謝經(jīng)緯，陳萬(wàn)春

基于概率模型的攻防效能估算與仿真分析

謝經(jīng)緯，陳萬(wàn)春

（北京航空航天大學(xué)宇航學(xué)院，北京，100191）

建立了一個(gè)用于計(jì)算彈道導(dǎo)彈突防效能的概率模型，根據(jù)導(dǎo)彈攻防對(duì)抗中以事件概率、而非以具體結(jié)果為指標(biāo)的評(píng)判方式，估算實(shí)現(xiàn)突防目的所需要的彈道導(dǎo)彈數(shù)量，考慮防御系統(tǒng)的可靠性問(wèn)題，以及彈頭可能采取的對(duì)抗措施。最后通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)的方法予以驗(yàn)證，并對(duì)結(jié)果進(jìn)行分析，為實(shí)際作戰(zhàn)部署和規(guī)劃提供有價(jià)值的參考。

概率模型；導(dǎo)彈突防；效能估算；辨識(shí)概率

0 引 言

彈道導(dǎo)彈作為一種重要的威懾力自問(wèn)世以來(lái)，引起各國(guó)的廣泛關(guān)注，因此相應(yīng)地出現(xiàn)了導(dǎo)彈防御技術(shù)。在導(dǎo)彈攻防對(duì)抗研究中的一個(gè)主要內(nèi)容就是雙方的作戰(zhàn)目標(biāo)以及資源上的消耗。20世紀(jì)90年代以來(lái)，國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)導(dǎo)彈防御系統(tǒng)的效能進(jìn)行了深入研究：Larson系統(tǒng)地分析了多層次導(dǎo)彈防御體系中的關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)以及優(yōu)化問(wèn)題[1]；Wilkening基于概率模型提出以“零突防”為指標(biāo)的防御效能估算方法[2]；Menq利用Markov鏈優(yōu)化了多層防御系統(tǒng)的效費(fèi)比問(wèn)題[3]；而Kaminer則專注于防御系統(tǒng)各層次之間的相關(guān)性[4]；楊曉凌在目標(biāo)識(shí)別、選擇和攔截概率不確定的情況下，研究了攔截彈分配模式的優(yōu)化問(wèn)題[5]。

隨著導(dǎo)彈防御技術(shù)的不斷發(fā)展，彈道導(dǎo)彈的威懾作用受到削弱，因此研究突防策略及其效能十分必要。吳鈺飛在不同的攔截模式下，分階段探討了彈道導(dǎo)彈突防過(guò)程中誘餌的影響[6]；吉莉利用伯努利實(shí)驗(yàn)原理，分析了彈道導(dǎo)彈突破多層次防御系統(tǒng)的各種措施，并考慮了誘餌因素[7]；高恩宇建立了目標(biāo)識(shí)別和彈頭突防的概率模型，設(shè)計(jì)了不同攔截模式下的估算方法[8]。

當(dāng)前已有的研究成果是事先設(shè)定誘餌的識(shí)別概率，然后將目標(biāo)數(shù)量作為仿真的輸入，得出一定條件下突防/攔截的概率。相比前者不同的是，本文基于概率模型，以彈頭成功突防作為任務(wù)指標(biāo)，提出進(jìn)攻方需要投入的彈頭和誘餌的計(jì)算方法，針對(duì)導(dǎo)彈防御系統(tǒng)的特性與限制，闡明誘餌掩護(hù)彈頭的機(jī)理，并借助大樣本的仿真對(duì)抗予以驗(yàn)證。

1 對(duì)導(dǎo)彈防御系統(tǒng)的設(shè)定

由于導(dǎo)彈防御系統(tǒng)的工作流程涉及到探測(cè)、識(shí)別、跟蹤、發(fā)射、攔截、評(píng)估等多個(gè)環(huán)節(jié)，并且由雷達(dá)/紅外、指揮控制、火力單元、攔截彈等多個(gè)子系統(tǒng)組成，復(fù)雜程度相當(dāng)高。為了簡(jiǎn)化，引入共模故障的概念，將攔截彈發(fā)射前的系統(tǒng)可靠度歸結(jié)為一個(gè)參數(shù)PTrack，表示對(duì)一個(gè)目標(biāo)完成探測(cè)、識(shí)別并持續(xù)追蹤的概率[2]。

