王旻昊，李凱，邱永康，李天勻，3，4，朱翔，3

1華中科技大學(xué)船舶與海洋工程學(xué)院，湖北武漢 430074 2中國艦船研究設(shè)計中心，湖北武漢430064 3船舶與海洋水動力湖北省重點(diǎn)實驗室，湖北武漢 430074 4高新船舶與深海開發(fā)裝備協(xié)同創(chuàng)新中心，上海 200240

基于傅里葉級數(shù)法的開孔板振動固有特性分析

王旻昊1，李凱2，邱永康1，李天勻1，3，4，朱翔1，3

1華中科技大學(xué)船舶與海洋工程學(xué)院，湖北武漢 430074 2中國艦船研究設(shè)計中心，湖北武漢430064 3船舶與海洋水動力湖北省重點(diǎn)實驗室，湖北武漢 430074 4高新船舶與深海開發(fā)裝備協(xié)同創(chuàng)新中心，上海 200240

［目的］開口板結(jié)構(gòu)普遍存在于各類工程結(jié)構(gòu)中，對其振動特性的研究直接關(guān)系到整體結(jié)構(gòu)的減振降噪和穩(wěn)定性分析。為研究針對彈性薄板在任意位置開與板平行的矩形口的自由振動特性研究問題，［方法］通過改進(jìn)傅里葉級數(shù)形式表示開口矩形板的位移容許函數(shù)，用區(qū)域劃分思想將開口板沿開口延伸線劃分為多個區(qū)域板，采用沿邊界均勻分布的線性模擬彈簧模擬經(jīng)典邊界條件和區(qū)域板間連續(xù)邊界條件，將邊界表達(dá)為彈性勢能的形式，從而將有約束問題轉(zhuǎn)化為無約束問題，并結(jié)合位移連續(xù)條件和能量泛函變分方法，對未知傅里葉展開系數(shù)一次變分求極值以求解標(biāo)準(zhǔn)特征值方程。然后將得到的開口矩形板的固有頻率值及其對應(yīng)振型與有限元軟件（ANASYS）計算結(jié)果進(jìn)行對比，最后分析不同邊界條件、開口尺寸和開口位置對開口板自振特性的影響。［結(jié)果］結(jié)果驗證了方法的有效性和精確性，［結(jié)論］所得結(jié)果可為相關(guān)實際工程應(yīng)用提供理論參考。

任意開口位置；開口矩形板；改進(jìn)傅立葉級數(shù)；能量法

0 引 言

開口矩形板結(jié)構(gòu)廣泛存在于各個行業(yè)中，例如汽車、航空航天、土木建筑等。在船舶領(lǐng)域，為提高隱身性能，方式之一是采用一體化上層建筑，雷達(dá)布置在上層建筑結(jié)構(gòu)開口處。結(jié)構(gòu)開口會影響其原有振動特性，存在與開口處動力設(shè)備共振的風(fēng)險。所以開口矩形板的動態(tài)性能研究對船舶上層建筑結(jié)構(gòu)的減振設(shè)計具有重要的理論指導(dǎo)意義和工程實用價值。

