劉相

（遼東學(xué)院城市建設(shè)學(xué)院，遼寧丹東118003）

【建筑與規(guī)劃】

混凝土矩形截面梁經(jīng)濟(jì)配筋率與造價(jià)探討分析

劉相

（遼東學(xué)院城市建設(shè)學(xué)院，遼寧丹東118003）

文章以鋼筋混凝土單筋矩形截面梁為研究對(duì)象，在考慮材料價(jià)格的基礎(chǔ)上以其單位長度的最低造價(jià)為目標(biāo)函數(shù)。采用基于應(yīng)變協(xié)調(diào)條件和鋼筋混凝土梁正截面承載力的計(jì)算方法，利用拉格朗日函數(shù)推導(dǎo)出了經(jīng)濟(jì)配筋率的合理表達(dá)式。并在推導(dǎo)出的經(jīng)濟(jì)配筋率表達(dá)式的基礎(chǔ)上，通過其在滿足相應(yīng)鋼筋級(jí)別和混凝土強(qiáng)度等級(jí)所對(duì)應(yīng)的最大與最小配筋率范圍的約束條件下，給出了存在經(jīng)濟(jì)配筋率的前提下相應(yīng)的鋼筋價(jià)格與混凝土價(jià)格比值的范圍，并且通過算例的計(jì)算分析來驗(yàn)證了文章提出的方法，可供工程人員參考。

鋼筋混凝土梁；經(jīng)濟(jì)配筋率；拉格朗日函數(shù)；鋼筋價(jià)格；混凝土價(jià)格

混凝土梁等受彎構(gòu)件在結(jié)構(gòu)工程中的應(yīng)用相當(dāng)普遍，并且占工程結(jié)構(gòu)的比重也很大，其截面尺寸與配筋設(shè)計(jì)的合理與否對(duì)其結(jié)構(gòu)造價(jià)的影響起到至關(guān)重要的作用。在選擇截面時(shí)，除應(yīng)當(dāng)滿足剛度要求外，適筋條件又顯得非常重要。往往在實(shí)際工程中截面尺寸的選用只要滿足ρmin≤ρ≤ρmax即可，這樣配筋即使?jié)M足承載力等要求也有可能造成不必要的浪費(fèi)，所以如何確定合理的截面尺寸即確定一個(gè)合適的配筋率使其總造價(jià)最經(jīng)濟(jì)就顯得尤為重要。但經(jīng)濟(jì)配筋率是一個(gè)比較復(fù)雜問題，涉及很多因素比如結(jié)構(gòu)形式、材料單價(jià)、施工條件等[2]。一般梁的經(jīng)濟(jì)配筋率約為0.6%~1.5%，當(dāng)ρ在經(jīng)濟(jì)配筋率附近變動(dòng)時(shí)對(duì)總造價(jià)影響不是很敏感，國內(nèi)外相關(guān)的研究成果也不多[6]。本文采用以應(yīng)變協(xié)調(diào)條件和混凝土梁正截面承載力計(jì)算方法為基礎(chǔ)，運(yùn)用高等數(shù)學(xué)中條件極值的知識(shí)在考慮材料價(jià)格等因素的條件下從Ps/Pc比值范圍的角度去確定是否存在經(jīng)濟(jì)配筋率，即把材料價(jià)格引入配筋率中，更加符合工程實(shí)際。實(shí)際工程中即使浪費(fèi)很小，積少成多可能對(duì)國家所造成的經(jīng)濟(jì)損失也是很大的，在勤儉節(jié)約的背景下，對(duì)研究鋼筋混凝土梁的經(jīng)濟(jì)配筋率與造價(jià)分析的問題也是必要的。

1 經(jīng)濟(jì)配筋率ρE的確定

1.1 基本假定

⑴鋼筋混凝土梁符合平截面假定；

⑵不考慮混凝土的抗拉強(qiáng)度，全部拉力由縱向受拉鋼筋承擔(dān)；

⑶混凝土受壓時(shí)應(yīng)力和應(yīng)變成正比，鋼筋受拉時(shí)應(yīng)力和應(yīng)變成正比；

⑷不考慮國民經(jīng)濟(jì)發(fā)展、施工條件等客觀因素；

1.2 基本公式

由單筋矩形截面梁的應(yīng)力應(yīng)變簡圖可得相關(guān)計(jì)算公式：

式中[1]：M——彎矩設(shè)計(jì)值，kN·m；

fc——混凝土軸心抗壓強(qiáng)度設(shè)計(jì)值，N/mm2；

fy——普通鋼筋抗拉強(qiáng)度設(shè)計(jì)值，N/mm2；

As——受拉區(qū)縱向鋼筋面積，mm2；

b——矩形截面的寬度；

h0——截面有效高度，h0=h-α；

α1——矩形應(yīng)力圖的應(yīng)力與軸心受壓強(qiáng)度設(shè)計(jì)值fc比值，當(dāng)混凝土強(qiáng)度等級(jí)不超過C50時(shí)，α1取為1.0；

