王偉 曾以成 孫睿婷

(湘潭大學(xué)物理與光電工程學(xué)院,湘潭 411105)

含三個(gè)憶阻器的六階混沌電路研究?

王偉 曾以成?孫睿婷

(湘潭大學(xué)物理與光電工程學(xué)院,湘潭 411105)

(2016年8月26日收到;2016年11月23日收到修改稿)

利用兩個(gè)磁控憶阻器和一個(gè)荷控憶阻器設(shè)計(jì)了一個(gè)六階混沌電路,并建立了相應(yīng)電路狀態(tài)變量的非線性動(dòng)力學(xué)方程.研究了系統(tǒng)的基本動(dòng)力學(xué)特性,平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性分析表明：該電路具有一個(gè)位于憶阻器內(nèi)部狀態(tài)變量所構(gòu)成三維平衡點(diǎn)集,平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性由電路參數(shù)和三個(gè)憶阻器的初始狀態(tài)決定.分岔圖、Lyapunov指數(shù)譜等表明該電路在參數(shù)變化情況下能產(chǎn)生Hopf分岔和反倍周期分岔兩種分岔行為,以及超混沌、暫態(tài)混沌、陣發(fā)周期現(xiàn)象等多種復(fù)雜的非線性動(dòng)力學(xué)行為.將觀察混沌吸引子時(shí)關(guān)注的電壓、電流信號推廣到功率和能量信號,觀察到了蓮花型、疊加型吸引子等奇怪吸引子的產(chǎn)生.并研究了各憶阻器能量信號之間產(chǎn)生吸引子的情況,特別地,當(dāng)取不同的初始值時(shí),系統(tǒng)出現(xiàn)了共存混沌吸引子和周期極限環(huán)與混沌吸引子的共存現(xiàn)象.

憶阻器,六階混沌電路,浮地,動(dòng)力學(xué)

1 引 言

2008年,美國HP實(shí)驗(yàn)室[1,2]首次在物理上成功地實(shí)現(xiàn)了基于金屬和金屬氧化物的憶阻器,并建立其相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型,證實(shí)了1971年蔡少棠根據(jù)電路變量的完備性原理所做的預(yù)測[3].由于憶阻器的記憶性及其非線性等特性使其在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[4]、非易失性阻抗存儲(chǔ)器(RRAM)[5]、電路設(shè)計(jì)等[6,7]領(lǐng)域有著潛在的應(yīng)用價(jià)值,也成為非線性科學(xué)領(lǐng)域的一個(gè)新的研究熱點(diǎn)[8-11].憶阻器構(gòu)成的電路容易產(chǎn)生高頻混沌振蕩信號,因此在圖像加密[12]、保密通信等[13]領(lǐng)域?qū)⒕哂袕V泛的應(yīng)用前景.2008年,Itoh和Chua[14]采用一個(gè)磁控分段線性憶阻器來替換蔡氏電路中的二極管導(dǎo)出第一個(gè)基于憶阻器的混沌系統(tǒng),接著針對含一個(gè)憶阻器的混沌電路有一系列工作[15-19].包伯成等[20]提出含兩個(gè)三次光滑模型磁控憶阻的五階混沌電路,得出了含兩個(gè)憶阻器的混沌電路其平衡點(diǎn)對應(yīng)一個(gè)平面;Buscarino等[21]采用兩個(gè)相互并聯(lián)的磁控憶阻器替換蔡氏二極管得到新混沌電路;洪慶輝等[22]利用荷控和磁控兩種憶阻器模型設(shè)計(jì)了一個(gè)五階混沌電路,仿真分析表明含兩個(gè)憶阻器的混沌振蕩電路具有更加復(fù)雜的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)并擁有更豐富的混沌動(dòng)力學(xué)行為.

