白國(guó)玉， 沈懷榮， 閆 梁， 李 轅

(1. 裝備學(xué)院 研究生管理大隊(duì), 北京 101416； 2. 裝備學(xué)院 航天裝備系, 北京 101416； 3. 北京跟蹤與通信技術(shù)研究所， 北京 100094)

碰撞角約束的全向攔截制導(dǎo)律研究

白國(guó)玉1， 沈懷榮2， 閆 梁3， 李 轅3

(1. 裝備學(xué)院 研究生管理大隊(duì), 北京 101416； 2. 裝備學(xué)院 航天裝備系, 北京 101416； 3. 北京跟蹤與通信技術(shù)研究所， 北京 100094)

針對(duì)空間攔截制導(dǎo)律設(shè)計(jì)中的碰撞角約束問(wèn)題，通過(guò)在全向真比例制導(dǎo)律中增加并實(shí)時(shí)求解時(shí)變偏置角速率的方法，設(shè)計(jì)了帶約束碰撞角的全向真比例制導(dǎo)律(Angle-Constraint Omnidirectional True-Proportional Navigation，AC-OTPN)，解決了順、逆軌攔截模式下對(duì)末端碰撞角的切換、裝訂和控制問(wèn)題。該制導(dǎo)律能根據(jù)目標(biāo)和攔截器的運(yùn)動(dòng)關(guān)系自主選擇順軌或逆軌攔截模式并裝訂末端碰撞角進(jìn)行攔截制導(dǎo)，碰撞角控制精度高。AC-OTPN可通過(guò)調(diào)整理想的末端碰撞角以增強(qiáng)碰撞效能，使得相對(duì)質(zhì)量、體積較小的攔截器同樣具備較強(qiáng)的毀傷能力，為攔截器的小型化設(shè)計(jì)和攜帶更多的子攔截器提供技術(shù)支撐。

碰撞角；約束；全向；攔截；制導(dǎo)律

攔截制導(dǎo)的首要目的是確保滿足目標(biāo)殺傷對(duì)于最終脫靶量的要求，然而隨著攔截技術(shù)的發(fā)展和作戰(zhàn)要求的變化，很多攔截任務(wù)不但要求精確命中，而且對(duì)末端碰撞角度[1-2]提出要求，以獲得更好的攻擊效果。碰撞角約束制導(dǎo)律的研究理論基礎(chǔ)通常為改進(jìn)型比例制導(dǎo)、最優(yōu)化或變結(jié)構(gòu)控制理論：Kim等[3]設(shè)計(jì)了滿足靜止和低速目標(biāo)攔截中末端碰撞角約束的時(shí)變偏置比例導(dǎo)引制導(dǎo)算法；Ratnoo等[4-5]使用分段比例(Proportional Navigation，PN)制導(dǎo)方案攻擊靜止目標(biāo)，通過(guò)在不同階段使用不同的比例系數(shù)來(lái)達(dá)成期望的末端攔截碰撞角；Erer等[6]同樣基于分段制導(dǎo)思想，分別使用偏置比例(Bias Proportional Navigation，BPN)與PN制導(dǎo)達(dá)成期望的末端碰撞角；Zarchan[7]提出帶角度約束的最優(yōu)制導(dǎo)律(稱為“彈道成型制導(dǎo)律”)。帶碰撞角約束的高速目標(biāo)攔截制導(dǎo)律研究較少：Shima和Golan[8-9]提出了帶有碰撞角約束的順軌滑模制導(dǎo)律；胡錫精等[10]設(shè)計(jì)了基于幾何法的攔截勻速運(yùn)動(dòng)目標(biāo)的終端角度約束制導(dǎo)律；閆梁等[11]設(shè)計(jì)了具備角約束能力的聯(lián)合偏置比例制導(dǎo)律，攔截大氣層內(nèi)的高速目標(biāo)。