β——計(jì)算受壓高度與實(shí)際受壓高度的比值，當(dāng)混凝土強(qiáng)度等級(jí)不超過C50時(shí)，β取為0.8；

Es——鋼筋的彈性模量，×105N/mm2；

Ec——混凝土的彈性模量，×104N/mm2；

1.3 設(shè)計(jì)變量

在實(shí)際工程中，鋼筋混凝土梁的配筋率沒有考慮材料價(jià)格這一重要因素，其設(shè)計(jì)結(jié)果并不能保證設(shè)計(jì)費(fèi)用最低，即不是相對(duì)最優(yōu)方案。從工程實(shí)際應(yīng)用出發(fā)，把材料價(jià)格引入了鋼筋混凝土梁的配筋率中，即經(jīng)濟(jì)配筋率。經(jīng)濟(jì)配筋率作為衡量結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)經(jīng)濟(jì)性的標(biāo)準(zhǔn)。其受諸多因素影響，比如結(jié)構(gòu)形式、材料價(jià)格和施工條件等因素制約，其經(jīng)濟(jì)性在一定程度上只是相對(duì)的。本文為簡化經(jīng)濟(jì)配筋率的計(jì)算，作了一些簡化處理[3]：

⑴鋼筋混凝土梁截面寬度b，一般實(shí)際工程中通常由構(gòu)造要求確定，不作為設(shè)計(jì)變量。

⑵不考慮設(shè)置受壓鋼筋、彎起鋼筋和箍筋的作用，即不將受壓鋼筋、彎起鋼筋和箍筋作為設(shè)計(jì)變量。

⑶不考慮正常使用極限狀態(tài)的影響，即不將其作為約束條件考慮。因?yàn)閷?duì)于一般鋼筋混凝土梁均能滿足上述要求，且這樣處理對(duì)結(jié)果影響不大，能使計(jì)算過程相對(duì)簡化。

⑷為了進(jìn)一步簡化計(jì)算過程，減少設(shè)計(jì)變量，本文對(duì)梁的斜截面受彎承載力不作為約束條件來考慮，因?yàn)檫@一條件通常由構(gòu)造措施來保證。

本文只考慮鋼筋和混凝土價(jià)格以及鋼筋和混凝土強(qiáng)度等級(jí)來構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)，不考慮相應(yīng)的措施費(fèi)及模板等費(fèi)用，如果考慮可分別合并為相應(yīng)的綜合費(fèi)用：

式中，Ps——每t鋼筋單價(jià)，×7.85元/m3；

Pc——混凝土單價(jià)，元/m3；

1.4 約束條件

⑴正截面受彎承載力的約束條件：

⑵最小配筋率的約束條件：

⑶最大配筋率的約束條件：

1.5 求解方法

將約束條件（1）和目標(biāo)函數(shù)寫成拉格朗日函數(shù)表達(dá)式為：

對(duì)上述拉格朗日函數(shù)求極小值得

由（3）得，

當(dāng)ρ=ρe時(shí)，PE（ρ）最小。對(duì)于目標(biāo)函數(shù)PE（ρ）而言，由于其表達(dá)式比較繁瑣，通過分析可知在適筋率范圍內(nèi)遞減和遞增規(guī)律。則目標(biāo)函數(shù)PE（ρ）可以看成由與pcba三項(xiàng)組成。bM值已知的情況下，即當(dāng)Ps/Pc比值滿足存在經(jīng)濟(jì)配筋率范圍時(shí)，若鋼筋級(jí)別越高，混凝土強(qiáng)度等級(jí)越低，fc/（2fy）越小，此時(shí)Ps/Pc比值越小第二項(xiàng)隨ρ增大不明顯，此時(shí)目標(biāo)函數(shù)PE（ρ）隨ρ增大變化不是很敏感；而1/fc越大，第一項(xiàng)隨ρ減小明顯，所以PE（ρ）隨ρ減小變化相對(duì)敏感。若鋼筋級(jí)別越低，混凝土強(qiáng)度等級(jí)越高，fc/（2fy）越大，此時(shí)Ps/Pc比值越大第二項(xiàng)隨ρ增大明顯；而1/fc越小，第一項(xiàng)隨ρ減小不明顯，所以PE（ρ）隨ρ增大變化相對(duì)敏感。

