南敬昌,張云雪,高明明

(遼寧工程技術(shù)大學(xué) 電子與信息工程學(xué)院,遼寧 葫蘆島 125105)

融合BFGS的自適應(yīng)蜂群算法在諧波平衡分析中的應(yīng)用

南敬昌,張云雪,高明明*

(遼寧工程技術(shù)大學(xué) 電子與信息工程學(xué)院,遼寧 葫蘆島 125105)

(*通信作者電子郵箱1455525715@qq.com)

針對諧波平衡分析中傳統(tǒng)算法存在初值限制,以及智能算法收斂速度慢的缺點,提出一種基于BFGS(Broyden-Fleteher-Goldfarl-Shanno)算法局部搜索策略的自適應(yīng)蜂群算法。該算法在基本蜂群算法的基礎(chǔ)上引入非線性的動態(tài)調(diào)整因子代替蜂群算法搜索公式中的隨機變量,增加搜索的自適應(yīng)性,并將BFGS算法運用到自適應(yīng)蜂群算法后期求解,提高其局部搜索能力。實驗結(jié)果表明,改進算法較標準蜂群算法迭代次數(shù)減少51.9%,相對于傳統(tǒng)BFGS算法和部分改進智能算法均表現(xiàn)出較好收斂性能。

自適應(yīng)蜂群算法;動態(tài)調(diào)整因子;BFGS算法;諧波平衡;非線性分析

0 引言

微波有源非線性電路的分析與設(shè)計一直是微波技術(shù)領(lǐng)域的主要工作,自20世紀80年代以來,諧波平衡法[1-2]被廣泛應(yīng)用于射頻微波電路的非線性分析中。諧波平衡分析中算法求解過程較為耗時且精度不高。擬牛頓算法[3]每次迭代只需通過測量梯度的變換構(gòu)造一個目標函數(shù)模型從而達到超線性收斂特性,避免了牛頓法中Hessen矩陣的計算,更適合現(xiàn)實大規(guī)模非線性電路的求解；但若初值遠離極值點將導(dǎo)致算法不收斂。文獻[4]引入伽遼金法以減少諧波分析時采用過采樣技術(shù)產(chǎn)生的多項式方程,從而降低求解維度；但在求解過程中計算目標函數(shù)一階導(dǎo)數(shù)及Hessen矩陣時增加了算法的計算復(fù)雜度。針對以上問題,文獻[5]提出擬牛頓粒子群算法,可有效避免傳統(tǒng)算法對初值的限制,且無需進行目標函數(shù)導(dǎo)數(shù)計算,在一定程度上加快了算法后期收斂,但粒子群算法易陷入局部最優(yōu),導(dǎo)致求解精度受限;文獻[6]提出的混合蟻群算法雖提高了算法后期收斂速度,但由于蟻群算法迭代初期信息素匱乏,算法初期仍存在收斂較慢的問題。針對以上算法的問題和不足,有必要去探索新型智能、高效的算法來提高收斂速度及求解精度。

人工蜂群(Artificial Bee Colony,ABC)算法[7]作為一種新興的群智能優(yōu)化技術(shù),由于其控制參數(shù)少、易于實現(xiàn)、計算方便等優(yōu)點,近幾年備受學(xué)者關(guān)注。文獻[8]受粒子群速度進化公式啟發(fā),在蜜源搜索中引入“自我認知能力”和“社會認知能力”,提高了算法的尋優(yōu)能力,同時加入互斥因子以保證種群的多樣性;文獻[9]引入擁擠距離保持種群的多樣性,并根據(jù)帕累托最優(yōu)理論改進跟隨蜂選擇概率,在保持種群多樣性的同時提高了求解精度;文獻[10]將正交學(xué)習(xí)策略引入到搜索公式中,使產(chǎn)生的解更具搜索前景,增強了局部尋優(yōu)能力;文獻[11]通過調(diào)整遞進步長使搜索精度提高,并引入了最大嘗試次數(shù),從而加快算法收斂。上述文獻雖然針對ABC算法的不足提出了多種改進策略,但在平衡算法探索能力和開發(fā)能力方面仍需進行進一步的研究。

