馮吉路，汪文津，田 越

(1. 天津城建大學 控制與機械工程學院，天津 300384；2. 東北大學 機械工程與自動化學院，沈陽 110819)

數(shù)控機床主軸系統(tǒng)動力學建模與頻率特征分析*

馮吉路1，汪文津1，田 越2

(1. 天津城建大學 控制與機械工程學院，天津 300384；2. 東北大學 機械工程與自動化學院，沈陽 110819)

文章采用集中質(zhì)量法對機床主軸-滾動軸承系統(tǒng)進行了簡化，基于Hertz接觸理論計算了軸承組的等效接觸剛度，建立了考慮彈性主軸剛度、阻尼和滾動軸承非線性接觸力的十自由度數(shù)控機床主軸非線性振動分析模型，分析了在非平衡力作用下主軸-滾動軸承系統(tǒng)的非線性動力學特征。研究結(jié)果表明：當轉(zhuǎn)速低于1500r/min時，主軸系統(tǒng)會出現(xiàn)由VC頻率引起的擬周期運動狀態(tài)；當轉(zhuǎn)速為1500～7100 r/min時，主軸系統(tǒng)呈現(xiàn)周期1運動狀態(tài)，系統(tǒng)出現(xiàn)了不平衡力和不對中引起的頻率成分；當轉(zhuǎn)速大于7100r/min時，主軸系統(tǒng)會出現(xiàn)擬周期和混沌運動狀態(tài)。

主軸系統(tǒng)；滾動軸承；非線性動力學；穩(wěn)定性

0 引言

近年來，隨著高檔數(shù)控機床的市場需求量的與日俱增，主軸系統(tǒng)的動力學特性越來越受到研究人員的關(guān)注[1]。為了避免主軸高速運轉(zhuǎn)生熱導致的軸承燒傷，主軸系統(tǒng)軸承安裝時通常會留有間隙，該間隙會在軸承非線性Hertz接觸力和主軸非平衡力的作用下，引起主軸系統(tǒng)的非線性分岔和混沌現(xiàn)象。為此，研究人員對主軸-滾動軸承系統(tǒng)進行了大量的研究。其中，Yamamoto[2]研究發(fā)現(xiàn)Jeffcott轉(zhuǎn)子的振幅會隨軸承游隙的增加而降低。Tiwari等[3]考慮了軸承的Hertz接觸力、徑向游隙以及主軸轉(zhuǎn)動時的不平衡力的影響，分析了剛性轉(zhuǎn)子的非線性動力學特性。Harsha等[4]在數(shù)學模型中加入了Hertz接觸力、表面波紋度、變?nèi)岫群蛢?nèi)部徑向游隙等非線性因素，分析了平衡轉(zhuǎn)子的非線性動力學特性。Lioulios等[5]分析了轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的非線性特性，指出速度波動對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動態(tài)特性有很大的影響。Yi等[6]建立了組配軸承安裝不對中問題的簡化動力學模型，并提出軸承恰當?shù)牟粚χ邪惭b對軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動力學特性可能是有益處的。曹宏瑞等[7]利用Jones軸承模型進行擴展建立滾道軸承非線性模型，得到了主軸系統(tǒng)的非線性動力學模型。張偉剛等[8]建立了主軸-滾動軸承的6自由度動力學方程組，得到了游隙對主軸-滾動軸承系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響趨勢。

數(shù)控機床主軸系統(tǒng)的軸承多以組配形式出現(xiàn)，目前國內(nèi)外研究人員針對主軸系統(tǒng)的軸承組等效接觸剛度和阻尼系數(shù)的報道相對較少。然而，組配軸承的等效接觸剛度和阻尼系數(shù)對主軸系統(tǒng)的動力學特性有重要的影響。本文在精確計算前、后軸承組等效接觸剛度和阻尼的基礎(chǔ)之上，分析了機床主軸的動力學特性，該研究相比僅考慮主軸前、后軸承處的單一軸承支承形式的計算結(jié)果更具參考價值，同時也為提高機床主軸系統(tǒng)的穩(wěn)定性提供了理論參考。

1 主軸-軸承系統(tǒng)動力學建模

1.1 滾動軸承力模型

圖1為滾動軸承簡化模型，假定滾動體在軸承內(nèi)、外圈滾道內(nèi)等距分布，滾動體與滾道之間的運動為純滾動。設(shè)滾動體與外圈溝道接觸點的線速度為Vo，與內(nèi)圈溝道接觸點的線速度為Vi；軸承外圈溝道半徑為R，內(nèi)圈溝道半徑為r；軸承外圈旋轉(zhuǎn)角速度為ωo，內(nèi)圈旋轉(zhuǎn)角速度為ωi，則有：

