趙春暉，田明華，李佳偉

(哈爾濱工程大學(xué) 信息與通信工程學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150001)

光譜相似性度量方法研究進展

趙春暉，田明華，李佳偉

(哈爾濱工程大學(xué) 信息與通信工程學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150001)

為了進一步分析光譜相似性度量在高光譜圖像處理中的應(yīng)用，從距離、投影等角度充分歸納總結(jié)了現(xiàn)有二元光譜相似度量方法，并分析討論了二元光譜相似度量存在的問題。重點介紹了一種多元光譜相似性測量方法，也稱N維立體光譜角(N-dimensional solid spectral angle, NSSA)方法。NSSA方法從本質(zhì)上突破了傳統(tǒng)的二元光譜角(spectral angle mapping, SAM)僅能計算兩個光譜之間夾角的局限性，具備聯(lián)合計算多元光譜歐氏空間夾角的能力，為評價多元光譜聯(lián)合相似性提供了一種定量化的度量手段。最后，對NSSA方法在高光譜波段選擇及端元提取領(lǐng)域的潛在研究價值和應(yīng)用現(xiàn)狀進行了分析和展望。通過分析表明NSSA方法所具備的特性可更好地實現(xiàn)光譜相似性度量，在高光譜圖像處理領(lǐng)域具有較高的研究價值。

高光譜圖像； 光譜相似性度量； 二元光譜角； N維立體光譜角方法； 多元光譜相似性度量； 波段選擇； 端元提取

隨著成像光譜儀的發(fā)展，高光譜遙感成像技術(shù)得到了廣泛的關(guān)注。該技術(shù)兼顧了成像技術(shù)與光譜技術(shù)的優(yōu)點，主要特點為光譜分辨率“高”，其光譜分辨率達到納米數(shù)量級[1]。典型的高光譜成像光譜儀如美國NASA研制的機載可見光/紅外成像光譜儀(airborne visible/infrared imaging spectrometer, AVIRIS)[2]和Hyperion成像光譜儀[3]，這兩種成像光譜儀的光譜分辨率均可達到10 nm左右，波段數(shù)目分別為224個和242個。光譜分辨率的提升和波段數(shù)目的增多，使高光譜遙感成像技術(shù)能夠獲取連續(xù)型的、具有診斷性的地物光譜特征，并使得獨立依賴光譜特征對地物進行解譯成為了可能[4]。目前，高光譜遙感技術(shù)已被廣泛應(yīng)用到農(nóng)林、環(huán)境、軍事、醫(yī)學(xué)和食品等諸多領(lǐng)域[5-8]。

光譜相似性度量在高光譜數(shù)據(jù)解譯領(lǐng)域發(fā)揮著重要的作用。該技術(shù)的主要目的在于：依托某一特定的光譜相似性度量函數(shù)判定測試光譜(未知類別光譜)與參考光譜(已知類別光譜)之間的相似性并根據(jù)相似性大小對測試光譜的類別屬性進行劃分。從某種意義上講，高光譜數(shù)據(jù)分析的幾個主要研究領(lǐng)域，如異常目標(biāo)檢測、地物分類、混合像元分解等，均以光譜相似性度量為基礎(chǔ)。因而，對現(xiàn)有的光譜相似性度量方法的研究進展進行概括和總結(jié)是具有重要參考價值的。

按照可操作光譜數(shù)目的不同，光譜相似性度量方法可以劃分為：二元光譜相似性度量方法和多元光譜相似性度量方法。二元光譜相似性度量方法，操作對象為兩個光譜，能夠?qū)崿F(xiàn)一個測試光譜sx與一個參考光譜sy之間“一對一”的相似性評價問題；對應(yīng)地，多元光譜相似性度量方法的可操作對象為n個光譜，其中，n≥2，且n為整數(shù)。本質(zhì)上，多元光譜相似性度量方法具備通過單次運算衡量多個光譜之間聯(lián)合相似度的能力。從某種意義上講，二元光譜相似性度量方法可視為多元光譜相似性度量方法在n=2時的特殊情況。

目前，光譜相似性度量方法多為二元光譜相似性度量方法。這類方法應(yīng)用廣泛，同時也顯現(xiàn)出了局限性。相比較而言，多元光譜相似性度量方法逐漸獲得了人們的關(guān)注。