本文在標準蜂群算法的基礎(chǔ)上,為克服算法易陷入局部最優(yōu)、后期收斂速度慢的缺點以及提高算求解精度,引入動態(tài)調(diào)整因子ω,使引領(lǐng)蜂由隨機搜索轉(zhuǎn)為向著當前最優(yōu)解方向搜索,在保證遍歷性的同時減少了算法的迭代次數(shù);參照文獻[5-6]的局部尋優(yōu)策略,在收斂后期將BFGS(Broyden-Fleteher-Goldfarl-Shanno)算法融合到改進的蜂群算法中,將當前最優(yōu)解作為BFGS算法的初始值,利用其快速收斂的優(yōu)點提高改進算法后期的迭代速度。實驗結(jié)果表明,改進算法能有效應(yīng)用于求解諧波平衡方程。

1 諧波平衡分析方程

對于大信號下的射頻電路,去除激勵源,可以把其大信號等效電路分為線性和非線性兩部分[12],根據(jù)Kirchhoff定律線性與非線性端口電流相等可得到諧波平衡方程,再采用適當?shù)乃惴ㄇ蠼?進而可求出電路中任意元件上的電流和電壓值,且求得的值含有諧波,可以很好地描述電路中的非線性現(xiàn)象。

圖1為金屬-半導(dǎo)體場效晶體管(Metal-Semiconductor Field-Effect Transistor, MESFET)大信號模型電路模型[2],電路中的非線性網(wǎng)絡(luò)僅包含非線性元件,分別是壓控電流源Igs、Idg和Ids;線性網(wǎng)絡(luò)包含電路中所有的線性元件、源端阻抗、負載阻抗以及直流偏置和激勵,其中Zin和ZL分別為輸入、輸出匹配阻抗。Vs是輸入信號,Vg和Vd為柵極和漏極的直流偏置電壓。諧波平衡方程的頻域表達式如下:

(1)

其中線性網(wǎng)絡(luò)電流可表示為:

V4由直流偏壓Vg和基波偏壓Vs組成,V5由直流偏壓Vd組成。其中，V1、V2、V3即為所求,在求解算法中需對其進行初值設(shè)定。導(dǎo)納矩陣Y中的元素也都是矩陣形式,每一個子矩陣都是對角線矩陣形式,它的元素Ym,n是在每一個基本激勵頻率ωp的諧波k(k=0,1,…,K)上的分量。

Ym,n=diag[Ym,n(kωp)];k=0,1,…,K

(2)

電流矢量In是第n個端口的電流諧波：

非線性網(wǎng)絡(luò)中的Igs、Idg和Ids根據(jù)經(jīng)驗公式[1]可表達為:

Igs=Ig0(eαfVg-1)

(3)

Idg=Ib0(eαrVdg-1)

(4)

(5)

其中:電流Igs受電容Cgs兩端的電壓Vg控制,Vg即為模型中的1端口電壓V1;Idg受電容Cdg兩端電壓Vdg控制；Vdg為模型中的2端口電壓V2;Ids與電壓Vg和Vd有關(guān),Vd=Vds-IgRs-Id(Rd+Rs)。式(3)～(5)中的Ig0、Ib0、αf、αr、β、λ、b、VT和α利用MESFET直流特性得到。

最后諧波平衡方程可表達為:

(6)

f(V)即為電流誤差矢量,在求解過程中作為目標函數(shù)。

圖1 經(jīng)分解的晶體管大信號電路模型Fig. 1 Decomposed large signal circuit model of the transistor

2 融合BFGS的自適應(yīng)蜂群算法

針對蜂群算法后期收斂速度較慢,將引領(lǐng)蜂搜索公式進行改進,使其具有動態(tài)自適應(yīng)性,在保證算法遍歷性的前提下加快局部收斂特性;同時在算法后期加入BFGS算法,使其達到快速收斂。