由于含三個(gè)甚至更多個(gè)憶阻器的混沌電路研究較少,現(xiàn)有的憶阻混沌電路都為四階和五階這樣的低階混沌電路,且多為針對如類蔡氏系統(tǒng)這樣的特定系統(tǒng),這樣對高階復(fù)雜混沌電路的研究自然就有了較大的價(jià)值.而現(xiàn)有的六階甚至更高階混沌電路主要是基于蔡氏電路電容耦合或者耦合兩個(gè)低階混沌電路的方法構(gòu)造而成,其研究的目的都只是為了研究混沌控制與同步.那么是否能通過多個(gè)憶阻器來實(shí)現(xiàn)高階混沌系統(tǒng)呢?如果構(gòu)建含三個(gè)憶阻器的六階混沌電路,它將具有一個(gè)更為復(fù)雜的位于三個(gè)憶阻器內(nèi)部狀態(tài)變量所構(gòu)成三維立體空間上的平衡點(diǎn)集,再加上高階電路擁有更加豐富的電路參數(shù)和更復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為,其應(yīng)用于混沌保密通信中將更加難以破譯.為此,本文利用兩個(gè)磁控憶阻器和一個(gè)荷控憶阻器設(shè)計(jì)含三個(gè)憶阻器的新型六階混沌電路,電路接法上結(jié)合憶阻器與電感串聯(lián)、電容并聯(lián)以及浮地型三種形式,這樣將更加符合電路的一般化設(shè)計(jì).利用理論推導(dǎo)研究它的平衡點(diǎn)集,結(jié)合相圖、分岔圖、Lyapunov指數(shù)譜等非線性分析手段分析系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性.通常觀察混沌吸引子時(shí)都是關(guān)注的電壓、電流以及磁通之間的特性,而沒有報(bào)道過與功率和能量信號之間的特性,本文從功率和能量信號去探索其吸引子的產(chǎn)生,并詳細(xì)研究各憶阻器能量信號之間的關(guān)系,最后,將通過改變初始狀態(tài)去探索該系統(tǒng)能否產(chǎn)生共存吸引子.

2 憶阻器模型

作為一個(gè)無源二端口元件,憶阻器的磁通φ與累積的電荷量q之間的關(guān)系可以用φ-q或q-φ平面上的一條曲線來確定,憶阻器分為磁控型和荷控型兩種[1-3].荷控憶阻器磁通隨電荷量的變化率為：M(q)=dφ(q)/dq,流過的電流與兩端的電壓之間的伏安特性的表達(dá)式為v=M(q)i,其中M(q)稱為憶阻;磁控憶阻器電荷隨磁通的變化率為W(φ)=dq(φ)/dφ,流過的電流與兩端的電壓之間的伏安特性的表達(dá)式為i=W(φ)v,其中W(φ)稱為憶導(dǎo). 這里的M(q)和W(φ)均是取決于憶阻器內(nèi)部狀態(tài)變量φ或q的非線性函數(shù).

常用的憶阻器模型有分段線性型(PWL)、二次或三次光滑型,本文均采用三次光滑憶阻器模型.即荷控憶阻器模型為

可得其憶阻為

其中a,b為常量.磁控型憶阻器模型及其憶導(dǎo)分別為

其中c,d為常量.

3 基于三個(gè)憶阻器設(shè)計(jì)的混沌電路

一個(gè)新型六階憶阻混沌電路如圖1所示,該電路主要由三個(gè)部分組成：一個(gè)磁控憶阻器與電容并聯(lián),一個(gè)荷控憶阻器與電感串聯(lián),另一個(gè)磁控憶阻器單獨(dú)且浮地.電路由2個(gè)磁控憶阻器、1個(gè)荷控憶阻器、2個(gè)電容和1個(gè)電感這六個(gè)動(dòng)態(tài)元件構(gòu)成,其對應(yīng)的六個(gè)狀態(tài)變量分別為：φ1,φ2,q,v1,v2和iL,其中φ1,φ2和q是三個(gè)憶阻器的內(nèi)部狀態(tài)變量.