類似的，將攔截彈的作戰(zhàn)效能也歸結(jié)為一個(gè)參數(shù)k，即單發(fā)攔截率（Single-shot Probability of Kill，SSPK），表示從發(fā)射、制導(dǎo)到摧毀目標(biāo)的概率。

本文將防御方的任務(wù)指標(biāo)描述為摧毀所有進(jìn)攻彈頭的概率P(0)。假設(shè)采取集中分配的模式，一次發(fā)射I顆攔截彈攻擊所有目標(biāo)，可以推導(dǎo)出當(dāng)W個(gè)彈頭來(lái)襲時(shí)，防御系統(tǒng)準(zhǔn)確跟蹤并攔截全部彈頭的概率為

對(duì)式（1）進(jìn)行變換，防御系統(tǒng)對(duì)攔截彈數(shù)量的需求可以寫(xiě)為[2]

2 進(jìn)攻彈效能估算

本文僅考慮防御方集中發(fā)射攔截彈的模式，突防概率指標(biāo)設(shè)為P(≥1)=1?P(0)，即至少有一顆彈頭突防。根據(jù)式（2），可以看出降低P(0)的關(guān)鍵點(diǎn)有3處：a）增加進(jìn)攻彈頭的數(shù)量W；b）采用突防措施壓低防御方的跟蹤能力PTrack；c）降低攔截彈的SSPK。

2.1 彈頭不全部被追蹤

如果有足夠的情報(bào)，可以掌握防御系統(tǒng)探測(cè)、跟蹤、識(shí)別目標(biāo)的總體概率PTrack，或者通過(guò)對(duì)抗手段將PTrack限制在一定的水平，就可以利用式（2）的內(nèi)在性質(zhì)P(0)≤PTWrack，把突防失敗的概率P(0)降低到期望水平。假設(shè)PTrack上限為PTrack，并且有：

定義：

只要彈頭的數(shù)量達(dá)到或超過(guò)W時(shí)，就能夠以1?P(0)的概率保證至少有1顆彈頭不被跟蹤而直接突防。這相當(dāng)于飽和攻擊的一種體現(xiàn)。

如果防御方跟蹤目標(biāo)的能力很高，或者情報(bào)不足難以確定其水平，出于保守只好假設(shè)PTrack=1，也就是說(shuō)所有彈頭都會(huì)被防御系統(tǒng)準(zhǔn)確識(shí)別并跟蹤。

2.2 彈頭不全部被攔截

當(dāng)攔截彈的SSPK較高或者進(jìn)攻方對(duì)突防概率P(≥1)要求苛刻（即容忍的突防失敗的概率P(0)較?。r(shí)，可能出現(xiàn)下面的情況：代入防御方所擁有的攔截彈個(gè)數(shù)I后，

這表明即使W=I時(shí)，仍不能滿足要求。然而假設(shè)每顆攔截彈只能應(yīng)對(duì)一個(gè)目標(biāo)，則W=I +1是一定能夠突防的，換而言之，防御方需要一個(gè)潛在條件是I≥W。這樣就可以分情況來(lái)估計(jì)所需彈頭的數(shù)目：

式中 ()F I無(wú)法用解析函數(shù)來(lái)表示，是W滿足式（2）在TrackP=1情況下的解。這里需要確保W是唯一存在的，證明過(guò)程如下[9]：

b）當(dāng)P(0)＜1，滿足g(+∞)=0時(shí)，在式（2）的第2種情況下，又有：

由于單調(diào)性，則存在唯一解x=1W∈(1I,+∞)，亦即W∈(0,I)，使得：

此時(shí)：

也就是式（2）在PTrack=1下的形式。計(jì)算W的一種方法就是迭代求近似解，設(shè)初值為W0=I，代入下式中：

當(dāng)滿足條件P(0)＞(1?k)I時(shí)，序列{Wi}是收斂到唯一解W的。

3 誘餌效應(yīng)