關(guān)于開口板結(jié)構(gòu)的動態(tài)性能，國內(nèi)外學(xué)者開展了大量的研究。Paramasivam［1］通過擴(kuò)展網(wǎng)格模型對有限差分算子進(jìn)行改進(jìn)，研究了不同邊界條件下開口對板固有頻率的影響；Cho等［2］基于假定模態(tài)法，利用拉格朗日運(yùn)動方程求解多自由度系統(tǒng)矩陣的特征值，分析了不同形狀開口板的自由振動問題；Lam等［3］對含有開口或裂紋的矩形板結(jié)構(gòu)的自由振動性能進(jìn)行研究分析，對開口板進(jìn)行分區(qū)處理，以正交多項式模擬板位移函數(shù)得出中心開口矩形板的振動頻率，其為用板分區(qū)處理思想研究開口板問題提供了新的思路；李成等［4］根據(jù)非均質(zhì)各向異性彈性理論，對含橢圓孔的正交各向異性板的孔邊進(jìn)行應(yīng)力分析，提出了積分方程法求解方案；李自林等［5］利用三角形薄板廣義協(xié)調(diào)元分析了復(fù)合式多層四邊簡支、四邊固定無孔和開孔矩形薄板的自由振動，求出了前幾階頻率系數(shù)并與ANSYS軟件計算結(jié)果進(jìn)行了對比；Reddy［6］根據(jù) Reissner-Mindlin 型剪切變形理論和非線性的von Kármán應(yīng)變——位移關(guān)系理論，對開口板大振幅彎曲振動進(jìn)行了研究；邱昌林等［7］采用有限元與間接邊界元相結(jié)合的方法，以開有圓孔、四邊簡支、無障板的鋼制平板為對象，開展了開孔板水下振動及聲輻射特性研究；Hegarty等［8］通過最小二乘配點(diǎn)法，對中心開圓孔的矩形板的自由振動問題進(jìn)行了研究，最后得出板自由振動頻率與開口尺寸之間的關(guān)系曲線；Aksu等［9］結(jié)合有限差分技術(shù)的變分原理，對含有1～2個開口矩形板的固有頻率進(jìn)行了預(yù)測；Tan［10］運(yùn)用一種易于處理和封閉的形式，對含橢圓形開口的各向異性和正交異性板的有限寬度修正因子進(jìn)行研究進(jìn)而分析了其性能；張宇力等［11］選取典型船舶板架，采用ANSYS系統(tǒng)，對開口和不開口的板分別進(jìn)行了特征值屈曲分析和極限承壓屈曲分析，同時，運(yùn)用便于簡化處理的相當(dāng)梁系法，將加筋板架近似看作由帶附連翼板的交叉梁系構(gòu)成，轉(zhuǎn)換以后給出了一套工程近似計算方法。

上述文獻(xiàn)中對開口板邊界條件、開口尺寸和開口位置對其整體振動性能的研究較少。文獻(xiàn)［3］中以正交多項式形式表示開口板的位移容許函數(shù)，使得最后得出結(jié)果的精度完全依賴于所選取板的假定振型與實際情況的吻合程度，不僅影響計算效率，而且其只能針對中心開口的對稱結(jié)構(gòu)，限制了開口位置的多樣性。

Li［12］提出了任意支撐梁振動分析的改進(jìn)傅里葉級數(shù)方法，并隨后被拓展應(yīng)用到矩形板［13］和圓柱殼［14］等結(jié)構(gòu)的振動分析之中；文獻(xiàn)［13］表明任意邊界條件下板的假定振型函數(shù)可以不變地用一種改進(jìn)傅里葉級數(shù)形式表示。本文將引入改進(jìn)傅里葉級數(shù)方法建立任意邊界條件下開口矩形板的振動分析模型，并應(yīng)用區(qū)域劃分思想將開口在任意位置的開口板劃分為8塊區(qū)域板，采用沿邊界均勻分布的位移約束彈簧和轉(zhuǎn)角約束彈簧模擬板的邊界條件，然后運(yùn)用能量泛函變分方法對結(jié)構(gòu)振動問題進(jìn)行求解，并與有限元仿真運(yùn)算結(jié)果進(jìn)行對比分析以說明文中方法的準(zhǔn)確性，最后討論邊界條件、開口尺寸和開口位置對開口板振動特性的影響，以便為工程應(yīng)用提供理論指導(dǎo)。

1 理論分析

1.1 開口矩形板模型描述

文中研究對象為任意位置矩形開口的矩形板，如圖1所示。開口矩形板的長度為a，寬度為b，矩形開口位于圖中所示位置，其角點(diǎn)坐標(biāo)分別為（a1，b1）和（a2，b2），板厚為h?？紤]到開口板結(jié)構(gòu)和邊界的任意性，將開口板劃分為8塊區(qū)域板進(jìn)行研究。