運(yùn)用基爾霍夫定律(KVL及KCL)以及元器件的伏安特性分析圖1所示電路,可以得到如下六個(gè)聯(lián)立的一階微分方程組：

為了便于進(jìn)行數(shù)值分析,將方程組(5)進(jìn)行變量代換,設(shè)x=v1,y=v2,z=iL,u=φ1,v=φ2,ω=q,δ=1/C1,β=1/C2,γ=1/L.方程組可以重寫為

式中：M(ω)=a+3bω2,W(u)=c+3du2,W(v)=e+3fv2;其中a,b,c,d,e,f為常量.選擇電路參數(shù)δ=9,β=1,γ=12;憶阻器參數(shù)a=0.01,b=0.03,c=-1.2,d=1,e=0.9,f=0.9,初始狀態(tài)取值為(0.1,0,0.1,0,0,0).利用六維龍格-庫塔算法,仿真得到系統(tǒng)的相空間或相平面的投影如圖2所示,可以看到系統(tǒng)生成了一個(gè)雙渦卷吸引子.采用Jacobi方法計(jì)算Lyapunov指數(shù)譜得LE1=0.2777,LE2=0.0069,LE3=-0.0023,LE4=-0.0008,LE5=-0.0004,LE6=-6.3380.系統(tǒng)(6)的Lyapunov維數(shù)DL=5.0444.由系統(tǒng)的相軌跡、Lyapunov指數(shù)、Lyapunov維數(shù)可知系統(tǒng)是混沌振蕩的.選取不同變量的Poincaré截面如圖3所示,可以看到Poincaré截面上有較為明顯的分形結(jié)構(gòu)密集點(diǎn)并且吸引子的輪廓清晰可見,進(jìn)一步說明此系統(tǒng)是混沌振蕩的.

圖2 典型的混沌吸引子相圖 (a)x-y-z平面;(b)x-z平面;(c)u-x平面;(d)u-y平面Fig.2.Phase portraits of typical chaotic attractor：(a)Onx-y-zplane;(b)onx-zplane;(c)onu-xplane;(d)onu-yplane.

圖3 Poincaré截面 (a)Poincaré映射在x-z上的投影;(b)Poincaré映射在u-y上的投影Fig.3.Section of Poincaré：(a)Poincaré projection onx-z;(b)Poincaré projection onu-y.

4 系統(tǒng)的基本動(dòng)力學(xué)特性

4.1 系統(tǒng)平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性分析

令(6)式各微分方程右邊為零,可得系統(tǒng)平衡點(diǎn)集為

即六維空間中u-v-ω三維子空間的任一點(diǎn)都是該系統(tǒng)的平衡點(diǎn),(7)式中k1,k2,k3為實(shí)常數(shù).當(dāng)取電路參數(shù)δ=9,β=1,γ=12;憶阻器參數(shù)a=0.01,b=0.03,c=-1.2,d=1,e=0.9,f=0.9,選擇k1,k2和k3作為可調(diào)參數(shù),將新系統(tǒng)在平衡點(diǎn)處線性化可求得Jacobi矩陣,然后根據(jù)平衡點(diǎn)集S對應(yīng)的特征根方程可知系統(tǒng)(6)含有6個(gè)特征根：3個(gè)非零特征根和3個(gè)零特征根.最后,依據(jù)Routh-Hurwitz穩(wěn)定條件,計(jì)算可得：

當(dāng)k2=0,k3=0,則在k1-k2-k3構(gòu)成三維立體的k1坐標(biāo)軸上對應(yīng)不穩(wěn)定的范圍是

當(dāng)k1=0,k3=0,則在k1-k2-k3構(gòu)成三維立體的k2坐標(biāo)軸上對應(yīng)不穩(wěn)定的范圍是

當(dāng)k1=0,k2=0,則在k1-k2-k3構(gòu)成三維立體的k3坐標(biāo)軸上對應(yīng)不穩(wěn)定的范圍是

選取初始狀態(tài)值(0.1,0,0.1,u(0),v(0),ω(0))中的u(0),v(0)和ω(0)作為三個(gè)可變參數(shù).當(dāng)v(0)=0,ω(0)=0時(shí),系統(tǒng)(6)隨初始值u(0)=k1變化的Lyapunov指數(shù)譜如圖4(a)所示.同理,隨初始值v(0)=k2,ω(0)=k3變化的Lyapunov指數(shù)譜分別如圖4(b)和圖4(c)所示.圖4中考慮到圖片的清晰度,故舍去了第5根Lyapunov指數(shù)曲線的部分和第6根Lyapunov指數(shù)曲線.