2.1 標準蜂群算法

蜂群算法[13-15]通過模擬蜜蜂采蜜機制處理函數(shù)優(yōu)化問題。在求解優(yōu)化問題時,食物源的位置即為解空間,優(yōu)化問題的可行解的集合稱為一個種群,種群中每個個體(可行解)對應(yīng)一個食物源,食物源的優(yōu)劣程度取決于待優(yōu)化問題的適應(yīng)度值,可行解的個數(shù)等于引領(lǐng)蜂與跟隨蜂之和。諧波平衡方程可以看作是非線性函數(shù)最小值問題,可表示為minf(V),由式(1)得到適應(yīng)度函數(shù):

fiti=|f(Vi)|

(7)

下面對ABC算法求解諧波平衡方程的關(guān)鍵步驟進行介紹:

1)設(shè)置初始進化代數(shù)m=0,最大循環(huán)次數(shù)mMAX,標志向量bas(u)=0記錄每個個體(可行解)出現(xiàn)的次數(shù)。在m=0時刻,算法根據(jù)式(8)隨機生成NP個個體V構(gòu)成初始種群。

(8)

2)T=t時刻,對于第t代的引領(lǐng)蜂V(t),在其當前位置附近鄰域內(nèi),局部搜索新的食物源(可行解)搜索公式為:

(9)

其中:j∈{1,2,…,D};k∈{1,2,…,NP/2}隨機生成;rand()為區(qū)間[0,1]內(nèi)的隨機數(shù)。對引領(lǐng)蜂局部搜索生成的Xi和目標個體Vi進行適應(yīng)度值計算并比較,保留適應(yīng)度值較小的個體,確保種群在進化方向上不出現(xiàn)退化。

(10)

(11)

4)當某一個引領(lǐng)蜂對應(yīng)的食物源經(jīng)多次搜索后仍為發(fā)現(xiàn)的最優(yōu)位置,即bas(u)≥limit(limit為設(shè)定的淘汰條件),對應(yīng)的個體被淘汰并按式(8)搜索產(chǎn)生新個體。此淘汰機制可避免種群多樣性喪失,防止種群陷入局部最優(yōu)值。

5)若滿足終止條件,算法停止迭代,輸出最優(yōu)食物源位置(最優(yōu)解)；否則跳轉(zhuǎn)至步驟2)繼續(xù)執(zhí)行。

2.2 BFGS自適應(yīng)蜂群算法

2.2.1 搜索公式改進

標準蜂群算法的鄰域搜索公式通過隨機變量控制鄰域食物源位置搜索,存在很大的盲目性,從而影響了算法的收斂速度。由于諧波平衡方程呈現(xiàn)非線性,故在改進搜索公式時考慮引入非線性的動態(tài)調(diào)整因子。本文將自適應(yīng)動態(tài)調(diào)整因子ω代替搜索公式中的隨機變量,在保證算法遍歷性的同時加快算法的收斂速度。改進搜索公式如下:

(12)

其中：ωmax、ωmin分別表示自適應(yīng)動態(tài)調(diào)整因子ω的最大值和最小值;fiti代表引領(lǐng)蜂當前的適應(yīng)度值;fitavg表示平均適應(yīng)度值;fitmin表示最小的適應(yīng)度值。自適應(yīng)調(diào)整因子隨著適應(yīng)度值而自動改變，因此使得改進的搜索公式具有自適應(yīng)性。

對于適應(yīng)度值小于平均適應(yīng)度值的引領(lǐng)蜂，其對應(yīng)的自適應(yīng)調(diào)整因子較小，從而保護了這個引領(lǐng)蜂所在蜜源; 反之，對于適應(yīng)度值大于平均適應(yīng)度值的引領(lǐng)蜂，其對應(yīng)的自適應(yīng)調(diào)整因子較大，增大搜索的全局性，使其向較好的蜜源靠攏。

2.2.2 BFGS算法

BFGS算法是一種應(yīng)用最為廣泛的擬牛頓算法[16],不需要計算Hessen矩陣,同時保存了牛頓算法的超線性收斂特性。為加快蜂群算法的局部搜索特性,本文將BFGS算法融合到自適應(yīng)蜂群算法求解中,BFGS算法校正公式如下:

當蜂群算法運行達到最大的循環(huán)次數(shù)mMAX時,將蜂群算法當前最優(yōu)解作為BFGS算法的初值V(0),具體步驟如下:

步驟1 給定初值點V(0),設(shè)定H0為I,I為單位矩陣,精度εMAX。

步驟2 判斷f(V(0))≤εMAX,若成立輸出結(jié)果V(0)；否則令q(k)=-Hk▽f(V(k)),k=0。

步驟4 判斷f(V(k+1))≤εMAX,若成立則輸出V(k+1)，否則轉(zhuǎn)至步驟5。

步驟5 通過校正公式得到Hk+1,其中Sk=V(k+1)-V(k),yk=▽f(V(k+1))-▽f(V(k)),令q(k)=-Hk+1▽f(V(k+1)),k=k+1,轉(zhuǎn)至步驟3。

2.2.3 融合BFGS算法的自適應(yīng)蜂群算法

改進算法求解f(V)的流程如圖2所示。

圖2 改進算法流程Fig. 2 Flow chart of improved algorithm

步驟1 初始化種群,自適應(yīng)蜂群算法最大循環(huán)次數(shù)mMAX,改進算法全局最大循環(huán)次數(shù)nMAX,誤差精度εMAX,初始進化代數(shù)m,標志向量bas(u),根據(jù)式(8)生成初始解,計算每個解的適應(yīng)度。

步驟2 取適應(yīng)度值較小的一半個體為引領(lǐng)蜂,根據(jù)式(11)進行自適應(yīng)搜索產(chǎn)生新解X,并計算各解向量的適應(yīng)度函數(shù)值。

步驟3 根據(jù)式(10)進行貪婪選擇,若Xi的適應(yīng)度值小于Vi,則用Xi代替Vi,將Xi作為當前最優(yōu)解；否則保留Vi。

步驟4 計算選擇概率Pi,跟隨蜂根據(jù)Pi選擇食物源,根據(jù)式(12)進行鄰域搜索產(chǎn)生新解Xi,并計算各解向量的適應(yīng)度函數(shù)值。

步驟5 對跟隨蜂搜索產(chǎn)生新解的適應(yīng)度函數(shù)值與原跟隨蜂種群中解的適應(yīng)度函數(shù)值根據(jù)式(10)進行貪婪選擇。

步驟6 判斷是否有需要放棄的解,若bas(u)≥limit,偵查蜂根據(jù)式(8)生成一個新解代替原個體。

步驟7 判斷是否滿足精度εMAX,若達到精度要求，即ε<εMAX，則輸出當前解。反之,判斷是否達到自適應(yīng)蜂群算法最大的循環(huán)次數(shù)mMAX,若m≥mMAX,轉(zhuǎn)至步驟8；否則轉(zhuǎn)至步驟2。

步驟8 將得到的當前較優(yōu)解作為BFGS算法的初值V(0),繼續(xù)進行迭代,當滿足精度εMAX或達到最大循環(huán)次數(shù)nMAX時,算法結(jié)束,輸出當前解；若不滿足,繼續(xù)按步驟8進行迭代。

2.3 時間復(fù)雜度分析

融合BFGS的自適應(yīng)蜂群算法與標準蜂群算法在搜索策略和后期迭代方式上均有不同,因此,需要對改進蜂群算法的時間復(fù)雜度進行分析。設(shè)種群大小為NP,算法(迭代一次)的時間復(fù)雜度分析如下:引領(lǐng)蜂進行局部搜素的時間復(fù)雜度為O(NP),計算蜜源適應(yīng)度值和蜜源擇優(yōu)更新的時間復(fù)雜度均為O(NP),跟隨蜂采用輪盤賭方式進行跟隨的時間復(fù)雜度為O(NP2),之后進行局部搜索和蜜源更新的時間復(fù)雜度均為O(NP),偵查蜂階段進行蜜源更新的時間復(fù)雜度為O(NP)。搜索公式更新后的蜜源的局部搜索時間復(fù)雜度仍為O(NP),BFGS算法的時間復(fù)雜度為O(NP)。