本文首先對一些當(dāng)前主流的、具有代表意義的光譜相似性度量方法進行了歸納，重點介紹了一種多元光譜相似性度量方法——廣義光譜角方法，該方法又稱N維立體光譜角(N-dimensionalsolidspectralangle,NSSA)方法。此外，闡述了若干NSSA方法的重要特性，這些特性將為繼續(xù)深入挖掘NSSA方法在遙感數(shù)據(jù)分析領(lǐng)域的應(yīng)用提供理論依據(jù)。最后，對NSSA方法的應(yīng)用現(xiàn)狀和潛在研究價值進行了分析與展望。

1 二元光譜相似性度量方法

二元光譜相似性度量方法旨在通過某一特定的準(zhǔn)則函數(shù)，定量地計算出一個測試光譜sx與一個參考光譜sx之間的相似程度。

一般來說，一個光譜相似性度量函數(shù)d(·)需滿足以下幾個基本條件[9]，此處以二元光譜相似性度量函數(shù)為例。

1)自反性：d(sx,sx)=0或d(sy,sy)=0；

2)非負性：d(sy,sx)≥0；

3)對稱性：d(sy,sx)≥d(sx,sy)；

4)可識別性：d(sy,sx)=0?sy=sx；

5)不等式特性：d(sy,sx)≤d(sy,sz)+d(sx,sz)。其中，sz為與sx及sy維度相同的光譜向量。

在上述約束條件下，二元光譜相似性度量方法主要可以劃分為：基于距離的光譜相似性度量方法、基于投影的光譜相似性度量方法、基于信息測度的光譜相似性度量方法、基于統(tǒng)計特性的光譜相似性度量方法等。

1.1 基于距離的光譜相似性度量方法

基于距離的光譜相似性度量方法以向量范數(shù)為理論基礎(chǔ)。這類方法將光譜特征假定為歐式空間中的高維向量，維數(shù)等于光譜的波段數(shù)目。進而，光譜相似性大小的度量問題轉(zhuǎn)化為高維向量之間距離大小的度量問題。兩個高維向量之間的幾何距離越大，則光譜之間相似性越低；反之，幾何距離越小，光譜之間相似性越高。

一些典型的基于距離的光譜相似性測度主要包括：

1)曼哈頓距離[10](Manhattan distance，又稱city block distance, CBD):

(1)

曼哈頓距離旨在測量兩個向量在標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)系上絕對軸距離之間的累加和。該距離與坐標(biāo)軸的變動有關(guān)，與兩個向量之間采取何種路徑無關(guān)。曼哈頓距離屬于L1范數(shù)，基于該距離的衍生距離有多種，如：Canberra距離[11]、Gower距離[12]、Soergel距離[13]、Kulczynski距離[11]等。表1給出了上述距離對應(yīng)的具體計算方法。

2)歐幾里德距離[14](Euclideandistance,ED):

(2)

歐幾里德距離是光譜相似性度量方法中較常用的一種距離。歐幾里德距離的計算結(jié)果與光譜的幅值差異直接相關(guān)，對光譜形狀差異并不敏感。這一特點成為ED方法在高光譜數(shù)據(jù)分析應(yīng)用中的主要障礙[15]。

有時為了便于分析，也常常使用歸一化的歐幾里德距離(normalizedEuclideandistance,NED)[16]。

NED方法將光譜sx及光譜sy分別歸一化為N(sx)=sx/norm(sx)及N(sy)=sy/norm(sy)。此后，計算N(sx)與N(sy)之間的歐幾里德距離。NED的數(shù)值變化區(qū)間規(guī)范到[0,1]。研究顯示，ED及NED方法的光譜相似性度量結(jié)果接近，NED具有更強的魯棒性[17]。

表1 基于L1范數(shù)衍生的相似性測度

為了改進ED對光譜幅值過于敏感的缺點，L. Ming等提出了加權(quán)形式的ED[18]方法，給出了若干種加權(quán)矩陣的選取方式，包括：基于樣本均值逆矩陣的加權(quán)矩陣、基于光譜方差逆矩陣的加權(quán)矩陣和基于Gardner矩陣的加權(quán)矩陣；A Rammal等利用Davies-Bouldin 指數(shù)[19]對感興趣的波段特征進行加權(quán)[20]。Davies-Bouldin指數(shù)描述了兩個類別之間的可分性指數(shù)，加權(quán)指數(shù)與可分性指數(shù)成