V0=ω0×R

(1)

Vi=ωi×r

(2)

圖1 滾動軸承模型示意圖

保持架線速度Vc等于滾動體中心線速度，則：

(3)

由于軸承外圈固定，因此Vo=0，則：

(4)

滾動體中心的軌跡圓半徑為軸承內(nèi)、外圈溝道半徑之和的一半，則有保持架的角速度ωc：

(5)

令變?nèi)岫阮l率為：

ωvc=ωc×Z

(6)

式中，Z為滾動體的個數(shù)。由于軸承內(nèi)圈角速度ωi等于主軸的旋轉(zhuǎn)角速度ω，將式(5)代入式(6)，則：

(7)

式中，BN為VC頻率與旋轉(zhuǎn)頻率之比。設(shè)第j個滾動體處的角位置為θj，它會隨時間變化而變化，其表達式:

(8)

軸承的內(nèi)、外圈滾道是與滾動體相接觸的，在每一個接觸點，由于是Hertz接觸，滾動體與滾道之間的接觸變形會產(chǎn)生一個具有非線性特性的恢復力：

fθj=kn(rθj)n

(9)

式中，n為常數(shù)，對于球軸承，n=3/2；rθj為滾動體j在角位置為θj處的接觸變形量；kn為接觸剛度。在任意時刻，第j個滾動體在接觸點上的彈性變形取決于滾動軸承質(zhì)心的位移和軸承的初始游隙：

rθj=xsinθj+ycosθj-γ

(10)

式中，γ為軸承的初始游隙，將式(10)代入式(9)中，由軸承滾動體接觸力的非負性可得：

(11)

總的接觸力是每一個滾動體接觸力的總和，考慮到接觸阻尼cn的影響，可以得到在x和y方向上滾動軸承軸承總接觸力：

(12)

由式(12)可知，軸承的接觸力與主軸的軸心軌跡有緊密的聯(lián)系，并且滾動軸承的剛度具有時變性，可能導致主軸-滾動軸承系統(tǒng)運轉(zhuǎn)過程中出現(xiàn)混沌響應(yīng)。文中前、后軸承組中的軸承參數(shù)如表1所示。

表1 角接觸球軸承的原始參數(shù)

1.2 主軸-軸承系統(tǒng)動力學方程

為了便于分析，研究中采用集中質(zhì)量法對數(shù)控機床主軸系統(tǒng)進行了簡化，簡化系統(tǒng)由五個集中質(zhì)量單元和四個彈性軸段組成，考慮集中質(zhì)量單元在X和Y方向的平動，可將該主軸-滾動軸承系統(tǒng)簡化為十自由度系統(tǒng)，如圖2所示。其中，非線性軸承力和轉(zhuǎn)子的偏心力為系統(tǒng)的激勵。根據(jù)牛頓第二定律，簡化后主軸系統(tǒng)的動力學微分方程為：

(13)

系統(tǒng)各集中質(zhì)量分別為m1=9.35 kg，m2=4.16 kg，m3=8.59 kg，m4=1.77 kg，m5=13.76 kg；轉(zhuǎn)軸間的剛度系數(shù)為，阻尼系數(shù)為比例阻尼，其中c1=αk1，c2=αk2，α=0.001/ω，e=10-5m；假設(shè)成組軸承的單個軸承游隙完全相同，其中前、后軸承組單個軸承游隙分別為γ1=53.65μm和γ2=19μm。ω為主軸轉(zhuǎn)速，e為主軸非平衡質(zhì)量的偏心距。根據(jù)Hertz接觸理論和軸承組串并聯(lián)關(guān)系，計算可得前、后軸承組的等效總接觸剛度分別為kn1=3.145×109N/m1.5、kn2=2.178×109N/m1.5；根據(jù)參考文獻[3]，可得軸承的接觸阻尼，其大小和等效接觸剛度成比例定義為：

cn=0.25×10-5kn

(14)