圖1 開口矩形板示意圖Fig.1 Rectangular plate with a rectangular opening

在圖1中（1）～（12）邊界及（21）～（24）邊界均為對地邊界，（13）～（20）為區(qū)域板間的連接邊界。以上邊界均可采用兩類沿邊界均勻分布的線性彈簧來模擬，兩類線性彈簧分別為位移約束彈簧和旋轉(zhuǎn)約束彈簧，通過設(shè)置這兩類彈簧的剛度來模擬開口板任意邊界。例如，對于對地邊界，在自由邊界條件下，邊界位移和轉(zhuǎn)角均無約束，將兩類彈簧剛度均設(shè)為0，則可獲得自由邊界；在固支邊界條件下，邊界位移和轉(zhuǎn)角均為0，將兩類彈簧剛度都設(shè)為∞，則可模擬固支邊界；在簡支邊界條件下，邊界位移為0，轉(zhuǎn)角無約束，將位移約束彈簧和轉(zhuǎn)角約束彈簧的剛度值分別取0和∞，則可模擬經(jīng)典簡支邊界；當(dāng)其取0～∞時，可模擬任意彈性邊界等。對于區(qū)域板間的連接邊界，其位移和轉(zhuǎn)角均連續(xù)，區(qū)域板間位移和轉(zhuǎn)角均相對為0，故兩類模擬彈簧值均設(shè)置為∞。

當(dāng)模擬彈簧剛度設(shè)置為∞時，本文的取值為1×1012，由后文算例驗證，當(dāng)剛度取值為 1×1012，一般彈性邊界可完全退化為經(jīng)典邊界。根據(jù)以上彈簧模擬方法，可得到開口板的物理模型如圖2所示。

圖2 開口板物理模型描述圖Fig.2 Physical model of rectangular plate with an opening

根據(jù)上述物理模型針對每個單獨(dú)的區(qū)域板進(jìn)行單獨(dú)研究，每個區(qū)域板均取獨(dú)立的坐標(biāo)系，區(qū)域矩形板的位移容許函數(shù)可表示為［3］

式中：Amn為其未知傅里葉級數(shù)展開系數(shù)；簡諧時間因子eiωt表示矩形板在不同時刻的位移函數(shù)；j=1，2，3，…，8，分別表示8塊板的位移函數(shù)；M，N為截斷項取值；?m(x)為x方向的特性梁容許函數(shù)，ψn()

y為y方向的特性梁容許函數(shù)。所假定的位移容許函數(shù)的優(yōu)劣將直接影響到計算結(jié)果的準(zhǔn)確性，因而選取合適的位移容許函數(shù)非常重要。文中引入改進(jìn)傅里葉級數(shù)形式來表示開口矩形板的位移容許函數(shù)，該級數(shù)形式具有收斂性好、精度高等特點(diǎn)，可以滿足任意邊界條件，改進(jìn)傅里葉級數(shù)方法可使板的位移容許函數(shù)在整個求解域內(nèi)三階導(dǎo)數(shù)連續(xù)且四階導(dǎo)數(shù)各點(diǎn)均存在，可以有效克服邊界處可能出現(xiàn)的不連續(xù)現(xiàn)象。根據(jù)改進(jìn)傅里葉級數(shù)方法，式（1）中?m(x)與ψn(y )可分別表示為［13］：

式中：x*，y*為無因次坐標(biāo)；m=1，2，3，…，M；n=1，2，3，…，N。

1.2 含開孔板振動固有特征的能量分析

結(jié)合能量泛函變分法對開口矩形板結(jié)構(gòu)進(jìn)行研究，以確定式（1）中的未知系數(shù)。僅考慮彎曲變形，在無外激勵力作用的情況下，開口板的能量泛函為8塊區(qū)域板的總和，表示為

式（4）中區(qū)域板的彎曲應(yīng)變能可表示為

在任意邊界條件下，8塊區(qū)域板的動能可表示為

式中：ρ為板材料的密度；j=1，2，3，…，8。

儲存在邊界模擬約束彈簧中的彈性勢能為（此處以區(qū)域板1為例，其余板同理可得）：

式中，ki和 Ki分別表示圖1中開口板第i個邊界的位移約束彈簧剛度（單位：N/m）和旋轉(zhuǎn)約束彈簧剛度（單位：（N·m）/rad）。

針對式（1）中區(qū)域板的總能量泛函進(jìn)行變分求極值可得：

式中，j=2，3，…，7。

將式（5）～式（7）代入式（8）中，可寫成矩陣形式為

式中：矩陣K表示8個區(qū)域板的總勢能剛度矩陣，包括板的彎曲應(yīng)變能剛度和儲存在邊界中的彈簧勢能剛度；M表示其質(zhì)量矩陣；ω為圓頻率。

式中，j=1，2，3，…，8。

通過求解式（9）的特征值和特征向量，即可得到開口矩形板的各階固有頻率及其對應(yīng)的模態(tài)振型，至此，將開口板的自由振動問題通過能量泛函變分法處理成求解標(biāo)準(zhǔn)特征值方程。