綜上所述融合BFGS的自適應(yīng)蜂群算法的最差時間復(fù)雜度為O(NP2),同理,標準蜂群算法的最差時間復(fù)雜度為O(NP2),所以改進蜂群算法并沒有增加原始算法的時間復(fù)雜度。

3 仿真分析

本文選用MRF6S19060N晶體管,用Matlab軟件進行電路建模分析,建立并計算諧波平衡方程。晶體管漏極直流電壓VDS=28 V,漏極靜態(tài)電流IDQ=0.632 A,柵極偏壓VGS=2.7 V,工作頻率為1.96 GHz,輸入功率為20 dBm,源端阻抗和負載阻抗均為50 Ω。改進蜂群算法部分參數(shù)設(shè)置如下：NP=40，ωmax=0.9，limit=30，ωmin=0.6。

3.1 算法收斂時間分析

本次實驗選取諧波數(shù)目K分別為8和16,mMAX=50,將誤差精度作為算法終止條件,精度選取如表1所示,在每個誤差精度下隨機進行20次獨立實驗。為了驗證本文算法的性能,分別與求解諧波平衡的基本算法(BFGS算法)、改進粒子群算法[5]、混合蟻群算法[6]比較分析。

表1 算法平均收斂時間Tab. 1 Average convergence time of the algorithm

如表2所示,本文改進算法相對于BFGS算法,在求解較高精度解以及高諧波的條件下,收斂速度明顯提高;較文獻[5-6]算法在相同精度和諧波數(shù)的情況下,收斂時間均有不程度的減少。

3.2 收斂可靠性分析

分別采用BFGS算法、標準蜂群算法和本文改進算法隨機進行100次獨立實驗,將最大迭代次數(shù)100作為算法終止條件。表2給出了3種算法求解諧波平衡方程的收斂可靠性。

表2 收斂可靠性對比 %Tab. 2 Comparison of convergence reliability %

由表3可以看出,融合BFGS的自適應(yīng)蜂群算法收斂可靠性達到100%;標準蜂群算法由于后期收斂速度較慢,其收斂可靠性僅為21%;擬牛頓算法受初值選取的限制,收斂可靠性為64%。由此證明改進算法很好地解決了擬牛頓算法的初值依賴問題,提高了算法的收斂可靠性。

3.3 算法收斂性能分析

圖3是標準蜂群算法與本文改進算法求解諧波平衡方程的迭代曲線,標準蜂群算法需迭代108次,而本文改進算法迭代52次便完成收斂,相對于標準蜂群算法迭代次數(shù)減少51.9%,可見,融合BFGS算法的自適應(yīng)蜂群算法在后期迭代次數(shù)明顯減少。改進算法迭代曲線始終處于標準蜂群算法迭代曲線下側(cè),是由于改進后的搜索方程具有自適應(yīng)性,加快了算法整體的迭代速度。

圖3 融合BFGS的自適應(yīng)蜂群算法與標準蜂群算法迭代對比Fig. 3 Iterative comparison of adaptive bee colony algorithm with BFGS and standard bee colony algorithm

3.4 算法應(yīng)用驗證

電路仿真中,由于存在非線性元件,導(dǎo)致整個電路出現(xiàn)非線性現(xiàn)象,在工程設(shè)計中通?？紤]二次、三次諧波對電路的影響,故表3給出了計算所得柵極和漏極基波、二次和三次諧波電壓。

表3 柵、漏極電壓諧波 VTab. 3 Gate, drain voltage harmonics V

圖4描述了單音輸入時的諧波特性,當輸入小于30 dBm時,隨著輸入功率的增大,基波輸出功率隨之增加,當輸入大于30 dBm時輸出功率產(chǎn)生壓縮特性,逐漸趨于飽和,表現(xiàn)出功放的非線性特點;二次諧波由于晶體管內(nèi)部的特性,增大到一定程度達到飽和,并逐漸減小;三次諧波隨著輸入功率不斷增加,并且輸出功率逐漸超過二次諧波。圖4～5中直線表示實測數(shù)據(jù),點表示仿真數(shù)據(jù)。

