分方程[1]；

（2） 對優(yōu)化問題的對偶形式進行求解，該方法通過TV范數(shù)的對偶問題求解來實現(xiàn)問題的求解[2]；

（3） Bregman分裂法[3?5]，通過在優(yōu)化目標泛函中引進輔助變量將式（2）轉化為有約束的優(yōu)化問題[4]：

（4）

相較于前兩類方法，Bregman分裂法迭代過程中可以顯式進行求解，占用的內存小，具有較快的計算速度和收斂速度等優(yōu)勢。因此，本文采用Bregman分裂法對式（3）進行求解。

2 結合雙邊濾波的全變分方法

全變分濾波算法雖然能夠有效地去除圖像噪聲，但是容易在去噪圖像中引入虛假邊界，造成階梯效應。雙邊濾波算法考慮距離和像素值兩個方面的差異對圖像進行加權濾波，它能夠進一步去除圖像中的虛假邊界，提高去噪圖像的恢復質量。

2.1 雙邊濾波算法

不同于中值濾波在加權時只考慮圖像距離之間的差異，雙邊濾波算法在加權過程中還考慮像素值之間的差異。在雙邊濾波算法中，恢復圖像像素值依賴于其鄰域在距離和像素值兩個方面關于鄰域像素值的加權之和：

（5）

式中：是在處的恢復圖像像素值；是在處的像素值；是距離空間上的高斯濾波函數(shù)，圖像中的點與當前點距離越小，則其對當前點的影響就越大，它所占的加權系數(shù)也就越大，是像素值差異的高斯濾波函數(shù)，與當前點的像素值的像素的差越小的點，對當前點的影響越大，相應的加權系數(shù)就越大；分別表示距離空間和像素值空間的濾波半徑。

2.2 方法實現(xiàn)

本文中涉及到的TV算法使用Bregman分裂方法求解[9?10]。

Bregman分裂算法：

Step1： 固定求解關于的優(yōu)化問題

該問題的解析解為：

Step2： 固定求解關于的優(yōu)化問題

由最優(yōu)化的必要條件得：

該問題是一個關于求解的線性方程組問題，可以使用數(shù)值迭代法求解。

Step3： 更新

轉至Step1，直至達到收斂精度。

Bregman分裂方法在每步迭代更新過程中，需要求解如下的非約束優(yōu)化問題：

（6）

式中：變量可以通過解析解求解；變量可以通過共軛梯度法來求解，因此極大地減少了迭代的次數(shù)，求解效率提高。

雙邊濾波算法在更新圖像像素值的過程中采用Guass?Seidel的更新迭代方式，它有效地利用了最近更新的像素值結果，能夠加速方法的實現(xiàn)。

算法實現(xiàn)流程圖如圖1所示。

3 數(shù)值結果及分析

為了驗證方法的去噪性能，采用峰值信噪比（PSNR）來評價去噪圖像的恢復質量，它是原圖像和計算求解的恢復圖像之間的均方誤差，相當于信號最大值的平方的對數(shù)值。在灰度圖像處理中，PSNR的計算公式為：

（7）

式中：是去噪恢復圖像；是原圖像。PSNR的值（單位：dB）越大，表示去噪恢復圖像的失真越少，圖像恢復的質量越高，恢復的效果越好。

本文針對大量的圖像進行了數(shù)值仿真實驗，驗證了方法的有效性。這里選取來自于Matlab圖片庫中的兩幅不同尺寸的標準8位灰度圖像cameraman（圖像尺寸為256×256）和liftingbody（圖像尺寸512×512）進行分析說明。

本文中涉及到的參數(shù)設置如下：Bregman分裂法的參數(shù)涉及到的線性方程組用共軛梯度法（CG法）進行求解，當算法前后兩次迭代結果之間的相對誤差小于10-3時，迭代終止。雙邊高斯濾波算法中核的邊長，取為濾波核半徑的一半，0.1。

表1是針對高斯白噪聲方差分別是30，35，40，45的四種情況下的降噪處理結果。

從表1中可以看出，不同的噪聲水平下，使用雙邊濾波對圖像進行降噪的效果十分有限（PSNR增加1.30～2.20 dB），而TV降噪算法的降噪效果均表現(xiàn)良好（5.91～9.96 dB）。

在低水平的噪聲情況下，本文方法較TV降噪算法降噪效果不明顯（PSNR增加了0.33%和4.48%）。隨著噪聲的增加，本文方法比TV去噪算法的降噪效果明顯，當噪聲從30增加到45，PSNR值改變量分別從0.09 dB和1.38 dB增加到1.45 dB和2.56 dB。當噪聲水平達到45時，cameraman降噪圖像的PSNR增加1.45 dB，增加6.43%，liftingbody降噪圖像的PSNR增加2.56 dB，增加10.86%，降噪效果得到明顯提高。endprint

圖2是cameraman圖像原始圖像、噪聲圖像（噪聲水平為40）、TV算法去噪圖像和結合TV的雙邊濾波去噪圖像。從圖2中可以看出，結合TV和雙邊濾波方法的圖像比TV算法的圖像去噪效果更明顯。

圖3，圖4分別給出了TV算法和結合TV算法的雙邊濾波方法對cameraman圖像進行去噪結果的局部區(qū)域放大圖以及l(fā)iftingbody圖像的噪聲去除測試結果，從結果中可以看出，本文方法能夠更加有效地去除噪聲，去噪效果更明顯。

因此，不管是從PSNR的客觀結果還是從人眼觀察的主觀結果來看，采用結合全TV正則化的雙邊濾波方法要明顯優(yōu)于單獨使用全TV正則化去噪算法或者使用雙邊濾波的效果。

4 結 論

本文針對TV去噪算法容易產(chǎn)生階梯效應的問題，提出一種結合雙邊高斯濾波的TV圖像去噪方法，它可以比較有效地解決TV算法產(chǎn)生的階梯效應問題，與TV算法相比，能夠更好地去除噪聲。仿真結果表明本文提出的去噪方法降噪效果明顯，圖像質量也得到了明顯的改善。與TV算法相比，在較高水平噪聲情況下，使用本文算法小尺寸灰度圖片（256×256）去噪圖像的PSNR提高1.45 dB左右，大尺寸灰度圖片（512×512）圖像的PSNR提高2.56 dB左右。

參考文獻

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