王迪+傅博

摘 要：輪廓波是一種有效的圖像多尺度變換工具，由于其包含更多的有效信息，并能更好地刻畫圖像細節(jié)，因而被廣泛應用于圖像去噪領域。對非下采樣輪廓波變換后的噪聲系數進行統(tǒng)計，分析了不同強度噪聲圖像經輪廓波分解后，噪聲系數在各方向子帶間的分布特點，提出了非局部貝葉斯閾值去噪方法。首先，最外層各個子帶進行以模板為單位的自適應Bayes閾值選取操作，并對相應噪聲點進行預處理；其次，對預處理后的分塊圖像進行重構；最后，對重構圖像進行非局部均值濾波處理。實驗結果表明，該方法無論在視覺去噪效果還是客觀評價指標上都明顯優(yōu)于傳統(tǒng)的硬閾值去噪方法，并且較傳統(tǒng)的非局部均值濾波也有所提高。

關鍵詞：輪廓波變換；自適應 Bayes閾值法；非局部均值濾波；硬閾值法

DOIDOI：10.11907/rjdk.171802

中圖分類號：TP317.4

文獻標識碼：A 文章編號：1672-7800（2017）007-0195-04

0 引言

現(xiàn)實中的大多數圖像都帶有噪聲，這是因為圖像在采集、處理、傳輸等過程中會不可避免地受到外部環(huán)境和內部系統(tǒng)的干擾。圖像噪聲會給后期圖像特征提取、模式識別等更高層次的圖像處理帶來消極影響。因此，圖像去噪成為圖像預處理階段的重要任務之一。多年來，人們一直致力于尋找一種行之有效的去噪方法。

Contourlet變換是2002年M N Do和Vetterli M[2，4]提出的一種新的圖像二維表示方法，具有多分辨率、局部定位、多方向性、近鄰界采樣和各向異性等特性。由于其基函數分布于多尺度、多方向上，所以能有效捕捉到圖像中邊緣輪廓等重要信息，是經典小波變換的一種改進。Contourlet變換的基本思想從數學角度可以理解為使用類似線段的基函數逼近原始圖像，從而實現(xiàn)圖像的稀疏表示。進行Contourlet變換首先要對圖像進行多尺度分解，以便于檢測邊緣處奇異點，其次再將各尺度子帶進行多方向分解，進一步將奇異點信息轉化為Contourlet系數，然后在變換域上完成對圖像的去噪處理，最后進行Contourlet逆變換。

基于Contourlet變換的圖像去噪方法通常采用硬閾值法。硬閾值法由Bruce和Gao提出，它雖然在一定程度上很好地保留了圖像邊緣等細節(jié)特征，但是硬閾值函數在頻域上不連續(xù)，而且其并未涉及系數間的相關性，導致重構圖像出現(xiàn)局部振鈴和偽吉布斯效應等現(xiàn)象。SG Chang等根據圖像小波系數基于廣義高斯分布的特點提出了一種較為理想的閾值確定方法，即Bayes閾值估計法。該閾值確定方法建立在小波系數的分布特性基礎上，可以有效地彌補硬閾值忽視系數相關性的不足。但它仍然存在許多局限性，比如估計的噪聲方差很難適用于子帶中的每一個窗口，并且較硬閾值法計算復雜度高等。

對于圖像去噪，硬閾值法和Bayes閾值法都是在頻域上對變換系數進行處理，而由Buades提出的非局部均值濾波（Non-Local Means，NLM）是在空間域上對像素進行處理。該方法擴展了像素的局部相關性，認為目標像素不僅與周圍像素存在相關性，而且與整幅圖像的像素相關。對于任一個目標塊，NLM在較大的鄰域范圍內為其搜索對比塊并計算權值，通過對比塊的加權線性組合，獲得了比局部濾波更好的去噪效果，但是存在過平滑，以及增大搜索范圍后計算復雜度與時間復雜度過高的缺點。

鑒于Contourlet變換能多尺度、多方向地捕捉圖像邊緣信息和基于系數相關性的Bayes閾值估計以及非局部均值濾波相對徹底的去噪效果，本文提出一種基于輪廓波變換的非局部Bayes閾值去噪方法。實驗結果表明，該方法去噪效果明顯優(yōu)于硬閾值法和傳統(tǒng)的Bayes閾值法，另外較非局部均值濾波也取得了更高PSNR的去噪效果。