將約束條件（2）和（3）聯(lián)合得，

一般情況下Ps＞Pc，經(jīng)計(jì)算分析可得，

一般當(dāng)混凝土強(qiáng)度等級(jí)不超過C50時(shí)，則取α1=1.0，

β=0.8，則

表1 Ps/Pc計(jì)算表

續(xù)表1Ps/Pc計(jì)算表

根據(jù)上述公式（5）所計(jì)算出的不同級(jí)別鋼筋與不同混凝土強(qiáng)度等級(jí)（≤C50）相組配的鋼筋混凝土梁所對(duì)應(yīng)的Ps/Pc取值范圍見表1所示。其中若實(shí)際中Ps/Pc取值范圍超出表1所示的取值范圍時(shí)，這時(shí)就不存在經(jīng)濟(jì)配筋率。

2 算例

設(shè)鋼筋混凝土矩形截面簡支梁，M=220 kN·m， b=250mm，根據(jù)某地市場(chǎng)價(jià)格調(diào)查，鋼筋單價(jià)的市場(chǎng)價(jià)格在（3000~4000）元/t之間波動(dòng)、其中鋼筋牌號(hào)分別有HPB300、HRB335、HRB400、HRB500四種。不同強(qiáng)度等級(jí)混凝土單價(jià)的市場(chǎng)價(jià)格波動(dòng)范圍見表2所示，α1=1.0，β=0.8，αs=35 mm，確定其經(jīng)濟(jì)配筋率。

表2 鋼筋混凝土梁經(jīng)濟(jì)配筋率計(jì)算表

表2 鋼筋混凝土梁經(jīng)濟(jì)配筋率計(jì)算表

先通過公式(5)計(jì)算或表1查出Ps/Pc存在經(jīng)濟(jì)配筋率的范圍，若Ps/Pc值在存在經(jīng)濟(jì)配筋率的范圍內(nèi)，則根據(jù)本文推導(dǎo)出的公式(4)計(jì)算出的經(jīng)濟(jì)配筋率的結(jié)果見表2，本算例每種組配中分別給出了Ps（max）/Pc(max)、Ps(max)/Pc(min)、Ps(mid)/Pc(mid)、Ps(min)/Pc(max)、 Ps(min)/Pc(min)幾種情況下，目標(biāo)函數(shù)PE（ρ）隨ρ變化規(guī)律見圖2~圖25。

圖2 HPB300和C20組配

圖3 HPB300和C25組配

圖4 HPB300和C30組配

圖5 HPB300和C35組配

圖6 HPB300和C40組配

圖7 HPB300和C45組配

圖8 HPB300和C50組配

圖9 HRB335和C20組配

圖10 HRB335和C25組配

圖11 HRB335和C30組配

圖12 HRB335和C35組配

圖13 HRB335和C40組配

圖14 HRB335和C45組配

圖15 HRB335和C50組配

圖16 HRB400和C25組配

圖18 HRB400和C35組配

圖19 HRB400和C40組配

圖20 HRB400和C45組配

圖21 HRB400和C50組配

圖24 HRB500和C45組配

圖25 HRB500和C50組配

從本算例可以看出，鋼筋級(jí)別越高，混凝土強(qiáng)度等級(jí)越低，Ps/Pc比值越小時(shí)，當(dāng)ρ從ρe向ρmax波動(dòng)時(shí)，造價(jià)變化相對(duì)不敏感，當(dāng)ρ從ρe向ρmin波動(dòng)時(shí)，造價(jià)變化越敏感；鋼筋級(jí)別越低，混凝土強(qiáng)度等級(jí)越高，Ps/Pc比值越大時(shí)，當(dāng)ρ從ρe向ρmax波動(dòng)時(shí)，造價(jià)變化越敏感，當(dāng)ρ從ρe向ρmin波動(dòng)時(shí)，造價(jià)相對(duì)不敏感。這一規(guī)律與本文推導(dǎo)出的目標(biāo)造價(jià)函數(shù)的分析規(guī)律相符合，說明推導(dǎo)公式的敏感性分析是合理的。

3 結(jié)語

（1）通過推導(dǎo)出經(jīng)濟(jì)配筋率ρe的公式可以看出，經(jīng)濟(jì)配筋率與鋼筋彈性模量、混凝土彈性模量、鋼筋價(jià)格、混凝土價(jià)格、鋼筋抗拉強(qiáng)度設(shè)計(jì)值、混凝土軸心抗壓強(qiáng)度設(shè)計(jì)值因素有關(guān)。在相同級(jí)別鋼筋和混凝土強(qiáng)度等級(jí)的條件下，ρe值隨著鋼筋價(jià)格與混凝土價(jià)格比值的增大而逐漸減?。辉赑s/Pc比值一定時(shí)，ρe值與fc/fy比值成反比關(guān)系。并通過算例驗(yàn)證了ρ=ρe時(shí)，目標(biāo)函數(shù)造價(jià)PE最小。