防御系統(tǒng)是依靠誘餌和彈頭在信號(hào)特征上的區(qū)別（如紅外輻射、電磁波等）來(lái)辨識(shí)目標(biāo)的。這可以描述為一對(duì)信號(hào)閾值的上下限，稱作識(shí)別區(qū)間[a, b]，凡是信號(hào)值落在該區(qū)間內(nèi)的目標(biāo)，就被識(shí)別為彈頭，反之則從目標(biāo)序列中剔除。但實(shí)際上，防御系統(tǒng)對(duì)彈頭和誘餌的差異所知有限，特別是進(jìn)攻方有意混淆二者的信號(hào)特征時(shí)，防御方只好放寬識(shí)別區(qū)間來(lái)確保跟蹤所有的彈頭。由此將不可避免地引入識(shí)別率的問(wèn)題[2]，具體來(lái)講，包括：

a）彈頭被正確識(shí)別的概率Pww，即彈頭信號(hào)處在識(shí)別區(qū)間內(nèi)；

b）彈頭被判定為誘餌的概率Pwd，即彈頭信號(hào)處在識(shí)別區(qū)間外；

c）誘餌被正確識(shí)別的概率Pdd，即誘餌信號(hào)處在識(shí)別區(qū)間外；

d）誘餌被判定為彈頭的概率Pdw，即誘餌信號(hào)處在識(shí)別區(qū)間內(nèi)。

彈頭突破防御的方式有2種：a）彈頭被準(zhǔn)確識(shí)別，但防御系統(tǒng)未能成功攔截；b）彈頭被識(shí)別為誘餌，防御系統(tǒng)未予攔截。為了使Pwd盡可能小，防御系統(tǒng)需要將識(shí)別區(qū)間放寬，因此容易把誘餌識(shí)別為彈頭（即Pdw增大），也就是說(shuō)Pww和Pdw是正相關(guān)的。

3.1 誘餌辨識(shí)概率

圖2為識(shí)別區(qū)間與目標(biāo)識(shí)別區(qū)的關(guān)系，展示了依靠識(shí)別區(qū)間來(lái)辨別彈頭和誘餌的情形。

圖2 識(shí)別區(qū)間與目標(biāo)辨識(shí)概率

如果防御系統(tǒng)不希望遺漏掉彈頭，則至少需要保證Pww≥PTrack，為此可能被迫將識(shí)別區(qū)間[a, b]設(shè)置得較寬。對(duì)于進(jìn)攻方而言這一區(qū)間是未知的，假設(shè)防御方按μw對(duì)稱設(shè)置為[μw?Δ,μw+Δ]，也就是式（11）中定積分的上下限。這是識(shí)別概率Pww不降低的情況下，區(qū)間長(zhǎng)度b?a最小的情形。下面重寫(xiě)式（12）為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，即構(gòu)造中間變量t∈N(0,1)，有：

根據(jù)所需的Pww值查詢標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表，將Δ代入誘餌信號(hào)服從的正態(tài)分布xd∈N()，從而獲得相應(yīng)的Pdw，即防御系統(tǒng)把誘餌識(shí)別為彈頭的概率：

3.2 估算誘餌的數(shù)量

進(jìn)攻方通過(guò)增加誘餌的數(shù)量D，來(lái)消耗防御系統(tǒng)的探測(cè)以及攔截能力。從統(tǒng)計(jì)學(xué)的意義上來(lái)講[2]，此時(shí)被防御方認(rèn)作“彈頭”的目標(biāo)個(gè)數(shù)W*可以寫(xiě)作：

仍然假設(shè)防御方對(duì)W*個(gè)“彈頭”平均分配了n顆攔截彈，根據(jù)式（1），為了達(dá)成防御概率P(0)，對(duì)n有如下要求：

其中，不等號(hào)右端的含義是出于防御方的需要，只關(guān)注W個(gè)真實(shí)彈頭的攔截結(jié)果，不關(guān)注誘餌與攔截彈的交戰(zhàn)情況。因?yàn)檎T餌的作用是在攔截彈總數(shù)I較大的情況下，稀釋掉分配給每個(gè)目標(biāo)的攔截彈數(shù)量n，直至式（16）反號(hào)。需要的誘餌數(shù)量為

4 攻防仿真與分析

根據(jù)前面建立的關(guān)于彈頭和誘餌數(shù)量的估算模型，利用大氣層外攔截彈仿真程序軟件來(lái)設(shè)計(jì)仿真實(shí)驗(yàn)[11,12]，其運(yùn)作流程如圖3所示。