正比；B. Lu等指出可以利用圖像的空間信息對ED距離進行加權(quán)[21]，空間信息的計算依賴于像素之間的位置關(guān)系。研究顯示，加權(quán)形式的ED光譜相似性度量方法的準(zhǔn)確度優(yōu)于傳統(tǒng)ED的光譜相似度量方法[22]。

本質(zhì)上，歐幾里德距離屬于L2范數(shù)?；贚2范數(shù)進一步衍生了均方根距離[23]、卡方距離[11]、German-McClure函數(shù)等，具體計算方法如表2所示。

表 2 基于L2范數(shù)的衍生的相似性測度

3)切比雪夫距離[24](Tchebyshev distance, TD)：

(3)

(4)

閔可夫斯基距離屬于歐式距離的推廣形式。曼哈頓距離、歐幾里德距離、切比雪夫距離實際上可視為閔可夫斯基距離中p=1、p=2及p=∞時的特殊形式。

5)馬氏距離[26](Mahalanobisdistance,MaD)：

(5)

MaD本質(zhì)上可以看成協(xié)方差加權(quán)形式的ED距離。當(dāng)協(xié)方差矩陣Σ為對角陣時，MaD距離轉(zhuǎn)變?yōu)檎?guī)化的ED距離。ED距離在數(shù)據(jù)先驗概率相等的情況下能夠得到理想的結(jié)果。相比較而言，MaD引入的協(xié)方差矩陣客觀上承認(rèn)了數(shù)據(jù)的先驗概率不均等時的差異性。

6)漢明距離[27](Hamming distance, HD)

漢明距離屬于一種基于編碼的距離方法。它描述了兩個等長字符串之間差異字符的數(shù)目。漢明距離滿足非負、唯一、對稱性及三角不等式特性。兩個光譜之間漢明距離越大，其相似度越低。

基于距離的光譜相似性度量方法與光譜幅值大小直接相關(guān)，對光譜形狀差異變化不敏感。兩個存在形狀差異的光譜，其距離測度可能相近[28]。

理論上，歐幾里德空間中不同坐標(biāo)軸(維度)之間是相互正交的。然而，高光譜不同波段之間通常具有較高的相關(guān)性，無法達到正交關(guān)系。因而，高光譜數(shù)據(jù)波段之間的相關(guān)性是造成這類光譜相似性度量方法誤差的主要原因。

1.2 基于投影的光譜相似性度量方法

在遙感數(shù)據(jù)分析中，相比于光譜幅值差異，研究者更加關(guān)心光譜的形狀差異?；谕队暗墓庾V相似性度量方法在一定程度上能夠反映出光譜形狀差異，這一特性對高光譜數(shù)據(jù)分析是十分重要的。

光譜角(spectral angle metric，SAM)相似性測度是一種最具代表性的基于投影的光譜相似性度量方法[29]。SAM應(yīng)用廣泛，該算法目前已經(jīng)被集成到ENVI (environment for visualizing images)軟件[30]及ArcGIS軟件[31]中被研究者普遍使用。

SAM值對應(yīng)測試光譜向量sx和參考光譜向量sy之間的余弦夾角，計算公式為

dSAM(sx,sy)=

arccos(/‖sx‖×‖sy‖)=

(6)

值得注意的是，SAM方法具有乘性因子不變性，即存在：

dSAM(sx,sy)=

arccos(<αsx,βsy>/‖αsx‖×‖βsy‖)=

dSAM(αsx,βsy)

(7)

式中：α及β為乘性因子，且0<α,β≤1。

由于光譜曲線的幅值及形狀分別對應(yīng)向量在歐幾里德空間中的長度和方向，乘性因子僅引起向量長度的變化并不改變向量的方向。因而，SAM方法對光譜形狀差異敏感，但對光譜幅值差異不敏感。該特點使得SAM能夠克服遙感數(shù)據(jù)中來自光照強度差異、地形(斜坡)、陰影、物質(zhì)形狀及顆粒大小等因素引起的光譜幅值變異。