2 數(shù)值計算與分析

本文對任意邊界條件下，開口在任意位置的開口矩形板的自由振動特性進(jìn)行分析計算，對比不同邊界、不同開口大小和不同開口位置對開口板固有頻率的影響，并與有限元軟件（ANSYS）計算結(jié)果進(jìn)行了對比分析，以說明本文方法的精確性。板材料參數(shù)的取值為：ρ=7 850 kg/m3，μ=0.3，E=2.1×1011Pa。

2.1 收斂性及有效性驗證

首先進(jìn)行收斂性分析，以驗證隨著式（1）中截斷項M，N的取值和邊界模擬彈簧剛度取值的不斷增大，計算結(jié)果的穩(wěn)定性。在對截斷項M，N的取值進(jìn)行對比分析中，開口板的邊界條件設(shè)置為C-F邊界條件，其中C代表其外邊界的邊界條件為固支，F(xiàn)代表其內(nèi)孔的邊界條件為自由。板的幾何參數(shù)設(shè)置如下：a=8 m，b=6 m，h=0.02 m，內(nèi)開口參數(shù) a1=2 m，b1=1 m，a2=5 m，b2=3 m，計算其前6階的固有頻率值（單位：Hz），并與有限元軟件計算結(jié)果進(jìn)行對比分析，為便于分析，這里取M=N，結(jié)果如表1所示。

表1 C-F邊界下開口板固有頻率Table 1 Natural frequencies of rectangular plate with a rectangular opening in C-F boundary

從表1中的對比分析可知：隨著截斷項數(shù)M，N不斷增加，采用文中方法所求得的開口板固有頻率逐漸趨于穩(wěn)定，當(dāng)M=N=12時，固有頻率已不再發(fā)生變化，即認(rèn)為文中方法已收斂，從而證明了改進(jìn)傅里葉級數(shù)方法在計算開口板振動特性上的收斂性和穩(wěn)定性。且文中方法計算所得開口板固有頻率值與有限元仿真軟件（ANSYS）計算結(jié)果吻合很好，后面的計算中均取截斷項M=N=13。

提取前4階固有頻率對應(yīng)的模態(tài)振型，并與有限元仿真軟件（ANSYS）進(jìn)行對比，如圖3所示。從圖3中可以看出，計算所得頻率和振型與有限元方法所得結(jié)果的吻合度很高，從而證明了文中方法的正確性。

圖3 開口板前4階振型對比圖Fig.3 Comparison of the first four order modes of rectangular plate with a rectangular opening

然后，針對邊界模擬彈簧剛度取值對計算結(jié)果的影響進(jìn)行分析。算例參數(shù)不變，邊界條件內(nèi)邊為自由邊界，外邊位移約束彈簧剛度為K′，轉(zhuǎn)角約束彈簧剛度為0，計算隨著K′的增大，采用文中方法計算所得開口矩形板的固有頻率的穩(wěn)定性，并與有限元軟件（ANSYS）計算結(jié)果進(jìn)行對比分析，表2給出前6階固有頻率（單位：Hz）結(jié)果的對比。

表2 不同位移約束彈簧剛度K′的開口板固有頻率Table 2 Natural frequencies of rectangular plate with a rectangular opening in differentK′

從表2中的數(shù)據(jù)對比可以得出，位移約束彈簧剛度從0逐漸增大到1×1012N/m時，開口板的外邊邊界條件從自由（F）邊界演化為簡支（SS）邊界，證明了采用文中方法邊界模擬彈簧剛度取值的收斂性。故而當(dāng)邊界模擬彈簧剛度為∞時，文中算例可取值為1×1012N/m。