在誘餌方面，包括電子假目標(biāo)和紅外誘餌兩種，前者針對(duì)預(yù)警雷達(dá)，誘使防御系統(tǒng)發(fā)彈攻擊。當(dāng)外大氣層攔截器（Exo-atmospheric Kill Vehicle，EKV）分離并開(kāi)啟紅外導(dǎo)引頭后，會(huì)辨識(shí)出電子假目標(biāo)，因此只有部分EKV追蹤的是真實(shí)彈頭；紅外誘餌對(duì)預(yù)警雷達(dá)不起作用，針對(duì)的是攔截彈的EKV，以一定的概率誘使導(dǎo)引頭選擇追蹤自己，從而掩護(hù)彈頭突防。

圖3 攔截仿真流程

4.1 彈頭突防效能

由于第2章中不同情形下彈頭的估算方法有所差異，所以針對(duì)彈頭仿真設(shè)計(jì)了2種情況，分別予以驗(yàn)證。圖4為估算結(jié)果與仿真結(jié)果對(duì)比。

圖4 估算結(jié)果與仿真結(jié)果對(duì)比

a）第1部分仿真條件設(shè)置如下：1）防御系統(tǒng)跟蹤目標(biāo)的概率PTrack=0.999；2）攔截彈對(duì)目標(biāo)的SSPK設(shè)為k=0.7；3）攔截彈總數(shù)I=1 200；4）要求突防概率P(≥1)=10%，11%，…，90%。

首先估算彈頭數(shù)量。從進(jìn)攻方的角度考慮，在估算中認(rèn)為PTrack=1，因此通過(guò)式（10）迭代得到的彈頭數(shù)量會(huì)多于實(shí)際值。由于PTrack=0.999，多數(shù)情況下彈頭數(shù)量的需求取決于防御方的攔截能力，而非探測(cè)能力。只有任務(wù)指標(biāo)P(≥1)低于18%時(shí)（見(jiàn)圖4中拐點(diǎn)處），由式（4）估算出來(lái)的彈頭數(shù)量才會(huì)低于式（11）。

作為對(duì)比，將P(0)=1?P(≥1)代入式（2）解出準(zhǔn)確的彈頭數(shù)量W，并輸入仿真軟件得到突防概率（見(jiàn)表1）。

表1 彈頭的部分仿真結(jié)果

b）第2種情形：1）防御系統(tǒng)跟蹤目標(biāo)的概率PTrack=0.98；2）攔截彈對(duì)目標(biāo)的SSPK設(shè)為k=0.9。

跟蹤目標(biāo)的概率PTrack降低了，因此將由式（4）來(lái)估算進(jìn)攻彈頭的數(shù)量。值得注意的是，通過(guò)反解式（2）已經(jīng)無(wú)法得出有效的彈頭數(shù)量（結(jié)果均為復(fù)數(shù)），原因是當(dāng)PTrack＜1時(shí)不保證適用于式（6）及后續(xù)證明。實(shí)際上由防御系統(tǒng)跟蹤目標(biāo)的概率決定了突防效果。

由圖4可知，第1種情形下對(duì)彈頭數(shù)量的估算值明顯高于準(zhǔn)確值W；而第2種情形下，相同的突防概率需求的彈頭數(shù)量大幅減少，實(shí)際上都來(lái)自PTrack的影響。說(shuō)明準(zhǔn)確掌握防御系統(tǒng)的PTrack值十分關(guān)鍵。

4.2 誘餌配合彈頭突防

假設(shè)防御系統(tǒng)追蹤目標(biāo)的能力足夠強(qiáng)，為了提高彈頭的突防概率，需要采用誘餌來(lái)分散防御系統(tǒng)的攻擊。從4.1節(jié)第1部分的仿真結(jié)果來(lái)看，即使投入105枚彈頭，突防概率也僅有10%左右。進(jìn)一步限制W≤50，仿真條件設(shè)置如下：

a）防御系統(tǒng)跟蹤目標(biāo)的概率PTrack=0.999；

b）攔截彈對(duì)目標(biāo)的SSPK設(shè)為k=0.7；

c）攔截彈總數(shù)I=1 200枚。

假設(shè)彈頭的信號(hào)符合標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1)，根據(jù)式（13），為了確保Pww≥PTrack，有Δ/ σw=3.30，說(shuō)明防御系統(tǒng)識(shí)別區(qū)間至少包含[-3.30，3.30]。那么每次當(dāng)誘餌信號(hào)也進(jìn)入該區(qū)間，就會(huì)被防御系統(tǒng)識(shí)別為彈頭。