圖4 隨初始狀態(tài)變化的Lyapunov指數(shù)譜 (a)隨k1變化的Lyapunov指數(shù)譜;(b)隨k2變化的Lyapunov指數(shù)譜;(c)隨k3變化的Lyapunov指數(shù)譜Fig.4.The Lyapunov exponent spectra changing with initial state：(a)The Lyapunov exponent spectra changing withk1;(b)the Lyapunov exponent spectra changing withk2;(c)the Lyapunov exponent spectra changing withk3.

不同于一般的憶阻混沌系統(tǒng),系統(tǒng)(6)的平衡點(diǎn)由磁控和荷控兩種憶阻器的初值狀態(tài)決定,從不同區(qū)域出發(fā)的運(yùn)行軌線將有著不同的動(dòng)力學(xué)行為.該系統(tǒng)的穩(wěn)定性不僅受平衡點(diǎn)集S的三個(gè)非零特征根影響,而且其另外三個(gè)零特征根在一定的電路參數(shù)取值下也會(huì)對其動(dòng)力學(xué)特性產(chǎn)生影響.對比圖4所示的Lyapunov指數(shù)譜和上述理論分析結(jié)果不難發(fā)現(xiàn),在區(qū)間-0.249＜k2＜-0.105,0.105＜k2＜0.249,-0.556＜k3＜-0.2以及0.18＜k3＜0.556不同,在這幾個(gè)區(qū)間內(nèi)系統(tǒng)為穩(wěn)定的匯,主因是受平衡點(diǎn)集S三個(gè)零特征根的影響.還有一個(gè)值得指出的現(xiàn)象是,圖4(a),圖4(b)和圖4(c)中分別有區(qū)間0＜k1＜0.2,-0.1＜k2＜0.1,-0.1＜k3＜0.2中存在兩個(gè)大于的Lyapunov指數(shù),該六階混沌電路出現(xiàn)了超混沌現(xiàn)象,即隨著初始狀態(tài)的改變,系統(tǒng)存在著從普通混沌到超混沌的轉(zhuǎn)變過程.

4.2 隨電路參數(shù)變化的動(dòng)力學(xué)分析

系統(tǒng)參數(shù)的改變將會(huì)改變平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性,這將引起系統(tǒng)狀態(tài)的變化.對于上述確定的參數(shù)條件下,選擇電路參數(shù)γ作為控制參數(shù),利用Lyapunov指數(shù)譜結(jié)合分岔圖和不同具體參數(shù)下的相軌圖來分析電路參數(shù)對該混沌系統(tǒng)的影響.當(dāng)電路參數(shù)γ在區(qū)間[10,15]變化時(shí),系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)譜和分岔圖如圖5所示.為了更清晰地呈現(xiàn)非負(fù)Lyapunov指數(shù),因此在繪圖5(a)時(shí)舍去了第5根的數(shù)值較小部分和第六根Lyapunov指數(shù)曲線.

對比圖5(a)和圖5(b)不難看出,圖中各自運(yùn)行軌線所體現(xiàn)系統(tǒng)穩(wěn)定與不穩(wěn)定狀態(tài)區(qū)域相互符合.系統(tǒng)是失穩(wěn)突然進(jìn)入混沌的,即通向混沌的道路為Hopf分岔[23],然后又經(jīng)反倍周期分岔逐步退出混沌最終成為一個(gè)有界點(diǎn).由圖5(b)可知,γ=10.5為Hopf分岔臨界點(diǎn).當(dāng)γ＜10.5時(shí),系統(tǒng)相軌道為極限環(huán),當(dāng)γ＞10.5系統(tǒng)進(jìn)入混沌態(tài).當(dāng)10.5≤γ＜14.25時(shí),系統(tǒng)出現(xiàn)兩個(gè)大于的Lyapunov指數(shù),即發(fā)生了超混沌行為.當(dāng)14.25≤γ≤ 15時(shí),系統(tǒng)歷經(jīng)周期4、周期2、周期1極限環(huán)最終進(jìn)入穩(wěn)態(tài).系統(tǒng)(6)產(chǎn)生的周期軌和混沌軌在u-y平面的投影如圖6所示.圖6(a)與圖6(b)反映了系統(tǒng)Hopf分岔通向混沌行為;圖6(b)和圖6(c)分別出現(xiàn)單渦卷與雙渦卷超混沌吸引子,與圖5(a)中呈現(xiàn)的最大Lyapunov指數(shù)為正的區(qū)間相對應(yīng);圖6(d),圖6(e)與圖6(f)印證了分岔圖中系統(tǒng)反倍周期分岔走出超混沌的過程.表1中列出了電路參數(shù)γ在各個(gè)變化區(qū)間所對應(yīng)的不同動(dòng)力學(xué)行為.