在對(duì)攔截目標(biāo)進(jìn)行碰撞角約束時(shí)，最優(yōu)化制導(dǎo)方法需要估計(jì)預(yù)測(cè)命中點(diǎn)的位置并計(jì)算剩余時(shí)間，從而給制導(dǎo)控制系統(tǒng)帶來(lái)額外的負(fù)擔(dān)，較大的剩余時(shí)間計(jì)算偏差會(huì)使最優(yōu)制導(dǎo)退化為次優(yōu)制導(dǎo)或者性能更差；而變結(jié)構(gòu)控制方法則是直接在滑動(dòng)超平面的表達(dá)式中考慮對(duì)視線角的約束，但是由于變結(jié)構(gòu)控制方法的理論依據(jù)是Lyapunov穩(wěn)定性原理，在制導(dǎo)律的推導(dǎo)過(guò)程中需要用到目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)和機(jī)動(dòng)信息，而目標(biāo)的機(jī)動(dòng)加速度在現(xiàn)有條件下是難以獲取的，因此只能對(duì)制導(dǎo)律的形式進(jìn)行簡(jiǎn)化，這必然會(huì)影響制導(dǎo)律的性能。一般對(duì)于運(yùn)動(dòng)目標(biāo)的碰撞角控制問(wèn)題采用偏置比例導(dǎo)引的方法，但是現(xiàn)有的碰撞角約束制導(dǎo)方法均是針對(duì)一類典型目標(biāo)(高速、低速或者靜止目標(biāo))的單一攔截模式(順軌或逆軌)進(jìn)行設(shè)計(jì)，沒(méi)有發(fā)現(xiàn)能夠適用于多種模式攔截機(jī)動(dòng)高速目標(biāo)的碰撞角約束制導(dǎo)方法。

為了改變目前制導(dǎo)律的設(shè)計(jì)大多只能滿足特定攔截模式(順軌或逆軌)的典型目標(biāo)(高速、低速或者靜止目標(biāo))的攔截需求，本文將終端角度約束制導(dǎo)原理與全向自適應(yīng)攔截導(dǎo)引理論[12]1118進(jìn)行融合，設(shè)計(jì)具備碰撞角約束能力并能適應(yīng)多種攔截模式的中段攔截制導(dǎo)律。該制導(dǎo)律不但能根據(jù)目標(biāo)和攔截器的運(yùn)動(dòng)情況自行選擇順軌或逆軌攔截模式完成對(duì)目標(biāo)的攔截制導(dǎo)，而且能夠使攔截器按照預(yù)定的碰撞角與目標(biāo)發(fā)生交會(huì)，滿足彈道導(dǎo)彈中段防御對(duì)目標(biāo)毀傷的要求。

1 碰撞角約束的目標(biāo)與攔截器相對(duì)運(yùn)動(dòng)關(guān)系

二維平面內(nèi)攔截彈與目標(biāo)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)關(guān)系如圖1所示。

圖1 平面內(nèi)攔截彈與目標(biāo)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)

圖1中，R為攔截彈到目標(biāo)的距離，Vm為攔截彈速度，Vt為目標(biāo)速度，φ為目標(biāo)速度與參考線的夾角，λ為攔截彈與目標(biāo)的視線(LineofSight，LOS)與參考線的夾角，γ為攔截彈路徑傾角，Vm與視線的夾角定義為攔截彈速度前置角θ，a為攔截彈控制加速度，垂直于視線方向。攔截彈與目標(biāo)之間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程表述為

(1)

高速目標(biāo)攔截制導(dǎo)律的研究表明，針對(duì)高速目標(biāo)的攔截僅存在逆軌和順軌2種攔截模式[12]1116。2種攔截模式下目標(biāo)與攔截彈的交會(huì)幾何關(guān)系，如圖2所示。

a) 逆軌攔截模式

b) 順軌攔截模式圖2 攔截末端交會(huì)幾何關(guān)系

圖2中P為預(yù)定的碰撞點(diǎn)，M、T分別為碰撞前一時(shí)刻攔截彈與目標(biāo)位置，Vtf、Vmf分為目標(biāo)和攔截彈末速度，φf(shuō)為目標(biāo)末速度傾角，γf為攔截彈末速度傾角，λf為末視線角，η為碰撞角。由圖2知

φf(shuō)=γf+η

(2)

(3)

式中，tgo為剩余攔截時(shí)間。比例導(dǎo)引中速度角速率與視線角速率關(guān)系

(4)

式中，N為比例系數(shù)。將式(4)代入制導(dǎo)的初始和末端條件，則攔截彈在碰撞時(shí)刻視線角λf為

(5)

對(duì)于目標(biāo)機(jī)動(dòng)角速率恒定的情況有

(6)

(7)

以目標(biāo)為觀察點(diǎn)，將攔截彈與目標(biāo)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度Vc在沿視線坐標(biāo)系進(jìn)行分解，如圖3所示。

圖3 相對(duì)速度分解示意圖

Vtfsin(φf(shuō)-λf)=Vmfsin(γf-λf)

(8)

定義碰撞時(shí)刻的目標(biāo)與攔截彈速度比

βf=Vtf/Vmf

(9)

將式(2)代入式(8)化簡(jiǎn)后有

(10)