SAM方法被廣泛應(yīng)用于光譜角填圖研究中。T.Arvelyna等將SAM方法與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法相結(jié)合，對納米比亞南部地區(qū)的礦物分布進行了反演[32]；M.A.Cho等使用多端元光譜角填圖方法對薩瓦納地區(qū)的熱帶樹種進行了類別分析[33]；此外，Z.B.Rabah等建立了基于SAM測度的高光譜混合像元分析模型，從而降低來自陰影、光照不均勻等因素在光譜解混研究中造成的誤差[34]。

為了進一步利用SAM方法挖掘高光譜數(shù)據(jù)的非線性，G.Camps-Valls提出了核光譜角填圖(kernelspectralanglemapper,KSAM)方法[35]。KSAM通過引入核函數(shù)，利用向量的高階統(tǒng)計特性對光譜之間的相似程度進行衡量。KSAM方法一方面繼承了光譜向量在原始特征空間中的特性，同時，挖掘了光譜之間的非線性特征。此外，KSAM方法可以設(shè)定多種核函數(shù)，具有較高的可適應(yīng)性；X.Liu等分別運用SAM及KSAM方法對真實地物數(shù)據(jù)進行了分類。結(jié)果顯示，KSAM方法的分類精度高于SAM方法的分類精度[36]。

以SAM方法為核心，E.Angelopoul等提出了光譜梯度角(spectralgradientangle，SGA)測量方法[37]。該方法首先需要計算測試光譜向量sx及目標(biāo)光譜向量sy對應(yīng)的梯度向量，具體表示為

(8)

衡量兩個梯度向量之間的夾角大小：

(9)

SGA方法考慮了不同波段之間光譜反射率的傾斜程度，對光譜的幾何畸變、入射光強度的變異具有較強的魯棒性[37]。

C.I.Chang等提出了基于正交投影散度(orthogonalprojectiondivergence,OPD)的光譜相似性測度[38]。OPD算子通過衡量兩個光譜之間投影的殘余誤差判定光譜之間的相似性，具體計算為

(10)

兩個光譜之間的OPD值越大，其光譜相似性越低。

H.Su等將OPD算法應(yīng)用于波段選擇領(lǐng)域，對相似度較高的波段進行移除，從而降低波段之間的冗余[39]；I.Haq等將OPD與波段的標(biāo)準(zhǔn)差(standarddeviation,STD)相結(jié)合，對遙感數(shù)據(jù)中的異常目標(biāo)與測試像元光譜進行相似性評價，提升了目標(biāo)檢測精度[40]。

1.3 基于信息測度的光譜相似性度量方法

另一種典型的光譜相似性度量方法為基于信息測度的光譜相似性度量方法。其中，具有代表性的為光譜信息散度(spectral information divergence，SID)方法。

SID方法由C. I. Chang等提出[41-42]。該方法將光譜相似性評價問題轉(zhuǎn)換為兩個光譜向量概率之間的冗余度評價問題。每個光譜向量均可以視為具有概率統(tǒng)計特性的信息源。具體地，測試光譜sx與參考光譜sy的概率可以描述為

(11)

從光譜的概率描述角度出發(fā)，單個光譜的熵可以通過求取各個波段信息量的均值給出，描述為

(12)

進一步，可計算出概率統(tǒng)計量sx與概率統(tǒng)計量sy的相對熵(relativeentropy,RE)，又稱KL散度(Kullback-Leiblerdivergency,KLD)，表示為

(13)

對應(yīng)地，概率統(tǒng)計量sy與概率統(tǒng)計量sx的相對熵表示為

(14)

最后，根據(jù)光譜之間的互熵可得到光譜的信息散度(spectralinformationdivergency)。

(15)

可以看出，光譜之間的相對熵不滿足對稱性，即D(sx‖sy)≠D(sy‖sx)。然而，光譜之間的SID值滿足對稱性，即存在：dSID(sx,sy)=dSID(sy,sx)。從上述分析中可以看出，SID方法通過衡量光譜之間的互信息大小確定兩條光譜之間的相似程度。SID值越高，則光譜之間的相似性越低；反之，則光譜之間的相似性高。研究顯示，基于SID方法的光譜相似性度量效果優(yōu)于SAM及ED方法的光譜相似性度量效果[49]。