圖5 隨電路參數(shù)γ變化時(shí)的Lyapunov指數(shù)譜和分岔圖 (a)Lyapunov指數(shù)譜;(b)分岔圖Fig.5.The Lyapunov exponent spectra and bifurcation diagram changing with the circuit parameterγ：(a)Lyapunov exponent spectra;(b)bifurcation diagram.

表1 電路參數(shù)γ在區(qū)間[10,15]的系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為Table 1.system dynamic behavior of circuit parameterγin interval[10,15].

圖6 隨電路參數(shù)γ變化時(shí)在u-y平面上的相圖 (a)γ=10.35(周期1);(b)γ=10.6(雙渦卷超混沌吸引子);(c)γ=13.9(單渦卷超混沌吸引子);(d)γ=14.35(周期4);(e)γ=14.4(周期2);(f)γ=14.8(周期1)Fig.6.Phase portraits onu-yplane with the change of circuit parameterγ：(a)γ=10.35(period-1);(b)γ=10.6(double scroll hyperchaotic attractor);(c)γ=13.9(single scroll hyperchaotic attractor);(d)γ=14.35(period-4);(e)γ=14.4(period-2);(f)γ=14.8(period-1).

4.3 暫態(tài)混沌與陣發(fā)周期現(xiàn)象

在上述分析改變電路參數(shù)的動(dòng)力學(xué)參數(shù)條件下,當(dāng)γ=10.51時(shí),系統(tǒng)在有限時(shí)間尺度內(nèi)出現(xiàn)混沌,即暫態(tài)混沌現(xiàn)象.從圖7(b)可以看出,在最初演化的t=1.5×104內(nèi)系統(tǒng)的狀態(tài)是混沌的,對應(yīng)圖7(a)中間部分的雙渦卷混沌吸引子,但隨著時(shí)間的推移,當(dāng)t＞1.5×104時(shí),y的波形幅度呈現(xiàn)擬周期態(tài),對應(yīng)圖7(a)中軌跡由中間的雙渦卷混沌吸引子逐步向外擴(kuò)展達(dá)到外延的軌跡邊界.整個(gè)過程是隨著時(shí)間的演化,系統(tǒng)由混沌態(tài)逐漸轉(zhuǎn)化為擬周期態(tài),此為暫態(tài)混沌現(xiàn)象.其產(chǎn)生原因是由于隨著控制參數(shù)的變化,相空間中混沌吸引子與其吸引盆之間的邊界距離不斷減小,直到在一個(gè)臨界值彼此相遇.此時(shí)該混沌吸引子觸及到一個(gè)不穩(wěn)定的周期軌道而導(dǎo)致了邊界危機(jī)的發(fā)生.

當(dāng)γ=13.89時(shí),系統(tǒng)出現(xiàn)了穩(wěn)態(tài)混沌伴隨陣發(fā)周期行為的奇異現(xiàn)象.圖8顯示了不同平面的伴隨陣發(fā)周期5的穩(wěn)態(tài)混沌吸引子,即在混沌中共存一個(gè)周期5陣發(fā)周期軌道.經(jīng)過大量的數(shù)值仿真,結(jié)果表明,此現(xiàn)象的出現(xiàn)不僅依賴于電路參數(shù),同時(shí)對系統(tǒng)的初始條件也是極端敏感的.

圖7 暫態(tài)混沌現(xiàn)象 (a)u-y平面;(b)y的時(shí)域波形圖Fig.7.Transient chaos phenomenon：(a)Onu-yplane;(b)time domain waveform ofy.

