陳玉明

（廣東技術(shù)師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院, 廣東 廣州 510665）

Yang系統(tǒng)與Lorenz，Chen系統(tǒng)的光滑不等價(jià)性研究1

陳玉明

（廣東技術(shù)師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院, 廣東 廣州 510665）

很多的三維 Lorenz型混沌系統(tǒng)都具有類似的代數(shù)方程結(jié)構(gòu)，然而它們所表現(xiàn)出來的動(dòng)力學(xué)行為卻不盡相同.基于系統(tǒng)間光滑等價(jià)性的定義，本文分別證明了具有某個(gè)混沌參數(shù)集的 Yang系統(tǒng)，與任意參數(shù)下的Lorenz系統(tǒng)及Chen系統(tǒng)之間均為光滑不等價(jià)的，這說明了Yang系統(tǒng)是一個(gè)獨(dú)立的混沌系統(tǒng)，對其任何動(dòng)力學(xué)行為的研究都是必要的.

Lorenz系統(tǒng)；Chen系統(tǒng)；Yang系統(tǒng)；混沌；光滑等價(jià)

一、引言

自從首個(gè)混沌數(shù)理模型，即Lorenz系統(tǒng)[1]

被發(fā)現(xiàn)以來，尤其是對這個(gè)模型本身，來自不同領(lǐng)域的數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家及工程師們對混沌的產(chǎn)生、混沌系統(tǒng)的特征、分岔、通向混沌的路徑及其它一些非線性科學(xué)中的相關(guān)課題展開了廣泛地研究Lorenz系統(tǒng)進(jìn)行混沌的反控制，促使了Chen系統(tǒng)發(fā)現(xiàn)，

它具有和Lorenz系統(tǒng)不同的特征.Lu進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)了另外一個(gè)新的混沌系統(tǒng)，被稱為Lu系統(tǒng)

該系統(tǒng)可被認(rèn)為是連接Lorenz系統(tǒng)和Chen系統(tǒng)的橋梁除此之外，由 Yang在 2008年所提出的Yang系統(tǒng)

也可以連接Lorenz系統(tǒng)及Chen系統(tǒng)，并可表示從一個(gè)系統(tǒng)到另一個(gè)系統(tǒng)的過渡.在經(jīng)典參數(shù)下，Yang系統(tǒng)具有一個(gè)混沌吸引子、一個(gè)鞍點(diǎn)平衡點(diǎn)及兩個(gè)穩(wěn)定的結(jié)焦平衡點(diǎn).容易看出如下系統(tǒng)

包含了經(jīng)典的Lorenz系統(tǒng)、Chen系統(tǒng)、Lu系統(tǒng)及Yang系統(tǒng)等，這一系統(tǒng)常常被稱為Lorenz型系統(tǒng).如果將上述Lorenz型系統(tǒng)的線性部分及二次部分分成如下形式

關(guān)于Lorenz型系統(tǒng)的研究已經(jīng)獲得了很多廣泛而深入的結(jié)果[9-14].作為Lorenz型系統(tǒng)的特殊情形，Lorenz系統(tǒng)、Chen系統(tǒng)、Lu系統(tǒng)及Yang系統(tǒng)具有非常類似的代數(shù)方程結(jié)構(gòu)，這就會(huì)導(dǎo)致一個(gè)非常基本而有趣的問題：這些系統(tǒng)彼此之間是否等價(jià)？在 2010年，Hou[15]證明了Lorenz系統(tǒng)與Chen系統(tǒng)之間的光滑不等價(jià)性；Lu系統(tǒng)與Lorenz及Chen系統(tǒng)的光滑不等價(jià)性在2013年被Chen[16]所證明.關(guān)于Yang系統(tǒng)與其余系統(tǒng)之間的不等價(jià)性，Chen[16]只從動(dòng)力學(xué)行為差異上進(jìn)行了簡略的說明，而并沒有嚴(yán)格的給出證明.在本文中，將給出Yang系統(tǒng)與其余系統(tǒng)之間的光滑不等價(jià)性證明.

二、光滑不等價(jià)性分析

是兩個(gè)微分方程系統(tǒng)，則有如下關(guān)于光滑等價(jià)性的定義：

注 1：兩個(gè)微分同胚的系統(tǒng)實(shí)際上是一樣的，于是可以認(rèn)為是通過不同坐標(biāo)來表示的同一個(gè)系統(tǒng).例如，兩個(gè)系統(tǒng)對應(yīng)平衡點(diǎn)的特征值是一樣的.這是因?yàn)?，如果是這樣的一對對應(yīng)平衡點(diǎn)，并且分別是對應(yīng)的Jacobian矩陣，于是對方程（6）進(jìn)行微分可得

圖1.Lorenz系統(tǒng)（1）的混沌吸引子相圖：

圖2.Chen系統(tǒng)（2）的混沌吸引子相圖：

圖3.Yang系統(tǒng)（3）的混沌吸引子相圖：

接下來，我們將會(huì)證明在某些混沌參數(shù)下的Yang系統(tǒng)，與任意參數(shù)下的Lorenz及Chen系統(tǒng)都光滑不等價(jià).