近年來，一些學(xué)者提出了改進形式的SID方法，其中比較典型的有：Y.Du等提出了SID方法與SAM方法相結(jié)合的光譜相似性測度手段[43]。具體的結(jié)合方式為兩個光譜向量SID值與SAM值的簡單乘積形式。實驗結(jié)果顯示，這種將SID與SAM混合的光譜相似性測量效果優(yōu)于獨立使用SAM或SID方法；張修寶等提出了SID與SGA相混合的光譜相似性測量方法[44]，該方法兼顧了SGA反映光譜局部差異特性的能力和SID反映光譜整體形狀相似特性的優(yōu)勢；張修寶等進一步挖掘了基于梯度的信息散度的光譜識別方法[45]。該方法使用梯度向量之間的SID值替換光譜向量之間的SID值。研究顯示，這種混合式的SID方法具有較高的光譜區(qū)分能力；類似地，吳浩等將光譜相關(guān)角與SID相結(jié)合，完成了遙感圖像的蝕變信息進行提取[46]，得到了較好的效果。

1.4 基于統(tǒng)計特性的光譜相似性度量方法

一類光譜相似性度量方法從統(tǒng)計變量的角度出發(fā)。其中，光譜相關(guān)系數(shù)測度(spectral correlation measure, SCM) 屬于該類型中具有代表性的光譜相似性度量方法。

SCM方法以隨機變量的統(tǒng)計特性為理論基礎(chǔ)，借助光譜之間的相關(guān)性大小對光譜相似性進行評價[47-48]，具體的計算公式表示為

(16)

式中：r(sx,sy)=σ(sx,sy)/σ(sx)σ(sy)，σ(sx,sy)為光譜向量sx與sy的協(xié)方差，σ(sx)與σ(sy)分別對應(yīng)sx和sy的標(biāo)準(zhǔn)差。

SCM值的大小反映了兩個光譜之間的獨立程度：dSC(·)值越低，測試光譜與參考光譜之間的差異性越強；反之，dSC(·)值越高，兩個光譜之間的相似度越高。SCM方法在光譜相似性測量中并不常用，這是由于兩個幅值差異較大、輪廓接近的光譜其SCM值可能較高，致使光譜識別效果不理想。有時，為了降低噪聲的影響，歸一化的光譜相關(guān)性系數(shù)也被用于光譜相似性度量中[42]。

此外，F(xiàn).V.D.Meer等提出了交叉相關(guān)光譜匹配(crosscorrelogramspectralmatching,CCSM)方法[49]。不同于傳統(tǒng)的光譜相似性度量方法，CCSM方法引入了光譜之間相對滑動的概念。

記參考光譜sy沿波長數(shù)值減小的方向移動一個波長為K=-1，沿波長數(shù)值增大的方向移動一個長記為K=+1。dCCSM(sx,sy,K)的取值為兩個光譜在波長重疊區(qū)域內(nèi)的交叉相關(guān)系數(shù)，計算公式為

(17)

式中：cov(sx,sy)為光譜向量sx與sy的協(xié)方差，σ(sx)與σ(sy)分別對應(yīng)sx和sy的標(biāo)準(zhǔn)差。

CCSM方法計算出一系列K取不同光譜相對位移時的交叉相關(guān)系數(shù)，將這些dCCSM(sx,sy,K)值進行連線，可以得到測試光譜與參考光譜之間的交叉相關(guān)特性曲線。CCSM方法對光譜幅值變異不敏感，具有良好的抗噪聲性能。重要的是，交叉相關(guān)曲線的峰值點常常指示了光譜吸收特征的位置[49]。這一特點是其他相關(guān)性相似度量方法不具備的。

1.5 二元光譜相似性度量方法的新思想

近年來，為了進一步提高光譜相似性度量的準(zhǔn)確性，學(xué)者們挖掘了多種光譜相似性度量策略[50]，典型的包括：D. Peijun等提出了基于集合操作(set operations)和光譜多邊形(spectral polygon)操作的光譜相似性度量方法[51]。該方法將光譜相似性比較問題轉(zhuǎn)化為兩個光譜多邊形之間的相似性比較問題。文獻[51]指出，物質(zhì)的光譜特征曲線與波長坐標(biāo)軸圍成不規(guī)則光譜多邊形。其中，每兩個相鄰波段與波長坐標(biāo)軸圍成子多邊形。將這些多邊形的面積假定為集合，通過使用集合操作對光譜多邊形的相似性進行識別。該方法運算復(fù)雜度低，在精度要求不高的情況下能夠?qū)崿F(xiàn)光譜相似性快速判定；S. Feng等使用小波理論對光譜特征進行識別[52]。研究指出，小波變換的低頻分量顯示了光譜的細節(jié)特征，高頻分量則對應(yīng)了光譜的輪廓特征。據(jù)此，可以根據(jù)小波變換后的系數(shù)矩陣對光譜相似性進行識別；此外，Gabor變換[53]、流形分析[54]等理論也被應(yīng)用到光譜相似性研究中。