圖8 伴隨陣發(fā)周期的穩(wěn)態(tài)混沌行為 (a)u-x平面;(b)u-y平面Fig.8.With the period of intermittent steady chaotic behavior：(a)Onu-xplane;(b)onu-yplane.

4.4 隨憶阻器初始狀態(tài)變化的動(dòng)力學(xué)分析

通常情況下,憶阻混沌系統(tǒng)對初始條件具有敏感依賴性[24],在含有三個(gè)憶阻器的混沌系統(tǒng)中,選擇系統(tǒng)初始狀態(tài)值(0.1,0,0.1,0,0,ω(0))中的ω(0)=k作為整個(gè)系統(tǒng)的控制參數(shù),其在區(qū)間[0,0.25]變化的Lyapunov指數(shù)譜與分岔圖如圖9所示.圖9(a)從圖片清晰度考慮,舍去了第5根的數(shù)值較小部分和第6根Lyapunov指數(shù)曲線,可以觀察到Lyapunov指數(shù)譜和分岔圖是基本符合的.如圖9所示,當(dāng)0≤k≤0.17時(shí),系統(tǒng)Lyapunov指數(shù)形式為(+,+,0,0,0,-),表明系統(tǒng)在此區(qū)間發(fā)生了超混沌行為,能產(chǎn)生混沌吸引子.當(dāng)0.17＜k≤0.22,此時(shí)系統(tǒng)處于周期狀態(tài),而當(dāng)k＞0.22,此時(shí)系統(tǒng)進(jìn)入穩(wěn)態(tài).

圖9 隨初始狀態(tài)時(shí)的Lyapunov指數(shù)譜和分岔圖 (a)Lyapunov指數(shù)譜;(b)分岔圖Fig.9.The Lyapunov exponent spectra and bifurcation diagram changing with initial state：(a)Lyapunov exponent spectra;(b)bifurcation diagram.

5 探索吸引子

5.1 奇怪吸引子與疊加型吸引子

通常觀察混沌吸引子時(shí)都是關(guān)注的電容的電壓、電感的電流以及憶阻器的磁通之間的特性,如果將其推廣到功率和能量信號將會(huì)產(chǎn)生什么現(xiàn)象呢?如圖10所示,取功率和類能量信號作為獨(dú)立信號,圖10(a)反映的是q與電感L的功率特性圖,其相圖為一個(gè)四渦卷混沌吸引子;圖10(b)和圖10(c)呈現(xiàn)的分別是v2,iL與憶阻器W(φ2)的能量間的特性,其中相圖10(b)為蓮花型吸引子;圖10(d)體現(xiàn)iL與荷控憶阻器M(q)的能量特性,其產(chǎn)生的吸引子為一個(gè)像四翼的蝴蝶型吸引子.

固定原系統(tǒng)參數(shù)不變,改變電路參數(shù)δ,對比參數(shù)分別取δ=7.65與δ=9.05時(shí)產(chǎn)生v2與電感L的功率特性圖.如圖11所示,兩個(gè)吸引子的不同之處在于,圖11(b)中的吸引子為圖11(a)中的吸引子的疊加而成,本文將其稱為疊加型吸引子.

圖10 奇怪吸引子 (a)q-P(L);(b)v2-W(W(φ2));(c)iL-W(W(φ2));(d)iL-W(M(q))Fig.10.Strange attractor：(a)q-q-P(L);(b)v2-W(W(φ2));(c)iL-W(W(φ2));(d)iL-W(M(q)).

圖11 疊加型吸引子 (a)疊加前相圖;(b)疊加后相圖Fig.11.Superposition type attractor：(a)Superimposed front phase diagram;(b)superimposed phase diagram.

圖12 刻畫憶阻器能量信號間的相軌圖 (a)i-v;(b)W(W(φ1))-W(W(φ2));(c)W(W(φ1))-W(M(q));(d)W(W(φ2))-W(M(q))Fig.12.Phase portraits for depicting between the memristor energy：(a)i-v;(b)W(W(φ1))-W(W(φ2));(c)W(W(φ1))-W(M(q));(d)W(W(φ2))-W(M(q)).

