海波，姚海龍，孟叢叢

（蘭州城市學(xué)院 電子與信息工程學(xué)院，蘭州 730070）

使用軸承振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行故障診斷是常用的故障診斷方式，振動(dòng)信號(hào)的特征提取和故障識(shí)別則是滾動(dòng)軸承故障診斷的重要步驟［1-3］。

在特征提取方面，近似熵（Approximate Entropy，AE）與樣本熵（Sample Entropy，SE）對(duì)信號(hào)數(shù)據(jù)的長(zhǎng)度較為敏感，且在熵值的計(jì)算過程中需對(duì)信號(hào)進(jìn)行2次重構(gòu)，算法較為復(fù)雜［4-7］；排列熵（Permutation Entropy，PE）雖然僅需對(duì)信號(hào)進(jìn)行1次重構(gòu)，但計(jì)算過程中仍需要復(fù)雜的排序運(yùn)算［8-10］；基本尺度熵（Base-Scale Entropy，BSE）計(jì)算簡(jiǎn)單、效率高，且具有一定的抗干擾能力，在齒輪故障診斷中有一定的應(yīng)用［11-13］；然而，上述方法只能檢測(cè)時(shí)間序列信號(hào)在單一尺度上的復(fù)雜性，而多尺度熵（Multiscale Entropy，ME）能衡量時(shí)間序列信號(hào)在不同尺度下的復(fù)雜性［14-15］，其中多尺度排列熵（Multiscale Permutation Entropy，MPE）模型在滾動(dòng)軸承信號(hào)特征提取中的效果較好［16-17］。

在故障識(shí)別方面，GK（Gustafson-Kessel）和GG（Gath-Geva）聚類算法比較常用，但均需要事先劃分聚類數(shù)目［18-22］；CFS（Clustering by Fast Search）聚類算法［23］簡(jiǎn)單明快，其根據(jù)數(shù)據(jù)點(diǎn)的局部密度和截?cái)嗑嚯x對(duì)具有跳躍性的數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行聚類中心點(diǎn)的選定，不需要聚類數(shù)目的劃分。

綜上所述，雖然ME可獲得多尺度的信息，但卻存在數(shù)據(jù)維數(shù)高，無法可視化等問題，可采用主成分分析法（Principal Component Analysis，PCA）進(jìn)行數(shù)據(jù)降維，從而作為CFS的輸入。因此，將多尺度基本熵（Multiscale Base-scale Entropy，MBSE）與CFS聚類算法結(jié)合，嘗試用于滾動(dòng)軸承的故障診斷。

1 多尺度基本熵

1.1 基本尺度熵

BSE的計(jì)算步驟如下：

1）對(duì)于一個(gè)給定數(shù)據(jù)長(zhǎng)度的時(shí)間序列u()i（1≤i≤N），數(shù)據(jù)集 Xmi（1≤i≤N-m+1）需進(jìn)行如下重構(gòu)

3）對(duì)得到的BS值進(jìn)行符號(hào)劃分，將轉(zhuǎn)變?yōu)榉?hào)序列 Si（X（i））＝｛s（i），…，s（i+m-1）｝，s∈ A（1，2，3，4），轉(zhuǎn)換方式為

4）統(tǒng)計(jì)符號(hào)序列Si的概率分布情況P（π），由于Si（X（i））由m維時(shí)間序列Xmi形成，且存在4種符號(hào)，所以共有4m種不同組合狀態(tài)π，則統(tǒng)計(jì)概率 P（π）為

5）計(jì)算BSE，其計(jì)算式為

1.2 多尺度基本熵

BSE確定的是時(shí)間序列在單一尺度上的復(fù)雜度和無規(guī)則程度，MBSE反映的則是時(shí)間序列在不同尺度下的復(fù)雜性程度，其定義為時(shí)間序列在不同尺度下的BSE，其中多尺度通過粗?；^程獲得，具體的計(jì)算步驟如下：

1）對(duì)于原始數(shù)據(jù)Xmi，建立新的粗粒向量為

式中：τ為尺度因子（τ＝1，2，…），若 τ＝1則為原始數(shù)據(jù)；M為樣本總數(shù)。對(duì)于非零原始序列Xmi，其被分為τ個(gè)每段長(zhǎng)M／τ的粗粒序列yj（τ）。

