張海燕，李耀紅，李冬楠

宿州學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，宿州，234000

一例三重積分多種解法的比較分析

張海燕，李耀紅，李冬楠

宿州學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，宿州，234000

通過(guò)一例三重積分在直角坐標(biāo)、柱面坐標(biāo)和球坐標(biāo)下五種解法，探討了三重積分計(jì)算問(wèn)題的基本思路和方法。結(jié)合相關(guān)文獻(xiàn)，分析了三重積分計(jì)算中如何根據(jù)積分區(qū)域、被積函數(shù)、積分限和區(qū)域圖形情況選擇合適的坐標(biāo)系，將三重積分化為三次積分進(jìn)行計(jì)算。

三重積分；積分區(qū)域；多種解法

1 直角坐標(biāo)系下的計(jì)算

1.1 利用截面法

由于被積函數(shù)為z2，只含有一個(gè)變量，因此可以把三重積分化為“先二重后一重”的累次積分。又由于空間區(qū)域V用平行于xy平面的平面截得的是一個(gè)圓面，即

此時(shí)積分區(qū)域V=V1+V2,其中

從而

1.2 利用投影法

V={(x,y,z)|(x,y)∈D,

從而

2 柱面坐標(biāo)系下的計(jì)算

由于積分區(qū)域V由x2+y2+z2≤r2和x2+y2+z2≤2rz所確定，且有

注2：通過(guò)對(duì)比，柱面坐標(biāo)下計(jì)算三重積分和直角坐標(biāo)系下利用投影法計(jì)算三重積分基本相同。

3 球坐標(biāo)系下的計(jì)算

3.1 利用積分區(qū)域可加性

作球面坐標(biāo)變換x=ρsinφcosθ,y=ρsinφsinθ,z=ρcosφ,則積分區(qū)域V1變?yōu)?/p>

則積分區(qū)域V2變?yōu)镾1和S2：

因此利用球面坐標(biāo)，有

3.2 利用積分區(qū)域補(bǔ)全法

作球坐標(biāo)變換x=ρsinφcosθ,y=ρsinφsinθ,z=ρcosφ,則積分區(qū)域V2變?yōu)?/p>

因此利用球坐標(biāo)，有

對(duì)積分區(qū)域V2也可以利用區(qū)域補(bǔ)全法，可以得到和以上類似的結(jié)果。

注3：比較上述兩種算法，難易程度相當(dāng)，說(shuō)明在區(qū)域劃分沒(méi)有減少的情況下，利用區(qū)域可加性和區(qū)域補(bǔ)全法計(jì)算三重積分均可。

4 計(jì)算方法的比較分析

通過(guò)對(duì)一例三重積分的五種算法比較可知，三重積分計(jì)算基本思路和方法是選取不同坐標(biāo)系，將三重積分化為三次積分，根據(jù)具體問(wèn)題的特點(diǎn)采取不同積分次序進(jìn)行計(jì)算。結(jié)合實(shí)例，三重積分計(jì)算除了一些技巧性問(wèn)題外，還應(yīng)注意分析以下問(wèn)題：

(1)坐標(biāo)系的選擇。應(yīng)該了解三種坐標(biāo)系下積分公式的主要特點(diǎn),在給定的積分區(qū)域下選用哪種坐標(biāo)系更為方便。 對(duì)于平面圍成的積分區(qū)域,一般選用直角坐標(biāo)系；對(duì)于圓錐面、旋轉(zhuǎn)拋物面圍成的區(qū)域或積分區(qū)域與繞z 軸旋轉(zhuǎn)形成的旋轉(zhuǎn)體有關(guān)時(shí)，一般選用柱面坐標(biāo)系；而與球相關(guān)的積分區(qū)域，往往選取球坐標(biāo)系。

(2)被積函數(shù)的特點(diǎn)。結(jié)合被積函數(shù)的特點(diǎn)選擇合適的坐標(biāo)系，往往能簡(jiǎn)化三重積分計(jì)算。對(duì)于被積函數(shù)中只含有一個(gè)變量的，可以選取直角坐標(biāo)系，且若截面面積易求，可利用截面法求積分，如解法一；若被積函數(shù)含有兩個(gè)變量，且有平方和形式，如x2+y2，則可選取柱面坐標(biāo)系；若被積函數(shù)含有三個(gè)變量平方和形式，一般利用球坐標(biāo)系。

(3)積分限的選擇。積分限和坐標(biāo)系的選取息息相關(guān)，一旦確定坐標(biāo)系后，積分限一般有固定模式。因此，坐標(biāo)系的選擇除要關(guān)注積分區(qū)域形式和被積函數(shù)特點(diǎn)外，還要關(guān)注積分限是否容易確定，累次積分是否容易計(jì)算，選擇不同積分限計(jì)算繁簡(jiǎn)程度不同。在具體積分限確定時(shí)，關(guān)鍵是看線：直角坐標(biāo)和柱面坐標(biāo)是看投影面的垂線與積分區(qū)域相交情況；球坐標(biāo)看極點(diǎn)出發(fā)的射線與區(qū)域相交情況。

如本文中的例子，從積分區(qū)域形式看，選擇球坐標(biāo)比較合適，從被積函數(shù)看直角坐標(biāo)比較合適，通過(guò)對(duì)比積分限，顯然利用直角坐標(biāo)計(jì)算要容易。應(yīng)了解化成三次積分與化成一次積分和一個(gè)二重積分的公式的主要特點(diǎn),以及給定積分區(qū)域與被積函數(shù)下使用何種公式合適。

(4)積分區(qū)域示意圖的勾勒。對(duì)于由方程組或不等式給出的積分區(qū)域,盡量畫(huà)出示意圖，可以直觀地從區(qū)域圖形特點(diǎn)判斷利用何種坐標(biāo)系計(jì)算，以及如何確定積分限。

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[2]陳浩.一例三重積分的解法剖析[J].宿州學(xué)院學(xué)報(bào),2010,25(8):103-107

[3]同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)[M].5版.北京:高等教育出版社,2010:99-106

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[5]趙俠,楊路.例談高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法——一道習(xí)題玩轉(zhuǎn)三重積分[J].湖南理工學(xué)院學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版,2016,29(3):84-87

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(責(zé)任編輯：汪材印)

10.3969/j.issn.1673-2006.2017.06.027

2017-01-12

安徽省高校優(yōu)秀青年人才支持計(jì)劃重點(diǎn)項(xiàng)目(gxyqZD2016339)；宿州學(xué)院綜合理科實(shí)踐教育基地(szxysjjd201205)。

張海燕(1980-),女,安徽宿州人，碩士，副教授，研究方向：非線性泛函分析及應(yīng)用研究。

O172.2

A

1673-2006(2017)06-0102-03