圖13 共存現(xiàn)象 (a)共存混沌吸引子;(b)混沌吸引子與周期2極限環(huán)共存;(c)周期2極限環(huán)與周期1極限環(huán)共存;(d)共存周期1極限環(huán)Fig.13.Phenomenon of coexistence：(a)Coexisting chaotic attractor;(b)coexistence of chaotic attractor and limit cycle with period-2;(c)coexistence of limit cycle with period-2 and period-1;(d)coexisting limit cycle with period-1.

5.2 探索各憶阻器間的能量信號

取各憶阻器的能量信號作為獨(dú)立信號,探索各憶阻器能量信號間的關(guān)系,如圖12所示.圖12(a)反映的是憶阻器W(φ2)兩端的i-v特性圖,體現(xiàn)出了憶阻器斜“8”字的記憶特性.圖12(b)—(d)分別呈現(xiàn)了各憶阻器能量信號之間產(chǎn)生的吸引子,從圖中可以看出,兩憶阻器的能量信號之間都能產(chǎn)生奇怪吸引子.其吸引子的形狀有點(diǎn)像憶阻器斜“8”字的記憶特性圖,產(chǎn)生該現(xiàn)象的原因與憶阻器本身的記憶特性有關(guān).

5.3 共存吸引子

固定原系統(tǒng)δ,γ的值,初始值分別取(0.1,-0.1,-0.1,0,0,0)和(-0.1,-0.1,-0.1,0,0,0),當(dāng)β取合適參數(shù),能夠觀察到φ1與憶阻器W(φ1)的能量信號間產(chǎn)生共存吸引子現(xiàn)象,如圖13(a)所示.當(dāng)β=3.06時(shí),系統(tǒng)出現(xiàn)了共存混沌吸引子現(xiàn)象,且兩吸引子相互對稱即對稱吸引子.當(dāng)β=3.25時(shí),產(chǎn)生了混沌吸引子與周期2極限環(huán)共存現(xiàn)象,其對應(yīng)圖13(b).而當(dāng)β分別取3.6和4.0時(shí),系統(tǒng)能分別產(chǎn)生周期2極限環(huán)與周期1極限環(huán)共存和共存周期1極限環(huán)現(xiàn)象,如圖13(c)和圖13(d)所示.該結(jié)果表明,在相空間中有著相互獨(dú)立的混沌吸引盆和準(zhǔn)周期吸引盆.在憶阻混沌系統(tǒng)中共存現(xiàn)象有過少數(shù)報(bào)道,但還未在能量信號中研究其共存吸引子的產(chǎn)生.

6 總 結(jié)

利用具有光滑特性曲線的磁控和荷控兩種憶阻器模型,結(jié)合憶阻器與電容并聯(lián)、電感串聯(lián)和浮地型三種電路接法構(gòu)造了一個(gè)六階混沌電路,使用常規(guī)動(dòng)力學(xué)研究方法對其特性進(jìn)行了相應(yīng)的理論分析.研究表明,含三個(gè)憶阻器的混沌電路具有一個(gè)位于憶阻器內(nèi)部狀態(tài)變量所構(gòu)成三維空間上的平衡點(diǎn)集,并定性分析了該平衡點(diǎn)集的穩(wěn)定性空間分布,采用相軌圖、Lyapunov指數(shù)譜以及分岔圖等動(dòng)力學(xué)分析手段驗(yàn)證了理論分析的正確性.將觀察混沌吸引子時(shí)關(guān)注的電壓、電流以及磁通之間的特性推廣到了功率和能量信號,觀察到了蓮花型、疊加型吸引子等奇怪吸引子的產(chǎn)生,并研究了三個(gè)憶阻器的能量信號之間產(chǎn)生的吸引子相圖.特別地,當(dāng)初始狀態(tài)不同時(shí),系統(tǒng)在能量信號關(guān)系中出現(xiàn)了共存混沌吸引子或周期極限環(huán)與混沌吸引子的共存現(xiàn)象.盡管該系統(tǒng)產(chǎn)生的超混沌、暫態(tài)混沌、陣發(fā)周期等復(fù)雜動(dòng)力學(xué)行為在已有文獻(xiàn)報(bào)道,但這些現(xiàn)象都出現(xiàn)在了同一個(gè)憶阻混沌系統(tǒng)中尚不多見.本文提出的憶阻混沌電路豐富了憶阻器在高階混沌電路中的應(yīng)用,對其進(jìn)行深入研究具有重要的理論意義和工程應(yīng)用價(jià)值.由于在一定的電路參數(shù)下,該電路的穩(wěn)定性同時(shí)受平衡點(diǎn)集的三個(gè)非零特征根和三個(gè)零特征根影響,并對電路參數(shù)和系統(tǒng)初始值具有很強(qiáng)的敏感性,較其他混沌系統(tǒng)具有更多的電路參數(shù)和更加復(fù)雜的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu),擁有更豐富的混沌動(dòng)力學(xué)行為,提高了混沌系統(tǒng)的復(fù)雜度及其產(chǎn)生信號的隨機(jī)性.因此應(yīng)用于混沌保密通信中加密的信息更難破譯,將擁有更好的保密性能和安全性能.