1.6 二元光譜相似性度量方法存在的主要問題

從上述分析可以看出，目前主流的光譜相似性測度均為二元光譜相似性測度(binary spectra similarity metric, BSSM)方法。這些二元光譜相似性測度能夠定量地評價一個測試光譜與一個參考光譜之間的相似性，完成“一對一”的評價任務(wù)。

二元光譜相似性度量方法在處理多元光譜相似性評價問題時，均不能通過單次運算給出定量評價結(jié)果。這類方法不得不采用多次計算，采用窮盡式的方式對光譜進行兩兩比較。這種方式本質(zhì)上屬于一種間接性的評價方式，得到的評價結(jié)果與真實的多元光譜相似性存在差距，未從根本上解決多元光譜相似性評價問題。

在高光譜數(shù)據(jù)分析領(lǐng)域，用于度量光譜之間相似性的二元光譜相似性度量方法易于推廣到描述兩個類別之間可分性的研究及應(yīng)用中。圖1(a)展示了兩個類別在不同波段空間中的類別可分性。二元光譜相似性測度通過計算類別之間的幾何距離或張角，判定類別之間的相似性。相似性越低，可分性越好，也更加利于高光譜數(shù)據(jù)分析。圖1中，第二行各子圖的類別可分性(相似性)明顯高于(低于)第一行各子圖之間的類別可分性(相似性)。

然而，當(dāng)類別數(shù)目為3或者更多時，多元光譜相似性測度的需求便顯現(xiàn)出來，如圖1(b)和(c)所示，即一個多元光譜相似性測度需要聯(lián)合度量多個光譜之間的相似程度。對應(yīng)地，這種多元光譜相似性度量方法可以推廣到多個類別之間可分性的描述。圖1顯示了在不同波段空間中，類別之間的可分性存在差異。這也進一步揭示出，多元光譜相似性測度方法的潛在價值。

圖1 類別可分性示意圖Fig.1 Class separability schematic

2 多元光譜相似性度量方法

一個性能優(yōu)良的多元光譜相似性測度方法不僅需要滿足上文中指出的自反性、非負性、對稱性、可識別性等基礎(chǔ)特性，還應(yīng)該具備如下能力：

1)物理意義簡明；

2)對光譜形狀差異敏感；

3)能夠通過單次運算定量衡量多元光譜之間的聯(lián)合相似性。

其中，一個光譜相似性測度物理意義越簡明，其可接受程度越高，從而便于推廣使用；對光譜形狀差異敏感則指示了該光譜相似性測度在高光譜數(shù)據(jù)解譯領(lǐng)域的應(yīng)用潛力。由于高光譜數(shù)據(jù)中不同類別物質(zhì)的光譜主要表現(xiàn)為光譜形狀上的差異。因而，識別出形狀上存在差異的光譜比識別出幅值上存在差異的光譜在遙感數(shù)據(jù)處理領(lǐng)域顯得更加重要。經(jīng)典的SAM方法也正是憑借該特點，在高光譜數(shù)據(jù)分析領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用；通過單次運算給出定量結(jié)果指示出多元光譜相似性測度的結(jié)果應(yīng)該是直接求解，而非間接求解。這也揭示出多元光譜相似性測度的計算結(jié)果反映的是光譜之間的聯(lián)合相似性。

近年來，M. Tian等提出了一種多元光譜相似性測度(multiple spectra similarity metric, MSSM) 方法，即將SAM推廣成廣義光譜角形式，又稱N維立體光譜角(N-dimensional solid spectral angle, NSSA)[55]。與二元光譜相似性測度明顯不同的是，NSSA反映了光譜之間的聯(lián)合相似度，具有特殊的物理意義和參考價值。本節(jié)對NSSA方法進行了介紹，并歸納了NSSA方法的具有代表性的物理屬性。這些重要特性將為NSSA在遙感數(shù)據(jù)分析領(lǐng)域的深入研究提供理論依據(jù)。