1 Contourlet 變換原理與噪聲系數分布特性分析

1.1 Contourlet 變換原理

Contourlet變換由M N Do和Vetterli M[4]于2002年提出。Contourlet變換的原理在數學上被描述為函數逼近，這是因為Contourlet包含了2的n次冪（n為正整數）個方向上的基函數，可以最大限度地逼近任一維光滑的輪廓曲線。圖1（a）為小波變換對輪廓曲線的表示，不同分辨率下的二維小波基具有不同尺寸的正方形支撐區(qū)間，說明二維小波是用“點”來逼近輪廓曲線的。圖1（b）為Contourlet變換對輪廓曲線的表示，Contourlet的基具有長方形的支撐區(qū)間，可以用最少的系數逼近輪廓曲線，最終用類似于輪廓段的基結構線性地逼近原圖像[6，9]，可見Contourlet變換是小波變換的一種改進。

Contourlet變換是用金字塔多方向濾波器組PDFB（Pyramidal Directional Filter Bank）將原始圖像分解成多尺度下多方向子帶圖像的變換[5]。PDFB由一個拉普拉斯塔型濾波器LP（Laplacian Pyramid）和一個多方向濾波器組DFB（Multi-Dirctional Filter Bank）疊加構成[4-9]。Contourlet變換流程分為兩級：多尺度分解和多方向變換。如圖2所示為Contourlet變換流程，首先由LP變換對圖像進行多尺度分解，將圖像的高頻和低頻信息分離開，其中高頻部分包含了大多數要捕獲的奇異點；然后再由DFB將高頻部分的圖像分解為不同方向上的帶通圖像，這時分布在同方向上的奇異點則合成一個系數。

1.2 圖像噪聲系數分布特性分析

在圖像去噪過程中，圖像噪聲系數的分布特性是決定去噪效果好壞的關鍵因素之一，選擇適應噪聲系數分布特性的去噪方法會使去噪效果得到明顯改善。一幅含噪圖像經過Contourlet變換后，噪聲變換系數（Contourlet coefficients）空間發(fā)生了變化，但是系數之間仍然保留著一定相關性，包括尺度內相關性、尺度間相關性、尺度內和尺度間同時相關性等[1，10]。因此，在去噪之前應統(tǒng)計噪聲Contourlet系數的分布特性。文獻[10]中已經統(tǒng)計，對經高斯白噪聲污染的圖像進行小波分解后，其噪聲的小波系數主要集中在細尺度子帶中，且約有96%的噪聲系數集中在最外兩層的子帶中。因此，對高斯噪聲圖像的Contourlet分解系數分布特性的研究可集中在外層子帶中，如圖3所示為Contourlet變換的系數表示。本次實驗中，Contourlet多尺度分解的層級為3層，相應地得到2的3次冪，即8個方向的子帶圖像。endprint

1.3 傳統(tǒng)基于Contourlet變換的圖像去噪法

在利用Contourlet變換去噪之前，首先要創(chuàng)建噪聲圖像。生成噪聲圖像通常采用加性噪聲模型[6]，即在原圖像上疊加隨機噪聲或高斯白噪聲。本文以不同強度的高斯白噪聲作為疊加噪聲進行試驗。模型公式如下：

其中，f（x，y）表示原圖像，g（x，y）為噪聲圖像，ε（x，y）為噪聲。

傳統(tǒng)的Contourlet去噪方法為硬閾值法，該方法將經過Contourlet變換的Contourlet系數按照公式（2）分為兩類，其中C代表變換系數，Th代表事先選定的閾值。當系數絕對值大于等于Th時，說明這部分系數主要由噪聲等高頻信息變換而來，去噪時通常被舍棄；當系數絕對值小于Th時，說明這部分系數主要由原始圖像的低頻信息變換而來，去噪時通常被保留。

圖4是基于Contourlet變換的硬閾值法去噪效果圖，通過觀察圖像可以發(fā)現(xiàn)，硬閾值去噪能很好地保留圖像邊緣等細節(jié)特征的優(yōu)點，但是其缺點也顯而易見。由于硬閾值函數在閾值處不連續(xù)，導致重構圖像信號產生震蕩，因此經硬閾值去噪的圖像會出現(xiàn)局部振鈴和偽吉布斯效應[6-7，16]。

