王仲梅,孟獻(xiàn)青

(1.湖南商學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，湖南長沙410000;2.山西大同大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，山西大同037009)

連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)的計(jì)算方法

王仲梅1,孟獻(xiàn)青2

(1.湖南商學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，湖南長沙410000;2.山西大同大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，山西大同037009)

通過實(shí)例給出了如何用定義計(jì)算連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)，并且給出了另外一種相對簡單的求一維連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)的方法。

連續(xù)型隨機(jī)變量；分布函數(shù)；連續(xù)函數(shù)；概率密度函數(shù)

在概率統(tǒng)計(jì)中，對于連續(xù)型隨機(jī)變量X，若已知概率密度 f(x)，求分布函數(shù)F(x)的公式很簡單，即在用這個(gè)公式求分布函數(shù)的時(shí)候主要有兩種情況[1-3]：第一種是 f(x)是非分段函數(shù)，例如標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布這時(shí)候直接利用公式可以計(jì)算出F(x)=這種情況相對比較簡單；第二種是 f(x)是分段函數(shù)，這類問題在本科學(xué)習(xí)階段比較多，而且部分學(xué)生會(huì)覺得比較難。下面我們主要討論 f(x)是分段函數(shù)的情形。

定義1設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量，x∈R，則稱F(x)=P(X≤x)為隨機(jī)變量X的分布函數(shù)。

由定義1，分布函數(shù)F(x)顯然滿足：

（1）單調(diào)不減，即若 x1,x2∈R ，且 x1≤x2，則F(x1)≤F(x2)；

（2）0≤F(x)≤1，且F(-∞)=0,F(+∞)=1 ；

下面我們討論兩種求解F(x)的方法：

方法1：定義法

定義2如果對于隨機(jī)變量X的分布函數(shù)F(x)，存在非負(fù)可積函數(shù) f(x)，對任意 x∈R有

解：根據(jù)分布函數(shù)的定義知，分布函數(shù)的定義域是R。 f(x)是個(gè)分段函數(shù)，它的分段點(diǎn)將數(shù)軸分成了四個(gè)區(qū)間，所以我們在每個(gè)區(qū)間上進(jìn)行。

所以，隨機(jī)變量X的分布函數(shù)

方法2：求 f(x)的一個(gè)原函數(shù)F(x)，

先給出下面兩個(gè)簡單的定理。

定理1連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)是連續(xù)函數(shù)。

證明由定義2知連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)是一個(gè)變上限函數(shù)，從而是連續(xù)函數(shù)。

定理2若連續(xù)型隨機(jī)變量X具有概率密度

證明由分布函數(shù)的性質(zhì) F(-∞)=0,F(+∞)=1知，C1=0,(x〈a1),Cn=1,(x∈其他),又因?yàn)?F(x)=所以在每個(gè)連續(xù)的區(qū)間段內(nèi)F′(x)=f(x)，即F(x)是 f(x)的一個(gè)原函數(shù)，所以∫hn(x)dx=Gn(x)+Cn，又因定理1知F(x)是連續(xù)函數(shù)，所以

解：由定理2知：

綜上，方法2與方法1相比，把方法1中求的公式中定積分計(jì)算轉(zhuǎn)化成了簡單不定積分的計(jì)算，相對簡化了計(jì)算量。

[1]韓旭里.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)[M].上海：復(fù)旦大學(xué)出版社,2012.

[2]熊萬年.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)[M].長春：東北師范大學(xué)出版社,2014.

[3]桂春燕.連續(xù)的分布函數(shù)與連續(xù)型隨機(jī)變量的關(guān)系[J].安慶師范學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2015(2)：101-102.

The Calculation Method for Distribution Function of Continuous Random Variable

WANG Zhong-mei1,MENG Xian-qing2
（1.School of Mathematics and Statistics,Hunan Business College,Changsha Hunan,410000;2.School of Mathematics and Computer Sciences,Shanxi Datong University,Datong Shanxi,037009）

In this paper,an example shows how to compute distribution function of the continuous random variable by definition and presents an other method.Compared to the definition,the present method is simpler and costs less calculation.

continuous random variable;distribution function;continuous function;the probability density function.

O175

A

〔責(zé)任編輯 高?！?/p>

1674-0874(2017)01-0016-02

2016-10-15

王仲梅(1980-)，女，山西大同人，碩士，講師，研究方向：圖論及其應(yīng)用。