2）分別計(jì)算τ個(gè)粗粒序列為yj（τ）的 BSE，形成MBSE。

2 主成分分析

MBSE模型提取的信號(hào)維度較高，存在數(shù)據(jù)冗余、計(jì)算效率低、無法可視化等問題，而PCA可以抽取數(shù)據(jù)的主要成分，對(duì)特征向量進(jìn)行降維以作為CFS聚類算法的輸入。

對(duì)于一個(gè)給定的MBSE或MPE矩陣X＝［x1，x2，…，xN］，其中N為樣本數(shù)量，n為樣本的維數(shù)，且滿足n＜N。其計(jì)算步驟為：

3）使用奇異值方法分解協(xié)方差矩陣，則Rx＝ATΛA，ATA＝AAT＝I。A＝［A1，A2，…，An］T為矩陣X對(duì)應(yīng)的特征值矩陣，其中Λ＝diag（λ1，λ2，…，λn），是矩陣A按照降序排列的對(duì)角矩陣。

4）使用累積貢獻(xiàn)率θk確定X的主要成分個(gè)數(shù)，即

式中：θk為從第1到第k個(gè)主要成分的百分比。

3 CFS聚類算法

CFS聚類算法的核心思想在于對(duì)聚類中心的刻畫上，聚類中心點(diǎn)的特點(diǎn)為：1）自身密度大，即被密度均不超過自己的近鄰數(shù)據(jù)點(diǎn)包圍；2）與其他密度更大數(shù)據(jù)點(diǎn)之間的距離更大。

CFS聚類的詳細(xì)計(jì)算過程［23］如下：

1）設(shè)具有N個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)的數(shù)據(jù)集合X＝｛x1，x2，…，xN｝，該集合中的任何數(shù)據(jù)點(diǎn)xi與xj之間的距離為

式中：當(dāng)xi具有最大局部密度時(shí)，δi表示數(shù)據(jù)集合X中與數(shù)據(jù)點(diǎn)xi距離最大的數(shù)據(jù)點(diǎn)與xi之間的距離；否則δi表示在所有局部密度大于xi的數(shù)據(jù)點(diǎn)中與xi距離最小數(shù)據(jù)點(diǎn)之間的距離。

4）計(jì)算每個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)的γ值并進(jìn)行降序排列

5）根據(jù)γ確定其聚類中心，γi越大表示成為聚類中心點(diǎn)的可能性越大。故對(duì)γ進(jìn)行降序排列，依次選取γ較大且具有跳躍性的數(shù)據(jù)點(diǎn)作為聚類中心點(diǎn)，即聚類中心點(diǎn)過渡到非聚類中心點(diǎn)時(shí)γ值具有明顯的跳躍性。

6）統(tǒng)計(jì)每個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)與聚類中心的距離小于截?cái)嗑嚯xdc的個(gè)數(shù)（即ρi），從而實(shí)現(xiàn)分類。

4 試驗(yàn)分析

4.1 數(shù)據(jù)來源

試驗(yàn)軸承為6205-2RS JEM-SKF深溝球軸承，使用電火花技術(shù)分別在軸承內(nèi)圈、外圈、球上設(shè)置單點(diǎn)故障［24］。本試驗(yàn)選用的故障直徑為0.177 8 mm，電動(dòng)機(jī)功率為1 496W，轉(zhuǎn)速為1 750 r／min，采樣頻率為12 kHz。在此情況下采集到正常（NR），內(nèi)圈故障（IRF），外圈故障（ORF）和球故障（BF）4種狀態(tài)的振動(dòng)信號(hào)。

4.2 參數(shù)設(shè)置

BSE：嵌入維數(shù) m的取值范圍一般為3～7［11-13］，且要滿足 4m≤ N條件（N為序列的長(zhǎng)度）；參數(shù) a一般取值為0.1～0.4［11-13］；根據(jù)軸承振動(dòng)信號(hào)的特性，選擇m＝4，a取值為0.2或0.3。