（2）在最大配筋率和最小配筋率的約束條件下推導(dǎo)出的Ps/Pc范圍可以看出，當(dāng)鋼筋級(jí)別相同時(shí)，隨著混凝土強(qiáng)度等級(jí)的增加Ps/Pc最大與最小值都逐漸減小，即范圍在縮?。讳摻罴?jí)別越高，混凝土強(qiáng)度等級(jí)越低，Ps/Pc值越大。

（3）從目標(biāo)函數(shù)表達(dá)式和算例圖中可以看出，配筋率在經(jīng)濟(jì)配筋率ρe附近時(shí)，造價(jià)隨配筋率的變動(dòng)相對(duì)不是很敏感。鋼筋級(jí)別越高，混凝土強(qiáng)度等級(jí)越低，ρs/ρc比值越小時(shí)，當(dāng)ρ從ρe向ρmax波動(dòng)時(shí)，造價(jià)變化相對(duì)不敏感；當(dāng)ρ從ρe向ρmin波動(dòng)時(shí)，造價(jià)變化越敏感；鋼筋級(jí)別越低，混凝土強(qiáng)度等級(jí)越高，ρs/ρc比值越大時(shí)，當(dāng)ρ從ρe向ρmax波動(dòng)時(shí)，造價(jià)變化越敏感；當(dāng)ρ從ρe向ρmin波動(dòng)時(shí)，造價(jià)相對(duì)不敏感。所以從造價(jià)角度分析建議在存在ρe的情況下，鋼筋級(jí)別越高，混凝土強(qiáng)度等級(jí)越低，ρs/ρc比值越小時(shí)，ρe≤ρ≤ρmax；鋼筋級(jí)別越低，混凝土強(qiáng)度等級(jí)越高，Ps/Pc比值越大時(shí)，ρmin≤ρ≤ρe。

（4）通過本文算例可以看出有HRB400和C20組配，HRB500分別和C20、C25、C30組配時(shí)不存在經(jīng)濟(jì)配筋率，因?yàn)槠銹s/Pc范圍超出了表1所示存在經(jīng)濟(jì)配筋率的范圍。這也說明了在實(shí)際工程中，基本上不會(huì)采用特別高級(jí)別鋼筋和特別低強(qiáng)度等級(jí)混凝土相組配，以免造成不必要的浪費(fèi)。

［1］中國工程建設(shè)標(biāo)準(zhǔn)化協(xié)會(huì).GB50010-2010混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范[S].北京：中國建筑工業(yè)出版社，2010.

［2］周堅(jiān).鋼筋混凝土與砌體結(jié)構(gòu)[M].北京：清華大學(xué)出版社，2008.

［3］張靖靜.鋼筋混凝土受彎構(gòu)件正截面設(shè)計(jì)優(yōu)化分析[J].工業(yè)建筑，2005，35（2）：100-102.

［4］俞銘華，李慶貞.鋼筋混凝土單筋梁優(yōu)化設(shè)計(jì)[J].工業(yè)建筑，2000，30（8）：48-51.

［5］趙國藩.高等鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)學(xué)[M].北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2005.

［6］曹煒，成戎.鋼筋混凝土梁的經(jīng)濟(jì)配筋率研究[J].建筑結(jié)構(gòu)，2010，40（增刊）：424-425.

［7］同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)（下冊(cè)）[M].北京：高等教育出版社出版社，2005.

［8］劉相.碳纖維布加固受損鋼筋混凝土梁錨固方式的試驗(yàn)研究[J].遼東學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2015，22（3）：204-211.

（責(zé)任編輯：龍海波）

Economical reinforcement ratio and cost of rectangular section reinforced concrete beams

LIUXiang

（School of Urban Construction，Eastern Liaoning University,Dandong 118003，China）

The reinforcement ratio and cost of single reinforcement rectangular section reinforced concrete beams were studied．The least unit length cost Was selected as the o~ective function by considering the material cost．According to the strain coordination conditions and the calculation methOd Of cross-sectional flexural bearing capacity of reinforced concrete beams，the expression of the economical reinforcement ratio Was derived with Lagrange function．Furthermore.under the constraint condition of the maximum and minimum reinforcement rmio that can meet the corresponding reinforcement grade and reinforced concrete strength，the range of the prices of reinforcement and reinforced concrete that meets the economical reinforcement ratio Was obtained．Finally，the method was verified bv an example．

reinforced concrete beams；economical reinforcement ratio；Lagrange function；steel price；concrete price

TU22.571

A

1673-4939（2017）02-0129-12

10.14168/j.issn.1673-4939.2017.02.11

2016-04-13

遼寧省教育廳科技研究項(xiàng)目資助（L2015187）；遼東學(xué)院青年基金項(xiàng)目（2016QN003）

劉相（1981-），男，遼寧丹東人，碩士，講師，研究方向：結(jié)構(gòu)加固與工程造價(jià)。