2.1 N維立體光譜角方法

設(shè)端元矩陣E=[e1e2…ei…ej…en]，其中，ei與ej分別為第i個與第j個端元列向量，則該n個端元矩陣構(gòu)成的N維立體光譜角(N-dimensionalsolidspectralangle,NSSA)表示為[55-56]

(18)

式中：n=2,3,4,…;NSSA(?n,E)表示由n個端元構(gòu)成的矩陣E對應(yīng)的立體光譜角；積分區(qū)域S為單位超球面Sn-1對應(yīng)的正象限區(qū)域；V=[v1v2v3…vi…vn]T，vi>0為笛卡爾極坐標(biāo)系中單位超球面上的n維球面參數(shù)向量，表示為

(19)

ds為n-1維單位超球面Sn-1上的面積微元，具體展開式為

(20)

綜上，式(20)可以進一步推導(dǎo)得以下形式:

(21)

可以看出：1)數(shù)學(xué)上，NSSA(?n,E)對應(yīng)于n-1維歐式空間單位超球面Sn-1上的多重積分，積分重數(shù)為n-1；2)幾何上，NSSA(?n,E)描述了多元向量矩陣E=[e1e2…ei…ej…en]構(gòu)成的凸面錐Cn與n-1維歐式空間單位超球面Sn-1的交集大??；3)光譜分析角度，NSSA(?n,E)描述了光譜矩陣E=[e1e2…ei…ej…en]中各個光譜向量之間形狀上的差異。與二元光譜相似性度量方法顯著不同的是，NSSA的計算結(jié)果描述了參與計算的n個光譜之間的聯(lián)合相似度。

2.2 NSSA方法的主要特性

N維立體光譜角本質(zhì)上屬于多元光譜相似性度量準(zhǔn)則(multiple spectral similarity metric, MSSM)。對應(yīng)于二元光譜相似性度量準(zhǔn)則，NSSA滿足以下基本性質(zhì)：

1)非負性：d(e1,e2,…,ei,…,ej,…,en)≥0，當(dāng)且僅當(dāng)ei=ej，i≠j時等號成立；

2)對稱性：

其中i≠j；

3)不等式關(guān)系：

式中m為與ei維數(shù)相等的光譜列向量。

除了上述基本性質(zhì)外，NSSA還具有以下重要性質(zhì)[57]。

2.2.1 乘性因子不變性

一般地，二元光譜相似性測度SAM具有乘性因子不變性，即對參考光譜向量sx和測試光譜向量sy存在：

(22)

式中：α與β分別為光譜sx與sy對應(yīng)的乘性因子，且α>0，β>0。

與SAM相似，NSSA具有乘性因子不變性，即滿足：

(23)

2.2.2 非可加性

NSSA的非可加性描述了不同波段集合構(gòu)成的n維立體光譜角之間的不可加關(guān)系，具體表示為

NSSA(?n,Ea+b)≠NSSA(?n,Ea)+NSSA(?n,Eb)

(24)

2.2.3 非單調(diào)性

數(shù)學(xué)上，如果一個相似性測度函數(shù)d(·)的值不隨操作光譜向量維數(shù)的增加而增加，則稱該相似性測度函數(shù)是非單調(diào)的。

NSSA為非單調(diào)的相似性測度函數(shù)，即存在：

NSSA(?n,Ea+1)≠NSSA(?n,Ea)+NSSA(?n,E1)

(25)

2.2.4 波段序列無關(guān)性

(26)

(27)

2.3 NSSA方法的物理意義及潛在的應(yīng)用價值

從上述分析中可以看出，NSSA將傳統(tǒng)的二元光譜向量相似性測度SAM方法推廣到了高維歐氏空間，突破了SAM僅能度量二元光譜相似性的局限性。NSSA方法不受測試光譜向量數(shù)目n及波段數(shù)目L的限制，能夠通過單次運算求解n元光譜向量在高維歐幾里德空間的夾角，并將此夾角大小作為n元光譜向量的相似性評價指標(biāo)。NSSA方法為聯(lián)合評價多元光譜相似性評價提供了參考手段，其所具備的乘性因子不變性也指示出該方法對形狀存在差異的光譜敏感，因而，其在高光譜遙感數(shù)據(jù)解譯領(lǐng)域具備較高的可研究價值。