2.2 不同邊界條件、開口尺寸和開口位置對開口板振動性能的影響分析

不同邊界條件、開口尺寸和開口位置對開口板振動性能具有直接影響，對比分析其固有頻率值，總結(jié)影響規(guī)律，可以為工程實際應(yīng)用提供重要的理論依據(jù)。

首先，對比研究不同邊界條件對開口板振動特性的影響。所取邊界均為經(jīng)典邊界組合，包括F-F，SS-F，C-F，SS-SS和C-C這5種邊界。開口板的幾何參數(shù)設(shè)置如下：a=8 m，b=6 m，h=0.02 m，內(nèi)開口參數(shù) a1=1 m，b1=2 m，a2=3 m，b2=4 m，計算其前6階的固有頻率值（單位：Hz），對比結(jié)果如圖4及表3所示。

從圖4中可以看出，隨著邊界約束的增大，開口板的同階固有頻率值也逐漸增大，這是因為邊界約束的增大導(dǎo)致開口板整體剛度的上升，從而引起其固有頻率值的增大。因為C-F邊界與SS-SS邊界約束自由度的不同，導(dǎo)致了SS-SS邊界的首階固有頻率小于C-F邊界，其余值均大于C-F邊界這一現(xiàn)象的出現(xiàn)。

研究不同開口尺寸對開口板振動特性的影響。在SS-SS和F-F邊界條件下，設(shè)置a=8 m，b=6 m，h=0.02 m，開口中心與板的中心重合，開口邊與外邊的長度比對比分析當(dāng) ξ=0.1，0.3，0.5，0.7，0.9時，開口板前6階的固有頻率值，SS-SS和F-F邊界條件下的對比結(jié)果分別如圖5和圖6所示。

圖4 不同邊界下開口板前6階固有頻率對比圖Fig.4 Natural frequencies of rectangular plate with square opening in different boundaries

表3 SS-SS邊界條件下不同開口尺寸開口板固有頻率表Table 3 Natural frequencies of rectangular plate with different rectangular openings in SS-SS boundary

圖5 SS-SS邊界下開口板前6階固有頻率對比圖Fig.5 Natural frequencies of rectangular plate with different rectangular openings in SS-SS boundary

圖6 F-F邊界下開口板前6階固有頻率對比圖Fig.6 Natural frequencies of rectangular plate with different rectangular openings in F-F boundary

由圖5和圖6可知，在SS-SS邊界下，開口板的前6階固有頻率值是隨開口尺寸的增加而不斷增大，而在F-F邊界下，則是隨開口尺寸的增大不斷減小。開口尺寸的增加降低了結(jié)構(gòu)的質(zhì)量，同時也減小了結(jié)構(gòu)的剛度，但因在SS-SS邊界時結(jié)構(gòu)固有頻率以剛度影響為主，質(zhì)量影響為輔，在F-F邊界下，開口板邊界約束小，結(jié)構(gòu)剛度較小，結(jié)構(gòu)剛度影響弱于質(zhì)量影響，故而引起上述現(xiàn)象。

最后，討論不同開口位置對開口板自由振動特性的影響。在C-F邊界下，a=5 m，b=5 m，h=0.02 m，內(nèi)開口大小為1 m×1 m，考慮到矩形板的對稱性，文中研究開口中心沿圖7所示虛對角線移動，對比位置參數(shù) η=1，1.3，1.6，1.9，2.2，2.5這6種情況下開口板固有頻率的變化，提取前3階固有頻率計算結(jié)果對比，如圖8所示。

由圖8可以看出，隨著開口位置向開口板的中心的靠近，開口板首階固有頻率值不斷增大，第2階逐漸減小，第3階頻率值呈拋物線型。

圖7 開口位置分布描述圖Fig.7 The opening position of rectangular plate

圖8 C-F邊界下開口板前3階固有頻率對比圖Fig.8 Natural frequencies of rectangular plate with different opening positions in C-F boundary

3 結(jié) 論

本文通過引入改進(jìn)傅里葉級數(shù)形式表示開口板的假定振型函數(shù)，采用區(qū)域板劃分的思想將開口矩形板劃分為8塊區(qū)域，通過邊界模擬彈簧解決邊界問題以及區(qū)域板之間的位移連續(xù)性問題，最后結(jié)合能量泛函變分法將開口板自由振動問題轉(zhuǎn)化為一個求解標(biāo)準(zhǔn)特征值問題。求解任意邊界條件下任意開口尺寸和開口位置開口板的固有頻率值及其相應(yīng)振型，通過算例對比，分析不同邊界條件、開口尺寸和開口位置對開口板自振特性的影響并總結(jié)規(guī)律。得出以下結(jié)論：