假設(shè)電子誘餌信號(hào)特征符合正態(tài)分布N(1,1)，紅外誘餌符合N(?1,1)，均比彈頭信號(hào)偏離一倍標(biāo)準(zhǔn)差。令Dj表示雷達(dá)誘餌數(shù)量，Db表示紅外誘餌數(shù)量。根據(jù)2種誘餌在不同階段的作用機(jī)理，得到：

從式（18）來(lái)看，雷達(dá)誘餌（指數(shù)項(xiàng)）分散了針對(duì)每個(gè)目標(biāo)的攔截彈數(shù)量，與式（16）左端的含義一致；對(duì)于紅外誘餌的影響，根據(jù)條件概率定義[10]，攔截彈需要先按概率在W+PdwDb個(gè)目標(biāo)里選中彈頭，再乘以摧毀彈頭的概率k。所以，從形式上可以認(rèn)為是紅外誘餌降低了攔截彈的SSPK。加入誘餌后的仿真結(jié)果如表2所示。

表2 加入誘餌的仿真結(jié)果

對(duì)比4.1節(jié)，彈頭雖然減少卻取得了更好的突防效果，原因分析如下：假設(shè)防御系統(tǒng)跟蹤能力只受電子誘餌影響，將μw=0，Δ=3.30代入式（14），對(duì)電子誘餌的誤判率為Pdw≈0.989，表明誘餌幾乎全部辨識(shí)錯(cuò)誤。如果想要避免這樣的結(jié)果，勢(shì)必縮小識(shí)別區(qū)間，盡可能不將誘餌納入，例如[-2，2]，且不論此時(shí)仍有Pdw≈0.84，關(guān)鍵是代入式（12）后Pww＜0.96，則有PTrack＜0.96，根據(jù)式（1）當(dāng)W=50時(shí)算出P(0)≈0.13，即突防概率P(≥1)≈0.87。

可以說(shuō)，誘餌令防御系統(tǒng)的效能大幅度下滑，且無(wú)論識(shí)別區(qū)間如何選取。提示了進(jìn)攻方一方面要讓?duì)蘢與wμ接近，使得誘餌盡量擬真；另一方面，可以擴(kuò)大彈頭的特征樣本散布，即標(biāo)準(zhǔn)差wσ，使得彈頭之間互有差異，或者多種彈頭混合突防。利用wwP與dwP之間的正相關(guān)性來(lái)確保突防概率。

5 結(jié)束語(yǔ)

經(jīng)過(guò)對(duì)導(dǎo)彈攻防對(duì)抗的原理和各個(gè)環(huán)節(jié)的分析，本文建立起了基于概率分布的估算模型，以彈頭突防概率為指標(biāo)，結(jié)合防御系統(tǒng)的探測(cè)、跟蹤、可靠性因素，以及目標(biāo)的識(shí)別概率問(wèn)題，提供了進(jìn)攻彈和誘餌的數(shù)量估算方法。從進(jìn)攻方的角度來(lái)看，除了攔截彈SSPK和數(shù)量的因素外，還要考慮防御系統(tǒng)的TrackP和誘餌的dwP可能為彈頭突防所帶來(lái)的貢獻(xiàn)。最后通過(guò)仿真的方法予以檢驗(yàn)，并且分析了估算與仿真的結(jié)果，印證了關(guān)于彈頭、誘餌數(shù)量和防御系統(tǒng)內(nèi)部因素對(duì)攔截概率的影響。未來(lái)進(jìn)一步工作可以拓展到不同的攔截彈發(fā)射模式，以及多層防御系統(tǒng)效能分析。

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Estimation and Simulation Analysis Based on Probabilistic Model for the Effectiveness of Penetration and Defense

Xie Jing-wei, Chen Wan-chun
(School of Astronautics, Beijing University of Aeronautics and Astronautics, Beijing, 100191)

A probabilistic model for calculating ballistic missile penetration effectiveness is developed. The objective for judgment is stated as a probability of events during the engagement, not a specific result. Based on this point, the reliability of defense system, and counter-measures that may be used by ballistic missiles is taken into account. Estimation of the amount of ballistic missiles is made to achieve the objective of penetration. At the end of paper, simulation experiments are presented to examine the model. And analyses for simulation results were given which might be available for missile deployment and programming.

Probabilistic model; Ballistic missile penetration; Effectiveness estimation; Probability of identification

TJ76

A

1004-7182(2017)04-0001-05 DOΙ：10.7654/j.issn.1004-7182.20170401