MBSE：尺度因子 τ一般設(shè)置為 20［15-17］，振動(dòng)信號(hào)的長(zhǎng)度統(tǒng)一取為N＝2 048。

CFS：需選取一個(gè)階段距離參數(shù)dc，使得每個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)的平均近鄰數(shù)據(jù)點(diǎn)（即距離不超過dc的數(shù)據(jù)點(diǎn)）約占數(shù)據(jù)點(diǎn)總數(shù)的1%～2%。dc設(shè)置太大，會(huì)使每個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)xi的局部密度數(shù)值ρi較大，導(dǎo)致區(qū)分度不高；若dc設(shè)置過小，則會(huì)導(dǎo)致同一個(gè)簇類被拆分成多個(gè)［23］。綜合考慮，設(shè)置dc為比例k／M＝1.5%情況下的數(shù)值。

4.3 試驗(yàn)流程

試驗(yàn)流程如圖1所示，主要步驟為：

圖1 試驗(yàn)流程Fig.1 Experimental flow chart

1）預(yù)先設(shè)置模型的參數(shù)；

2）使用MBSE模型對(duì)采集的振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行多尺度分解，得到不同尺度因子下的MBSE值；

3）統(tǒng)計(jì)MBSE的計(jì)算總時(shí)間和平均時(shí)間，進(jìn)行計(jì)算效率對(duì)比；

4）使用PCA方法進(jìn)行數(shù)據(jù)降維，選擇（9）式中的參數(shù)k＝2時(shí)的主要成分作為CFS聚類模型的輸入；

5）與MPE模型進(jìn)行對(duì)比分析。

4.4 對(duì)比分析

對(duì)采集到4種狀態(tài)的實(shí)際振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行編號(hào)：NR為 1～50，IRF為51～100，BF為 101～150，ORF為151～200。每種狀態(tài)下振動(dòng)信號(hào)某一樣本的幅值如圖2所示。從圖中可以看出：NR和BF的信號(hào)沒有明顯的周期性，這是由于NR和BF振動(dòng)信號(hào)的隨機(jī)性較強(qiáng)，故兩者的自相似性較低，兩者難以區(qū)分；IRF和ORF信號(hào)具有較為明顯的振動(dòng)規(guī)律，這是由于兩者的自相似性較高，特別是內(nèi)圈固定、外圈轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的振動(dòng)規(guī)律更加明顯，但這2種信號(hào)的振動(dòng)規(guī)律相似，也難以區(qū)分。

圖2 軸承不同故障狀態(tài)下的振動(dòng)信號(hào)Fig.2 Vibration signals of rolling bearing under different faults

為準(zhǔn)確進(jìn)行故障識(shí)別，需進(jìn)一步提取信號(hào)的特征向量，根據(jù)預(yù)先設(shè)置的參數(shù)，使用MPE／MBSE模型對(duì)實(shí)際振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行多尺度分解，得到的不同尺度因子下的熵值，如圖3所示。

圖3 多尺度分解結(jié)果Fig.3 Multi-scale decomposition results

從圖3中可以看出，MBSE與MPE值整體上呈現(xiàn)減小的趨勢(shì)，因?yàn)檎駝?dòng)信號(hào)在分解之后，頻率依此從高到低，故呈現(xiàn)減小趨勢(shì)，表明其信息主要包含在尺度因子較小的MBSE與MPE值中。經(jīng)過統(tǒng)計(jì)得到：MBSE模型計(jì)算用時(shí)22.219 8 s，MPE模型計(jì)算用時(shí)38.246 7 s，即MBSE模型的計(jì)算效率較高。主要原因是由于PE模型在統(tǒng)計(jì)每種符號(hào)序列出現(xiàn)的概率前需要對(duì)N-m+1個(gè)m維矢量進(jìn)行升序排序［9-10］，但 BSE模型在統(tǒng)計(jì)概率P(π)前只需要計(jì)算相鄰點(diǎn)數(shù)間隔的差值方均根值，不需要進(jìn)行復(fù)雜的排序運(yùn)算［11-13］；另外，在劃分到多尺度上時(shí)，需要計(jì)算尺度從1～20情況下的PE／BSE值，會(huì)加大MPE／MBSE模型的計(jì)算時(shí)間落差。