圖4 單音輸入諧波特性Fig. 4 Characteristics of single input harmonic

圖5為1 958.75 MHz和1 961.25 MHz雙音信號等功率輸入的諧波特性曲線圖,基波和三階交調(diào)波的輸出功率都隨著輸入功率的增大而不斷增大,而基波的增大速度逐漸減小。從圖4～5可以看出,實測曲線與仿真曲線基本吻合,證明本文改進算法在諧波平衡分析中應(yīng)用成功。

圖5 雙音輸入諧波特性Fig. 5 Characteristics of two tone input harmonic

4 結(jié)語

本文針對分析射頻功率放大器時所建立的諧波平衡方程,提出一種新的求解算法,即融合BFGS的自適應(yīng)蜂群算法。該算法將動態(tài)調(diào)整因子引入到食物源更新機制中,加快算法向全局最優(yōu)值的搜索進程,后期采用基于BFGS算法的局部尋優(yōu)策略進行快速求解,以克服蜂群算法后期收斂速度慢的缺點。仿真結(jié)果表明,本文提出的改進蜂群算法成功應(yīng)用于諧波平衡分析,并且可有效減少收斂時間,提高諧波平衡方程求解效率。

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This work is partially supported by the National Natural Science Foundation of China (61372058), the Key Laboratory of Universities and colleges Program of the Liaoning Province (LJZS007), the Scientific Research General Program of Liaoning Provincial Department of Education (L2015209).

NAN Jingchang, born in 1971, Ph. D., professor. His research interests include radio frequency circuit and device, multimedia information coding, communication system simulation.

ZHANG Yunxue, born in 1991, M. S. Her research interests include harmonic balance equation solving algorithm for radio frequency power amplifier.

GAO Mingming, born in 1980, Ph. D., associate professor. Her research interests include wireless communication, radio frequency communication.

Adaptive bee colony algorithm combined with BFGS algorithm for microwave circuit harmonic balance analysis

NAN Jingchang, ZHANG Yunxue, GAO Mingming*

(SchoolofElectricsandInformationEngineering,LiaoningTechnicalUniversity,HuludaoLiaoning125105,China)

In view of the shortcomings of the initial value limitation of traditional algorithms and slow convergence speed of intelligent algorithms in harmonic balance analysis, an adaptive bee colony algorithm based on local search strategy of Broyden-Fleteher-Goldfarl-Shanno (BFGS) algorithm was proposed. Based on the basic bee colony algorithm, nonlinear dynamic adjustment factor was introduced to replace the random variables in the formula, thus improving the adaptability of searching. Meanwhile, BFGS algorithm was applied to the later period of bee colony algorithm to speed up the local search capability. Simulation results show that compared with the standard bee colony algorithm, the number of iterations of the improved algorithm was reduced by 51.9%, and the proposed algorithm has better convergence performance compared with the traditional BFGS algorithm and some other improved intelligent algorithms.

adaptive bee colony algorithm; dynamic adjustment factor; Broyden-Fleteher-Goldfarl-Shanno (BFGS) algorithm; harmonic balance; nonlinear analysis

2016-10-10;

2016-11-25。

國家自然科學(xué)基金資助項目(61372058);遼寧省高校重點實驗室項目(LJZS007);遼寧省教育廳科學(xué)研究項目(L2015209)。

南敬昌(1971—),男,河南滑縣人,教授,博士,主要研究方向:射頻電路與器件、多媒體信息編碼、通信系統(tǒng)仿真; 張云雪(1991—),女,天津人,碩士,主要研究方向:射頻功率放大器諧波平衡方程求解算法; 高明明(1980—),女,內(nèi)蒙古平莊人,副教授,博士,主要研究方向:無線通信、射頻通信。

1001-9081(2017)05-1516-05

10.11772/j.issn.1001-9081.2017.05.1516

TN711.4

A