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PACS:05.45.—a DOI:10.7498/aps.66.040502

Research on a six-order chaotic circuit with three memristors?

Wang WeiZeng Yi-Cheng?Sun Rui-Ting

(School of Physics and Optoelectronic Engineering,Xiangtan University,Xiangtan 411105,China)

26 August 2016;revised manuscript

23 November 2016)

A memristor is a nonlinear nanoscale-sized element with memory function,and it has an italic type “8” voltagecurrent relation curve that looks like a pinched hysteresis loop characteristic.The memristor is utilized to construct chaotic circuit,which has attracted the attention of the researchers.At present,most of studies focus on applying one or two memristors to the chaotic circuit.In order to study the multi memristor chaotic circuit,in this work we propose a sixorder chaotic circuit with two flux-controlled memristors and a charge-controlled memristor.A corresponding six-order nonlinear dynamic differential equation of the circuit state variables is established.The dynamic properties of the circuit are demonstrated in detail.The analyses of equilibria and equilibrium stability show that the circuit has an equilibrium located in the three-dimensional space which is constituted by memristor internal state variables,and it is found that the equilibrium stability is determined by the circuit parameters and the initial states of three memristors.The Lyapunov exponent spectra and bifurcation diagrams of the circuit imply that it can produce two bifurcation behaviors by adjusting its parameters,which are Hopf bifurcation and anti-period doubling bifurcation.The hyperchaos,transient chaos and intermittency cycle phenomena are found in the same system.The dynamical behavior of this circuit is dependent on the initial state of memristor,showing different orbits such as chaotic oscillation,periodic oscillation and stable sink under different initial states.Finally,the simulation results indicate that some strange attractors like lotus type and superposition type are observed when voltage and electricity signal in observing chaotic attractors are generalized to power and energy signal,respectively.And the attractor production between the energy signals of the memristors are studied.Specially,when different initial conditions of three memristors are used to simulate the circuit,we can find the coexistence phenomenon of chaotic attractors with different topological structures or quasi-periodic limit cycle and chaotic attractor.

The six-order chaotic oscillating circuit is mainly composed of three parts:the parallel connection between aflux-controlled memristor and capacitor,the serial connection between a charge-controlled memristor and inductor,and another flux-controlled memristor that is alone and floating,which enriches the application of memristor in highorder chaotic circuit.Compared with most of other chaotic systems,it has many circuit parameters and very complex topological structure,which enhances the complexity of chaotic system and the randomness of the generated signal.It is more difficult to decipher the encrypted information in chaotic secure communication,and thus it has better security performance and safety performance.

memristor,six-order chaotic circuit,floating,dynamics

:05.45.—a

10.7498/aps.66.040502

?國家自然科學(xué)基金(批準(zhǔn)號：61471310)資助的課題.

?通信作者.E-mail：yichengz@xtu.edu.cn

*Project supported by the National Natural Science Foundation of China(Grant No.61471310).

?Corresponding author.E-mail：yichengz@xtu.edu.cn