1）隨著傅里葉級數(shù)截斷項以及模擬彈簧剛度值的增加，計算結(jié)果收斂性良好，數(shù)值穩(wěn)定性很好。

2）文中方法對于處理任意邊界條件下開口在任意位置的開口矩形板的自由振動問題具有較高的精度。

3）隨著邊界約束剛度的增加，開口板的同階固有頻率不斷增大；在邊界約束剛度較大時，振動特性以剛度影響為主，開口板的同階固有頻率隨開口尺寸的增加而增大，在邊界約束剛度較小時，振動特性以質(zhì)量影響為主，開口板的同階固有頻率隨開口尺寸的增加而減??；在C-F邊界下，開口板的首階固有頻率隨著開口位置向板中心的靠近而增大。

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Free vibration characteristics analysis of rectangular plate with rectangular opening based on Fourier series method

WANG Minhao1，LI Kai2，QIU Yongkang1，LI Tianyun1，3，4，ZHU Xiang1，3
1 School of Naval Architecture and Ocean Engineering，Huazhong University of Science and Technology，Wuhan 430074，China 2 China Ship Development and Design Center，Wuhan 430064，China 3 Hubei Key Laboratory of Naval Architecture and Ocean Engineering Hydrodynamics，Wuhan 430074，China 4 Collaborative Innovation Center for Advanced Ship and Deep-Sea Exploration，Shanghai 200240，China

Plate structures with openings are common in many engineering structures.The study of the vibration characteristics of such structures is directly related to the vibration reduction,noise reduction and stability analysis of an overall structure.This paper conducts research into the free vibration characteristics of a thin elastic plate with a rectangular opening parallel to the plate in an arbitrary position.We use the improved Fourier series to represent the displacement tolerance function of the rectangular plate with an opening.We can divide the plate into an eight zone plate to simplify the calculation.We then use linear springs,which are uniformly distributed along the boundary,to simulate the classical boundary conditions and the boundary conditions of the boundaries between the regions.According to the energy functional and variational method,we can obtain the overall energy functional.We can also obtain the generalized eigenvalue matrix equation by studying the extremum of the unknown improved Fourier series expansion coefficients.We can then obtain the natural frequencies and corresponding vibration modes of the rectangular plate with an opening by solving the equation.We then compare the calculated results with the finite element method to verify the accuracy and effectiveness of the method proposed in this paper.Finally,we research the influence of the boundary condition,opening size and opening position on the vibration characteristics of a plate with an opening.This provides a theoretical reference for practical engineering application.

arbitrary opening position；rectangular plate with an opening；improved Fourier series method；energy variational method

U661.44

A

10.3969/j.issn.1673-3185.2017.04.016

http://kns.cnki.net/kcms/detail/42.1755.TJ.20170727.1030.032.html期刊網(wǎng)址：www.ship-research.com

王旻昊，李凱，邱永康，等.基于傅里葉級數(shù)法的開孔板振動固有特性分析［J］.中國艦船研究，2017，12（4）：102-109.

WANG M H，LI K，QIU Y K，et al.Free vibration characteristics analysis of rectangular plate with rectangular opening based on Fourier series method［J］.Chinese Journal of Ship Research，2017，12（4）：102-109.

2017-01-03< class="emphasis_bold">網(wǎng)絡(luò)出版時間：

時間：2017-7-27 10:30

國家自然科學(xué)基金資助項目（51379083，51579109）

王旻昊，男，1992年生，碩士生。研究方向：結(jié)構(gòu)振動噪聲，機(jī)械結(jié)構(gòu)靜、動力學(xué)仿真分析。

E-mail：710959552@qq.com

李天勻（通信作者），男，1969年生，教授，博士生導(dǎo)師。研究方向：結(jié)構(gòu)振動噪聲分析。

E-mail：ltyz801@hust.edu.cn