即系統(tǒng)（4）的平衡點(diǎn)x 對應(yīng)于系統(tǒng)（5）的平衡點(diǎn)h(x).因此，Yang系統(tǒng)必定要與具有相同數(shù)量平衡點(diǎn)的Lorenz系統(tǒng)之間才可能等價(jià).接下來證明存在某些具有三個(gè)平衡點(diǎn)的Yang系統(tǒng)，它們不與任何同樣具有三個(gè)平衡點(diǎn)的Lorenz系統(tǒng)光滑等價(jià)，其中Yang系統(tǒng)和Lorenz系統(tǒng)的平衡點(diǎn)分別如（9）和（7）所示.

今

證明：假設(shè)存在中的微分同胚，使得 Yang系統(tǒng)c及Chen系統(tǒng)下是光滑等價(jià)的，由類似于定理1的證明可知，Yang系統(tǒng)光滑等價(jià)于一個(gè)具有相同數(shù)量平衡點(diǎn)的 Chen系統(tǒng).接下來證明存在某些具有三個(gè)平衡點(diǎn)的Yang系統(tǒng)，它們不與任何同樣具有三個(gè)平衡點(diǎn)的Chen系統(tǒng)光滑等價(jià)，其中Yang系統(tǒng)和Chen系統(tǒng)的平衡點(diǎn)分別如（9）和（8）所示.

根據(jù)注1可知，有如下等式成立：

[1] LORENZ E N.Deterministic non-periodic flow [J].J.Stmos.Sci, 1963(20) : 130-141.

[2] SPARROW C.The Lorenz Equations: Bifurcations, Chaos, and Strange Attractors [M].New York: Springer.1982.

[3] HIRSH M W, SMALE S, DEVANEY R L.Differential Equations, Dynamical Systems, and an Introduction to Chaos [M].New York: Elsevier Academic Press, 2007.

[4] CHEN G, UETA T.Yet another chaotic attractor [J].Int.J.Bifurcat.Chaos, 1999(9) : 1465-1466.

[5] LU J, CHEN G.A new chaotic attractor coined [J].Int.J.Bifurcat.Chaos, 2002(12) : 659-661.

[6] LU J, CHEN G, CHENG D.Bridge the gap between the Lorenz system and the Chen system [J].Int.J.Bifurcat.Chaos, 2002( 1 2): 2917-2926.

[7] YANG Q, CHEN G.A chaotic system with one saddle and two stable node-foci [J].Int.J.Bifurcat.Chaos, 2008(18) : 1393-1414.

[8] CELIKOVSKY S, CHEN G.On a generalized Lorenz canonical form of chaotic systems [J].Int.J.Bifurcat.Chaos, 2002(12) : 1789-1812.

[9] YANG Q, CHEN G, ZHOU T.A unified Lorenz-type system and its canonical form [J].Int.J.Bifurcat.Chaos, 2006(16) : 2855-2871.[10] LIU Y, YANG Q.Dynamics of a new Lorenz-like chaotic system [J].Nonlin.Anal.: Real World Appl, 2010(11) : 2563-2572.

[11] LIU Y.Closed orbits in the general Lorenz family [J].Int.J.Bifurcat.Chaos, 2011(21): 2583-2586.

[12] LUO Q, LIAO X, ZENG Z.Sufficient and necessary conditions for Lyapunov stability of Lorenz system and their application [J].Sci.China Ser.F-Inf.Sci, 2010(53) : 1574-1583.

[13] VISWANATH D, SAHUTOGLU S.Complex singularities and the Lorenz attractor [J].SIAM Rev, 2010(52) : 294-314.

[14] KIRIKI S, SOMA T.Parameter-shifted shadowing property for geometric Lorenz attractors [J].Trans.Amer.Math.Soc, 2004(4) : 1325-1339.

[15] HOU Z, KANG N, KONG X.etal.On the nonequivalence of Lorenz system and Chen system [J].Int.J.Bifurcat.Chaos, 2010(2) : 557-560.

[16] CHEN Y, YANG Q.The nonequivalence and dimension formula for attractors of Lorenz-type system [J]. Int.J.Bifurcat.Chaos, 2013(2 3): 1350200(12 pages).

[17] KUZNETSOV Y A.Elements of Applied Bifurcation Theory.Third Edit [M].B erlin :Springer, 2004.

[18] YANG L, ZHANG J, HOU X.Nonlinear Systems of Algebraic Equations and Mechanical Theorem Proving [M].Shanghai: Shanghai Scientific and Technological Education Publishing House.(In Chinese).

【責(zé)任編輯：吳躍新】

Research on the Smooth Nonequivalence of Yang System and Lorenz, Chen Systems

CHEN Yuming
(School of Mathematics and Systems Science, Guangdong Polytechnic Normal University, Guangzhou 510665, Guangdong, China)

Many Three dimensional Lorenz-type chaotic systems have similar forms of equation, but their dynamic behaviors are different.In this paper, based on the definition of smoothly equivalence, Yang system with a set of chaotic parameters is proved to be smoothly nonequivalent to Lorenz and Chen systems with any parameter.This means Yang system is an independent chaotic system, the research of all its dynamic behavior is necessary.

Lorenz system; Chen system; Yang system; Chaos; Smooth equivalence

A

1671 - 5934 (2017)03 - 0035 - 06

2017 - 03 - 20

國家自然科學(xué)基金（No.11626068）; 廣東省自然科學(xué)基金（2015A030310424）

通訊聯(lián)系：陳玉明（1987-）, 男, 江西贛州人, 講師, 博士, 研究方向?yàn)槲⒎址匠碳皠?dòng)力系統(tǒng)，E-mail: LKHPZ@126.com