由式(10)知，對(duì)于恒速非機(jī)動(dòng)的攔截目標(biāo)約束碰撞角的情況：(1) 在末端視線角一定的情況下，存在著一系列滿足式(10)條件的末端速度前置角和速度比的取值，任一組取值均可滿足預(yù)定的碰撞角約束要求；(2) 末端目彈速度比的不同對(duì)應(yīng)著不同的末端速度前置角的取值，因此變速攔截制導(dǎo)律相對(duì)于恒速攔截制導(dǎo)律在碰撞角控制方面具有更大的靈活性和可選擇性。

2 碰撞角約束的全向真比例制導(dǎo)方程

2.1 全向攔截的偏置比例導(dǎo)引方程

文獻(xiàn)[12]1120推導(dǎo)了全向攔截制導(dǎo)律，通過(guò)將攔截彈的速度前置角引入制導(dǎo)律計(jì)算，實(shí)現(xiàn)全平面內(nèi)的自適應(yīng)順/逆軌全向攔截,如圖4所示。本文基于全向攔截導(dǎo)引進(jìn)一步研究適用于全向攔截制導(dǎo)并具備碰撞角控制能力的新型攔截制導(dǎo)律。

圖4 平面內(nèi)全向攔截示意圖

(11)

將式(1)中第二式兩邊微分并代入式(11)，有

(12)

整理并代入式(1)中第一式，得

(13)

將攔截彈和目標(biāo)的加速度在視線坐標(biāo)系分解，如圖5所示，圖中at為任意方向的目標(biāo)加速度，at與參考線的夾角為χ。

圖5 視線坐標(biāo)系下加速度分解示意圖

由于攔截彈的控制力垂直視線，有

(14)

將式(14)第一式代入式(13)得

(15)

(16)

因此,攔截彈的控制加速度

(17)

(18)

由式(18)可知有效導(dǎo)航比N′在導(dǎo)航比N取為常數(shù)的情況下受到速度前置角、攔截彈速度以及彈目相對(duì)速度的影響。式(17)可改寫為

(19)

2.2 時(shí)變偏置角速率求解

對(duì)于攔截彈在比例導(dǎo)引下攔截非機(jī)動(dòng)目標(biāo)的情況，由式(14)第二式，代入atθ=0，amθ=a，得

(20)

將式(11)代入式(20)整理后得微分方程

(21)

由于

(22)

tf為攔截達(dá)成時(shí)刻，將式(22)代入式(21)有

(23)

(24)

碰撞時(shí)刻tf的末端視線角λf為

(25)

由于末端視線角λf為已知，解得此時(shí)所需的偏置角速率為

(26)

采用式(17)、式(18)和式(26)作為制導(dǎo)方程，可得到具備碰撞角約束功能的高速目標(biāo)攔截導(dǎo)引律。由于式(17)具備自適應(yīng)全向攔截的功能，因此該制導(dǎo)律只要分別設(shè)定滿足要求的順軌和逆軌碰撞角約束條件，即可實(shí)現(xiàn)在平面內(nèi)的具備角控功能的全向攔截制導(dǎo)，將該制導(dǎo)律記為碰撞角約束的全向真比例(AC-OTPN)制導(dǎo)律。

由本節(jié)分析可知，攔截器速度前置角余弦值cosθ的符號(hào)不同時(shí)，需要針對(duì)順軌、逆軌攔截模式分別設(shè)定不同的末端期望碰撞角，在攔截制導(dǎo)中期望碰撞角的裝訂依據(jù)為

(27)

3 AC-OTPN制導(dǎo)律攔截制導(dǎo)數(shù)值仿真和分析

3.1 逆軌攔截模式下的AC-OTPN制導(dǎo)律仿真

為驗(yàn)證本文提出的制導(dǎo)律制導(dǎo)和碰撞角控制效果，使用MATLAB進(jìn)行攔截仿真，仿真中設(shè)定有效攔截為最終脫靶量小于10m、碰撞角誤差小于0.5°，攔截彈在距離目標(biāo)30m內(nèi)失盲后制導(dǎo)指令保持為最終數(shù)值。為了驗(yàn)證AC-OTPN制導(dǎo)律對(duì)高速目標(biāo)實(shí)施逆軌攔截中的碰撞角約束能力，將目標(biāo)速度設(shè)定為攔截彈初始速度的2.5倍，攔截彈初始速度傾角的范圍設(shè)置從-60°變化至60°，變化步長(zhǎng)設(shè)置為6°。其他仿真參數(shù)設(shè)置如表1所示，制導(dǎo)控制力不設(shè)約束上限。仿真結(jié)果如圖6～圖9所示。