由于上述熵值特征矩陣的維度為20，在進(jìn)行故障識(shí)別時(shí)會(huì)造成數(shù)據(jù)不易可視化和信息冗余等問題。故使用PCA模型進(jìn)行降維，根據(jù)（9）式計(jì)算所得的累計(jì)貢獻(xiàn)率結(jié)果見表1，表中λ1與λ2代表原始數(shù)據(jù)經(jīng)過PCA降維后第1～2個(gè)特征數(shù)值。由表可知，前2個(gè)特征數(shù)值之和約占總特征數(shù)值的80%左右，這是由于特征數(shù)值在計(jì)算過程中按降序排列，故λ1與λ2基本包含了信號(hào)的大部分信息，可選作故障特征向量。

表1 累計(jì)貢獻(xiàn)率θ隨k的數(shù)值變化表Tab.1 The value of θ changes with k

隨后使用CFS模型對(duì)故障特征向量進(jìn)行聚類，依據(jù)（11）～（13）式計(jì)算得到200個(gè)樣本的的聚類中心點(diǎn)的局部密度ρ、距離δ以及γ，結(jié)果如圖4和圖5所示。

圖4 局部密度ρ與距離δFig.4 Local density ρ and distance δ

圖5 樣本點(diǎn)的γ值Fig.5 Sample point of γ

從圖中可以看出：1）聚類中心點(diǎn)的局部密度ρ與距離δ的數(shù)值明顯大于非聚類中心點(diǎn)；2）聚類中心點(diǎn)的γ整體上明顯大于非聚類中心點(diǎn)。

其中，γ最小為0.818 4，最大為8.851 4，而非聚類中心點(diǎn)的γ數(shù)值幾乎為0，其原因如下：

1）對(duì)于聚類中心點(diǎn)而言，利用（10）式計(jì)算任意樣本之間的距離時(shí)，聚類中心點(diǎn)之間的距離最大，而（11）式為ρ的減函數(shù)，即計(jì)算所有樣本的局部密度ρ時(shí)，聚類中心點(diǎn)之間的距離是最大。設(shè)置的階段距離為1.5%，因此（11）式中的 -（dij／dc）2較小，局部密度數(shù)值ρ偏大，非聚類中心點(diǎn)的局部密度ρ與距離δ數(shù)值接近于0，與圖4的結(jié)果相符。

2）利用（13）式計(jì)算γ時(shí)，由于聚類中心點(diǎn)的局部密度ρ與距離δ遠(yuǎn)大于非聚類中心點(diǎn)，故得到的γ也大于非聚類中心點(diǎn)。而且圖中的聚類中心點(diǎn)具有明顯的跳躍性，而非聚類中心點(diǎn)則無此特點(diǎn)，說明應(yīng)該選擇γ數(shù)值較大且有跳躍性這些數(shù)據(jù)點(diǎn)作為聚類中心點(diǎn)。最后的2維聚類結(jié)果如圖6所示，從圖中可以看出，4種故障狀態(tài)得到了較好的區(qū)分，各樣本點(diǎn)之間幾乎沒有重疊現(xiàn)象，聚類中心點(diǎn)被周圍樣本點(diǎn)圍繞的密度較大，中心點(diǎn)相互之間的距離也較大。且樣本點(diǎn)與其他中心點(diǎn)之間的距離比與自身中心點(diǎn)之間的距離大，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)也表明，CFS模型對(duì)試驗(yàn)信號(hào)的區(qū)分程度近似100%，具有較好的區(qū)分效果。

圖6 2維聚類結(jié)果Fig.6 The 2D clustering results

5 結(jié)束語

提出了一種MBSE與CFS相結(jié)合的故障診斷方法，并將其應(yīng)用于滾動(dòng)軸承的故障診斷。與MPE模型相比，使用MBSE模型對(duì)軸承振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行特征提取的計(jì)算效率更高，而通過選用不同故障尺寸的軸承樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行試驗(yàn)，表明經(jīng)過PCA降維處理后，CFS聚類算法可對(duì)不同故障類型進(jìn)行有效的區(qū)分。

但也存在不足之處，如CFS聚類算法在選擇聚類中心點(diǎn)時(shí)選擇局部密度ρ與距離δ的乘積作為標(biāo)準(zhǔn)，雖然綜合考慮了這2個(gè)參數(shù)，但兩者的數(shù)值可能處于不同數(shù)量級(jí)，是否能通過其他方式綜合考慮這2個(gè)參數(shù)，更好的選擇聚類中心抉擇則需要進(jìn)行更深入的研究。