圖2 機床主軸-軸承系統(tǒng)力學簡化模型

1.3 微分方程組的無量綱化

式(13)中各個參數(shù)采用國際單位制時，由于它們之間相差很大的數(shù)量級，使得微分方程的求解變得非常困難。一般而言，對于這樣的強非線性微分方程組，要用數(shù)值迭代的方法進行求解。在用數(shù)值方法求解時，假如微分方程中各個參數(shù)相差很大的數(shù)量級，就會對誤差控制值和步長的選擇造成很大的困難。為了解決上述困難并且使這個系統(tǒng)的研究成果具有廣泛性與普遍性，則有必要對式(13)中各個參數(shù)進行無量綱化處理,引入無量綱量：

將上述無量綱量帶入式(13),可得無量綱化后的數(shù)控機床主軸-滾動軸承系統(tǒng)的動力學微分方程：

(15)

2 數(shù)值模擬結(jié)果及討論

圖3為主軸系統(tǒng)前軸承組單個軸承的穩(wěn)態(tài)徑位移隨轉(zhuǎn)速變化的分叉圖，由圖分析可知，當轉(zhuǎn)速低于1500 r/min時，由于軸承內(nèi)圈軸心運動振幅小于1μm，此時，主軸系統(tǒng)的運動狀態(tài)較難判斷。當轉(zhuǎn)速為1500～7100 r/min時，由于轉(zhuǎn)速和無量綱位移存在一一對應(yīng)的關(guān)系，因此主軸系統(tǒng)處于穩(wěn)定運動狀態(tài)，做周期1運動，此時主軸系統(tǒng)的不平衡質(zhì)量在引起的不平衡力占主導作用。當轉(zhuǎn)速大于7100 r/min時，系統(tǒng)的響應(yīng)狀態(tài)較為復雜，其中可能包括周期、擬周期和混沌運動狀態(tài)。此時，通過分叉圖基本無法判斷系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)狀態(tài)。

為了進一步判斷系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)狀態(tài)，本文求得了充分衰減后的最大Lyapunov指數(shù)曲線，如圖4所示。由圖分析可知，系統(tǒng)轉(zhuǎn)速在7100～7250 r/min時，最大Lyapunov指數(shù)大于零，此時系統(tǒng)為混沌運動狀態(tài)，并且系統(tǒng)轉(zhuǎn)速等于7200 r/min時，最大Lyapunov指數(shù)取得最大值，其數(shù)值為0.0038。當系統(tǒng)在其它轉(zhuǎn)速時，基本處于擬周期和周期運動狀態(tài)。

圖3 主軸系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的分叉圖

圖4 最大Lyapunov指數(shù)曲線

圖5為主軸轉(zhuǎn)速為300 r/min時軸承內(nèi)圈的軸心軌跡圖及其頻譜圖，由圖分析可知，主軸系統(tǒng)在轉(zhuǎn)速較低時，軸承內(nèi)圈軸心在一個區(qū)域內(nèi)作復雜的擬周期振蕩。此時頻域圖出現(xiàn)了旋轉(zhuǎn)頻率fw和多個VC頻率成分的組合，VC振動主要是由于軸承內(nèi)部剛度的周期性變化引起的；其中VC頻率wvc占優(yōu)表明轉(zhuǎn)速較低時不平衡力和碰摩力還比較微弱。綜上所述，此時系統(tǒng)處于擬周期運動狀態(tài)。

(a) 相圖 (b) FFT頻譜圖圖5 n=300 r/min時前軸承軸心徑向的時頻響應(yīng)

圖6為主軸轉(zhuǎn)速為3000 r/min時軸承內(nèi)圈的軸心軌跡圖及其頻譜圖，由圖分析可知，主軸系統(tǒng)轉(zhuǎn)速為1500～7100 r/min時，軸承內(nèi)圈軸心軌跡為振幅較小的一條封閉曲線，系統(tǒng)表現(xiàn)為周期1特性。此時頻域圖出現(xiàn)了旋轉(zhuǎn)頻率fw和二倍轉(zhuǎn)頻2fw的成分，其中旋轉(zhuǎn)頻率fw占優(yōu)，這主要體現(xiàn)了不平衡力的作用占主導地位；二倍轉(zhuǎn)頻2fw是由于主軸前、后兩組軸承中心線不在同一直線上，進而引起的不對中故障頻率成分。