M. Tian等以NSSA方法為理論基礎(chǔ)，提出了以光譜為面向?qū)ο蟮牟ǘ芜x擇方法[57-58]。這種以光譜為面向?qū)ο蟮牟ǘ芜x擇方法充分挖掘了NSSA的非可加性、非單調(diào)性和波段序列無關(guān)性，在兼顧了光譜吸收特征提取的同時，去除了冗余波段，提升了數(shù)據(jù)解譯的精度。趙春暉等進一步提出了基于最大化廣義光譜角的端元提取方法[59]。獲益于NSSA方法的乘性因子不變性，該方法能夠準(zhǔn)確找到幅值存在變異的端元。

3 結(jié)論與展望

1)研究核函數(shù)形式多核函數(shù)形式的廣義光譜角方法。核函數(shù)能夠?qū)⒌途S空間線性不可分的數(shù)據(jù)集通過某種非線性映射到高維特征空間實現(xiàn)線性可分。高光譜數(shù)據(jù)本身存在維數(shù)災(zāi)難問題，核函數(shù)能夠提升數(shù)據(jù)在高維空間的可區(qū)分性。另外，由于 NSSA的計算過程中涉及了向量之間的內(nèi)積運算，該特點使其更容易推廣到核空間形式。因而，研究核函數(shù)形式的廣義光譜角具有一定的潛在價值。可以預(yù)見，核廣義光譜角相比于現(xiàn)有的廣義光譜角將具有更強的光譜區(qū)分性能。

2)挖掘人工智能搜索策略相結(jié)合的基于NSSA的波段選擇策略。高光譜數(shù)據(jù)的波段選擇問題本質(zhì)上屬于海量數(shù)據(jù)的尋優(yōu)問題。人工智能方法涉及了信息論、計算機科學(xué)、數(shù)學(xué)、控制理論、不定性理論、推理、機器學(xué)習(xí)等多學(xué)科，其本質(zhì)是對人的思維信息過程的模擬。因而，挖掘人工智能搜索與 NSSA方法相結(jié)合的波段選擇方法，一方面能夠解決搜索過程中的收斂問題、局部最優(yōu)問題；另一方面，能夠充分發(fā)揮NSSA方法同時處理多元光譜相似性的優(yōu)點。

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本文引用格式：

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Research progress on spectral similarity metrics

ZHAO Chunhui, TIAN Minghua, LI Jiawei

(College of Information and Communication Engineering, Harbin Engineering University, Harbin 150001, China)

Spectral similarity metrics are important in the field of hyperspectral data analysis. To further analyze their application in hyperspectral image processing, the current binary spectral similarity metrics method based on distance or projection was summarized. The problems in the binary spectral similarity metrics were analyzed and discussed. Then, this study chiefly introduced a multiple spectral similarity metric called N-dimensional solid spectral angle (NSSA). The NSSA method breaks through the limitation of the traditional binary spectral angle mapping in essence, which can not only calculate the angle between two spectra but also the angle constructed by multiple spectra jointly in Euclidean space. The method provides a quantitative measure to evaluate the joint similarity of multivariate spectra. The potential research value and applications of the NSSA method in hyperspectral band selection and endmembers extraction were analyzed and forecasted. The analysis indicates that the NSSA method can better realize the spectral similarity measure and has high research value in the field of hyperspectral imaging process.

hyperspectral imagery; spectral similarity metrics; binary spectral angle mapping; N dimensional solid spectral angle; multiple spectra similarity metric; band selection; endmember extraction

2016-12-19.

日期：2017-04-28.

國家自然科學(xué)基金項目(61405041，61571145)；黑龍江省自然科學(xué)基金重點項目(ZD201216)；哈爾濱市優(yōu)秀學(xué)科帶頭人基金項目(RC2013XK009003).

趙春暉(1965-), 男, 教授, 博士生導(dǎo)師.

趙春暉，E-mail: zhaochunhui@hrbeu.edu.cn.

10.11990/jheu.201612063

TN911.73

A

1006-7043(2017)08-1179-11

網(wǎng)絡(luò)出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/23.1390.u.20170428.1622.064.html