為了克服上述缺點，并能在去除噪聲的同時很好地保留原始圖像的邊緣輪廓特征，本文提出一種既能保留圖像細節(jié)，又能達到相對徹底的去噪效果的方法——基于圖像Contourle變換的非局部Bayes閾值去噪方法。

2 基于Contourlet變換的圖像去噪方法改進

本文對基于Contourlet變換的圖像去噪方法作了進一步改進，提出一種基于圖像Contourlet變換的非局部Bayes閾值去噪方法。該方法去噪過程大致為：①在變換域上對最外層子帶進行自適應Bayes閾值去噪；②將去噪以后的圖像塊進行Contourlet逆變換；③將重構的圖像塊進行非局部均值濾波；④按上述操作依次完成對所有外層子帶的去噪處理。

2.1 自適應Bayes 閾值法的圖像去噪方法

Bayes閾值法可以在一定程度上保留圖像邊緣等細節(jié)特征。本文在傳統(tǒng)Bayes閾值法的基礎上提出一種基于模板的自適應Bayes閾值法，該方法的去噪原理是：在任一方向子帶中選取一定大小的模板，讓模板依次在子帶中移動，每移動一次計算得到一個閾值，并將模板內的變換系數閾值化，直到將該子帶處理完畢。以下為Bayes閾值的求取方法：（1）用絕對中值法求取噪聲標準差[2-3，10]，如公式（3）所示，噪聲標準差σ=Med/0.674 5。

（2）采用公式（4）求取圖像的信號方差：

（3）用噪聲方差和信號標準差求Bayes閾值[6，8，10-11]，如公式（5）所示。

2.2 空間域上的非局部均值濾波去噪方法

非局部均值濾波（Non-Local Means，NLM）是由Buades[13]提出的，該算法擴展了像素的局部相關性假設，認為目標像素不僅與其周圍像素存在相關性，而且與整幅圖像的像素都相關。

非局部均值濾波的原理簡單而言即它采用局部結構相似性定義圖像像素間的差異，也即是當前任一像素的像素值是由與它結構相似的像素加權平均得到的。對于每個像素的權值，該算法采用以該像素為中心的子圖像塊與以當前像素為中心子塊之間的高斯加權歐式距離來計算[12-14]。因此，非局部均值濾波可獲得相對徹底的去噪效果，不僅保護了圖像的結構信息，而且使圖像看起來更平滑，大大提升了視覺效果。

2.3 本文改進方法去噪過程

本文在自適應Bayes 閾值去噪方法的基礎上又疊加了非局部均值濾波，具體步驟為：

Step1 將噪聲圖像進行3層Contourlet分解。

Step2 選取16×16的模板M，依次選取最外層的每一條子帶，將模板M的左上角與該子帶的左上角相對應，對模板大小的分塊按照上文中的式（3）～式（5）計算其Bayes閾值λ，并使用該閾值作去噪預處理。

Step3 按照從上至下、自左向右的順序在該子帶內依次移動模板（見圖5），直到該子帶處理完畢。

Step4 將Bayes預處理后的子帶進行Contourlet逆變換。

Step5 對重構的圖像塊進行NL-Means處理，并轉向Step2，直到所有最外層子帶均處理完畢。

3 實驗結果與分析

3.1 實驗結果

為驗證改進方法的去噪效果，本文選取了大小為512×512像素的Lena、barbara、peppers、liftingbody四幅標準圖像作為測試圖像，并將本文方法與傳統(tǒng)的硬閾值去噪法和Bayes去噪法在強度為20的高斯白噪聲下的去噪結果進行比較，結果如表1所示。

峰值信噪比（PSNR）作為一種評價圖像質量的客觀標準，具有很強的權威性，表2為噪聲強度分別為20、25、30的噪聲圖像經過基于Contourlet變換的硬閾值去噪方法、基于模板的非局部自適應Bayes閾值去噪方法以及非局部硬閾值去噪法和非局部Bayes閾值去噪法去噪之后的結果圖像與原始圖像的PSNR值。