表1 逆軌攔截仿真參數(shù)

圖6 攔截彈與目標(biāo)飛行軌跡

圖7 攔截彈指令加速度變化

圖8 攔截過(guò)程中的偏置角變化率

圖9 攔截彈路徑傾角變化

仿真結(jié)果表明：

1) 由圖6可知，AC-OTPN制導(dǎo)律可有效對(duì)高速目標(biāo)進(jìn)行逆軌攔截制導(dǎo)，碰撞角精度和最終脫靶量均滿足成功攔截需求；由圖8可知，通過(guò)增加時(shí)變偏置角速率調(diào)整攔截器的速度傾角，在制導(dǎo)過(guò)程可實(shí)現(xiàn)對(duì)最終碰撞角的有效控制，使得不同初始條件的攔截器都能夠以預(yù)定的碰撞角攔截目標(biāo)；

2) 由圖7知，AC-OTPN對(duì)高速目標(biāo)進(jìn)行碰撞角約束的逆軌攔截導(dǎo)引中，所需的最大控制力與攔截的初始狀態(tài)有關(guān)，初始速度前置角越大，導(dǎo)引所需的最大控制力和總控制量需求越大，在實(shí)際應(yīng)用中可以設(shè)置最大控制力閾值來(lái)減小制導(dǎo)律在起始階段的需用過(guò)載；

3) 由圖9可知，AC-OTPN制導(dǎo)律在制導(dǎo)過(guò)程可實(shí)現(xiàn)對(duì)最終碰撞角的有效控制，使得不同初始條件的攔截彈都能夠以預(yù)定的碰撞角攔截目標(biāo)；

4) 由圖8可以看出，在制導(dǎo)過(guò)程中AC-OTPN制導(dǎo)律使用的偏置角速率變化平穩(wěn)，具體取值與初始制導(dǎo)條件有關(guān)，初始偏差角越大，制導(dǎo)中所需的偏置角速率越大，在制導(dǎo)過(guò)程中偏置角速率隨時(shí)間發(fā)生變化；

5)對(duì)圖8進(jìn)行分析可知，由于在制導(dǎo)指令中增加了時(shí)變偏置角速率，在制導(dǎo)過(guò)程中當(dāng)攔截彈與目標(biāo)處于平行接近狀態(tài)時(shí)，偏置角速率的存在會(huì)使得攔截彈在控制加速度作用下發(fā)生偏離，因此制導(dǎo)末端的視線角速率不為零。

3.2 順軌攔截模式下AC-OTPN制導(dǎo)律仿真

基本參數(shù)設(shè)置如表1所示，預(yù)定碰撞角設(shè)為10°，攔截彈初始路徑傾角范圍取為100°～260°，仿真結(jié)果如圖10～圖13所示。

圖10 攔截彈與目標(biāo)飛行軌跡

圖11 攔截彈指令加速度變化

圖12 攔截過(guò)程中的偏置角變化率

圖13 攔截彈路徑傾角變化

仿真結(jié)果表明：

1) 由圖10可知，AC-OTPN制導(dǎo)律可以對(duì)高速目標(biāo)進(jìn)行帶碰撞角約束的順軌攔截制導(dǎo)，碰撞角控制精度和最終脫靶量能滿足攔截制導(dǎo)需求；由圖12知在制導(dǎo)過(guò)程中，AC-OTPN制導(dǎo)律使用的偏置角速率變化平穩(wěn)，具體取值同樣與初始制導(dǎo)條件有關(guān)；

2) 對(duì)比圖7和圖11可以看出，順軌攔截時(shí)攔截彈所需的最大加速度遠(yuǎn)小于逆軌攔截，同等條件下順軌攔截時(shí)間長(zhǎng)于逆軌攔截，彈目相對(duì)速度較小，因此對(duì)于制導(dǎo)所需最大控制力的要求更?。?/p>

3) 由圖13可知，AC-OTPN制導(dǎo)律在制導(dǎo)過(guò)程中可實(shí)現(xiàn)對(duì)最終碰撞角的有效控制，使得不同初始條件的攔截彈都以預(yù)定的碰撞角攔截目標(biāo)。