圖7為主軸轉(zhuǎn)速為7200 r/min時軸承內(nèi)圈的軸心軌跡圖及其頻譜圖，由圖分析可知，此時軸承內(nèi)圈軸心的運動軌跡較為凌亂。此時頻域圖出現(xiàn)了連續(xù)譜成分，特別是在旋轉(zhuǎn)頻率fw與二分之一倍頻0.5fw之間的邊頻帶成分較為復雜,出現(xiàn)了幅值相當且頻率相差很少的成分，說明此時出現(xiàn)了輕微的拍振現(xiàn)象。最大Lyapunov指數(shù)為0.0038。通過上述分析，可以判斷系統(tǒng)此時處于混沌運動狀態(tài)。

(a) 相圖 (b) FFT頻譜圖圖6 n=3000 r/min時前軸承軸心徑向的時頻響應(yīng)

(a) 相圖 (b) FFT頻譜圖圖7 ω=7200 r/min時前軸承軸心徑向的時頻響應(yīng)

圖8為主軸轉(zhuǎn)速為8200 r/min時軸承內(nèi)圈的軸心軌跡圖及其頻譜圖，由圖分析可知，軸承內(nèi)圈軸心軌跡呈現(xiàn)為內(nèi)“8”字形式。此時頻域圖出現(xiàn)了0.5fw、fw、1.5fw、2fw和2.5fw等離散譜峰，說明了系統(tǒng)中包含了碰摩、不平衡力以及不對中等多種因素引起的頻率成分；系統(tǒng)的主要頻率成分中0.5fw占主導作用，這是碰摩故障頻率成分的主要特征。

(a) 相圖 (b) FFT頻譜圖圖8 n=8200 r/min時前軸承軸心徑向的時頻響應(yīng)

3 結(jié)論

采用集中質(zhì)量法對機床主軸-滾動軸承系統(tǒng)進行了簡化，建立了考慮彈性主軸剛度、阻尼和滾動軸承非線性接觸力的十自由度數(shù)控機床主軸非線性振動分析模型，在準確計算機床主軸系統(tǒng)前、后軸承組等效剛度和阻尼的基礎(chǔ)上，分析得到如下結(jié)論：(1)在非平衡力的作用下，隨轉(zhuǎn)速的提高機床主軸系統(tǒng)依次呈現(xiàn)了擬周期、周期、混沌和倍周期等非線性現(xiàn)象。

(2)低轉(zhuǎn)速主軸的擬周期運動狀態(tài)時，系統(tǒng)頻率主要是由軸承內(nèi)部剛度的周期性變化引起的；當主軸處于周期運動狀態(tài)時，系統(tǒng)頻率主要是由不平衡力和不對中引起的；主軸處于混沌狀態(tài)時，系統(tǒng)頻率主要是由于碰摩、不平衡力及不確定因素引起的；主軸處于倍周期運動狀態(tài)時，系統(tǒng)中包含了碰摩、不平衡力以及不對中等多種因素引起的頻率成分。

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(編輯 李秀敏)

Dynamics Modeling and Frequency Characteristic Analysis for a Machine Spindle System

FENG Ji-lu1,WANG Wen-jin1,TIAN Yue2

(1. School of Control and Mechanical Engineering, Tianjin Chengjian Vniversity, Tianjin 300384, China；2. School of Mechanical Engineering & Automation, Northeastern University, Shenyang 110819, China)

In this paper, the spindle-rolling bearing system is simplified based on lump-mass method，and the equivalent contact stiffness of bearing sets is calculated based on Hertz contact theory. A nonlinear vibration analysis model of NC machine spindle with ten freedom degrees is established, which considers elastic spindle stiffness, damping and nonlinear contact force of rolling bearing. Under the action of unbalanced force, the nonlinear dynamics characteristics of spindle-rolling bearing system is analyzed. The results show that spindle system occurs the quasi-periodic motion caused by varying compliance frequency when the rotation speed is less than 1500r/min. The spindle system presents the period-1 motion when the rotation speed is less than 7100r/min and greater than 1500r/min, and then, the frequency components of spindle system are mainly caused by the unbalanced force and misalignment. Spindle system will appear the quasi periodic and chaotic motions when rotation speed is greater than 7100r/min.

spindle system; rolling bearing; nonlinear dynamics; stability

1001-2265(2017)08-0029-04

10.13462/j.cnki.mmtamt.2017.08.007

2016-10-09；

2016-11-04

國家科技重大項目(2013ZX04011-011)

馮吉路(1988—),男,天津人,天津城建大學講師，博士,研究方向為機床主軸動力學,(E-mail)fengjilu123@sina.com。

TH166；TG659

A