3.2 分析與討論

分析表1和表2可以得到結論，在Contourlet變換中，Bayes閾值法的去噪效果低于硬閾值法，說明在盡可能地保護圖像細節(jié)特征的前提下，Bayes閾值法的去噪能力較硬閾值弱；非局部硬閾值法的PSNR值低于非局部Bayes閾值法的PSNR值，說明 Bayes閾值法比硬閾值法能更好地保護圖像細節(jié)，也說明非局部均值濾波具有很強的去噪能力。此外，本文還計算了不同強度高斯白噪聲圖像直接采用NL-Means去噪的PSNR值，通過與本文方法所得到的PSNR值比較可知，本文算法既保護了圖像細節(jié)特征，又完成了較為徹底的噪聲去除，因而更適用于圖像去噪處理。這是因為自適應的Bayes閾值法具有保護圖像細節(jié)信息的能力，而非局部均值濾波方法的局部塊結構相似性能有效地平滑圖像，也不會導致圖像失真，但是該算法的時間復雜度較直接NL-Means有所增加。endprint

4 結語

本文主要提出了一種基于Contourlet變換的自適應Bayes閾值結合非局部均值濾波的圖像去噪方法。首先介紹了Contourlet變換原理，分析了疊加高斯白噪聲的圖像經變換后噪聲系數的分布特性，并在此基礎上指出了傳統(tǒng)硬閾值去噪的不足，提出了在子帶圖像中以模板為單位的自適應Bayes閾值法，并嘗試疊加非局部均值濾波，最終取得了良好的去噪效果。目前，Contourlet變換已經廣泛應用于圖像的去噪、水印、特征提取、編碼、融合、檢索、增強等領域。本文基于Contourlet變換的圖像去噪改進方法已經過多次試驗，且實驗數據真實可信，是一種行之有效的圖像去噪方法。未來還需要在算法的時間復雜度及計算復雜度方面作進一步優(yōu)化，以盡可能尋找出一種更有效、更便捷的圖像去噪方法。

參考文獻：

[1] S GRACE CHANG，BIN YU，MARTIN VETTERLI.Adaptive wavelet thresholding for image denoising and compression[J].IEEE Transactions on Image Processing，2000 （9）：1532-1546.

[2] DONOHO D L，JOHNSTONE I M.Ideal spatial adaptation by wavelet shrinkage[J].Biometrika ，1994.

[3] DONOHO D L，JOHNSTONE I M.Ideal spatial adapt shrinkage[J].Biometrika，1994.

[4] MINH N DO，M VETTERLI.The contourlet transform：an efficient directional multiresolution image representation[J].IEEE Transaction on Image Processing to appear，2005，14（12）：2091-2106.

[5] MINH N DO，M VETTERLI.Pyramidal directional filter banks and curvelet[C].In Proceeding on Image Processing，Thessaloniki，Greece，2001：158-161.

[6] 李蓓蓓.Contourlet 變換及其在圖像降噪中的應用[D].長春：吉林大學，2007.

[7] 徐華南，劉哲，胡鋼.Contourlet變換及其在圖像去噪中的應用研究[J].計算機應用研究，2009（2）：401-405.

[8] 楊帆.基于Contourlet變換的圖像去噪算法研究[D].北京：北京交通大學，2008.

[9] 戴維，于盛林，孫栓.基于Contourlet變換自適應閾值的圖像去噪算法[J].電子學報，2007（10）：1923-1943.

[10] 傅博，王相海.一種基于細尺度小波系數相關性的圖像去噪方法[J].計算機科學，2008（10）：246-249.

[11] 劉慧，彭良玉.基于貝葉斯閾值的多小波基聯(lián)合去噪[J].微電子學與計算機，2012（7）：121-127.

[12] 吳振靜.基于小波和非局部均值的圖像去噪算法研究[D].長春：吉林大學，2011.

[13] 譚茹，李婷婷，李偉偉，等.圖像去噪的自適應非局部均值濾波方法[J].小型微型計算機系統(tǒng)，2014（1）：137-141.

[14] 王志明，張麗.自適應的快速非局部圖像去噪算法[J].中國圖形圖像學報，2009，14（4）：669-675.

[15] 郭曉霞，楊惠中.小波去噪中軟硬閾值的一種改良折衷法[J].智能系統(tǒng)學報，2008（6）：222-225.

[16] 周逸麗.基于Contourlet的圖像去噪方法研究[D].西安：西安電子科技大學，2012.endprint