3.3AC-OTPN自適應(yīng)全向攔截性能驗(yàn)證

為了進(jìn)一步研究AC-OTPN制導(dǎo)律在全平面內(nèi)對(duì)高速目標(biāo)的自適應(yīng)攔截導(dǎo)引及碰撞角的控制能力，將攔截彈初始路徑傾角范圍設(shè)定為0～360°來(lái)考察該制導(dǎo)律的攔截制導(dǎo)性能。仿真基本參數(shù)設(shè)置如表2所示，設(shè)定順軌攔截下預(yù)定碰撞角為20°，逆軌攔截模式下預(yù)定碰撞角為160°，初始路徑角變化步長(zhǎng)為5°，成功攔截條件為末端脫靶量小于10m，末端碰撞角誤差小于0.5°，為便于觀察和分析AC-OTPN制導(dǎo)律的末端碰撞角控制能力，對(duì)制導(dǎo)控制力不設(shè)約束上限。

表2 全向攔截仿真參數(shù)

AC-OTPN制導(dǎo)律對(duì)高速目標(biāo)的全向攔截仿真結(jié)果如圖14和圖15所示。由圖14可知，在不限控制加速度上限的情況下，AC-OTPN可根據(jù)攔截彈的初始參數(shù)自動(dòng)選擇順軌或逆軌攔截模式，導(dǎo)引平面內(nèi)任意初始路徑傾角的攔截彈成功攔截目標(biāo)并滿足該模式下預(yù)定的碰撞角要求。

圖14 AC-OTPN全向自適應(yīng)攔截軌跡

圖15 攔截彈路徑傾角變化

圖15顯示出不同初始條件的攔截彈在AC-OTPN的導(dǎo)引下，自動(dòng)選擇攔截模式并向?qū)?yīng)的預(yù)定攔截路徑角進(jìn)行調(diào)整的過(guò)程，從圖中能清晰地看到制導(dǎo)過(guò)程中攔截彈路徑傾角的變化趨勢(shì)。

4 結(jié) 束 語(yǔ)

理論推導(dǎo)和數(shù)值仿真的結(jié)果表明：本文提出的AC-OTPN制導(dǎo)律能夠按照給定的末端碰撞角約束條件，在滿足攔截器對(duì)目標(biāo)的末端碰撞角度要求的同時(shí)，自適應(yīng)完成順、逆軌攔截制導(dǎo)；對(duì)攔截制導(dǎo)的數(shù)值仿真結(jié)果分析可看出，在自適應(yīng)攔截制導(dǎo)律中增加末端碰撞角約束后制導(dǎo)所需的最大控制力與攔截時(shí)間成反比，在攔截器的控制力存在限制的情況下，順軌攔截比逆軌攔截增加碰撞角控制所花費(fèi)的控制代價(jià)更小。AC-OTPN制導(dǎo)律可通過(guò)調(diào)整理想的末端碰撞角以增強(qiáng)攔截碰撞效能，使得相對(duì)質(zhì)量、體積較小的攔截器同樣具備較強(qiáng)的毀傷能力，為攔截器的小型化設(shè)計(jì)和攜帶更多的子攔截器提供技術(shù)支撐。

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(編輯：李江濤)

Research on Omnidirectional Interception Guidance Law
with Impact Angle Constraint

BAI Guoyu1, SHEN Huairong2, YAN Liang3, LI Yuan3

(1. Department of Graduate Management, Equipment Academy, Beijing 101416, China； 2. Department of Space Equipment, Equipment Academy, Beijing 101416, China； 3. Beijing Institute of Tracking and Telecommunications Technology, Beijing 100094, China)

To address the problem of impact angle constraint in the design of space interception guidance law, the paper puts forward the impact Angle-Constraint Omnidirectional True-Proportional Navigation (AC-OTPN) guidance law and solves the technical problem of high-speed target interception with terminal impact angle constraint. Based on OTPN, AC-OTPN is added with time-varying bias angle velocity. It also real-timely solves time-varying bias angle rate, hoping to get expected terminal impact angle. AC-OTPN can self-adaptively choose head-on and head-pursuit interception patterns according to the motion relationship of target and interceptor. It has large capture region and high accuracy of impact angle. By adjusting the terminal impact angle, AC-OTPN can increase the impact effectiveness. Interceptors with less mass and smaller volume can also have the same kill ability. AC-OTPN provides technical support for the miniaturization design of interceptors and their ability to carry more sub-interceptors.

impact angle; constraint; omnidirectional; interception; guidance law

2017-03-23

部委級(jí)資助項(xiàng)目

白國(guó)玉(1974—)，男，高級(jí)工程師，博士研究生，主要研究方向?yàn)楹教烊蝿?wù)分析與總體。744491373@qq.com 沈懷榮，男，教授，博士生導(dǎo)師。

V448.133

2095-3828(2017)03-0092-07

A DOI 10.3783/j.issn.2095-3828.2017.03.016